Cours de DEA : Théorie des Modèles, les outils classiques (Année 00 - 01)

1. Conventions et notation Je précise la terminologie que j’utiliserai (je crois qu’elle est un peu différente de celle

du cours fondamental).

(1.1) Soit L un langage, et T une théorie, c’est à dire un ensemble d’énoncés du langage L.

Je dirai que T est consistante, si T ne prouve pas (x ≠ x). Je dirai que T est satisfaisable, si elle a un modèle M, et qu’elle est finiment satisfaisable si tout fragment fini de T a un modèle. Nous avons les équivalences suivantes: T est consistante si et seulement si elle est satisfaisable, si et seulement si elle est finiment satisfaisable.

La notation φ(v_{1}, …, v_{n}) indique que les variables libres de φ sont parmi v_{1}, …, v_{n}. Il arrive cependant parfois qu’on omette les variables complètement.

Si M et N sont des L-structures, la notation M ⊆ N indiquera (sauf mention explicite du contraire) que M est une sous-(L)-structure de N.

(1.2) Diagrammes. Soient M ⊧ T, et A ⊆ M. Je dénote par L(A) le langage obtenu en ajoutant à L des symboles de constantes pour tous les éléments de A. On notera c_{a} la constante correspondant à l’élément a. Pour simplifier la notation, quand aucune confusion n’est possible, on utilisera a au lieu de c_{a}, pour a ∈ A. La L-structure M a une expansion naturelle au langage L(A) (et c’est celle que nous utiliserons sauf mention du contraire): on interprète la constante c_{a} par a.

Le diagramme simple de A (dans M), ou bien le diagramme sans quantificaeurs de A, noté Δ(A), est l’ensemble des énoncés sans quantificateurs de L(A) satisfaits par la L(A)-structure (M, c_{a})_{a∈A}. Le diagramme atomique de A, noté Δ^{+}(A), est l’ensemble des énoncés atomiques de L(A) satisfaits par la L(A)-structure (M, c_{a})_{a∈A}. Le diagramme complet de A dans M, noté Diag(A) (ou bien Diag_{M}(A)), est l’ensemble des énoncés de L(A) satisfaits par la L(A)-structure (M, c_{a})_{a∈A}.

(1.3) Morphismes. Soient M et N des L-structures, F : M → N une application.

(1) F est un (homo)morphisme (de L-structures), si pour tout n-uplet ā de M, fonction n-aire f et relation n-aire R,

M ⊧ R(ā) ⇒ N ⊧ R(F (ā)), et f(F (ā)) = F (f(ā)).

(2) F est un plongement si F est un homomorphisme injectif et pour tout n-uplet ā de M et relation n-aire R,

M ⊧ R(ā) ⟺ N ⊧ R(F (ā)).

(3) F est un isomorphisme si F est un plongement surjectif.

(4) F est un plongement élémentaire si F (M), l’image de M par F, est une sous-structure élémentaire de N. De façon équivalente, si pour toute formule φ(x̄) et n-uplet ā de M,

M ⊧ φ(ā) ⟺ N ⊧ φ(F (ā)).

(5) Un isomorphisme partiel entre M et N est une bijection g entre des sous-ensembles A de M et B de N satisfaisant: si φ(x̄) est une formule sans quantificateurs de L, et ā un uplet de A de même longueur que x̄, alors

M ⊧ φ(ā) si et seulement si N ⊧ φ(g(ā)).

Ou tout simplement: si g induit un isomorphisme entre les L-structures engendrées par A et B. On parle aussi d’isomorphisme élémentaire partiel, quand l’application g préserve toutes les formules, c’est à dire, pour toute formule φ(x̄) et uplet ā dans le domaine de g, on a

M ⊧ φ(ā) ⟺ N ⊧ φ(g(ā)).

(1.4) Remarques. (1) Nous savons que si N est une L(A)-structure satisfaisant Δ(A), alors il existe un isomorphisme partiel de M dans N, qui envoie les éléments de A sur l’interprétation dans N de la constante qui leur est associée. De même, si N est un modèle de Diag(M), alors N contient une sous-structure élémentaire M′ qui est isomorphe à M.

(2) Soient M et N des L-structures, F : M → N une application, et A un sousensemble de M. Nous avons vu plus haut que M a une expansion naturelle au langage L(A). La fonction F nous permet de définir aussi une L(A)-structure sur N, de la façon suivante: la constante c_{a} est interprétée par F (a) dans N.

Les propriétés suivantes sont alors immédiates:

(1) F est un morphisme si et seulement si N ⊧ Δ^{+}(M).

(2) F est un plongement si et seulement si N ⊧ Δ(M).

(3) F est un plongement élémentaire si et seulement si N ⊧ Diag(M).

(4) Soit F : A → B une fonction. Alors F définit un isomorphisme partiel de M si et seulement si N ⊧ Δ(A).

(5) Soit F : A → B une fonction. Alors F définit un isomorphisme élémentaire partiel de M si et seulement si N ⊧ Diag(A). On peut se demander quelle est la signification de “isomorphisme partiel” de domaine

vide. En effet, la fonction de domaine vide est certainement une fonction partielle. Si l’on regarde la définition, il reste cependant quelques formules à considérer: celles où aucune variable libre n’est présente, c’est à dire les énoncés sans quantificateurs. Quand il n’y a pas de symboles de constantes dans le langage, il n’y a pas d’énoncés sans quantificateurs. Cependant, dès qu’il y a des constantes, nous pouvons dire des choses du genre c ≠ d. Pour que F soit un isomorphisme partiel, il faudra donc en particulier, que si les constantes c et d ont des interprétations distinctes dans la structure M, elles ont aussi des interprétations distinctes dans la structure N.

Donc, si F est de domaine vide, alors - F est un isomorphisme partiel si et seulement si Δ_{M}(∅) = Δ_{N}(∅),

- F est un isomorphisme partiel élémentaire si et seulement si M ≡ N.

2. Elimination des quantificateurs, théories modèles compètes Dans cette section nous étudions certaines propriétés agréables de théories. Nous

commencerons avec un théorème de compacité qui nous sera bien utile:

(2.1) Théorème. Soient T_{1} et T_{2} des théories du langage L, et Δ un ensemble d’énoncés de L qui est clos par disjonction finie. Supposons que T_{1} ∪ T_{2} est consistante. Les conditions suivantes sont équivalentes:

(1) Il existe Γ ⊆ Δ tel que T_{1} ∪ Γ axiomatise T_{1} ∪ T_{2}.

(2) Pour tous modèles M et N de T_{1}, si M ⊧ T_{2} et N satisfait tous les énoncés de Δ satisfaits par M, alors N ⊧ T_{2}.

Démonstration. Il est clair que (1) implique (2). Supposons maintenant (2), et soit

Γ = {ψ ∈ Δ | T_{1} ∪ T_{2} ⊧ ψ}.

Nous allons montrer que Γ est l’ensemble d’énoncés recherché. Certainement T_{1} ∪ T_{2} ⊢ Γ, et nous allons montrer que tout modèle de T_{1} ∪ Γ est modèle de T_{2}. Soit N ⊧ T_{1} ∪ Γ, et soit

Σ = {¬ψ | ψ ∈ Δ, N ⊧ ¬ψ}.

Nous allons montrer que T_{1} ∪ T_{2} ∪ Σ est consistante. Sinon, par compacité, il existe des énoncés ψ_{1}, …, ψ_{n} ∈ Δ telles que ¬ψ_{1}, …, ¬ψ_{n} ∈ Σ et T_{1} ∪ T_{2} ⊢ ¬(¬ψ_{1} ∧ ⋯ ∧ ¬ψ_{n}), c’est à dire, T_{1} ∪ T_{2} ⊢ ψ_{1} ∨ ⋯ ∨ ψ_{n}. Mais ψ_{1} ∨ ⋯ ∨ ψ_{n} ∈ Δ, et donc ψ_{1} ∨ ⋯ ∨ ψ_{n} ∈ Γ. Nous ne pouvons donc avoir ¬ψ_{1}, …, ¬ψ_{n} ∈ Σ, par définition de Σ et parce que N ⊧ Γ.

Soit M un modèle de T_{1} ∪ T_{2} ∪ Σ. Alors tout énoncé de Δ satisfait par M est satisfait par N (à cause de Σ). Notre hypothèse entraine donc que N ⊧ T_{2}, et donc, comme N était un modèle arbitraire de T_{1} ∪ Γ, que T_{1} ∪ Γ ⊢ T_{2}. Remarque. Si T_{2} est finiment axiomatisée, alors on peut prendre Γ fini (par compacité).

(2.2) Corollaire. Soit T une théorie, φ(v̄), v̄ = (v_{1}, …, v_{n}), une formule telle que T ∪ ∃v̄ φ(v̄) est consistante. Soit Δ une ensemble de formules dans les variables v̄, clos par disjonction. Les conditions suivantes sont équivalentes:

(1) Il existe des formules ψ_{1}(v̄), …, ψ_{m}(v̄) ∈ Δ telles que

T ⊢ ∀v̄ [φ(v̄) ↔ (ψ_{1}(v̄) ∧ ⋯ ∧ ψ_{m}(v̄))].

(2) Pour tous modèles M et N de T, pour tous n-uplets ā et b̄ de M et N respectivement, si M ⊧ φ(ā), et toute formule ψ(v̄) ∈ Δ qui est satisfaite par ā dans M est satisfaite par b̄ dans N, alors N ⊧ φ(b̄).

(3) Pour tout modèle M de T et uplet ā ∈ M satisfaisant φ, il existe une formule ψ(v̄) satisfaite par ā, qui est une conjonction finie de formules de Δ, et est telle que T ⊢ ∀v̄ (ψ(v̄) → φ(v̄)).

Démonstration. (1) implique (2), (2) implique (3) sont clairs. Pour (2) implique (1), on agrandit le langage en ajoutant des nouveaux symboles de constantes c_{1}, …, c_{n}. Soit L′ le langage L ∪ {c_{1}, …, c_{n}}, et Δ′ l’ensemble {ψ(c̄) | ψ(v̄) ∈ Δ}. Alors l’énoncé de (2) est équivalent à : (2’) Pour toutes L′-structures M et N qui sont modèles de T, si M ⊧ φ(c̄) et si N satisfait

tous les énoncés de Δ′ satisfaits par M, alors N ⊧ φ(c̄). Par (2.1), on a donc qu’il existe ψ_{1}(c̄), …, ψ_{m}(c̄) ∈ Δ′ tels que

T ⊢ φ(c̄) ↔ (ψ_{1}(c̄) ∧ ⋯ ∧ ψ_{m}(c̄)).

Comme les constantes c_{1}, …, c_{n} ne sont pas dans le langage L, nous avons donc

T ⊢ ∀v̄ [φ(v̄) ↔ (ψ_{1}(v̄) ∧ ⋯ ∧ ψ_{m}(v̄))].

Nous allons maintenant montrer que (3) implique (1) (ce qui aurait d’ailleurs suffi). Soit Δ_{∧} l’ensemble des conjonctions finies de formules de Δ, et soit Σ l’ensemble des formules des formules ψ(v̄) de Δ_{∧} telles que T ∪∃v̄ ψ(v̄) est consistante, et T ⊢ ∀v̄ (ψ(v̄) → φ(v̄)). Assertion. T ⊧ (⋁_{ψ∈Σ} ψ(v̄) ↔ φ(v̄)).

Un petit mot d’explication : la disjonction ⋁_{ψ∈Σ} ψ(v̄) est une disjonction infinie. La notion de satisfaction s’étend sans problème aux disjonctions (ou conjonctions) infinies : si M est une L-structure et ā un n-uplet de M, alors M ⊧ ⋁_{ψ∈Σ} ψ(ā) si et seulement si il existe ψ(v̄) ∈ Σ telle que M ⊧ ψ(ā). (Et pareillement pour les conjonctions infinies). Notre assertion dit donc : Pour tout modèle M de T et uplet ā de M, le uplet ā satisfait φ(v̄) si et seulement si il satisfait l’une des formules ψ(v̄) ∈ Σ.

Donc, revenons à notre assertion. Par définition de Σ, il est clair que si M est un modèle de T et ā est un n-uplet de M, alors M ⊧ ⋁_{ψ∈Σ} ψ(ā) implique que M ⊧ φ(ā). Nous avons donc

T ⊧ ∀v̄ ( ⋁_{ψ∈Σ} ψ(v̄) → φ(v̄)).

Soient maintenant M un modèle de T et ā un uplet de M satisfaisant φ(v̄). Par hypothèse, il existe θ(v̄) ∈ Σ satisfaite par ā. Et donc, nous avons bien que M ⊧ ⋁_{ψ∈Σ} ψ(ā). Cela prouve l’assertion.

Notre assertion dit que la théorie suivante est inconsistante :

T ∪ {φ(v̄)} ∪ {¬ψ(v̄) | ψ(v̄) ∈ Σ}.

(En effet, sinon nous aurions un uplet ā dans un modèle M de T satisfaisant φ(v̄) et ne satisfaisant aucune des formules ψ(v̄), ψ ∈ Σ, ce qui contredirait notre assertion.) Donc, il existe ψ_{1}(v̄), …, ψ_{m}(v̄) ∈ Σ telles que T ∪ {φ(v̄)} ⊢ ¬(¬ψ_{1}(v̄) ∧ ⋯ ∧ ψ_{m}(v̄)), c’est à dire T ⊢ φ(v̄) → (ψ(v̄) ∨ ⋯ ∨ ψ_{m}(v̄)), et donc

T ⊢ ∀v̄ [φ(v̄) → (ψ_{1}(v̄) ∨ ⋯ ∨ ψ_{m}(v̄))].

Comme chaque formule de Σ implique φ(v̄) modulo T, cela montre (1) (une disjonction finie de formules de Δ_{∧} est une conjonction finie de formules de Δ).

(2.3) Rappelons aussi le critère de Tarski-Vaught pour les sous-tructures élémentaires: Théorème. Soient M ⊆ N des L-structures. Pour montrer que M ≺ N il suffit de montrer que pour toute formule φ(x, ȳ), et uplet ā de M, il existe un élément b ∈ M tel que

N ⊧ ∃x φ(x, ā) ⟺ N ⊧ φ(b, ā).

Remarquons que les deux notions de satisfaction sont dans la grande structure N, ce que nous imposons c’est de trouver l’élément b dans la petite structure M.

(2.4) Corollaire.

(1) Si M_{1} ≺ M_{2} et M_{2} ≺ M_{3} alors M_{1} ≺ M_{3}.

(2) Si M_{1} ≺ M_{3}, M_{2} ≺ M_{3} et M_{1} ⊆ M_{2} alors M_{1} ≺ M_{2}.

(3) Soient α un ordinal limite, et (M_{i})_{i∈α} une chaîne croissante de structures, telle que M_{i} ≺ M_{j} pour tout i < j < α, et soit M = ⋃_{i∈α} M_{i}. Alors M_{i} ≺ M pour tout i < α.

Démonstration. Les démonstrations sont faciles, en utilisant le critère de Tarski-Vaught (2.3). Nous allons donner celle de (3). La preuve est par induction sur la complexité des formules. L’hypothèse d’induction est la suivante, pour une formule φ(x̄), x̄ un uplet de variables: (∗) Pour tous i et uplet ā dans M_{i},

M_{i} ⊧ φ(ā) ⟺ M ⊧ φ(ā).

Les formules sans quantificateurs satisfont (∗). Supposons que φ(x̄) = ∃y ψ(x̄, y) et soient i < α, ā un uplet de M_{i}.

Supposons d’abord que M_{i} ⊧ φ(ā), et soit b ∈ M_{i} tel que M_{i} ⊧ ψ(ā, b). Par hypothèse d’induction, nous avons M ⊧ ψ(ā, b) et donc M ⊧ φ(ā).

Supposons maintenant que M ⊧ φ(ā), et soit b ∈ M tel que M ⊧ ψ(ā, b). Alors il existe j ≥ i tel que b ∈ M_{j}. Par hypothèse d’induction (appliquée à ψ et M_{j}) nous avons que M_{j} ⊧ ψ(ā, b), et donc M_{j} ⊧ φ(ā). Mais M_{i} ≺ M_{j}, et cela entraîne que M_{i} ⊧ φ(ā).

Nous avons donc prouvé que φ(x̄) satisfait (∗), ce qui termine la démonstration. En effet, si maintenant φ(x̄) = ∀y ψ(x̄, y), nous avons, par l’étape précédente que, pour tous i et ā uplet de M_{i}:

M_{i} ⊧ ¬φ(ā) ⟺ M ⊧ ¬φ(ā),

ce qui nous donne (∗) pour φ en passant à la contraposée.

(2.5) Définitions. Soit T une théorie du premier ordre.

(1) T est modèle complète si pour tous modèles M et N de T, si M ⊆ N alors M ≺ N.

(2) On dit que T admet l’élimination des quantificateurs (ou bien, élimine les quantificateurs, noté eq) si pour toute formule φ(x̄) il existe une formule ψ(x̄) sans quantificateurs, telle que

T ⊢ ∀x̄(φ(x̄) ↔ ψ(x̄)).

(2.6) Lemme/Remarque. Si T élimine les quantificateurs, alors T est modèle-complète. Démonstration. Soient M ⊆ N des modèles de T. Soient φ(v̄) une formule, et ā un uplet de M. Nous voulons montrer que

M ⊧ φ(ā) ⟺ N ⊧ φ(ā).

Mais c’est évident : par hypothèse, la fromule φ(v̄) est équivalent modulo T à une formule ψ(v̄) sans quantificateurs. Et nous avons certainement (puisque M est une sous-structure de N)

M ⊧ ψ(ā) ⟺ N ⊧ ψ(ā).

(2.7) Proposition. Soit T une théorie.

(1) T est modèle complète si et seulement si, pour tout modèle M de T, la théorie T ∪ Δ(M) est complète.

(2) T admet l’élimination des quantificateurs si et seulement si pour toute sous-structure A d’un modèle de T, la théorie T ∪ Δ(A) est complète, si et seulement si pour tout sous-ensemble A d’un modèle de T, la théorie T ∪ Δ(A) est complète.

(3) Si T est modèle complète, alors la réunion d’une chaîne de modèles de T est un modèle de T. La théorie T a donc une axiomatisation par des formules ∀∃.

(4) T est modèle complète si et seulement si toute formule φ(v̄) est équivalente modulo T à une formule existentielle.

(4’) (Duale) T est modèle complète si et seulement si toute formule φ(v̄) est équivalente

modulo T à une formule universelle. Démonstration. (1) N est un modèle de T ∪ Δ(M) si et seulement si N contient une sous-structure isomorphe à M. Ce n’est vraiment qu’une retraduction de la propriété de modèle complétude.

(2) Soient M un modèle de T, A un sous-ensemble de M, et B la sous-structure de M engendrée par A. Alors tout élément de B est de la forme t(ā), où t(x̄) est un terme du langage et ā un uplet de A. Il s’ensuit que pour tous uplet b̄ de B, et formule θ(ȳ), si t̄(x̄) est un uplet de termes et ā est uplet d’éléments de A tels que b̄ − t̄(ā), alors nous avons, pour c̄ et d̄ les uplets de constantes correspondant à ā et b̄ :

T ∪ Δ(B) ⊢ θ(d̄) ⟺ T ∪ Δ(A) ⊢ θ(t̄(c̄)),

puisque la formule d̄ = t̄(c̄) appartient à Δ(B). Cela entraîne équivalence des deux dernières conditions de (2).

Soit A une sous-ensemble d’un modèle M de T, et φ(v̄) une formule de L et c̄ = (c_{1}, …, c_{n}) un uplet de constantes de L(A)\A. Supposons que T élimine les quantificateurs. Il existe donc une formule sans quantificateurs ψ(v̄) qui est équivalente à φ(v̄) modulo T. Cela entraîne que T ⊢ φ(c̄) ↔ ψ(c̄). Comme l’une de ψ(c̄), ¬ψ(c̄) est dans Δ(A), cela montre que T ∪ Δ(A) prouve l’une de φ(v̄), ¬φ(v̄).

Pour l’autre direction, soit φ(v̄) une formule, et soit Δ l’ensemble des formules sans quantificateurs de L, dont les variables libres sont parmi les éléments de v̄. Par (2.2)(3), il suffit de montrer que si M est un modèle de T, et ā un uplet de M satisfaisant φ, alors il existe une formule sans quantificateurs satisfaite par ā et impliquant φ(v̄) modulo T.

Soit A = {ā}, et soit c̄ le uplet de constantes de L(A) correspondant à ā. Par hypothèse, T ∪ Δ(A) est complète, et il existe donc une formule ψ(v̄) ∈ Delta, telle que T ∪ {ψ(c̄)} ⊢ φ(c̄). Puisque les éléments de c̄ ne sont pas dans L, nous avons donc

T ⊢ ∀v̄ (ψ(v̄) → φ(v̄)).

(3) Soit M_{0} ⊂ M_{1} ⊂ ⋯ une chaîne (infinie) de modèles de T. Comme T est modèlecomplète, nous avons M_{i} ≺ M_{i+1} pour tout i.

(4) Supposons d’abord que T est modèle-complète, soient Δ l’ensemble des formules existentielles et φ(v̄) une formule. Nous voulons montrer qu’il existe un élément de Δ qui est équivalent à φ(v̄) modulo T. Par (2.2)(3), il suffit de montrer que pour tous M modèle de T et uplet āde M satisfaisant φ(v̄) il existe une formule de Δ satisfaite par ā et impliquant φ(v̄) modulo T. On raisonne comme dans (2), et on obtient des uplets c̄ ⊆ d̄ de constantes de L(M) \ L, avec c̄ interprété par ā, et une formule sans quantificateurs θ(w̄) tels que

T ∪ θ(d̄) ⊢ φ(c̄).

Nous avons alors :

T ⊢ ∀w̄ [θ(w̄) → φ(v̄)],

et si l’on écrit w̄ = (v̄, ū), alors

T ⊢ ∀v̄ [∃ū θ(v̄, ū) → φ(v̄)].

La formule ψ(v̄) = ∃ū θ(v̄, ū) est dans Δ.

L’autre direction est plus facile : soient M ⊆ N des modèles de T, et nous voulons montrer que N est un modèle de Diag(M). Soit φ(v̄) ∈ L, telle que φ(c̄) ∈ Diag(M). Par hypothèse il existe une formule existentielle ψ(v̄) qui est équivalent à φ(v̄) modulo T, Nous avons donc M ⊧ ψ(c̄). Comme N contient M et ψ(v̄) est existentielle, nous avons N ⊧ ψ(c̄), et comme N est un modèle de T, cela entraîne que N ⊧ φ(c̄).

(2.8) Remarque. Une théorie modèle-complète ou ayant l’élimination des quantificateurs n’est pas nécéssairement complète. Par exemple nous prouverons que la théorie des corps algébriquement clos élimine les quantificateurs dans la langage {+, −, cdot, 0, 1} ; cependant, elle n’est pas complète : pour la compléter il faut spécifier la caractéristique du corps. Par exemple l’énoncé 1 + 1 = 0 implique que la caractéristique est 2.

(2.9) Remarque 2. Rappelons que si M ⊆ N sont des L-structures, on dit que M est existentiellement clos dans N, noté M ≺_{1} N, si les L(M)-structures M et N satisfont les mêmes énoncés existentiels de L(M).

Soit T une théorie (consistante). Pour montrer que T est modèle-complète, il suffit alors de montrer la choses suivante : Soient M ⊆ N des modèles deT. Alors M est existentiellement clos dans N.

La nécéssité de cette condition est claire. Montrons maintenant qu’elle est suffisante. Nous avons besoin d’un sous-lemme : Sous-lemme. Si M ≺_{1} N alors il existe une extension élémentaire M_{1} de M qui contient N (comme sous-structure).

Démonstration. Il suffit de montrer que Diag(M) ∪ Δ(N) est consistant. Sinon, il y aurait θ(d̄) ∈ Δ(N) telle que Diag(M) ⊢ ¬θ(d̄). Ecrivons d̄ = (c̄_{1}, c̄_{2}), où les éléments de c̄_{1} correspondent à des éléments de M, et ceux de c̄_{2} à des éléments de N \ M. Nous avons alors

Diag(M) ⊢ ∀v̄_{2} ¬θ(c̄_{1}, v̄_{2})
N ⊧⊢ ∃v̄_{2} θ(c̄_{1}, v̄_{2}).

Comme M ≺_{1} N, nous obtenons une contradiction.

Soient M ⊆ N des modèles de T. Par le sous-lemme, N est contenu dans une extension élémentaire M_{1} de M. Par le sous-lemme appliqué maintenant aux modèles N ⊆ M_{1} de T, il existe une extension élémentaire N_{1} de N contenant M_{1}. Raisonnant ainsi, on construit une chaîne de modèles de T

M_{0} = M ⊆ N_{0} = N ⊆ M_{1} ⊆ ⋯ ⊆ M_{i} ⊆ N_{i} ⊆ N_{i+1} ⊆ ⋯

telle que M_{i} ≺ M_{i+1} et N_{i} ≺ N_{i+1} pour tout i ∈ N. Soit M_{ω} = ⋃_{i∈N} M_{i} = ⋃_{i∈N} N_{i}. Alors M_{ω} est une extension élémentaire de chacun des M_{i} et N_{i}, et en particulier est une extension élémentaire de M et de N. Comme M ⊆ N, on en déduit que M ≺ N.

(2.10) Remarque 3. Rappelons que T_{∀} dénote l’ensemble des énoncés universels qui sont conséquence de T, et que tout modèle de T_{∀} se plonge dans un modèle de T. Si T est modèle complète, alors les modèles de T sont exactement les modèles de T_{∀} qui sont existentiellement clos dans tout modèle de T_{∀}. En effet, tout modèle de T_{∀} se plonge dans un modèle de T.

Cette caractérisation des théories modèles complètes est utile quand on a une théorie universelle T_{0}, et on veut trouver une théorie modèle-complète la contenant.

(2.11) Proposition. Soit T une théorie consistante. Alors T élimine les quantificateurs si et seulement si, pour tous modèles M et N de T contenant A comme sous-structure, et pour toute formule sans quantificateurs ψ(x̄, y) et uplet ā dans A, nous avons :

M ⊧ ∃y ψ(ā, y) ⟺ N ⊧ ∃y ψ(ā, y).

Démonstration. Notre hypothèse dit en fait que si ψ(x̄, y) est de la forme indiquée et c̄ est un uplet de constantes de L(A) \ L, alors T ∪ Δ(A) ⊢ ∃y ψ(c̄, y) ou bien T ∪ Δ(A) ⊢ ∀y ¬ψ(c̄, y). Ce qui entraîne donc (puisque c’est vrai pour toute sous-structure d’un modèle de T, et par un raisonnement maintes fois utilisé) qu’il existe une formule sans quantificateurs θ(x̄) telle que

T ⊢ ∀x̄(θ(x̄) ↔ ∃y ψ(x̄, y).

En utilisant une induction sur le nombre de quantificateurs d’une formule écrite sousforme prénexe, on montre que T élimine les quantificateurs.

3. Va-et-vient

(3.1) Définition. Soient M et N des L-structures, et I une famille d’isomorphismes partiels entre M et N. Nous dirons que I a la propriété du va-et-vient si elle est non vide et satisfait aux conditions suivantes:

(a) (Le VA) Si f ∈ I et a ∈ M, alors il existe g ∈ I prolongeant f et ayant a dans son domaine.

(b) (Le VIENT) Si f ∈ I et b ∈ N alors il existe g ∈ I prolongeant f et ayant b dans son image.

(3.2) Théorème. Soient M et N des L-structures. Supposons qu’il existe une famille I d’isomorphismes partiels entre M et N et ayant la propriété du va-et-vient. Alors M ≡ N. De plus, chaque f ∈ I est un isomorphisme élémentaire, et donc, si ā est un uplet du domaine de f, alors tp_{M}(ā) = tp_{N}(f(ā)). Démonstration. Nous allons montrer, par induction sur la complexité des formules (écrites sous forme prénexe), que les éléments de I sont des isomorphismes élémentaires, c’est à dire que pour toute formule φ(x_{1}, …, x_{n}) ∈ L (∗) Si f ∈ I et a_{1}, …, a_{n} ∈ dom(f), alors pour toute formule φ(x_{1}, …, x_{n}) ∈ L

M ⊧ φ(a_{1}, …, a_{n}) ⟺ N ⊧ φ(f(a_{1}), …, f(a_{n})).

Pour les formules sans quantificateurs, c’est par définition des isomorphismes partiels. Supposons que φ(x_{1}, …, x_{n}) = ∃y ψ(x_{1}, …, x_{n}, y), et que la formule ψ(x_{1}, …, x_{n}, y) satisfasse (∗). Soit f ∈ I, et a_{1}, …, a_{n} ∈ dom(f). Il y a deux cas à considérer: Cas 1. M ⊧ φ(a_{1}, …, a_{n}).

Soit a ∈ M tel que M ⊧ ψ(a_{1}, …, a_{n}, a). Par la propriété du va, il existe g prolongeant f et ayant a dans son domaine. Par hypothèse d’induction, N ⊧ ψ(g(a_{1}), …, g(a_{n}), g(a)), et donc (comme f(a_{i}) = g(a_{i})), N ⊧ ∃x ψ(f(a_{1}), …, f(a_{n}), x). Cela prouve que N ⊧ φ(f(a_{1}), …, f(a_{n})). Cas 2. M ⊧ ¬φ(a_{1}, …, a_{n}).

Dans ce cas, pour tout a ∈ M, nous avons M ⊧ ¬ψ(a_{1}, …, a_{n}, a). Supposons que cependant N ⊧ φ(f(a_{1}), …, f(a_{n})). Il existe donc b ∈ N tel que N ⊧ ψ(f(a_{1}), …, f(a_{n}), b). Appliquant maintenant la propriété du vient, et raisonnant comme dans le cas 1, nous obtenons une contradiction. Donc N ⊧ ¬φ(f(a_{1}), …, f(a_{n})), ce qui termine la preuve que la formule φ(x_{1}, …, x_{n}) satisfait (∗).

Nous avons donc prouvé que les éléments de I sont des isomorphismes élémentaires. Soit f ∈ I, et φ un énoncé. Comme f est élémentaire, nous avons M ⊧ φ si et seulement si N ⊧ φ, et donc M ≡ N.

(3.3) Remarque/Théorème. Supposons que M et N soient des structures dénombrables, et qu’il existe une famille I d’isomorphismes partiels entre M et N ayant la propriété du va-et-vient. Alors M ≃ N. Démonstration. Exercice.

(3.4) L’existence d’une famille d’isomorphismes partiels entre deux L-structures M et N ayant la propriété du va-et-vient est plus forte que la simple équivalence élémentaire de M et N. Par exemple si M ≺ N et M ≠ N, alors les L(M)-structures M et N sont élémentairement équivalentes. Cependant les seuls isomorphismes partiels entre M et N sont des restrictions de l’inclusion M ⊂ N. Il n’y a donc pas de famille d’isomorphismes partiels entre M et N ayant la propriété du va-et-vient.

Nous montrerons plus tard que si M ≡ N, alors il existe des extensions élémentaires M^{∗} de M et N^{∗} de N et une famille d’isomorphismes partiels entre M^{∗} et N^{∗} et ayant la propriété du va-et-vient. Nous verrons aussi que la technique des va-et-vient fournit des moyens de montrer la complétude d’une théorie, ou bien le fait qu’elle élimine les quantificateurs.

(3.5) Remarque/Proposition. Soit T une théorie, ayant la propriété suivante:

Si M et N sont des modèles de T, alors il existe des extensions élémentaires M^{∗} et N^{∗} de M et N respectivement, et une famille I(M^{∗}, N^{∗}) d’isomorphismes partiels entre M^{∗} et N^{∗} tels que:

(i) Si l’application vide est un isomorphisme partiel, alors I(M^{∗}, N^{∗}) est non vide et a la propriété du va-et-vient.

(ii) Si I(M^{∗}, N^{∗}) est non vide, tout isomorphisme partiel de domaine fini est la restriction d’une fonction de I(M^{∗}, N^{∗}). Alors T élimine les quantificateurs.

Démonstration. Notons d’abord que M et N sont élémentairement équivalents si et seulement si l’isomorphisme vide est un isomorphisme partiel. D’où la nécéssité de la condition (i).

Supposons que T satisfait l’hypothèse de la proposition. Par le corollaire (2.2) appliqué à l’ensemble Δ des formules sans quantificateurs, il suffit de montrer que si M et N sont des modèles de T, et si ā et b̄ sont des uplets de M et N respectivement, tels que b̄ satisfait (dans N) toutes les formules sans quantificateurs satisfaites par ā dans M, alors l’application f qui envoie ā sur b̄ est un isomorphisme partiel élémentaire.

Notons d’abord que f est bien un isomorphisme partiel, car elle préserve les formules sans quantificateurs. Donc l’application vide est un isomorphisme partiel de M sur N, et aussi de donc de toutes extensions élémentaire M^{∗} de M et N^{∗} de N. Soient donc M^{∗}, N^{∗}, et I(M^{∗}, N^{∗}) satisfaisant aux conditions (i) et (ii). Alors f est la restriction d’une fonction g de I(M^{∗}, N^{∗}). Puisque I(M^{∗}, N^{∗}) a la propriété du va-et-vient, g est un isomorphisme partiel élémentaire entre M^{∗} et N^{∗}. Puisque M ≺ M^{∗} et N ≺ N^{∗}, et par définition d’un isomorphisme partiel élémentaire, pour toute formule φ(x̄) de L nous avons donc

M ⊧ φ(ā) ⟺ N ⊧ φ(b̄).

Remarque. Nous montrerons plus tard que toute théorie T éliminant les quantificateurs satisfait l’hypothèse de cette proposition.

(3.6) Exemple 1 - Les ordres denses sans extrémités. Vous avez montré, en cours fondamental, que la théorie T_{od} des ordres denses sans extrémités est ℵ_{0}-catégorique, en construisant un isomorphisme entre deux modèles dénombrables quelconques de votre théorie. Votre preuve montre aussi la chose suivante:

Soient M et N des modèles de T_{od}, et soit I(M, N) la famille des isomorphismes partiels entre M et N ayant domaine fini. Alors I(M, N) a la propriété du va-et-vient.

En effet, soit f ∈ I(M, N), et écrivons dom(f) = {a_{1}, …, a_{n}}, où a_{1} < a_{2} < ⋯ < a_{n}, et b_{i} = f(a_{i}) pour i = 1, …, n. Soit a ∈ M. Si a ∈ dom(f), il n’y a rien a prouver. Supposons donc que a ∉ dom(f). Alors soit a ∈ (∞, a_{1}[, ou bien il existe un unique i < n tel que a ∈]a_{i}, a_{i+1}[, ou bien a ∈]a_{n}, +∞). Raisonnant cas par cas, on montre que f s’étend à un isomorphisme partiel ayant a dans son domaine. Corollaire. La théorie des ordres denses sans extrémités élimine les quantificateurs dans le langage {<}.

(3.7) Exercice. Soit maintenant T la théorie des ordres denses avec extrémités, dans le langage {<}. Montrez que cette théorie est complète (et en fait ℵ_{0}-catégorique). Que faut-il ajouter au langage, et quels axiomes faut-il ajouter à T, pour avoir l’élimination des quantificateurs?

(3.8) Exemple 2 - Les groupes abéliens divisibles sans torsion. Cette fois-ci nous considérons la théorie des groupes abéliens divisibles sans torsion, dans le langage {+, −, 0}. Vous avez montré que cette théorie est κ-catégorique pour tout cardinal non dénombrable κ. En fait votre preuve a montré que si M et N sont des groupes abéliens divisibles sans torsion non dénombrables, alors la famille I(M, N) des isomorphismes partiels de domaine dénombrable a la propriété du va-et-vient. Comme tout modèle a une extension élémentaire non-dénombrable, cela montre aussi que cette théorie admet l’élimination des quantificateurs.

(3.9) Exemple 3 - La théorie des Z-groupes. Maintenant, nous allons montrer qu’une certaine théorie T est complète. Nous exhiberons plus tard un langage dans lequel elle élimine les quantificateurs. Pour nous simplifier la vie, nous allons ajouter au langage une constante superflue, nous verrons plus tard comment on peut s’en dispenser.

Soit L the langage {+, −, 0.1} des groupes abéliens augmenté par la constante 1. Considérons la théorie T axiomatisée par les axiomes suivants:

- groupe abélien sans torsion, avec 0 l’identité.

- pour tout n > 1 l’énoncé: ∀x nx ≠ 1.

- pour tout n > 1 l’énoncé: ∀x ∃y ⋁_{i=0}^{n−1} ny = x − i.

Un petit mot sur la notation. Ici, nx est une abréviation pour le terme x + x + ⋯ + x (n fois), et i est une abreviation pour le terme 1 + 1 + ⋯ + 1 (i fois). Certainement (Z, +, −, 0, 1) est un modèle de la théorie T, et nous l’appelerons le modèle standard de T. Il se plonge de manière unique dans tout modèle de T. Nous allons étudier les modèles non-standards de T. Nous aurons besoin de quelques résultats simples d’algèbre, qui sont rappelés en fin de chapître (voir (3.12)).

Fixons un modèle M non standard de T, nous noterons Z sa sous-structure engendrée par 1. Pour m > 1, on note

mM = {ma | a ∈ M}.

C’est un sous-groupe de M, et l’on considère

D = D(M) = ⋂_{n>1} nM.

Assertion 1. D est divisible.

Soit a ∈ D, et m > 1 un entier. Nous voulons montrer qu’il existe b ∈ D tel que mb = a. Par définition de D, nous savons qu’il existe b ∈ M tel que mb = a, et nous voulons montrer que cet élément b est dans D. Notons que comme M est sans torsion, l’élément b est uniquement défini par mb = a (si mb = mc alors m(b − c) = 0, et b = c). Il faut montrer que b ∈ ⋂_{n} nM. Soit donc n > 1, et soit c ∈ M tel que a = mnc. Alors m(nc) = a = mb, et donc b = nc, ce qui montre que b ∈ nM. Puisque c’est vrai pour tout n, cela montre que b ∈ D. Attention. L’hypothèse que M est sans torsion est essentielle.

Nous allons maintenant regarder le groupe abélien M/D. Notons que c’est aussi une L-structure, et que c’est un modèle de T. Nous allons construire un plongement M/D → Ẑ (voir (3.13) pour la définition de Ẑ et ses propriétés).

On note 1 l’élément de Ẑ défini par la suite infinie constante (1)_{n≥2}, et 0 l’élément défini par la suite infinie (0)_{n≥2}. Nous allons définir un homomorphisme g : M → Ẑ, avec Ker(g) = D. Soit a ∈ M. Pour chaque n ≥ 2, il existe un unique élément i ∈ {0, 1, …, n − 1} tel que a − i est divisible par n, et nous notons a_{n} cet élément. Nous définissons alors

g(a) = (a_{n})_{n≥2}.

On vérifie aisément que g est un homomorphisme de groupe, et que g(1) = 1, Ker(g) = D.

Soit a = (a_{n})_{n≥2} ∈ Ẑ. Alors “g(x) = a” est expressible par une collection de formules, plus précisément par la collection suivante:

p_{a}(x) = {∃y ny = (a − a_{n}) | n ≥ 2}.

Notons que chaque p_{a}(x) est réalisable dans une extension élémentaire de M: en effet, p_{a}(x) est finiment satisfaisable dans M, et donc il existe une extension élémentaire M^{∗} de M, et un élément b ∈ M^{∗} qui satisfait toutes les formules de M^{∗} (b est appelé une réalisation du type partiel p_{a}(x), nous étudierons les types partiels plus en détail dans le chapître suivant). Notons que si M ≺ M^{∗}, alors l’homomorphisme g s’étend uniquement en un homomorphisme g : M^{∗} → Ẑ, et que nous avons g(b) = a.

Soient M et N des modèles de T, et M^{∗}, N^{∗} des extensions élémentaires de M et de N, de cardinalité κ > 2^{ℵ_{0}}, et tels que pour tout a ∈ Ẑ, M^{∗} et N^{∗} contiennent des réalisations de p_{a}(x). Assertion 2. M^{∗} ≃ N^{∗}.

Par (3.12), nous savons que M^{∗} = D(M^{∗}) ⊕ A, avec 1 ∈ A, et que N^{∗} = D(M^{∗}) ⊕ B, avec 1 ∈ B. Par hypothèse, tous les types p_{a}(x) sont réalisés dans A et dans B, ce qui entraîne que (A, 1) ≃ (Ẑ, 1), et (B, 1) ≃ (Ẑ, 1). Il existe donc un isomorphisme h entre A et B, qui envoie 1 sur 1.

De plus, comme |A| = |B| = 2^{ℵ_{0}} < κ, nous avons |D(M^{∗})| = |D(N^{∗})| = κ, et les groupes abéliens divisibles sans torsion D(M^{∗}) et D(N^{∗}) sont donc isomorphes. Cela montre l’assertion.

Nous avons montré que deux modèles quelconques de T ont des extensions élémentaires isomorphes: la theórie T est donc complète.

(3.10) Remarques et commentaires. Nous arrêtons pour le moment l’étude de cet exemple. Nous verrons plus tard que:

(1) Les 1-types complets (c’est à dire les ensembles de formules à 1-variable libre, consistants avec T, et maximaux pour ces deux propriétés) sont (presque) décrits par les ensembles p_{a}(x). Plus précisément:

– Si a ∈ Ẑ, a ∉ Z, alors le type p_{a}(x) est complet.

– Si a ∈ Z, alors le type p_{a}(x) a deux complétions, qui sont obtenues en rajoutant

à p_{a}(x) la formule x = a ou bien sa négation.

(2) Si l’on rajoute à L des prédicats binaires ≡_{n}, n ≥ 2, et à T les énoncés

x ≡_{n} y ⟺ ∃z nz = (x − y),

pour obtenir une nouvelle théorie T′, alors T′ élimine les quantificateurs dans ce nouveau langage.

(3) La constante 1 peut en fait être supprimée. Pour chaque n ≥ 2, on remplace les deux énoncés de T dépendant de n par un seul énoncé qui exprime que M/nM a exactement n éléments, et en fait est cyclique d’ordre n:

∃x ∀y ( ⋀_{i=1}^{n−1} ny ≠ ix) ∧ ∃z ⋁_{i=0}^{n−1}(y − ix) = nz.  (n)

On aura un théorème d’élimination des quantificateurs similaire.

(4) Notons que Q^{(κ)} ⊕ Z est aussi un modèle de T, de cardinalité κ, mais il ne réalise pas tous les types p_{a}(x), a ∈ Z.

(3.11) Exemple 4 - Corps algébriquement clos. Soit L = {+, −, ·, 0, 1}, et T la théorie suivante:

– T contient les axiomes de corps, avec 0 l’élement neutre de l’addition, et 1 celui de la multiplication. 0 ≠ 1.

– Pour chaque n > 1, T contient l’énoncé: ∀x_{1}, …, x_{n} ∃y y^{n} + x_{1}y^{n−1} + ⋯ + x_{n−1}y + x_{n} = 0. Nous allons montrer que cette théorie élimine les quantificateurs. Elle n’est cependant

pas complète, puisqu’elle ne dit rien sur la caractéristique. Notons que le fait que 1 soit dans le langage est essentiel: c’est grâce à lui que nous pouvons spécifier la caractéristique sans utiliser de quantificateurs.

Soient K_{1} et K_{2} des corps algébriquement clos. Nous voulons appliquer le critère donné par (3.5). Passant à des extensions élémentaires nous pouvons donc supposer que K_{1} et K_{2} ne sont pas dénombrables.

Soit I(K_{1}, K_{2}) la famille d’isomorphismes partiels de domaine dénombrable. Nous allons montrer que si elle n’est pas vide, alors elle a la propriété du va-et-vient.

Premièrement, notons qu’elle n’est pas vide si et seulement si les sous-corps premiers de K_{1} et K_{2} sont isomorphes (le sous-corps premier d’un corps est le plus petit sous-corps de ce corps : c’est F_{p} si la caractéristique est p > 0, ou Q si la caractéristique est nulle).

Soient f ∈ I(K_{1}, K_{2}), et a ∈ K_{1}. Observons que si A_{1} dénote le sous-corps de K_{1} engendré par dom(f), alors f s’étend uniquement en un isomorphisme défini sur A_{1}, et avec image le sous-corps A_{2} de K_{2} engendré par Im(f). De plus, A_{1} et A_{2} sont aussi dénombrables. Nous pouvons donc supposer que dom(f) = A_{1}, Im(f) = A_{2}. Définissons

I(a/A_{1}) = {g(X) ∈ A_{1}[X] | g(a) = 0}.

C’est un idéal premier de A_{1}[X] (si un produit de deux polynomes s’annule en a, alors l’un des deux s’annule). Comme A_{1} est un corps, l’anneau A_{1}[X] est un anneau euclidien, ce qui entraîne que I(a/A_{1}) est un idéal principal de A_{1}[X] (c’est à dire qu’il existe g(X) ∈ I(a/A_{1}) qui divise tous les éléments de I(a/A_{1})), et que I(a/A_{1}) est maximal (car premier).

Notons aussi que f s’étend en un isomorphisme A_{1}[X] → A_{2}[X], obtenu en posant f(X) = X. Nous avons maintenant deux cas à considérer. Cas 1. I(a/A_{1}) = (0).

Cela veut dire que a est transcendental sur A_{1}. Soit A′_{2} l’ensemble des éléments de K_{1} qui sont algébriques sur A_{2}. Nous savons que chaque élément de A′_{2} satisfait une équation (non triviale) à coefficient dans A_{2}; d’autre part, un polynôme en une variable de degré n a au plus n racines. Cela entraîne que A′_{2} est dénombrable (car A_{2}[X] est dénombrable). Nos hypothèses de cardinalité entraînent qu’il existe b ∈ K_{2}, b ∉ A′_{2}. Comme b ∉ A′_{2}, nous avons I(b/A′_{2}) = (0) et nous prolongeons f en envoyant a sur b. Cas 2. I(a/A_{1}) ≠ (0), c’est à dire g(X) ≠ 0.

Soit b ∈ K_{2} tel que f(g)(b) = 0. L’homomorphisme h : A_{1}[X] → A_{2}[b] défini par h(s(X)) = f(s)(b), s’annule sur I(a/A_{1}). Mais I(a/A_{1}) est maximal, et donc Ker(h) = I(a/A_{1}). D’autre part, par définition, I(a/A_{1}) est le noyau de l’homomorphisme A_{1}[X] → A_{1}[a] qui est l’identité sur A_{1} et envoie X sur a. Cela montre que nous pouvons prolonger f à A_{1}[a] = A_{1}(a) en posant f(a) = b.

Nous avons prouvé que notre famille a la propriété du va. Par symétrie elle a aussi celle du vient.

Résultats d’algèbre

(3.12) Lemme. Soient D ⊆ M des groupes abéliens, et supposons que D est divisible. Alors il existe un sous-groupe A de M tel que M = D ⊕ A, ce qui veut dire:

D ∩ A = (0)  et  D + A = M.

(Rappel: D + A = {d + a | d ∈ D, a ∈ A}. La condition A ∩ D = (0) implique que tout élément de M s’écrit de façon unique comme la somme d’un élément de D et d’un élément de A.)

De plus, si B est un sous-groupe de M tel que B ∩ D = (0), alors on peut trouver A contenant B. Démonstration. Il est équivalent de montrer qu’il existe un homomorphisme de groupe f : M → D, qui est l’identité sur D, et dont le noyau contient B. En effet, si un tel A existe, alors la projection sur D satisfait bien cette condition.

Si un tel f existe, on pose A = Ker(f). Certainement, D ∩ A = (0) puisque f est l’identité sur D. Si a ∈ M, alors a = f(a) + (a − f(a)), et f(a) ∈ D; on a f(a − f(a)) = f(a) − f(f(a)) = f(a) − f(a) = 0 (nous avons utilisé d’abord que f est un homomorphisme de groupe, puis que f est l’identité sur D et que f(a) ∈ D). Cela montre que M = D ⊕ Ker(f).

Soit F la famille de tous les homomorphismes f : C → D tels que le domaine C de f est un sous-groupe de M contenant D et B, f est l’identité sur D, et est 0 sur B. Cette famille est non-vide : par hypothèse D + B = D ⊕ B puisque D ∩ B = (0), et l’homomorphisme f_{0} : D ⊕ B → D qui est l’identité sur D et envoie B sur 0 est dans F. D’autre part, si nous ordonnons F de la façon naturelle: f ≤ g si et seulement si g étend f, alors la famille F est inductive: toute chaîne croissante d’éléments de F a un sup.

Soit f ∈ F un élément maximal (qui existe par le Lemme de Zorn), de domaine C. Nous allons montrer que si a ∈ M, alors f s’étend à une fonction de F avec a dans son domaine, ce qui montrera que C = M (par maximalité de f). Soit donc a ∈ M. Cas 1. Pour tout n > 0, na ∉ C. Alors le sous-groupe ⟨a⟩ de M engendré par a est isomorphe à Z, et ⟨a⟩ ∩ C = (0). Nous pouvons donc définir f(a) = 0, et étendre f à C + ⟨a⟩, en posant f′(c + na) = f(c), pour c ∈ C, n ∈ Z. Cas 2. Il existe n ∈ Z, n ≠ 0, tel que na ∈ C.

Si a ∈ C, nous n’avons rien à faire. Sinon, soit I = {n ∈ Z | na ∈ C}. C’est un idéal de Z, et donc est de la forme mZ, pour un m ∈ N, et m > 1 (parce que a ∉ C). Soit b ∈ C tel que ma = b. Puisque D est divisible, il existe c ∈ D tel que mc = f(b). On pose alors f′(d + na) = f(d) + nc, pour d ∈ C et n ∈ Z.

Il faut vérifier que f′ est bien définie. Supposons que l’élément d + na s’écrive aussi d′ + n′a, avec d′ ∈ C et n′ ∈ Z. On a alors

(d − d′) = (n − n′)a,

ce qui entraîne que n − n′ ∈ I (puisque d − d′ ∈ C), c’est à dire que n − n′ = mj pour un j ∈ Z. Donc d − d′ = mja = jb, ce qui implique f(d) = f(d′) + jf(b). Par définition f′(na) = nc = (n′ + mj)c = n′ + jf(b), ce qui montre que f′ est bien définie. Il est clair que f′ prolonge f.

(3.13) Le groupe Ẑ. On définit Ẑ comme l’ensemble des suites (a_{n})_{n≥2} satisfaisant les deux conditions suivantes:

(i) Pour tout n ≥ 2, a_{n} ∈ {0, 1, …, n − 1}. (ii) Si m divise n alors a_{n} ≡ a_{m} (m).

On peut donc identifier Ẑ à un sous-ensemble de ∏_{n≥2} Z/nZ, en identifiant Z/nZ avec l’ensemble {0, 1, …, n − 1}. Ce produit est un groupe, si on définit

(a_{n})_{n} + (b_{n})_{n} = (c_{n})_{n} ⟺ a_{n} + b_{n} ≡ c_{n} (n) pour tout n ≥ 2.

On définit la loi de groupe sur Ẑ comme étant la restriction de la loi de groupe du produit à Ẑ. On vérifie aisément que c’est bien un sous-groupe.

On peut aussi définir Ẑ comme étant la limite inverse des groupes Z/nZ, voir cidessous (3.17).

(3.14) Produits de L-structures. Soit L un langage, I un ensemble, et (A_{i}), i ∈ I, une famille de L-structures indexée par I. La L-structure ∏_{i∈I} A_{i} est définie de la façon suivante. Son univers est le produit cartésien des A_{i}, i ∈ I. Si c ∈ L est un symbole de constante, l’interprétation de c dans le produit est l’élément (c_{i})_{i}, où chaque c_{i} est l’interprétation de c dans A_{i}.

Si R est une relation n-aire du langage, et a^{1} = (a_{i}^{1})_{i}, …, a^{n} = (a_{i}^{n})_{i} sont des éléments du produit, alors

R(a^{1}, …, a^{n}) ⟺ A_{i} ⊧ R(a_{i}^{1}, …, a_{i}^{n}) pour tout i ∈ I.

Si f est une fonction n-aire du langage, et a^{1}, …, a^{n} sont comme ci-dessus, on définit

f(a^{1}, …, a^{n}) = (f(a_{i}^{1}, …, a_{i}^{n}))_{i}.

On peut vérifier que si φ(x̄) est une formule atomique, et ā ∈ ∏_{i} A_{i}, alors ∏_{i} A_{i} ⊧ φ(ā) ⟺ A_{i} ⊧ φ(ā_{i}) pour tout i ∈ I. Cependant, cela devient faux si l’on a des négations: la formule x ≠ c fournit un contre-exemple immédiat. Même les disjonctions posent problème, par exemple la formule R(x) ∨ S(x).

Notons aussi que chacune des projections π_{j} : ∏_{i∈I} A_{i} → A_{j} est un homomorphisme.

(3.15) Somme directe de groupes. Nous avons vu plus haut quand deux sous-groupes d’un groupe sont en somme directe. En fait on peut définir la somme directe de groupes directement.

Soient A_{i}, i ∈ I, une famille de groupes. Ici, nous écrirons la loi de groupe multiplicativement, c’est à dire que le langage est {·,^{−1}, 1}. La notation additive est réservée aux groupes abéliens (et le langage est alors {+, −, 0}). On définit ⨁_{i∈I} A_{i} comme étant le sous-groupe de ∏_{i∈I} A_{i} consistant des éléments (a_{i})_{i} tels que {i ∈ I | a_{i} ≠ 1} est fini. Notons que c’est bien un sous-groupe: il contient 1, et est clos par inverse et par produit.

En notation additive, cela devient:

⨁_{i∈I} A_{i} = {(a_{i})_{i} ∈ ∏_{i∈I} A_{i} | {i | a_{i} = 0} est fini }.

Par exemple, notre groupe Q^{(κ)} ⊕ Z est tout simplement le sous groupe de Q^{κ} × Z avec univers

{((a_{i})_{i<κ}, b) ∈ Q^{κ} × Z | {i | a_{i} ≠ 0} est fini }.

Il faut aussi remarquer que quand I est fini, alors le produit et la somme directe coïncident. Cela est faux bien sûr quand I est infini. Si κ est infini, notons aussi que la cardinalité de Q^{κ} égale 2^{κ}, alors que celle de Q^{(κ)} est seulement κ.

(3.16) Limites projectives de L-structures. Aussi appelées limites inverses. A partir d’un certain data, nous allons construire une L-structure. Le data (appelé système inverse ou projectif de L-structures) Nous avons un ensemble I avec un ordre partiel < (c’est à dire une relation binaire, antisymétrique et transitive; pas nécéssairement un ordre total). Pour chaque i ∈ I, nous avons une L-structure A_{i}, et si i < j, nous avons un L-homomorphisme f_{i,j} : A_{i} → A_{j}. Les homomorphismes f_{i,j} satisfont aux conditions de compatibilité suivantes:

Si i < j < k, alors f_{i,k} = f_{j,k}f_{i,j}.

A partir de ce data, nous définissons une L-structure A = lim_{←}A_{i}, appelée la limite inverse ou projective du système (A_{i}, f_{i,j} | i < j ∈ I), de la façon suivante:

L’univers de A est l’ensemble des éléments (a_{i})_{i} ∈ ∏_{i∈I} A_{i} satisfaisant

Pour tout i < j ∈ I, f_{i,j}(a_{i}) = a_{j}.

La L-structure sur A est celle induite par la L-structure de ∏_{i∈I} A_{i}. On vérifie que A est bien une sous-structure du produit (c’est à dire contient les interprétations des constantes et est close pour les fonctions du langage). Attention. Si les applications f_{i,j} ne sont pas surjectives, et si le langage ne contient aucun symboles de constante, il se peut très bien que A soit vide!!

(3.17) Retour sur Ẑ. Soit I l’ensemble des entiers ≥ 2, et ≤ la relation “être divisible par”. Pour n ∈ I, soit A_{n} = Z/nZ. Donc si m divise n, alors nous avons une application f_{n,m} : Z/mZ → Z/nZ. Le système (Z/nZ, f_{n,m} | n ≤ m) satisfait aux conditions de compatibilités. On vérifie que Ẑ = lim_{←}Z/nZ.

(3.18) Propriétés universelles des limites projectives. Soient (A_{i}, f_{i,j} | i ≤ k} un système projectif de L-structures, et A la L-structure lim_{←} A_{i} définie ci-dessus. Notons par π_{j} : A → A_{j} la restriction à A de la projection ∏_{i∈I} A_{i} → A_{j}. Supposons que nous ayons une L-structure B, et pour chaque i ∈ I un L-homomorphisme g_{i} : B → A_{i}, satisfaisant

si i < j, alors f_{i,j}g_{i} = g_{j}.

Alors il existe un unique homomorphisme g : B → A, qui satisfait π_{i}g = g_{i} pour tout i ∈ I. En effet on pose tout simplement g(b) = (g_{i}(b))_{i}.

(3.19) Groupes profinis. Comme leur nom l’indique ce sont des limites inverses de groupes finis. Mais ils ont un peu plus de structure: ce sont aussi des groupes topologiques, c’est à dire qu’ils ont une topologie, pour laquelle les opérations de groupe (multiplication et inverse) sont continues.

Nous avons donc un groupe G, qui est une limite inverse de groupes finis (G_{i}, f_{i,j} | i < j), et est en particulier un sous-groupe de ∏_{i∈I} G_{i}. On donne à chacun des groupes finis G_{i} la topologie discrète, au produit des G_{i} la topologie produit (Rappelons que les ouverts de base de ∏_{i∈I} G_{i} sont de la forme ∏_{i∈I} U_{i}, où chaque U_{i} est un ouvert de G_{i}, et l’ensemble {i ∈ I | U_{i} ≠ G_{i}} est fini). Alors G est en fait un sous-groupe fermé de ∏_{i∈I} G_{i}. Comme un produit d’espaces compacts est compact, et qu’un fermé d’un compact est compact (Théorème de Tychonoff), cela entraîne que G est compact.

Les groupes profinis ont été introduits pour étudier la structure des extensions de Galois infinies d’un corps K. Soient K un corps, et K^{s} sa clôture séparable (c’est à dire le sous corps de la clôture algébrique K̃ de K consistant des éléments qui sont racine simple d’un polynome à coefficients dans K). On peut alors écrire K^{s} = ⋃{L | L extension de Galois finie de K}. Si L ⊂ M sont des extensions de Galois finies de K, on définit π_{M,L} : Gal(M/K) → Gal(L/K) comme étant l’application restriction.

On définit alors Gal(K^{s}/K) = lim_{←}(Gal(L/K), π_{N,M}). Notons que ce groupe coïncide avec Aut(K^{s}/K), mais que nous avons l’information topologique en plus. Les ouverts de base de cette topologie sont de la forme

U_{σ,L} = {τ ∈ Aut(K^{s}/K) | τ|_{L} = σ|_{L}},

pour L une extension de Galois finie de K et σ ∈ Aut(K^{s}/K).

4. Types, espaces de types.

(4.1) Définitions. Fixons une théorie T (consistante) dans un langage L, et soit v̄ un uplet de variables, que nous supposons fini en général.

(1) Soit Σ(v̄) un ensemble de formules du langage, avec variables libres parmi les éléments de v̄, qui contient T et est clos par déductions logiques (si Σ(v̄) ⊢ φ(v̄) alors φ(v̄) ∈ Σ(v̄)). Nous appelons alors Σ(v̄) un type partiel. Les types partiels considérés sont en général des ensembles infinis de formules.

(2) Nous dirons que le type partiel Σ(v̄) est consistant, ou satisfaisable, s’il existe un modèle M de T, et un uplet ā ∈ M de la même longueur que v̄, et qui satisfait toutes les formules de Σ(v̄).

(3) Σ(v̄) est un type complet s’il est consistant, et pour toute formule φ(v̄), nous avons Σ(v̄) ⊢ φ(v̄) ou bien Σ(v̄) ⊢ ¬φ(v̄). Autrement dit, Σ(v̄) est maximal consistant.

(4.2) Remarques. (1) Tout type complet spécifie en particulier une complétion de T.

(2) Nous avons un critère facile de satisfaisabilité d’un type: le type Σ(v̄) est consistant si et seulement si pour tout φ(v̄) ∈ Σ(v̄), T ∪ {∃v̄ φ(v̄)} est consistant.

(3) Si l’on considère maintenant les types du langage L(A), où A ⊂ M ⊧ T, nous parlerons de types au-dessus de A. Nous appellerons aussi les types définis dans la section précédente des types sur ∅.

(4) Les types complets sont en général dénotés par p(v̄), ou q(v̄). Souvent on omet les variables (p, q, etc.).

(4.3) Exemple et définition. Soient M ⊧ T, et ā un n-uplet de M, v̄ un n-uplet de variables. Alors

tp(ā) = tp(ā/∅) = {φ(v̄) ∈ L | M ⊧ φ(ā)}

est un type complet. Nous dirons que ā realise le type complet tp(ā). Remarquons que tp(ā) contient T h(M).

Soit maintenant A ⊂ M. Alors le type de ā sur A (dans M),

tp(ā/A) = {φ(v̄) ∈ L(A) | M ⊧ φ(v̄)},

est un type complet du langage L(A). Nous voyons aussi que tp(ā/A) contient Diag(A).

(4.4) Rappels sur les espaces topologiques. Un espace topologique est un ensemble X donné avec une famille T d’ouverts satisfaisant aux conditions suivantes:

(i) ∅, X ∈ T . (ii) T est close par intersections finies et unions quelconques. Les fermés de X sont les complémentaires des ouverts. La famille des fermés de X contient donc ∅ et X, et est close par unions finies et intersections quelconques. Un voisinage d’un point x ∈ X est un sous-ensemble Y de X contenant un ouvert auquel x appartient. Un ouvert-fermé est un ouvert qui est aussi fermé (et son complémentaire sera aussi ouvert-fermé).

Une base d’ouverts pour la topologie de X est un sous-ensemble U de T tel que pour tout U ∈ T , pour tout x ∈ U, il existe U_{0} ∈ U tel que x ∈ U_{0} et U_{0} ⊂ U.

Si U est une base d’ouverts de T , tout élément de T s’écrira comme une union d’éléments de U.

Soient X et Y des espaces topologiques. Une fonction f : X → Y est continue si pour tout ouvert U de Y, l’ensemble f^{−1}(U) est un ouvert de X. La fonction f est ouverte si pour tout ouvert U de X, l’ensemble f(U) est un ouvert de Y. Finalement, nous dirons que f est un homéomorphisme si f est bijective, continue et ouverte. Notons que si f est un homéomorphisme alors f^{−1} : Y → X est aussi un homéomorphisme.

On notera C(X, Y) l’ensemble des fonctions continues de X dans Y. On considère souvent la droite réelle R munie de la topologie euclidienne (les ouverts de base sont les intervalles ouverts), et on considère alors C(X, R). C’est un anneau (addition et multiplication sont définies point par point: (f + g)(x) = f(x) + g(x)).

Si Y est un sous-ensemble de X, la topologie induite sur Y est la topologie dont les ouverts sont de la forme U ∩ Y, pour U un ouvert de X. En général, les ensembles U ∩ Y ne sont pas des ouverts de X; cependant, si Y est ouvert, alors ils le sont. De même les fermés de Y ne seront en général pas des fermés de X, sauf si Y est un fermé.

x ∈ X est un point isolé de X si {x} est un ouvert de X. Soit A ⊂ X. On dit que x ∈ X est un point d’accumulation de A si tout ouvert U de X contenant x coupe A \ {x}. (Remarques: x peut être un point d’accumulation de A sans y appartenir; un point isolé n’est jamais point d’accumulation).

(4.5) Un espace topologique X est séparé (aussi appelé Hausdorff ou bien T_{2}) si et seulement si

Si x ≠ y ∈ X, il existe des ouverts disjoints U et V, tels que x ∈ U et y ∈ V. Il existe toute une série d’axiomes de séparation: par exemple, l’axiome T_{1} dit que tout singleton est fermé, c’est à dire: si x ≠ y, alors il existe U ∈ T tel que y ∈ U et x ∉ U. Cette propriété est plus faible que T_{2}. Mentionnons aussi les deux propriétés suivantes:

– si F est un fermé ne contenant pas le point x, il existe des ouverts disjoints U et V, avec x ∈ U et F ⊂ V.

– Deux fermés disjoints sont contenus dans des ouverts disjoints.

– Si F est un fermé ne contenant pas le point x, alors il existe une fonction continue f : X → R telle que f s’annule sur F et f(x) = 1.

On dira que l’espace topologique X est compact, s’il est séparé et a la propriété du recouvrement fini, c’est à dire:

Si U_{i}, i ∈ I est une famille d’ouverts de X telle que X = ⋃_{i∈I} U_{i}, alors il existe un sous-ensemble fini J de I tel que X = ⋃_{i∈J} U_{i}. Attention. En anglais, compact est seulement “avoir la propriété du recouvrement fini”. Par exemple, pour eux l’espace topologique X avec la topologie triviale (les seuls ouverts sont ∅ et X) est compact.

Il arrive souvent qu’on parle de propriétés locales d’un espace topologique (localement compact, par exemple). On dit qu’un espave topologique est localement P (où P est une certain propriété) si tout point a un voisinage ayant la propriété P. Par exemple, R n’est pas compact, mais il est localement compact (car tout intervalle fermé borné de R est compact). De même les espaces euclidiens R^{n} sont localement compacts.

(4.6) Exemples de topologies.

Nous avons déjà vu la topologie triviale, et la topologie euclidienne sur R. L’espace {1, 2} dont les ouverts sont ∅, {1, 2} et {1} n’est pas séparé. Le point 1 est isolé, cependant {1} n’est pas fermé.

Si X est un ensemble, on peut aussi lui donner la topologie discrète: tout sousensemble de X est ouvert (et donc fermé). Tous les points de X seront donc des points isolés. Par exemple en général N est muni de la topologie discrète. Il n’est pas compact, mais il est localement compact.

Soit X un espace localement compact. Le compactifié d’Alexandroff de X est l’espace topologique X^{∗} = X ∪ {∞}, dont les ouverts de base sont les ensembles U tels que U est un ouvert de X, ou bien, si ∞ ∈ U, alors X \ U est compact. Notons que X est ouvert dans X^{∗}. Il existe plusieurs façons de plonger un espace X dans un compact, mentionnons aussi la compactification de Stone-Cech de X, notée βX, dont les points correspondent aux idéaux maximaux de C(X, R).

(4.7) Quelques propriétés. Les espaces topologiques compacts satisfont toutes les propriétés de séparation énoncées plus haut. Soit X un espace topologique, et Y un sousensemble de X muni de la topologie induite. Si Y est compact, alors Y est nécéssairement un fermé de X. La réciproque est vrai quand X est compact: un sous-ensemble fermé d’un compact est compact (pour la topologie induite).

Si X est compact, et f : X → Y est une application continue, alors f(X) est compact, et en particulier est fermé. Donc une application continue surjective d’un espace compact dans un espace quelconque est nécéssairement ouverte.

Un espace topologique séparé fini est nécéssairement discret. Un espace topologique compact infini a nécéssairement des points d’accumulation, et donc ne peut être discret.

Les espace Booléens (aussi appelés parfois espaces de Stone) sont des espaces topologiques compacts ayant une base d’ouverts consistant d’ouverts-fermés. On peut montrer que si Y est un fermé de l’espace Booléen X, alors Y est aussi Booléen. De plus, tout ouvertfermé de Y est de la forme Y ∩ U où U est un ouvert-fermé de X (ceci utilise la compacité de Y).

(4.8) Algèbres de Boole. Les algèbres de Boole sont des structures du langage L = {∩, ∪, 0, 1}, où ∩ et ∪ sont des opérations binaires, et auquel on ajoute parfois une autre opération binaire notée \.

L’exemple typique est l’ensemble P(I) des parties d’un ensemble I, où ∩ et ∪ sont les opérations usuelles d’intersection et de réunion, 0 = ∅ et 1 = I. L’opération \ correspond alors à la différence ensembliste: A \ B = {i ∈ A | i ∉ B}.

Les algèbres de Boole sont alors des L-structures satisfaisant les axiomes suivants:

– Les opérations ∪ et ∩ sont commutatives, transitives, et distributives (Pour tous a, b, c: (a ∩ b) ∪ c = (a ∪ c) ∩ (b ∪ c), (a ∪ b) ∩ c = (a ∩ c) ∪ (b ∩ c)).

– Pour tout a: 0 ∩ a = 0, 1 ∩ a = a, 0 ∪ a = a, 1 ∪ a = 1.

– ∀a ∃b (a ∩ b = 0) ∧ (a ∪ b = 1).

– ∀a, a ∩ a = a ∪ a = a.

– ∀a, b, a ∪ (a ∩ b) = a = a ∩ (a ∪ b).

Si l’on ajoute \ au langage, on a de plus les axiomes:

– Pour tous a, b: a\b = a∩(1\b), (1\a)∩(1\b) = 1\(a∪b) et (1\a)∪(1\b) = 1\(a∩b).

– Pour tout a: a ∩ (1 \ a) = 0, a ∪ (1 \ a) = 1.

– ∀a, 1 \ (1 \ a) = a.

On peut définir une relation d’ordre sur une algèbre de Boole B en posant a ⊆ b ⟺ a∩b = a. Notons que réciproquement (si B est une algèbre de Boole, bien sûr) les opérations ∪, ∩, \ sont définissables dans la structure (B, ⊆): on dit que a ∪ b est le “sup” de a et b pour ⊆: a ∪ b = c si et seulement si a ⊆ c, b ⊆ c et pour tout d, (a ⊆ d ∧ b ⊆ d) → c ⊆ d. De même, a ∩ b est l’“inf” de a et de b, 0 est le plus petit élément, 1 est le plus grand.

(4.9) Autre exemple typique. Soit T une théorie dans un langage L′. On définit B(T) comme étant l’ensemble des énoncés de L′ quotientés par la relation d’équivalence “être équivalents modulo T ”. Si je note la classe de φ par [φ], nous posons alors [φ]∩[ψ] = [φ∧ψ], etc. Notons aussi que [φ] ⊆ [ψ] is et seulement si T ⊢ φ → ψ.

De même, si on a un uplet de variable v̄, on peut considérer l’algèbre de Boole des formules avec variables libres v̄ à équivalence modulo T près.

(4.10) Idéaux dans les algèbres de Boole. Un idéal d’une algèbre de Boole B est un sous-ensemble I tel que

– si a, b ∈ I alors a ∪ b ∈ I.

– si a ∈ I, b ∈ B alors a ∩ b ∈ I.

On voit donc en particulier que tout idéal non-vide contient ∅, et qu’un idéal propre ne peut contenir 1. Si I est tel que tout idéal le contenant proprement contient 1, on dira que I est un idéal maximal. On a la propriété suivante (exercice): un idéal I est maximal si et seulement si pour tout a ∈ B, a ∈ I ⟺ (1 \ a) ∉ I. (Ce qui est important n’est pas qu’il ne puisse contenir a et 1 \ a, c’est qu’il soit obligé de contenir l’un des deux).

(4.11) Anneaux de Boole. Certains d’entre vous ont déja entendu parler des anneaux de Boole: il s’agit d’anneaux unitaires de caractéristique 2, dans lequel tous les éléments sont idempotents, c’est à dire satisfont x^{2} = x. Un tel anneau est forcément commutatif ((x + y)^{2} = x + y = x^{2} + y^{2} + xy + yx, d’où xy + yx = 0, xy = yx).

Si B est une algèbre de Boole, elle devient un anneau de Boole si l’on pose ab = a∩b et a+b = (a∪b)\(a∩b). Réciproquement, tout anneau de Boole peut être muni d’une structure d’algèbre de Boole en posant a ∩ b = ab et a ∪ b = a + b + ab. Dans l’algèbre de Boole P(I), l’addition correspond alors à la différence symétrique AΔB = {i ∈ A ∪ B | i ∉ A ∩ B}.

Les notions d’idéaux de B au sens de l’algèbre de Boole B et au sens de l’anneau de Boole B coïncident.

(4.12) Un premier résultat important dit que toute algèbre de Boole est isomorphe à une sous-algébre de Boole d’un P(I). La dualité de Stone établit une correspondance entre les algèbres de Boole et les espaces Booléens, de la façon suivante.

A un espace topologique X, on associe l’algèbre de Boole B(X) des ouverts-fermés de X (avec les opérations ∪, ∩, \ évidentes, et 0 = ∅, 1 = X. Notons que pour cette définition nous n’avons pas besoin que X soit Booléen.)

Réciproquement, si B est une algèbre de Boole, on définit X(B), l’espace de Stone de B, comme étant l’espace topologique défini de la façon suivante :

Les points de X(B) sont les idéaux maximaux de B (voir (4.10)). Une base d’ouverts de X(B) est donnée par les ensembles O_{a} = {I ∈ X(B) | a ∉ I} pour a ∈ B. Notons que chaque O_{a} est un ouvert-fermé, avec complémentaire O_{1−a}, et que O_{0} = ∅, O_{1} = X.

Le théorème de Stone dit que le foncteur B de la catégorie des algèbres de Boole dans celle des espace topologiques Booléens est une dualité, avec foncteur dual le foncteur X. En particulier, si B est une algèbre de Boole, alors il existe un isomorphisme canonique entre B et B(X(B)) (a ↦ O_{a}), et si X est un espace Booléen, il existe un homéomorphisme canonique entre X et X(B(X)) (x ↦ I_{x} = {a ∈ B(X) | x ∉ a}).

(4.13) Remarque. Soit B(T) l’algèbre de Boole définie en (4.9). Les points de X(B(T)) correspondent alors aux complétions de T: si T′ est une complétion de T, alors {[ψ] | T′ ⊢ ¬ψ} est un idéal maximal de B(T). Et réciproquement.

(4.14) Exercice. Soient X un espace Booléen, et B une algèbre de Boole.

(1) Montrer que l’application a ↦ O_{a} définit un isomorphisme entre les algèbres de Boole B et B(X(B)).

(2) Montrer que l’application x ↦ I_{x} définie ci-dessus définit un homéomorphisme entre X et X(B(X)).

(3) Soient Y un espace Booléen et f : X → Y une application continue. Montrer que l’application f^{∗} : B(Y) → B(X), U ↦ f^{−1}(U), définit un homomorphisme d’algèbres de Boole.

(4) Montrer que si f est surjective, alors f^{∗} est un plongement.

(5) Soit F = f(X), et I(F) = {a ∈ B(Y) | a ∩ F = ∅}. Montrer que c’est un idéal de B(Y), qui égale le noyau de f^{∗}.

(4.15) Espaces de types. Soit n un entier, et A ⊂ M ⊧ T.

Soit S_{n}(T) l’ensemble de tous les types complets étendant la théorie T, et avec variables le n-uplet v̄ = (v_{1}, …, v_{n}). (Le nom des variables n’est pas important, ce qui est important est leur nombre: n). On utilise aussi la notation S_{n}(∅) au lieu de S_{n}(T).

Nous définissons une topologie sur S_{n}(T) de la façon suivante: les ouverts de bases sont ⟨φ(v̄)⟩, où φ(v̄) ∈ L, et

⟨φ(v̄)⟩ = {p(v̄) | S_{n}(T) | p(v̄) ⊢ φ(v̄)}.

On vérifie (grâce au théorème de compacité) que S_{n}(T) muni de cette topologie est compact séparé.

De même, si A ⊂ M ⊧ T, on dénote par S_{n}(A) l’ensemble des types complets du langage L(A) ayant n variables libres et étendant la théorie T h(M, a)_{a∈A}. On met aussi la topologie dont les ouverts de bases sont les ouverts ⟨φ(v̄)⟩, où φ(v̄) est cette fois une formule de L(A). Remarque. On pourrait aussi définir cet espace de type comme étant les types maximaux de L(A) réalisés dans un modèle de T. Le fait que nous n’aurions pas une théorie complète de L(A) complique beaucoup les choses. Dans la pratique de toute façon, quand on s’intéresse à S_{n}(A), c’est parce qu’on travaille dans un modèle de T fixé contenant A, et dans les extensions élémentaires de M.

(4.16) Il est clair que si un type partiel Σ(v̄) est finiment satisfaisable, alors il a une réalisation dans un modèle M de T, c’est à dire un n-uplet ā d’éléments de M qui satisfait toutes les formules de Σ(v̄).

Notons aussi que si Σ(v̄) est un type partiel consistant, alors les types complets étendant Σ(v̄) sont précisément les éléments du fermé

F_{Σ} = ⋂{⟨φ(v̄)⟩ | φ(v̄) ∈ Σ(v̄)}.

(4.17) Quelques fonctions entre les espaces de types.

(1) Soient n ≤ m, et i(1), …, i(n) n éléments distincts de {1, …, m}. Alors l’application π_{i} : S_{m}(T) → S_{n}(T) définie par

p(v_{1}, …, v_{m}) ↦ {φ(v_{1}, …, v_{n}) | φ(v_{i(1)}, …, v_{i(n)} ∈ p(v_{1}, …, v_{m}))}

est continue et surjective.

(2) Une permutation σ de {v_{1}, …, v_{n}} induit un homéomorphisme de S_{n}(T), qui au type p(v̄) associe le type

p^{σ}(v̄) = {φ(v_{1}, …, v_{n}) | φ(v_{σ^{−1}(1)}, …, v_{σ^{−1}(n)}) ∈ p(v̄)}.

(3) Soient maintenant A ⊂ B ⊂ M ⊧ T. Nous avons aussi une application S_{n}(B) → S_{n}(A), appelée la restriction de B à A, p(v̄) ↦ p(v̄)|_{A}, et définie par p(v̄)|_{A} = p(v̄)∩L(A). Cette application est continue et surjective.

(4) Enfin, supposons que F : A → B soit un isomorphisme partiel élémentaire entre M et N, où M et N sont des modèles de T (donc élémentairement équivalents). Nous obtenons alors un homéomorphisme

F^{∗} : S_{n}(A) → S_{n}(B),

défini par:

p^{F} = F^{∗}(p(v̄)) = {φ(F (a_{1}), …, F (a_{m}), v̄) | m ∈ N, a_{1}, …, a_{m} ∈ A, et φ(a_{1}, …, a_{m}, v̄) ∈ p(v̄)},

pour p = p(v̄) ∈ S_{n}(A).

(4.18) Exercice. Vérifiez que les applications définies en (1) et (3) ci-dessus sont continues, et que celles définies en (2) et (4) sont des homéomorphismes.

(4.19) Omission de types. Soit Σ(v̄) un type (partiel ou complet), et M un modèle de T. On dit que M réalise Σ(v̄) si M contient une réalisation de Σ(v̄), i.e., un n-uplet ā qui satisfait toutes les formules de Σ(v̄). Sinon, on dit que M omet le type Σ(v̄).

Les points isolés de S_{n}(T) sont appelés des types isolés. Si p(v̄) est isolé, il existe donc une formule φ(v̄) (consistante avec T) telle que T ∪ φ(v̄) ⊢ p(v̄). Cette formule φ(v̄) est appellée la formule isolant p(v̄). Elle est complète, c’est à dire que si ψ(v̄) est une formule de L, alors T ∪ φ(v̄) ⊢ ψ(v̄), ou bien T ∪ φ(v̄) ⊢ ¬ψ(v̄). On remarque que si T est complète un type isolé de S_{n}(T) ne peut être omis: en effet, si φ(v̄) est une formule complète isolant ce type, alors T ⊢ ∃v̄ φ(v̄).

(4.20) Théorème d’omission des types. Soit L un langage dénombrable, T une théorie consistante, et Σ(v̄) un type partiel consistant. Si le fermé ⋂{⟨φ(v̄)⟩ | φ(v̄) ∈ Σ(v̄)} est d’intérieur vide (c’est à dire, ne contient aucun ouvert non-vide), alors il existe un modèle de T qui omet le type Σ(v̄). Démonstration. Nous ferons une construction à la Henkin. Soient C = {c_{0}, c_{1}, …} un ensemble dénombrable de nouveaux symboles de constantes, et L′ = L∪C. Soit maintenant φ_{0}, φ_{1}, … une énumération des énoncés de L′ telle que φ_{m} ∈ L ∪ {c_{0}, …, c_{m}}. Nous allons construire une suite de théories consistantes

T_{0} ⊂ T_{1} ⊂ T_{2} ⋯

telles que:

(1) Chaque T_{m} est une extension finie de T, T_{m} ⊂ L ∪ {c_{0}, …, c_{m}}.

(2) L’une de φ_{m}, ¬φ_{m} est dans T_{m+1}.

(3) Si φ_{m} = ∃x ψ(x) et φ_{m} ∈ T_{m+1}, alors ψ(c_{m+1}) ∈ T_{m+1}.

(4) Si c̄ est un n-uplet d’éléments de {c_{0}, …, c_{m}}, il existe une formule σ(v̄) ∈ Σ(v̄) telle que ¬σ(c̄) ∈ T_{m+1}.

Nous posons T_{0} = T. Supposons que nous ayons défini T_{m} satisfaisant aux conditions cidessus, et écrivons la T_{m} = T ∪{θ_{1}, …, θ_{r}}. Soit W l’ensemble des n-uplets de {c_{0}, …, c_{m}}. Nous voulons trouver des formules ψc̄(v̄) ∈ Σ(v̄) pour chaque c̄ ∈ W, telles que T_{m} ∪ {¬ψc̄(c̄) | c̄ ∈ W } est consistante. Supposons que ce ne soit pas le cas. Alors nous avons

T ∪ {θ_{1}, …, θ_{r}} ⊢ ⋁_{c̄∈W} Σ(c̄).

Considérons pour un instant les constantes c_{0}, …, c_{m} comme des variables. La conjonction infinie Σ(c̄) définit donc un fermé Fc̄ de S_{m+1}(T). Ceci nous dit alors que dans S_{m+1}(T), la réunion des fermés Fc̄, c̄ ∈ W, contient un ouvert non-vide (celui défini par la formule θ_{1} ∧ ⋯ ∧ θ_{r}). Cela entraîne qu’il existe c̄ ∈ W tel que Fc̄, contienne un ouvert non vide. [En effet, la réunion de deux fermés d’intérieur vide est d’intérieur vide: soit U un ouvert contenu dans F_{1} ∪ F_{2}, et supposons que les intérieurs de F_{1} et de F_{2} soient vides. Alors U ∩ (X \ F_{1}) est un ouvert contenu dans F_{2}, donc vide. Cela entraîne que U ⊆ F_{1}, et donc que U est vide.] Mais cela contredit notre hypothèse: en effet, l’application π : S_{m+1}(T) → S_{n}(T) définie en (4.17)(1) est continue et envoie Fc̄ sur un fermé contenu dans F_{Σ}, et cela entrainerait que l’image de Fc̄ dans S_{n}(T), et donc aussi F_{Σ}, contiendrait aussi un ouvert, contradiction.

Nous avons donc montré que T_{m} ⊬ ⋁_{c̄∈W} Σ(c̄). Toujours avec notre identification des constantes c_{i} avec des variables, nous avons alors que l’ouvert-fermé F = ⟨θ_{1} ∧ ⋯ ∧ θ_{r}⟩ de S_{m+1}(T) n’est pas contenu dans la réunion des Fc̄. Soit p(c_{0}, …, c_{m}) ∈ F \ ⋃_{c̄∈W} Fc̄, et pour chaque c̄ ∈ W, choisissons une formule ψc̄(v̄) telle que ¬ψc̄(c̄) appartienne à p(c_{0}, …, c_{m}). Alors T^{1} =_{df} T_{m} ∪ {¬ψc̄(c̄) | c̄ ∈ W } est consistante.

Si T^{1}∪{φ_{m}} est consistante, nous définissons T^{2} = T^{1}∪{φ_{m}}, et sinon nous définissons T^{2} = T^{1} ∪{¬φ_{m}}. Enfin, si φ_{m} = ∃x ψ(x) ∈ T^{2}, nous définissons T_{m+1} = T^{2} ∪{ψ(c_{m+1})}, et si φ_{m} n’est pas de cette forme ou bien si ¬φ_{m} ∈ T^{2}, alors nous prenons T_{m+1} = T^{2}. Comme la constante c_{m+1} n’apparait pas dans les formules de T^{2}, la théorie T_{m+1} est consistante. Nous avons défini T_{m+1} de façon à ce qu’elle satisfasse (4), (2) et (3). Elle satisfait évidemment à (1).

Soit T_{ω} = ⋃_{m} T_{m}. C’est une théorie consistante du langage L′, qui est complète à cause de (2). Soit M un modèle de T_{ω}, et M_{0} le sous-ensemble de M constitué des interprétations des constantes c_{i}, i ∈ N. Assertion. M_{0} ≺ M.

Il est clair que M_{0} contient toutes les constantes c_{i}. Il faut d’abord montrer que c’est une sous-L-structure de M, c’est-à-dire contient toutes les interprétations de constantes de L et est close par les fonctions de L: notons que si c est un symbole de constante de L, alors l’énoncé ∃x x = c est l’un des φ_{m}, et est impliqué par T, donc appartient à T_{m+1}. Par la condition (3), T_{m+1} contient c_{m+1} = c. De même si f est un symbole de fonction n-aire, et d̄ est un n-uplet de constantes du langage L′, il existera un entier k tel que c_{k} = f(d̄) ∈ T_{k}.

Il reste à montrer que l’inclusion est élémentaire. Soient c̄ un uplet d’éléments de M_{0}, φ(x̄, y) une formule de L, et supposons que M ⊧ ∃y φ(c̄, y). La formule ∃y φ(c̄, y) est aussi un énoncé de L′, donc égale φ_{m} pour un certain m. Comme M ⊧ T_{ω} et T_{ω} est complète, φ_{m} ∈ T_{m+1} (condition (2)), et φ(c̄, c_{m+1}) ∈ T_{m+1} (condition (3)). Nous avons donc montré que si c̄ est un uplet d’éléments de M_{0}, φ(x̄, y) une formule de L, et M ⊧ ∃y φ(c̄, y), alors il existe b ∈ M_{0} tel que M ⊧ φ(c̄, b). Par le test de Tarski-Vaught, cela montre que M_{0} ≺ M.

Par la condition (4), aucun n-uplet de M_{0} ne réalise le type Σ(v̄). Remarque. Nous avons utilisé un raccourci. L’autre démonstration, sans raccourci, est la suivante. On quotiente C par la relation d’équivalence E définie par

E(c_{i}, c_{j}) ⟺ T_{ω} ⊢ c_{i} = c_{j}

et on met une L′-structure sur M_{0} = C/E de la façon imposée par T_{ω}: les symboles de constantes c_{i} sont interprétés par c_{i}/E (la classe d’équivalence de c_{i} pour E). Si f(x_{1}, …, x_{m}) est une fonction de L, et i(1), …, i(m) ∈ N, alors il existe k tel que T_{ω} ⊢ f(c_{i(1)}, …, c_{i(m)}) = c_{k}, et on définit f : M_{0}^{m} → M_{0} de façon consistante avec T_{ω}. De même si R est un symbole de relation ou de constante de L. Grâce à (3), nous avons que M_{0} ⊧ T_{ω}, et (4) entraine que M_{0} ne réalise pas le type Σ(v̄).

Citons maintenant un théorème très important, qui est en fait un corollaire des résultats prouvés ci-dessus.

(4.21) Théorème. (Ryll-Nardzewski) Soit T une théorie complète dans un langage Ldénombrable. Alors T est ℵ_{0}-catégorique si et seulement si pour tout entier n ∈ N, l’espace S_{n}(T) est fini. Démonstration. Supposons que T soit ℵ_{0}-catégorique. Alors tous les types de S_{n}(T) sont réalisés dans tout modèle dénombrable de T. D’après le théorème d’omission des types (4.20), cela entraîne que tous les types de S_{n}(T) sont isolés (car d’intérieur non vide). Cependant, un espace infini et compact contient nécéssairement des points non-isolés. Chaque S_{n}(T) doit donc être fini. Cela prouve une direction.

Pour l’autre, soient M et N des modèles dénombrables de T. Nous savons qu’ils sont élémentairement équivalents (car T est complète). Soit I la famille de tous les isomorphismes partiels élémentaires entre M et N ayant domaine fini. Il nous faut montrer que cette famille est non-vide, et a la propriété du va-et-vient.

Tout d’abord I est non-vide: soit f la fonction avec domaine vide. Comme M ≡ N, f ∈ I. Soit f ∈ I, et a ∈ M, a ∉ dom(f), et écrivons dom(f) = {a_{1}, …, a_{n}}. Comme S_{n+1}(T) est fini, tp(a_{1}, …, a_{n}, a) est isolé, et soit φ(x_{1}, …, x_{n}, x) une formule qui l’isole. Alors N ⊧ ∃x ψ(f(a_{1}), …, f(a_{n}), x), car f est élémentaire. Soit b ∈ N tel que N ⊧ ψ(f(a_{1}), …, f(a_{n}), b). Alors, puisque φ(x_{1}, …, x_{n}, x) isole tp(a_{1}, …, a_{n}, a), nous avons que tp_{M}(a_{1}, …, a_{n}, a) = tp_{N}(f(a_{1}), …, f(a_{n}), b). Nous étendons f à une fonction g avec domaine dom(f) ∪ {a} en définissant g(a) = b. Alors g est élémentaire.

Cela prouve que notre famille a la propriété du va. La propriété du vient est prouvée de la même façon. Par (3.3), nous avons M ≃ N, et donc T est ℵ_{0}-catégorique.

(4.22) Exercice. Que peut-on dire sur la théorie T si nous savons que S_{n}(T) est fini pour tout n ∈ N? (Nous ne supposons plus que T est complète).

(4.23) Exercice. (1) Soit T_{1} la théorie des ordres denses sans extrémités. Quelle est la cardinalité de S_{n}(T_{1}) pour n ≥ 1. Quelle est celle de S_{1}(Q)? (Plongez Q dans R). Exhibez au moins deux types de S_{1}(Q) qui ne sont pas réalisés dans R. Soit r ∈ R \ Q. Peut-on trouver s ≠ r, s ∈ R, tel que tp(s/Q) = tp(r/Q)?

(2) Soit T_{2} la théorie des ordres denses avec extrémités. Quelle est la cardinalité de S_{n}(T_{2}) pour n ≥ 1?

(4.24) Cardinalité des espaces de types. Soit L un langage, T une L-théorie consistante, et S_{n}(T) les espaces de types associés à T. Soit κ = |L| + ℵ_{0}. Alors, il y κ formules de L, et donc 2^{κ} sous-ensembles de formules. Cela entraîne que

|S_{n}(T)| ≤ 2^{κ}.

En particulier, soient M un modèle de T, et A ⊆ M. Alors |S_{n}(A)| ≤ 2^{κ}, où κ = |L| + |A| + ℵ_{0}. La cardinalité des espaces S_{n}(T) apporte des information sur la théorie T. Nous avons vu que si T est complète et tous les S_{n}(T) sont finis alors T est ℵ_{0}-catégorique.

(4.25) Proposition. Si S_{n}(T) est dénombrable, alors les points isolés de S_{n}(T) sont denses, c’est à dire que tout ouvert non vide de S_{n}(T) contient un point isolé. Démonstration. Sinon, nous aurions un ouvert non vide U de S_{n}(T) ne contenant aucun point isolé. Passant à un sous-ouvert de base de U, nous pouvons supposer que U est un ouvert-fermé. Puisque U ne contient pas de points isolés, il a au moins deux points. Il existe donc des ouverts fermés U_{0} et U_{1} qui forment une partition de U. Raisonnant de la même façon avec U_{0} et U_{1}, on construit par induction une famille (U_{σ}) indexée par 2^{<ω} (les suites finies de 0 et de 1), et telle que, pour tout σ ∈ 2^{<ω}, U_{σ^{⌢}0} et U_{σ^{⌢}1} partitionnent U_{σ}. Soit maintenant τ ∈ 2^{ω}. Alors, par compacité, chaque fermé U_{τ} =_{df} ⋂{U_{τ|_{n}} | n ∈ N} est non vide, et donc contient au moins un élément de S_{n}(T). Cela contredit notre hypothèse que S_{n}(T) est dénombrable.

(4.26) Théorème d’omission des types généralisé. Soient L un langage dénombrable, T une théorie consistante, et pour chaque r ∈ N un type partiel Σ_{r} en les variables (v_{0}, …, v_{n(r)}), où n(r) ∈ N.

Supposons que pour tout r ∈ N, le fermé F_{Σ_{r}} de S_{n(r)}(T) soit d’intérieur non vide. Alors il existe un modèle M de T qui omet tous les types Σ_{r}.

Démonstration. La démonstration est pratiquement identique à celle de (4.20) : on remplace tout simplement la condition (4) par la condition suivante (4’) Pour tout r ≤ m, si c̄ est un n(r)-uplet d’éléments de {c_{0}, …, c_{m}}, alors il existe une

formule σ(v̄) ∈ Σ_{r}(v̄) telle que ¬σ(c̄) ∈ T_{m+1}.

La construction de T_{m+1} à partir de T_{m} est pratiquement identique : posons N = sup{n(r) | r = 0, …, m}. Chaque Σ_{r} peut être considéré comme un N-type partiel (et son fermé associé sera d’intérieur vide dans S_{N}(T)). On considère alors le type partiel Σ = ⋁_{r=0}^{m} Σ_{r}, et on définit T_{m+1} comme dans la démonstration de (4.20). (Notons que Σ est bien (équivalent à) un type, car une disjonction finie de conjonctions infinies est une conjonction infinie de disjonctions finies).

(4.27) Supposons que le langage L soit dénombrable, et soit T une théorie, que nous supposerons complète.

On peut montrer que si |S_{n}(T)| > ℵ_{0}, alors |S_{n}(T)| = 2^{ℵ_{0}}. C’est évident si dans un des S_{n}(T) les point isolés ne sont pas denses. Définition. Soit λ un cardinal infini. La théorie T est λ-stable si pour tout modèle M de T, et sous-ensemble A de M de cardinalité ≤ λ, |S_{1}(A)| ≤ λ.

Notons tout d’abord que l’on peut remplacer S_{1}(A) par S_{n}(A) (n ≥ 1) dans la définition ci-dessus (pourquoi?). Un résultat absolument remarquable a été montré par Shelah:

(4.28) Théorème. Soit T une théorie complète dans un langage dénombrable. Alors T satisfait l’une des conditions suivantes:

(1) T est ω-stable, et dans ce cas elle est λ-stable pour tout λ.

(2) T est λ-stable pour tout λ ≥ 2^{ℵ_{0}}. Dans ce cas on dira que T est superstable.

(3) T est λ-stable pour tout cardinal λ = λ^{ℵ_{0}}. Dans ce cas on dira que T est stable.

(4) T n’est λ-stable pour aucun cardinal λ. Nous dirons alors que T est instable. Dans ce cas, il existe un modèle M de T, un sous-ensemble infini I de M, et une formule φ(x, y) tels que {(x, y) ∈ I^{2} | M ⊧ φ(x, y)} définit une relation d’ordre (linéaire) sur I.

5. Modèles premiers, modèles saturés

(5.1) Définitions. Soit M un modèle de T.

(1) M est atomique si tout uple fini d’éléments de M réalise un type isolé.

(2) M est premier s’il se plonge élémentairement dans tout modèle de T.

Quelques remarques immédiates : par Löwenheim Skolem, un modèle premier est nécéssairement de cardinalité ≤ |L| + ℵ_{0}. De plus, une théorie ayant un modèle premier est complète, puisque deux modèles quelconques ont des sous-structures élémentaires isomorphes.

(5.2) Conventions. A partir de maintenant, nous fixons une théorie T complète. Attention, nous supposerons souvent que L est dénombrable.

(5.3) Proposition. (L dénombrable)

(1) Un modèle premier est atomique.

(2) Un modèle atomique dénombrable est premier.

(3) Deux modèles premiers sont isomorphes.

Démonstration. (1) Supposons que le modèle M de T réalise un n-type p(v̄) qui ne soit pas isolé. Par le théorème d’omission des types (4.20), il existe un modèle N de T qui ne réalise pas p(v̄), et il est certainement impossible que M se plonge élémentairement dans N.

(2) Soient M un modèle atomique dénombrable de T et N un modèle de T. Fixons une énumération {a_{i} | i ∈ N} de M. Nous voulons trouver b_{i} ∈ N, i ∈ N, tels que pour tout i ∈ N, nous ayons tp_{M}(a_{0}, …, a_{i}) = tp_{N}(b_{0}, …, b_{i}). Supposons que nous ayons déjà trouvé b_{0}, …, b_{i}, et soit φ(x_{0}, …, x_{n+1}) la formule isolant tp(a_{0}, …, a_{i+1}). Alors M ⊧ ∃y φ(a_{0}, …, a_{i}, y); par hypothèse d’induction, tp_{M}(a_{0}, …, a_{i}) = tp_{N}(b_{0}, …, b_{i}), et cela entraîne qu’il existe b_{i+1} ∈ N tel que N ⊧ φ(b_{0}, …, b_{i+1}). Puisque φ(x_{0}, …, x_{i+1}) est complète, nous avons bien tp_{M}(a_{0}, …, a_{i+1}) = tp_{N}(b_{0}, …, b_{i+1}).

(3) Soient M et N des modèles premiers de T. Nous savons que M et N sont dénombrables et atomiques (par (1)). La même preuve que celle du théorème de Ryll-Nardzewski (4.21) montre que la famille I(M, N) des isomorphismes partiels de domaine fini a la propriété du va-et-vient.

(5.4) Proposition. (L dénombrable) La thórie T a un modèle premier si et seulement si pour chaque n ∈ N, les points isolés sont denses dans S_{n}(T).

Démonstration. Soit n ∈ N, et supposons que les points isolés ne soient pas denses dans S_{n}(T). Il existe donc un ouvert non vide qui ne contient aucun point isolé, et passant à un sous-ouvert, nous pouvons supposer qu’il est de la forme ⟨φ(v̄)⟩. Mais tout modèle de T contient des n-uplets satisfaisant φ(v̄) (car T est complète), et aucun de ceux-ci ne satisfait de type isolé. Donc aucun modèle de T n’est atomique, et T ne peut avoir de modèle premier.

(5.5) Exercice. Soit T une théorie complète dans un langage dénombrable, et supposez que T est ω-stable (la définition est donnée dans (4.27)). Montrer que si A est un sousensemble dénombrable d’un modèle M de T alors il existe M_{0} ≺ M contenant A, et possédant la propriété suivante: si N est un modèle de Diag(A), alors il existe un L(A)- plongement élémentaire de M_{0} dans N. (Un tel modèle est appelé premier au-dessus de A). Montrer que cette propriété caractérise M_{0} à L(A)-isomorphisme près.

(5.6) Les indiscernables. Soit M un modèle de T, A un sous-ensemble de M, et ā_{i}, i ∈ I, une suite de n-uplets d’éléments de M. Nous supposerons que l’ensemble I est muni d’un ordre total <.

On dit que la suite (ā_{i})_{i∈I} est indiscernable au-dessus de A si pour tout m ∈ ω, pour toute formule φ(v̄_{1}, …, v̄_{m}), et pour toutes suites i(1) < ⋯ < i(m) et j(1) < ⋯ < j(m) d’éléments de I, nous avons

M ⊧ φ(ā_{i(1)}, …, ā_{i(m)}) ⟺ M ⊧ φ(ā_{j(1)}, …, ā_{j(m)}).

Nous dirons que la suite (ā_{i})_{i∈I} est totalement indiscernable au-dessus de A si pour tout m ∈ ω, pour toute formule φ(v̄_{1}, …, v̄_{m}), si {i(1), …, i(m)} et {j(1), …, j(m)} sont deux sous-ensembles de I de cardinalité m, alors

M ⊧ φ(ā_{i(1)}, …, ā_{i(m)}) ⟺ M ⊧ φ(ā_{j(1)}, …, ā_{j(m)}).

Attention. Certains auteurs utilisent une autre terminologie : ce qu’ils appellent indiscernable est ce que nous appelons totalement indiscernable, et ils appellent ordre-indiscernable, ou bien indiscernable dans l’ordre ce que nous avons appelé indiscernable.

(5.7) En fait, la propriété démontrée dans (5.5) est vraie pour les théories ω-stables sans restriction de cardinalité sur A: il existe un modèle premier sur A, et il est unique à A-isomorphisme près. La preuve est bien plus compliquée dans le cas général, et utilise la notion de rang de Morley. On peut en trouver une démonstration dans le livre de G. Sacks, Saturated model Theory. Ce modèle premier M_{0} est caractérisé par les deux propriétés suivantes: M_{0} est atomique au-dessus de A, et toute suite de uplets (finis) de M_{0} qui est indiscernable au-dessus de A est au plus dénombrable.

(5.8) Définitions. Soient κ un cardinal (infini), et M un modèle de T.

(1) On dit que M est κ-saturé si pour tout sous-ensemble A de M de taille < κ, tout 1-type sur M est réalisé dans M.

(2) On dit que M est saturé s’il est |M|-saturé.

(3) On dit que M est κ-universel si tout modèle de T de taille < κ se plonge élémentairement dans M.

(4) On dit que M est κ-homogène si la famille I_{κ}(M.M) des isomorphismes partiels élémentaires (entre M et M) de domaine de taille < κ a la propriété du va-et-vient.

(5) On dit que M est saturé (resp. homogène, universel) s’il est |M|-saturé (resp. |M|- homogène, |M|-universel).

Remarque. Soient λ < κ des cardinaux infinis. Alors la κ-saturation entraîne la λsaturation, la κ-homogénéité la λ-homogénéité, et la κ-universalité la λ-universalité.

(5.9) Exercice. (1) Pourquoi M ne peut-il être |M|^{+}-saturé?

(2) Montrez que si M est κ-saturé, et n ∈ N, A ⊂ M est un sous-ensemble de taille < κ, alors tout n-type sur A est réalisé dans M.

(3) Montrez que si M est κ-saturé, alors M est κ^{+}-universel.

(5.10) Théorème. Les conditions suivantes sont équivalentes pour un modèle (infini) M de T, et un cardinal infini κ :

(1) M est κ-saturé.

(2) M est κ^{+}-universel et κ-homogène.

(3) M est κ-universel et κ-homogène. Démonstration. (1) → (2) La démonstration que la κ-saturation entraîne la κ^{+}-universalité est laissée en exercice. Soient I_{κ}(M, M) l’ensemble des isomorphismes partiels élémentaires de domaine de taille < κ, f ∈ I_{κ}(M, M), et a ∈ M. Soient p(v) = tp(a/dom(f)), et p^{f}(v) son image par f (voir (4.17)). Comme f est élémentaire, nous savons que p^{f}(v) est un type consistant sur Im(f). Par κ-saturation, p^{f}(v) esr réalisé dans M par un élément b. Alors, l’application g qui étend f et envoie a sur b est un isomorphisme partiel élémentaire, donc dans I_{κ}(M, M).

(2) → (3) est évident. (3) → (1). Soit M un modèle de T qui est κ-saturé et κ^{+}- universel, et soit A ⊂ M, |A| < κ, et p(v) ∈ S_{1}(A). Nous savons qu’il existe un modèle N de T de taille < κ, contenant A et contenant une réalisation b de p. Par κ-universalité de M, il existe un plongement élémentaire f : N → M. La restriction de f à A est un élément de I_{κ}(M, M), et par κ-homogénéité, il existe g ∈ I(M, M) prolongeant f|_{A} et ayant b dans son image. Alors g^{−1}(b) realise p(v).

(5.11) Remarquons d’abord que la condition de κ-homogénéité pour un modèle M de T, peut être réécrite de la façon suivante:

Si λ < κ et (a_{α})_{α<λ} et (b_{α})_{α<λ} sont deux suites telles que

(M, a_{α})_{α<λ} ≡ (M, b_{α})_{α<λ}

et si a ∈ M alors il existe b ∈ M tel que

(M, a_{α}, a)_{α<λ} ≡ (M, b_{α}, b)_{α<λ}.

En effet, dire que (M, a_{α})_{α<λ} ≡ (M, b_{α})_{α<λ} est tout simplement dire que l’application f qui envoie a_{α} sur b_{α} pour tout α < λ, est un isomorphisme partiel élémentaire. Lemme. Soit M un modèle κ-homogène. Supposons que pour chaque ordinal α < κ nous ayons une suite a^{α} = (a_{ξ}^{α})_{ξ<α} d’éléments de M satisfaisant, pour tout α < β < κ:

(M, a_{ξ}^{α})_{ξ<α} ≡ (M, a_{ξ}^{β})_{ξ<α}.

Alors il existe une suite (a_{ξ})_{ξ<κ} telle que pour tout α < κ nous ayons

(M, a_{ξ}^{α})_{ξ<α} ≡ (M, a_{ξ})_{ξ<α}.

Autrement dit, nous pouvons “recoller” les suites a^{α} en une suite de longueur κ. Démonstration. Nous construisons la suite a_{ξ} par induction. Supposons que nous ayons construit a_{ξ} pour ξ < α satisfaisant

(M, a_{ξ})_{ξ<α} ≡ (M, a_{ξ}^{α})_{ξ<α}.  (∗)

(Par exemple, nous pouvons démarrer avec a^{α}). Nous voulons ajouter un élément a_{α} à notre suite. Par hypothèse, (M, a_{ξ}^{α})_{ξ<α} ≡ (M, a_{ξ}^{α+1})_{ξ<α}. Par hypothèse d’induction et par κ-homogénéité, il existe donc a_{α} ∈ M tel que (M, a_{ξ})_{ξ≤α} ≡ (M, a_{ξ}^{α+1})_{ξ≤α}.

Cela prouve que nous pouvons toujours rajouter un élément à notre suite. On vérifie sans peine que si β est un ordinal limite, et la suite (a_{ξ})_{ξ<β} a été construite de façon que (a_{ξ})_{ξ<α} satisfasse (∗) pour tout α < β, alors , alors (M, a_{ξ})_{ξ<β} ≡ (M, a_{ξ}^{β})_{ξ<β}. Cela démontre le lemme.

(5.12) Lemme. Soient M et N des modèles de T, κ un cardinal tels que:

(i) N est κ-homogène. (ii) Pour tout n ∈ ω, tout n-type réalisé dans M est réalisé dans N. Alors si A est un sous-ensemble de M de taille ≤ κ, il existe un isomorphisme partiel élémentaire f : M → N de domaine A. Démonstration. La démonstration est par induction sur la cardinalité λ de A. Si A est fini, c’est évident (par hypothèse, il existe B ⊂ N réalisant tp(A/∅)).

Nous allons donc supposer le résultat montré pour tout sous-ensemble de M de cardinalité inférieure à λ, et en déduire le résultat pour λ. (Attention, les α et ξ ci-dessous sont des ordinaux ; on considère λ aussi en tant qu’ordinal)

Nous savons que N est λ-homogène. Soit (a_{ξ})_{ξ<λ} une énumération de A. Par hypothèse d’induction, si α < λ, il existe un isomorphisme partiel élémentaire f_{α} de M dans N avec domaine A_{α} = {a_{ξ} | ξ < α}. Par définition d’un isomorphisme partiel élémentaire, et comme A_{α} ⊂ A_{β} si α < β, les suites b^{α} pour α < λ, définies par

b_{ξ}^{α} = f_{α}(a_{ξ}) pour ξ < α,

satisfont l’hypothèse de (5.11). Il existe donc une suite b = (b_{ξ})_{ξ<λ} telle que

(N, b_{ξ}^{α})_{ξ<α} ≡ (N, b_{ξ})_{ξ<α}

pour tout α < λ et pour tout ξ < α. L’application f définie par f(a_{ξ}) = b_{ξ} est alors un isomorphisme partiel élémentaire.

(5.13) Exercice. (1) Soient M et N des modèles de T qui sont κ-saturés. Montrer que la famille I_{κ}(M, N) d’isomorphismes partiels élémentaires de domaine de taille < κ satisfait la propriété du va-et-vient.

(2) Supposons maintenant que M et N sont κ-homogènes, et que pour tout n ∈ N, ils réalisent les mêmes types de S_{n}(T). Montrer qu’ils satisfont aussi la conclusion de (1).

(3) Supposons que M et N satisfont l’hypothèse de (2), et qu’ils sont de cardinalité κ. Montrez qu’ils sont isomorphes.

(4) En déduire que si M est κ-homogène de cardinalité κ, alors tout automorphisme élémentaire partiel de domaine de taille < κ s’étend à un automorphisme de M.

(5) Déduire de (3) que deux modèles saturés de T de même cardinalité sont isomorphes.

(5.14) Construction de modèles κ-saturés. Soit κ un cardinal infini, que nous supposerons plus grand ou égal à la cardinalité de L. Nous allons montrer que tout modèle M de cardinalité ≤ 2^{κ} a une extension élémentaire κ^{+}-saturée de cardinalité ≤ 2^{κ}.

Nous allons construire une suite M_{ξ}, ξ < 2^{κ}, telle que

(1) Si ξ < λ < 2^{κ}, alors M_{ξ} ≺ M_{λ}, et |M_{ξ}| ≤ 2^{κ}.

(2) Si ξ < λ < 2^{κ} et A ⊂ M_{ξ} est de taille ≤ κ, alors tout type de S_{1}(A) est réalisé dans M_{λ}.

Etape successeur. Supposons M_{ξ} construit. Alors M_{ξ} a au plus |M_{ξ}|^{κ} ≤ (2^{κ})^{κ} = 2^{κ} sous-ensembles A de cardinalité ≤ κ. Pour chaque tel A, |S_{1}(A)| ≤ 2^{|A|} = 2^{κ}. Donc M_{ξ} a une extension élémentaire M_{ξ+1} de taille ≤ 2^{κ}2^{κ} = 2^{κ} satisfaisant (2). [Voici le détail du raisonnement : vous prenez une énumération {p_{α}(x) | α < 2^{κ}} de tous les types que nous devons réaliser. Vous rajoutez à L(M_{ξ}) une collection de nouvelles constantes c_{α} pour α < 2^{κ}, puis vous considérez la théorie Diag(M_{ξ}) ∪ {p_{α}(c_{α}) | α < 2^{κ}}. Comme cette théorie est consistante, elle a un modèle M′. Comme M′ ⊧ Diag(M_{ξ}) on peut supposer que le réduit de M′ à L est une extension élémentaire de M_{ξ}. D’autre part M′ réalise tous les types p_{α}(x_{α}). Par le théorème de Löwenheim-Skolem, il existe une sous-structure élémentaire M_{ξ+1} de M′ qui contient M_{ξ} ainsi que les réalisations des types p_{α}, et qui est de cardinalité ≤ 2^{κ}.]

Etape limite. Soit λ un ordinal limite, et tous les M_{ξ}, ξ < λ ont déjà été construits, nous définissons M_{λ} = ⋃_{ξ<λ} M_{ξ}. C’est bien une extension élémentaire de chaque M_{ξ}, ξ < λ.

(2) est évident : si ξ < λ, et A ⊂ M_{ξ} est de cardinalité ≤ κ, alors tout type de S_{1}(A) est réalisé dans M_{ξ+1}, et donc dans M_{λ}.

Considérons M^{∗} = M_{2^{κ}}, et soit A ⊂ M^{∗} de taille ≤ κ. Comme la cofinalité de 2^{κ} est plus grande que κ (voir ci-dessous), il existe λ < 2^{κ} tel que A ⊂ M_{λ}. Alors tout type sur A est réalisé dans M_{λ+1}, et donc aussi dans M^{∗}.

(5.15) Rappels sur les cofinalités d’ordinaux ou de cardinaux. Soit γ un ordinal. On appelle cofinalité de γ, notée cf(γ), le plus petit cardinal λ tel qu’il existe un sousensemble X de γ de cardinalité λ qui soit cofinal dans γ, c’est à dire qui satisfasse: pour tout α < γ, il existe β ∈ X, β ≥ α.

Notons tout de suite que la cofinalité d’un ordinal successeur est 1: si γ = δ + 1, on prend X = {δ}. Donc ça n’a d’intérêt que si γ est un ordinal limite.

Il existe une définition équivalente: cf(γ) est le plus petit cardinal λ tel qu’il existe une fonction f : λ → γ, dont l’image est cofinale dans γ. Pour prouver l’équivalence des deux définitions, on remarque tout simplement qu’un ensemble de cardinalité λ est un ensemble qui est en bijection avec κ.

(5.16) Exemples. cf(ω) = ω ; cf(ω^{2}) = ω ; cf(ℵ_{α}) = ℵ_{α} is α est un ordinal successeur, et cf(α) sinon. En fait, si κ est un cardinal infini, alors cf(κ^{+}) = κ^{+}. Un cardinal κ satisfaisant cf(κ) = κ est appelé régulier, et sinon il est appelé singulier.

Lemme. Soit κ un cardinal infini. Alors cf(2^{κ}) > κ.

Démonstration. Il suffit de montrer que si λ est un cardinal infini alors λ^{cf(λ)} > λ. En effet, supposons que nous ayons montré cette assertion. Alors, prenant λ = 2^{κ}, on obtient (2^{κ})^{cf(2^{κ})} > 2^{κ}. Mais d’autre part nous savons que (2^{κ})^{κ} = 2^{κ×κ} = 2^{κ}. Nous ne pouvons donc avoir cf(2^{κ}) ≤ 2^{κ}, ce qui entraîne cf(2^{κ}) > κ.

Il nous reste à montrer l’assertion. Fixons une application f : cf(λ) → λ dont l’image est cofinale en λ, et soit g : λ → λ^{cf(λ)} une application injective. Nous pensons à λ^{cf(λ)} comme à l’ensemble des fonctions cf(λ) → λ. Nous allons construire une fonction h : cf(λ) → λ qui ne peut être de la forme g(α) pour α < λ. Cela montrera que la fonction g ne peut être surjective, et donc que λ < λ^{cf(λ)}. L’argument est un argument de diagonalisation.

Pour chaque α < cf(λ), on considère l’ensemble X(α) = {g(γ)(α) | γ < f(α)}. Comme α < cf(λ), on a |X(α)| < λ, et d’autre part X(α) ⊂ λ. C’est donc un sousensemble propre de λ, et nous posons h(α) comme étant le plus petit élément de λ qui n’est pas dans X(α).

Nous allons montrer que h ≠ g(β) pour tout β < λ. Soit β < λ, et prenons α ∈ cf(λ) tel que f(α) > β. Alors, par définition, h(α) ∉ X(α), et d’autre part g(β)(α) ∈ X(α): nous avons donc h(α) ≠ g(β)(α), c’est à dire h ≠ g(β).

(5.17) Constructions de modèles ω-saturés. Nous supposons que L est dénombrable. S’il existe n tel que S_{n}(T) ne soit pas dénombrable, alors nous avons vu que |S_{n}(T)| = 2^{ℵ_{0}}. Cela entraîne facilement que tout modèle ω-saturé de T est de cardinalité au moins 2^{ℵ_{0}}. Et par le résultat précédent il en existe un de cardinalité 2^{ℵ_{0}}. Théorème. Supposons que S_{n}(T) soit dénombrable pour tout n ∈ ω. Alors T a un modèle saturé dénombrable. Démonstration. Nous allons construire une suite M_{i}, i ∈ ω, de modèles dénombrables de T, telle que

(1) M_{i} ≺ M_{i+1} pour tout i.

(2) Si A ⊂ M_{i} est fini, alors tout type de S_{1}(A) est réalisé dans M_{i+1}. On prend pour M_{0} un modèle dénombrable de T. Supposons M_{i} construit. Alors

M_{i} a ℵ_{0} sous-ensembles finis A. De plus, si A est fini, alors S_{1}(A) est dénombrable: soit m = |A|, et p(v̄) le m-type réalisé par A. Alors tout type q(x) ∈ S_{1}(A) produit un (m+1)- type p(v̄)∪q′(v̄, x), obtenu en remplaçant les éléments de A par la variable correspondante. Il est clair que l’application q ↦ q′ est injective, et donc |S_{1}(A)| ≤ |S_{m+1}(T)| ≤ ℵ_{0}.

Nous avons donc ℵ_{0} sous-ensembles finis A de M_{i}, et chacun de ces sous-ensembles finis produit au plus ℵ_{0}-types que nous devons réaliser. Il existe donc une extension élémentaire M_{i+1} de M_{i} qui les réalise tous et est dénombrable.

Nous prenons maintenant M_{ω} = ⋃ M_{i}. Alors M_{ω} est dénombrable, et l’on prouve facilement qu’il est ω-saturé. Remarque. La même démonstration montre que si T est κ-stable, si κ est un cardinal régulier tel que l’ensemble P_{κ}(κ) des parties de κ de cardinalité < κ soit de cardinalité κ, alors T a un modèle saturé de cardinalité κ.

(5.18) Théorème. Supposons que L est dénombrable, et que la théorie (complète) T n’est pas ℵ_{0}-catégorique. Alors T a au moins 3 modèles dénombrables de T non-isomorphes. Démonstration. S’il existe n tel que S_{n}(T) ne soit pas dénombrable, alors T a 2^{ℵ_{0}} modèles dénombrables non-isomorphes (puisqu’un modèle dénombrable ne peut réaliser qu’un nombre dénombrable de types). Nous pouvons donc supposer que S_{n}(T) est dénombrable pour tout n. Alors T a modèle premier M_{0} ((5.4)), et un modèle saturé dénombrable M_{1} ((5.17)). Fixons n tel que S_{n}(T) soit infini (il en existe un puisque T n’est pas ℵ_{0}-catégorique, cf (4.21)). Nous savons que S_{n}(T) contient un type p(v̄) qui n’est pas isolé, et n’est donc pas réalisé dans M_{0} (par (5.3)). Donc M_{0} et M_{1} ne sont pas isomorphes. Nous avons donc montré que si T n’est pas ℵ_{0}-catégorique, alors un modèle premier de T n’est pas ω-saturé.

Soit maintenant un n-uplet c̄ de nouvelles constantes, L′ = L ∪ {c̄}, et T′ = T ∪ p(c̄). Alors T′ est complète. De plus S_{m}(T′) est dénombrable pour tout m (car homéomorphe à un fermé de S_{n+m}(T)). Comme S_{m}(T) n’est pas fini pour m ≥ n, cela entraîne que S_{m}(T′) n’est pas fini non plus, et donc que T′ n’est pas ℵ_{0}-catégorique. Puisque M_{1} est ω-saturé, il contient une réalisation ā de p(v̄), et nous pouvons donc étendre M_{1} en un modèle de T′, en interprétant c̄ par ā. On vérifie aisément que la L′-structure (M_{1}, ā) est ω-saturée. Soit N le modèle premier de T′ (qui existe par (5.4)). Comme T′ n’est pas ℵ_{0}-catégorique, N n’est pas isomorphe à M_{1} (en tant que L′-structure) par ce que nous avons montré plus haut. Cela entraîne que le réduit N_{0} de N à L ne peut être isomorphe à M_{1} : sinon, on aurait que N est un modèle saturé dénombrable de T′ et donc isomorphe à (M_{1}, ā).

Donc les modèles dénombrables M_{0}, M_{1} et N_{0} sont deux-à-deux non-isomorphes.

(5.19) Clôture algébrique, clôture définissable. Soit A un sous-ensemble d’un modèle M de T.

(1) Soit p(v̄) ∈ S_{n}(A). On dit que p(v̄) est algébrique si dans toute extension élémentaire N de M, le type p(v̄) n’a qu’un nombre fini de réalisations.

(2) Un uplet d’éléments de M est algébrique sur A si son type sur A est algébrique. L’ensemble des éléments de M algébriques sur A est noté acl(A).

(3) Soit p(v̄) ∈ S_{n}(A). On dit que p(v̄) est définissable si dans tout extension élémentaire N de M, le type p(v̄) n’a qu’une réalisation. Un uplet déléments de M est définissable sur A si son type sur A est définissable. L’ensemble des éléments de M qui sont définissables sur A est noté dcl(A).

(5.20) Remarque. Soit ā = (a_{1}, …, a_{n}). On montre aisément que ā est algébrique sur A si et seulement si chaque a_{i} l’est, et de même pour définissable.

(5.21) Proposition. Les conditions suivantes sont équivalentes, pour A un sous-ensemble du modèle M de T et p(v̄) ∈ S_{n}(A):

(i) p(v̄) est algébrique. (ii) Il existe une extension élémentaire N de M qui est (|A| + |L| + ℵ_{0})^{+}-saturée, et dans

laquelle p(v̄) n’a qu’un nombre fini de réalisations. (iii) Il existe une formule φ(v̄) qui isole p(v̄) et un entier m tels que Diag(A) ⊧ ∃^{≤m}v̄ φ(v̄). (iv) Il existe une formule φ(v̄) ∈ p(v̄) et un entier m tels que Diag(A) ⊧ ∃^{≤m}v̄ φ(v̄).

Démonstration. Les implications (i)→(ii), (iii)→(iv) et (iv)→(i) sont immédiates.

Supposons (ii). Soit {c̄_{i} | i ∈ ω} une collection dénombrable de nouvelles constantes, chaque c̄_{i} étant un n-uplet. Nous allons montrer que la théorie Diag(A) ∪ {p(c̄_{i}) | i ∈ ω} ∪ {c̄_{i} ≠ c̄_{j} | i < j < ω} est inconsistante. Sinon, elle aurait un modèle M′_{1}, que nous pouvons supposer de cardinalité ≤ |A|+ℵ_{0}. Le réduit M_{1} de M′_{1} à L(A) est donc un modèle de Diag(A) contenant une infinité de réalisations distinctes de p(v̄). Par l’hypothèse de saturation de N, il existe donc un plongement élémentaire de la L(A)-structure M_{1} dans N. Cela entraîne que N lui aussi contient une infinité de réalisations distinctes de p(v̄) et contredit notre hypothèse.

Par compacité, il existe donc un entier m, et une formule φ(v̄) ∈ p(v̄) telle que

Diag(A) ∪ {φ(c̄_{0}), …, φ(c̄_{m})} ⊢ ⋁_{0≤i<j≤m} c̄_{i} = c̄_{j}.

Donc en particulier,

Diag(A) ⊢ ∃^{≤m}v̄ φ(v̄).

Nous avons donc montré (iv). Il reste donc à montrer que (iv) entraîne (iii). Par hypothèse, l’ouvert ⟨φ(v̄)⟩ de S_{n}(A) ne contient qu’un nombre fini de points (au plus m, puisque φ(v̄) a au plus m réalisations). Donc tous ses points sont isolés. Comme p(v̄) est l’un de ces points, il est isolé par une formule ψ(v̄), qui entraîne φ(v̄), et a donc encore moins de réalisations que φ(v̄).

(5.22) Lemme. Soit A un sous-ensemble d’un modèle M de T. On supposera M suffisamment saturé (c’est à dire: (|A| + |L| + ℵ_{0}|^{+}-saturé).

(1) Si a ∈ acl(A), alors il existe un sous-ensemble fini A_{0} de A tel que a ∈ acl(A_{0}).

(2) acl(acl(A)) = acl(A), dcl(dcl(A)) = dcl(A). Démonstration. (1) est clair par la condition (iii) de (5.21). Soit maintenant b ∈ acl(acl(A)). Par (1), il existe un uplet fini ā d’éléments de acl(A) tel que b ∈ acl(ā). On montre facilement maintenant que tp(b, ā/A) n’a qu’un nombre fini de réalisations dans M: en effet, soit (b′, ā′) réalisant tp(b, ā). Alors ā′ appartient à l’ensemble fini D des réalisations de tp(ā/A). De plus il existe un isomorphisme partiel élémentaire f de M qui laisse A fixé et envoie ā sur ā′. Comme tp(b/ā) n’a qu’un nombre fini de réalisations, de même, l’image q par f de tp(b/ā) n’a qu’un nombre fini de réalisations. Or b′ realise q. Cela montre bien que tp(b, ā) est algébrique.

Il existe une autre preuve qui utilise plus (5.21)(iii): soient φ(v̄) ∈ L(A) la formule isolant tp(ā/A), et n le nombre de réalisations distinctes de φ(v̄); soient de plus ψ(x, v̄) ∈ L telle que ψ(x, ā) isole tp(b/ā), et m le nombre de ses réalisations. Alors la formule φ(v̄) ∧ ψ(x, v̄) est réalisée par (b, ā) et a au plus nm réalisations dans M. En fait cette formule isole tp(b, ā/A).

(5.23) Retour sur les indiscernables. Soit (I, <) un ensemble ordonné sans dernier élément, A ⊂ M ⊧ T, et ā_{i}, i ∈ I une suite indiscernable au-dessus de A. S’il existe i(1) < ⋯ < i(n) tels que tp(ā_{i(n)}/A, ā_{i(1)}, …, ā_{i(n−1)}) soit algébrique, alors tous les ā_{i} sont égaux. Démonstration. La formule φ(x̄, ā, ā_{i(1)}, …, ā_{i(n−1)}) isolant tp(ā_{i(n)}/A, ā_{i(1)}, …, ā_{i(n−1)}) est satisfaite par tous les uplets ā_{j} avec j > i(n − 1), et donc par une infinité d’éléments de la suite ā_{i}, i ∈ I (puisque I n’a pas de dernier élément). Comme d’autre part elle est satisfaite seulement par un ensemble fini (puisqu’elle isole un type algébrique), cela entraîne qu’il existe i ≠ j ∈ J tels que ā_{i} = ā_{j}. Mais par indiscernabilité, nous avons alors ā_{i} = ā_{j} pour tous i, j ∈ I.

(5.24) Exemple 1. Considérons la théorie des ordres denses sans extrémités. Puisqu’elle est ℵ_{0}-catégorique, tous ses modèles dénombrables sont premiers et ℵ_{0}-saturés.

Soit (I, <) un modèle quelconque. Puisque T est ℵ_{0}-catégorique, I est ω-saturé (exercice). Cependant, pour qu’il soit ℵ_{1}-satureé, il faut par exemple que si A et B sont des sous-ensembles dénombrables tels que A < B (c’est à dire, pour tout a ∈ A et b ∈ B, a < b) il existe c tel que A < c < B. Notez qu’on permet à l’un de A ou B d’être vide.

En particulier (R, <) n’est pas ℵ_{1}-saturé: prenons A = {0} et B = {1/n | n ∈ N^{>0}}. De même le type {x > n | n ∈ N} n’est pas réalisé.

On montre aussi que si A ⊂ I, alors acl(A) = A: en effet, soit a ∈ acl(A) ; par (5.22), on peut supposer que A est fini. Ecrivons A = {a_{1}, …, a_{n}} où a_{1} < ⋯ < a_{n}. Si a ∉ A, alors a est dans l’un des intervalles (−∞, a_{1}[, ]a_{1}, a_{2}[, …,]a_{n}, +∞), et tout élément b qui est dans le même intervalle que a réalise tp(a/A).

Soit C ⊂ I ayant la propriété que si a ∈ C et b < a, alors b ∈ C. (J’appelle C une coupure). A C on associe le type (complet sur I) défini par:

Diag(I) ∪ {x < a | a ∈ C} ∪ {x > b | b ∉ C}.

Ce type n’est pas réalisé dans I. Si on peut trouver des sous-ensembles C_{0} de C et D_{0} de I \ C de cardinalité < |I| tels que C_{0} est cofinal en C, et D_{0} est co-initial en I \ C, alors I ne peut être saturé. En fait la saturation de (I, <) implique des conditions sur sa cardinalité.

(5.25) Exemple 2. Soit T la théorie des groupes divisibles abéliens sans torsion. Nous savons qu’elle est catégorique en tout cardinal > ℵ_{0}, et cela implique que ses modèles non-dénombrables sont saturés. (En fait, ceci nécéssite une démonstration, que nous ne donnerons pas. On peut aussi montrer à la main que ses modèles non-dénombrables sont saturés).

Le modèle premier de cette théorie est Q, et son modèle dénombrable saturé est Q^{(ℵ_{0})} (somme directe de ℵ_{0}-copies de Q).

Soit κ un cardinal infini, et M le group Q^{(κ)}. Nous savons donc que M est saturé, de cardinalité κ. Soit A un sous-ensemble de M de taille < κ. Alors dcl(A) contient le sous-groupe ⟨A⟩ de M engendré par les éléments de A (ceci est vrai pour tout groupe).

De plus, nous savons que M s’étend uniquement en un espace vectoriel sur Q: en effet, si a ∈ M, et m ∈ Z, n ∈ N^{>0}, alors l’élément défini par l’équation nx = ma est unique (parce que M est sans torsion). Cela entraîne que la clôture définissable de A contient en fait le Q-sous-espace vectoriel de M engendré par A. Notons cet ensemble (qui est bien sûr un sous-groupe de M) par V (A).

Nous allons maintenant montrer que acl(A) = V (A). Soit a ∈ M, a ∉ V (A), et soit b ∈ M, b ∉ V (A). Alors V (A)∩V (b) = (0) = V (A)∩V (a). Il existe donc un automorphisme f de l’espace vectoriel M qui fixe V (A) et envoie a sur b. Cet automorphisme est certainement un automorphisme de groupe, et nous avons donc tp(a/A) = tp(b/A). Donc tout élément de M \ V (A) réalise le même type sur A que a, ce qui prouve que ce type ne peut être algébrique (puisque M \ V (A) est infini).

(5.26) Exemple 3. Les corps algébriquement clos de caractéristique fixée. Comme dans l’exemple 2, tous les modèles non-dénombrables sont saturés. Nous regardons maintenant les modèles dénombrables:

Supposons d’abord que la caractéristique soit nulle. Le modèle premier est Q̃, la clø̂ture algébrique de Q. Le modèle saturé (dénombrable) est isomorphe à la clôture algébrique de Q(t_{i} | i ∈ N), où les t_{i}, i ∈ N, sont des éléments algébriquement indépendants au-dessus de Q (donc, pour tout n ∈ N, Q(t_{0}, …, t_{n}) ≃ Q(X_{0}, …, X_{n})). Un autre façon de décrire ce modèle est de dire qu’il est algébriquement clos de degré de transcendance infini dénombrable.

De même, si la caractéristique est p > 0, le modèle premier est F̃_{p}, le modèle saturé est la clôture algébrique de F_{p}(t_{i} | i ∈ N), où les éléments t_{i}, i ∈ N, sont algébriquement indépendants au dessus de F_{p}.

Soit A un sous-ensemble du corps algébriquement clos K. Alors le sous-corps B de K engendré par A est contenu dans la clôture définissable de A : en effet, tout élément de l’anneau R engendré par A est de la forme t(ā) où ā est un uplet d’éléments de A et t(x̄) est un terme du langage. D’autre part, si b ∈ R, alors l’élément 1/b est certainement définissable sur R, ce qui montre que B est bien contenu dans la clôture définissable de A.

Certainement, les éléments de K qui sont algébriques sur B (au sens de la théorie des corps), sont algébriques sur B au sens de la théorie des modèles, puisqu’un polynôme non-nul en une variable n’a qu’un nombre fini de solutions. Soit B̃ l’ensemble de ces éléments. Si a, b sont deux éléments de K qui ne sont pas dans B̃, alors ils sont tous les deux transcendants au-dessus de B̃. Ils réalisent donc le même type au dessus de B̃. Nous avons donc montré que tous les éléments de K \ B̃ réalisent le même type au dessus de B̃: ce type ne peut donc être algébrique.

Nous venons donc de montrer que acl(A) = B̃. Nous savons aussi que B est contenu dans dcl(A). Quand la caractéristique de K est nulle, nous allons montrer que dcl(A) = B. En effet, si a ∈ B̃, et p(X) est son polynôme minimal sur B, alors p′(X) est non nul, ce qui entraîne que a est une racine simple de l’équation p(X) = 0. Ce polynôme ayant n = deg(p) racines distinctes dans B̃, et étant donné que deux racines distinctes de p(X) ont le même type au-dessus de B, il s’ensuit que, si n > 1, alors a ∉ dcl(A). Nous avons donc montré que dcl(A) = B.

Supposons maintenant que car(K) = p > 0. Nous définissons la clôture parfaite de B, notée B^{1/p^{∞}}, comme étant l’ensemble des éléments a ∈ B̃ tel qu’il existe n ≥ 1 avec a^{p^{n}} ∈ B. Tout d’abord, si a ∈ B^{1/p^{∞}}, soit n minimal tel que a^{p^{n}} = b ∈ B. Alors le polynôme X^{p^{n}} − b n’a qu’une seule racine, car (X^{p^{n}} − b) = (X − a)^{p^{n}}, puisque nous sommes dans un corps de caractéristique p.

Soit maintenant a ∈ B̃, et p(X) = ∑_{i=0}^{n} a_{i}X^{i} son polynôme minimal sur B, avec a_{n} = 1, et n > 1. Si p′(X) ≠ 0, alors on raisonne comme dans le cas de la caractéristique nulle pour montrer que a ∉ dcl(A). Supposons maintenant que p′(X) = 0. Pour tout i = 1, …, n on a alors : ou bien p divise i, ou bien a_{i} = 0. Soit m maximal tel que p^{m} divise i pour tout i tel que a_{i} ≠ 0. Nous pouvons donc écrire p(X) = ∑_{i=0}^{n} a_{i}(X^{p^{m}})^{i/p^{m}}, et l’un des exposants i/p^{m} avec a_{i} ≠ 0 n’est pas divisible par p. Notre polynôme s’écrit donc p(X) = q(X^{p^{m}}) pour un certain polynôme q(Y) tel que q′(Y) ≠ 0. De plus, ce polynôme q(Y) est le polynôme minimal de b = a^{p^{m}} au-dessus de B. Si p^{m} ≠ n, alors le degré de q(Y) est suérieur à 1, b n’est pas dans dcl(A) (par le cas précédent), et donc a non plus. Cela montre que les seuls éléments de B̃ qui sont définissables sur A sont dans B^{1/p^{∞}}.

Rappels. Dans un corps K de caractéristique p > 0, l’application x ↦ x^{p} (appelée le Frobénius) définit un monomorphisme de corps : elle est clairement multiplicative. De plus a^{p} = 0 entraîne a = 0. On vérifie, en utilisant les coefficients binomiaux, que (a + b)^{p} = a^{p} + b^{p}, car p divise chaque p!/i!(p − i)! pour 0 < i < p.

Un corps est parfait s’il est de caractéristique 0, ou bien s’il est de caractéristique p > 0, et chacun de ses éléments est une puissance p-ième. (Ce qui veut dire que le Frobénius est surjectif.)

(5.27) Rappel sur les bases de transcendance. Soient K ⊂ L des corps. Un sousensemble B de L est algébriquement indépendant au-dessus de K, si pour tout n ∈ N, et tout n-uplet (a_{1}, …, a_{n}) d’éléments distincts de B, et tout polynôme non nul f(X_{1}, …, X_{n}) ∈ K[X_{1}, …, X_{n}], nous avons f(a_{1}, …, a_{n}) ≠ 0.

Une base de transcendance de L sur K est un sous-ensemble B de L qui est algébriquement indépendant sur K, et maximal avec cette propriété. Il est facile, grâce au lemme de Zorn, de montrer que L possède une base de transcendeance B sur K. Par maximalité de B, nous avons alors que tout élément de L est algébrique sur K(B) (le sous-corps de L engendré au-dessus de K par les éléments de B).

On montre que deux bases de transcendance de L sur K ont nécéssairement la même cardinalité. Pour cela on montre d’abord un Lemme d’échange. Soient a_{1}, …, a_{n} des éléments algébriquement indépendants audessus de K, et a un élément algébrique sur K(a_{1}, …, a_{n}), qui n’est pas dans la clôture algébrique K̃ de K. Alors il existe i tel que a_{i} soit algébrique sur K(a_{1}, …, a_{i−1}, a_{i+1}, …, a_{n}, a).

Ce lemme de l’échange permet alors de raisonner exactement comme dans la preuve que deux bases d’un espace vectoriel ont la même cardinalité, et de montrer le résultat pour les bases de transcendance.

(5.28) Exemple 4. Soient L = {+, −, 0, 1} et T = T h(Z). Alors Z est un modèle premier de T, car il est engendré par la constante 1. Comme nous savons que la théorie T est complète, cela entraîne que l’inclusion de Z dans un modèle de T est nécéssairement une inclusion élémentaire: si a_{1}, …, a_{n} ∈ Z, alors a_{i} = t_{i}(1) pour un terme t_{i}(x) du langage, et donc on a, pour φ(x̄) une formule

Z ⊧ φ(a_{1}, …, a_{n}) ⟺ T ⊢ φ(t_{1}(1), …, t_{n}(1)).

Soit maintenant M un modèle ω-saturé de T, et D(M) = ⋂_{n} nM. Nous savons que M/D(M) se plonge dans Ẑ. Pour chaque a ∈ Ẑ, le type p_{a}(x) doit être réalisé, et cela entraîne que M/D(M) ≃ Ẑ.

De plus, si M est ω-saturé, alors nécéssairement on doit avoir D(M) = Q^{(κ)} avec κ ≥ ℵ_{0}. En effet, si A = {a_{1}, …, a_{n}} est un sous-ensemble fini de D(M), soit B le Q-sous-espace vectoriel de D(M) engendré par A. Alors tout élément de B est l’unique réalisation dans M d’une formule φ(x) ∈ L(A): par définition, si b ∈ B, alors il existe m, m_{1}, …, m_{n} tels que mb = ∑_{i=1}^{n} m_{i}a_{i}, et b est l’unique élément de M satisfaisant la formule mx = ∑_{i=1}^{n} m_{i}a_{i}.

Donc le type p(x) qui dit que x est divisible par n pour tout n ≥ 2 et n’est pas dans B, est réalisable dans M. Raisonnant de la même façon pour un cardinal non dénombrable, cela nous dit que tout modèle λ-saturé de T est de la forme Ẑ ⊕ Q^{(κ)}, où κ ≥ λ. En fait on peut montrer qu’un tel modèle est en fait κ-saturé.

(5.29) Soient maintenant L_{0} = {+, −, 0} et T_{0} = T h(Z) (Remarque: nous avons enlevé la constante 1). Alors nous montrerons que Z n’est pas un modèle premier de T_{0}!!

Tout d’abord nous allons donner une axiomatisation de T_{0} (voir (3.10)). T_{0} dit que un modèle M de T est un groupe abélien sans torsion. De plus, pour chaque n ≥ 2, nous avons un énoncé qui exprime que M/nM a exactement n éléments, et en fait est cyclique d’ordre n :

∃x ∀y ( ⋀_{i=1}^{n−1} ny ≠ ix) ∧ ∃z ⋁_{i=0}^{n−1}(y − ix) = nz.  (n)

On montre que si M est un modèle ω-saturé de T_{0}, alors T réalise le type q(x) = {∀z, nz ≠ x | n ≥ 2}. En effet, soit m ≥ 2; nous voulons montrer qu’il existe un élément a ∈ M tel que a ne soit pas divisible par 2, …, m. C’est clair en regardant l’axiome (m!): soit a ∈ M tel que aucun des ia, i = 1, …, m!−1, ne soit divisible par m!. Soit 2 ≤ j ≤ m, et soit i = m!/j. Comme ia n’est pas divisible par m!, cela entraîne que a n’est pas divisible par j.

Donc si M est un modèle ω-saturé, alors M contient une réalisation a de q(x). Si on interprète la constante 1 par cet élément a, on a alors que M est un modèle de T. Cela entraîne que T_{0} est complète (pourquoi?).

Alors Z n’est pas un modèle premier de T_{0}. En effet, considérons M = ⊕_{p premier}Z_{(p)}, où Z_{(p)} est l’ensemble des nombres rationnels dont le dénominateur (quand le nombre est écrit sous forme réduite) n’est pas divisible par p. Alors si n est un nombre non-divisible par p, tout élément de Z_{(p)} est divisible par n.

On vérifie que M est un modèle de T_{0}; cependant M ne réalise pas le type p(x): si a ∈ M, alors a ∈ ⊕_{S}Z_{(p)} pour un ensemble S fini de nombres premiers, et cela entraîne que a est divisible par tout nombre premier qui n’est pas dans S. Donc, bien que M contienne beaucoup de copies de Z, aucune n’est une sous-structure élémentaire de M.

(5.30) Exercice. (1) Expliquez pourquoi la théorie T_{0} décrite ci-dessus est complète.

Considérons maintenant le langage L′ = L_{0} ∪ {≡_{n}| n ≥ 2}, et la théorie T′ obtenue en rajoutant à T_{0} les axiomes

x ≡_{n} y ⟺ ∃z (x − y) = nz.

Alors tout modèle de T_{0} s’étend en un modèle de T′ de façon unique.

(2) Si Γ est un sous-groupe d’un groupe abélien G sans torsion, on définit l’enveloppe pure de Γ (dans G) comme étant l’ensemble EP (Γ) = {a ∈ G | ∃n ≥ 1, na ∈ Γ}. Montrez que c’est bien un sous-groupe de G. (Si Γ = EP (Γ), on dit que Γ est pur dans G).

(3) Soient M et N des modèles de T′, et f un isomorphisme partiel entre les L′- structures M et N. Montrez que f s’étend uniquement en un isomorphisme partiel f′ défini sur l’enveloppe pure du sous-groupe de M engendré par dom(f). Montrez que Im(f′) est aussi un sous-groupe pur de N.

(4) Soient M et N des modèles ℵ_{1}-saturés de T′. Supposons que nous ayons montré que la famille I(M, N) des isomorphismes partiels de domaine un sous-groupe dénombrable et pur de M, a la propriété du va-et-vient. En déduire que T′ élimine les quantificateurs.

(5) Montrez que si A est un sous-groupe pur de M, alors A s’écrit (D(M) ∩ A) ⊕ A_{0}, pour un sous-groupe A_{0} de A qui est pur dans M, et que D(M) ∩ A est divisible.

(6) Nous allons montrer que la famille I(M, N) d’isomorphismes partiels décrite en (4) a la propriété du va-et-vient. [Vous n’avez pas le droit d’utiliser la conclusion de (4)].

Soit f ∈ I(M, N) de domaine A, d’image B, et écrivons A = (D(M)∩A)⊕A_{0}. Soient B_{0} = f(A_{0}), et a ∈ M. Nous voulons prolonger f en une fonction f′ ∈ I(M, N) ayant a dans son domaine. Nous avons trois cas à considérer, et je vous demande de montrer l’existence de f′ dans chacun de ces cas:

(a) Il existe b ∈ A tel que (b − a) ∈ D(M).

(b) Pour tout n ≥ 2 il existe b_{n} ∈ A tel que (b_{n} − a) ∈ nM, mais il n’existe pas de b ∈ A tel que (b − a) ∈ D(M).

(c) Nous supposons maintenant que ni (a), ni (b) ne sont vrais. La preuve se décompose en plusieurs étapes, que vous devriez être capables de faire :

(c1) Montrez que la pureté de A_{0} dans M entraîne que pour tout nombre premier p :

– ou bien pour tout n ≥ 1, A_{0}/p^{n}A_{0} ≃ Z/p^{n}Z,

– ou bien pour tout n ≥ 1, A_{0} = p^{n}A_{0} (c’est à dire que A_{0} est p-divisible). (c2) Montrez que si b ∈ N satisfait les conditions suivantes :

– Pour chaque premier p tel que A_{0} est p-divisible, pour tout n ≥ 1, le sous-groupe de N/p^{n}N engendré par l’image de b est de même taille que le sous-groupe de M/p^{n}M engendré par l’image de a.

– Pour chaque premier p tel que A_{0} n’est pas p-divisible, pour tout n ≥ 1 nous savons qu’il existe un élément a_{n} ∈ A tel que (a − a_{n}) ∈ p^{n}M (par (c1)), et nous avons (b − f(a_{n})) ∈ p^{n}N pour tout n ≥ 1.

Alors l’application f′ définie en posant f′(a′ + na) = f(a′) + nb pour a′ ∈ A et n ∈ Z, est bien un homomorphisme de groupe qui respecte les relations ≡_{n}.

(c3) Montrez l’existence d’un tel b (ce qui finit la preuve du cas (c)) [Il faut utiliser la ℵ_{1}-saturation de N].

6. Produits réduits et ultraproduits

(6.1) Filtres et ultrafiltres. Soit I un ensemble. Un filtre sur I est un sous-ensemble F de P(I) satisfaisant aux conditions suivantes :

(i) I ∈ F, ∅ ∉ F. (ii) Si U ∈ F et V ⊃ U alors V ∈ F. (iii) Si U et V sont dans F alors U ∩ V ∈ F.

Un ultrafiltre sur I est un filtre sur I qui est maximal (pour l’inclusion).

(6.2) Remarques. (1) Soit G un sous-ensemble non-vide de P(I) ne contenant pas ∅ et satisfaisant la condition (iii). Soit F l’ensemble des sous-ensembles de I qui contiennent un élément de G. Alors cette famille satisfait (i) et (ii) (clairement), et satisfait encore (iii). Donc F est un filtre.

(2) Plus généralement, soit G un sous-ensemble de P(I) ayant la propriété que toute intersection finie de ses éléments est non-vide (cette propriété est appelée la propriété de l’intersection finie). On définit alors le filtre engendré par G comme étant l’ensemble des sous-ensembles de I qui contiennent une intersection finie d’éléments de G. On vérifie facilement que c’est bien un filtre.

(6.3) Lemme. Soit F un filtre sur I. Alors F est un ultrafiltre si et seulement si pour tout sous-ensemble U de I, nous avons U ∈ F ⟺ I \ U ∉ F. Démonstration. Supposons d’abord que U ∈ F, et que I \ U ∈ F. Alors, par l’axiome (iii) nous avons ∅ = U ∩ (I \ U) ∈ F, ce qui contredit l’axiome (i).

Supposons maintenant que I \ U ∉ F. Soit G = {V ∩ U | V ∈ F}. Nous prétendons que ∅ ∉ G. Sinon, il existerait V ∈ F tel que U ∩ V = ∅, c’est à dire, V ⊂ I \ U, et nous aurions donc que I \ U ∈ F, contrairement à notre hypothèse. La famille G satisfait donc aux conditions énoncées dans (6.2)(1) ; donc l’ensemble F′ des sous-ensembles de I qui contiennent U ∩V pour un V ∈ F, est un filtre qui contient F. Par maximalité de F, nous avons F′ = F, c’est à dire, U ∈ F.

(6.4) Définition. Un filtre F est principal s’il existe U ∈ F tel que F = {V ⊆ I | V ⊇ U}.

Un ultrafiltre principal est forcément de la forme {V ⊆ I | i ∈ V } pour un élément i ∈ I. En effet, supposons que F soit un ultrafiltre principal, et U soit tel que F = {V ⊆ I | V ⊇ U}. Si U contient deux éléments i ≠ j, alors ni I \ {i} ni {i} ne contiennent U, ce qui contredit la maximalité de F.

(6.5) Exercice. Soient I un ensemble et F un filtre sur I.

(1) Montrez que l’ensemble {I \ U | U ∈ F} est un idéal de l’algèbre de Boole P(I). Nous l’appellerons l’idéal associé à F.

(2) Montrez que réciproquement, si I est un idéal (propre) de P(I), alors {I \ U | U ∈ I} est un filtre sur I.

(3) Montrez que F est un ultrafiltre si et seulement si l’idéal I associé est maximal.

(4) Montrez que F est principal si et seulement si l’idéal associé est principal.

(5) Montrez que si I est fini alors tout filtre sur I est principal.

(6.6) Filtre de Fréchet. Soit I un ensemble infini. Le filtre de Fréchet sur I est le filtre engendré par la famille {I \ {i} | i ∈ I}. Notons que comme I est infini, cette famille satisfait bien que toute intersection finie de ses membres est non-vide. C’est donc le filtre des parties co-finies de I. Notons aussi qu’un ultrafiltre sur I est non-principal si et seulement s’il contient le filtre de Fréchet sur I : en effet, un ultrafiltre est nonprincipal si et seulement s’il ne contient aucun singleton, si et seulement s’il contient les complémentaires des singletons, si et seulement s’il contient le filtre de Fréchet.

(6.7) Produits réduits de L-structures. Soit I un ensemble, D un filtre sur I, et (M_{i})_{i∈I} une famille de L-structures.

Nous avions déjà défini une L-structure sur le produit ∏_{i∈I} M_{i}. Nous définissons le produit réduit des M_{i} sur le filtre D, noté ∏_{i∈I} M_{i}/D, comme étant la L-structure suivante :

L’univers de ∏_{i∈I} M_{i}/D est le quotient de ∏_{i∈I} M_{i} par la relation d’équivalence ≡_{D} définie par

(a_{i}) ≡_{D} (b_{i}) ⟺ {i ∈ I | a_{i} = b_{i}} ∈ D.

Notons que

{i ∈ I | a_{i} = b_{i}} ∩ {i ∈ I | b_{i} = c_{i}} ⊆ {i ∈ I | a_{i} = c_{i}},

ce qui montre la transitivité de ≡_{D}. La réfléxivité et la symétrie de ≡_{D} sont évidentes. Nous notons (a_{i})_{D} la classe d’équivalence de (a_{i}) pour la relation ≡_{D}.

Pour c un symbole de constante, l’interprétation de c dans ∏_{i∈I} M_{i}/D est tout simplement (c_{i})_{D}, où chaque c_{i} est l’interprétation de c dans M_{i}.

Si f est un symbole de fonction n-aire du langage, et (a_{i}^{1}), …, a^{n}(i) ∈ ∏_{i∈I} M_{i}, nous posons

f((a_{i}^{1})_{D}, …, (a_{i}^{n})_{D}) = (f(a_{i}^{1}, …, a_{i}^{n}))_{D}.

Notons que si (b_{i}^{j})_{D} = (a_{i}^{j})_{D} pour j = 1, …, n, alors {i ∈ I | b_{i}^{j} = a_{i}^{j} pour j = 1, …, n} est dans D, ce qui montre que f est bien définie.

Si R est un symbole de relation n-aire du langage, et (a_{i}^{1}), …, (a_{i}^{n}) ∈ ∏_{i∈I} M_{i}, alors nous posons

∏_{i∈I} M_{i}/D ⊧ R((a_{i}^{1})D, …, (a_{i}^{n})_{D}) ⟺ {i ∈ I | M_{i} ⊧ R(a_{i}^{1}, …, a_{i}^{n})} ∈ D.

(6.8) Définitions. S’il existe une L-structure M telle que tous les M_{i} sont égaux à M, alors on écrit M^{I}/D au lieu de ∏_{i∈I} M_{i}/D, et on parle de puissance réduite de M. Elle est aussi parfois notée M^{D}.

Si le filtre D est un ultrafiltre, alors ∏_{i∈I} M_{i}/D est appelé un ultraproduit des structures M_{i}, et M^{I}/D est appelée une ultrapuissance de M.

(6.9) Remarques. Soient D ⊆ D′ des filtres sur I. Alors l’application ∏_{i∈I} M_{i}/D → ∏_{i∈I} M_{i}/D′ définie par (a_{i})_{D} ↦ (a_{i})_{D′}, est un homomorphisme de L-structures.

Notons aussi que le produit est un cas particulier de produit réduit : on prend le filtre {I}.

(6.10) Théorème de Łos. Soit I un ensemble, D un ultrafiltre sur I, et (M_{i})_{i∈I} une famille de L-structures, M^{∗} = ∏_{i∈I} M_{i}/D.

(1) Si t(x_{1}, …, x_{n}) est un terme du langage, et (a_{i}^{1}), …, (a_{i}^{n}) ∈ ∏_{i∈I} M_{i}, alors

t((a_{i}^{1})_{D}, …, (a_{i}^{n})_{D}) = (t(a_{i}^{1}, …, a_{i}^{n}))_{D}.

(En fait, ceci est vrai aussi dans un produit réduit.)

(2) Soient φ(x_{1}, …, x_{n}) une formule, et (a_{i}^{1}), …, (a_{i}^{n}) ∈ ∏_{i∈I} M_{i}. Alors

M^{∗} ⊧ φ((a_{i}^{1})_{D}, …, (a_{i}^{n})_{D}) ⟺ {i ∈ I | M_{i} ⊧ φ(a_{i}^{1}, …, a_{i}^{n})} ∈ D.

(3) Soit φ un énoncé. Alors

M^{∗} ⊧ φ ⟺ {i ∈ I | M_{i} ⊧ φ} ∈ D.

Démonstration. (1) est clair par la définition de la L-structure de M^{∗}, et (3) est un cas particulier de (2). Il suffit donc de montrer (2). C’est fait par induction sur la complexité des formules : nous allons d’abord montrer que c’est vrai pour les formules atomiques.

Les formules atomiques sont de la forme R(t_{1}(x̄), …, t_{n}(x̄)), où x̄ est un uplet de variables, chaque t_{i}(x̄) est un terme du langage, et R est une symbole de relation n-aire, ou bien le graphe de l’égalité. L’équivalence suit de la définition de la L-structure M^{∗}. Remarquons qu’ici nous utilisons seulement le fait que D est un filtre.

Supposons que l’équivalence soit vraie pour les formules φ(x̄) et ψ(x̄). Elle est alors vraie pour la formule φ(x̄) ∧ ψ(x̄). De même, si elle est vraie pour la formule θ(x̄, y), alors elle est vraie pour la formule ∃y θ(x̄, y). Encore une fois, nous utilisons seulement le fait que D est un filtre.

Il reste maintenant à montrer que si le résultat est vrai pour φ(x̄), alors il est vrai pour ¬φ(x̄), et c’est là enfin que nous utiliserons le fait que D est un ultrafiltre. Nous avons par hypothèse :

M^{∗} ⊧ ¬φ((a_{i}^{1})_{D}, …, (a_{i}^{n})_{D}) ⟺ {i ∈ I | M_{i} ⊧ φ(a_{i}^{1}, …, a_{i}^{n})} ∉ D.

Mais, comme D est un ultrafiltre,

{i ∈ I | M_{i} ⊧ φ(a_{i}^{1}, …, a_{i}^{n})} ∉ D ⟺ {i ∈ I | M_{i} ⊧ ¬φ(a_{i}^{1}, …, a_{i}^{n})} ∈ D,

ce qui nous donne que la formule ¬φ(x̄) satisfait aussi l’équivalence.

(6.11) Soient I un ensemble, M une L-structure, et D un filtre sur I. Nous avons alors une inclusion M → M^{I}/D, donnée en envoyant a ∈ M sur la classe d’équivalence de l’élément (a)_{i∈I} (la suite constante égale à a). Il est clair que c’est un plongement de L-structures. Nous avons aussi Corollaire. Supposons que D soit un ultrafiltre. Alors l’inclusion M → M^{I}/D est une inclusion élémentaire. Démonstration. Immédiat par (6.10).

(6.12) Théorème de compacité, revisité. Soit T une théorie dans un langage L, et supposons que tout sous-ensemble fini Σ de T ait un modèle M_{Σ}. Alors il existe un ultrafiltre D sur l’ensemble I des parties finies de T, tel que ∏_{Σ∈I} M_{Σ}/D ⊧ T. Démonstration. Nous allons construire un ultrafiltre D sur I tel que M^{∗} = ∏_{Σ∈I} M_{Σ}/D ⊧ T. Pour cela il suffit de faire en sorte que pour chaque φ ∈ T, {Σ ∈ I | φ ∈ Σ} appartienne à D. [En effet, nous appliquerons alors le théorème de Łos.]

Définissons donc, pour φ ∈ T, S(φ) = {Σ ∈ I | φ ∈ Σ}, et soit G = {S(φ) | φ ∈ T }. Notons que S(φ_{1} ∧ φ_{2}) = S(φ_{1}) ∩ S(φ_{2}), ce qui entraîne que notre famille G a la propriété de l’intersection finie. Le filtre (sur I) engendré par G est donc propre, et est contenu dans un ultrafiltre D.

(6.13) Groupes ordonnés et ordonnables. Un groupe ordonné est une groupe (G, ·,^{−1}, 1), muni d’un ordre total < satisfaisant la relation de compatibilité suivante :

∀x, y, z (x < y) → (xz < yz).

Notons que cela entraîne que en fait on a une équivalence : (x < y) ↔ (xz < yz), et que de plus on a (x > 1) ↔ (x^{−1} < 1), et que connaître l’ensemble des éléments > 1 (appelé le cône positif de G), c’est connaître l’ordre sur le groupe : en effet on a x < y ↔ xy^{−1} < 1. Notons aussi qu’un groupe ordonné est nécéssairement sans torsion : si a > 1 alors

1 < a < a^{2} < ⋯ < a^{n} ⋯

Un groupe G est ordonnable, s’il existe un ordre total sur G qui satisfait à l’axiome de compatibilité ci-dessus.

Rappelons aussi qu’un groupe de type fini est un groupe ayant un ensemble fini de générateurs.

(6.14) Applications aux groupes ordonnables. Théorème. Un groupe G est ordonnable si et seulement si tout sous-groupe de G de type fini est ordonnable. Démonstration. Il faut remarquer que si G est un groupe ordonné, et si H est un sousgroupe de G, alors la restriction de l’ordre de G à H en fait un groupe ordonné : c’est parce que les axiomes nécéssaires pour exprimer qu’un groupe est ordonné sont des axiomes universels. La nécéssité de l’ordonnabilité de tous les sous-groupes de type fini de G est donc évidente.

Supposons maintenant que tout sous-groupe de G de type fini soit ordonnable, et soit I l’ensemble des parties finies de G. Pour chaque Σ ∈ I, soit G_{Σ}, le sous-groupe de G engendré par les éléments de Σ, et fixons un ordre sur ce groupe (qui en fasse un groupe ordonné). Nous considérons donc (G_{Σ}, ·,^{−1} , 1, <).

Pour chaque g ∈ G, soit S(g) = {Σ ∈ I | g ∈ Σ}. Alors l’ensemble {S(g) | g ∈ G} a la propriété de l’intersection finie, et donc est contenu dans un ultrafiltre D sur I.

Nous allons définir une application f : G → G^{∗} = ∏_{Σ∈I} G_{Σ}/D, qui sera un plongement de groupe. Nous définissons f de la façon suivante, pour g ∈ G :

f(g) = (g_{Σ})_{D}, et g_{Σ} = \{ \begin{matrix}g & si g ∈ G_{Σ}, \\ 1 & sinon. \end{matrix}

Alors f est injective, car pour chaque g ∈ G, l’ensemble S(g) est dans D. Donc, si g ≠ h, on aura g_{Σ} ≠ h_{Σ} pour tout Σ ∈ S(g) ∩ S(h) ∈ D. De même, cette injection respecte la loi de groupe : si g, h ∈ G, alors S(g) ∩ S(h) est contenu dans l’ensemble des Σ ∈ I tels que g_{Σ}h_{Σ} = f(g · h)_{Σ}, et f est donc un plongement de groupe. L’ultraproduit G^{∗} des groupes ordonnés (G_{Σ}, <) est aussi un groupe ordonné, avec sous-groupe G, ce qui montre bien que G est ordonnable.

(6.15) Application des ultraproduits aux classes élémentaires. Rappelons qu’une classe K de L-structures est appelée une classe élémentaire s’il existe une théorie T telle que K est l’ensemble des modèles de T, noté K = Mod(T). Notons que nécéssairement nous aurons alors T = T h(K) (= l’ensemble des énoncés vrais dans tous les membres de K). Nous avons le résultat suivant : Proposition. Soit K une classe de L-structures, T = T h(K).

(1) K = Mod(T) si et seulement si la classe K est close par équivalence élémentaire et par ultraproduits.

(2) K = Mod(φ) pour un énoncé φ si et seulement si K et son complément K^{c} sont closes par équivalence élémentaire et par ultraproduits.

Démonstration. (1) Supposons d’abord que K = Mod(T). Alors, si M ∈ K et M′ ≡ M, nous avons M′ ⊧ T, et M′ ∈ K. De même, si chaque M_{i} est dans K, alors chaque M_{i} est un modèle de T, donc leur ultraproduit est un modèle de T, qui est donc dans K. Cela montre une direction.

Pour la réciproque, montrons que si K est close par équivalence élémentaire et ultraproduits, alors elle est élémentaire. Soit donc M ⊧ T, nous voulons montrer que M ∈ K. Pour cela, il suffit de montrer qu’il existe un ultraproduit M^{∗} d’éléments de K qui est élémentairement équivalent à M.

Pour cela, utilisant (6.12), il suffit de montrer que pour tout sous-ensemble fini Σ de T h(M), il existe M_{Σ} ∈ K qui est modèle de Σ. Soit un tel Σ, et θ la conjonction des énoncés de Σ. Par hypothèse, T |̸= ¬φ, car M ⊧ T et M ⊧ φ. Par définition de T, cela signifie qu’il existe M_{Σ} ∈ K qui ne satisfait pas ¬φ, c’est à dire que M_{Σ} ⊧ Σ. Cqfd.

(2) K = Mod(φ) implique que K et son complément sont des classes élémentaires (K^{c} = Mod(¬φ)). Réciproquement, si K et K^{c} sont des classes élémentaires, posons T_{1} = T h(K^{c}). Alors T ∪T_{1} est inconsistante puisqu’elle n’a pas de modèle. Par compacité, il existe donc des énoncés φ ∈ T et φ_{1} ∈ T_{1} tels que φ ∧ φ_{1} soit inconsistante. Nous avons alors K = Mod(φ), K^{c} = Mod(φ_{1}). En effet, si M ⊧ φ, alors M |̸= φ_{1}, donc M |̸= T_{1}, M ∉ K^{c}, c’est à dire, M ∈ K. De même si M ⊧ φ_{1}, alors M ∈ K^{c}.

(6.16) Théorème. Soit I un ensemble dénombrable, D un ultrafiltre non-principal sur I, et (M_{i})_{i∈I} une famille de L-structures, où L est un langage dénombrable. Alors M^{∗} = ∏_{i∈I} M_{i}/D est ω_{1}-saturé. Démonstration. Nous pouvons supposer que I = N. Soit A un sous-ensemble dénombrable de M^{∗}, et p(x) ∈ S_{1}(A). [Le type p(x) contient donc le diagramme élémentaire de A dans M^{∗}.] Il nous faut trouver dans M^{∗} une réalisation de p(x). Nous fixons une énumération {φ_{n}(x, ā^{n}) | n ∈ N} des formules de p(x) ; ici les formules φ_{n}(x, ȳ) sont des formules de L, la longueur du uplet ȳ dépendant de n, et les uplets ā^{n} sont des uplets de A (qui dépendent eux aussi de n), que nous écrivons ā^{n} = (ā_{i}^{n})_{D}. Puisque L et A sont dénombrables, nous savons que l’ensemble des formules de L(A) en une variable libre est dénombrable, et il existe bien une telle énumération de p(x).

Pour chaque n ∈ N, soit

S(n) = {i ∈ N | M_{i} ⊧ ∃x ⋀_{k=0}^{n} φ_{k}(x, ā_{i}^{k})}.

Puisque p(x) est un type consistant, nous savons que M^{∗} ⊧ ∃x ⋀_{k=0}^{n} φ_{k}(x, ā^{k}), et par le théorème fondamental (6.10), cela entraîne que chaque S(n) est dans D. Notons aussi que S(n) contient S(n + 1) pour tout n ∈ N. Nous allons maitenant exhiber une réalisation b = (b_{i})_{D} de p(x) dans M^{∗}.

Pour i ∈ N, nous définissons b_{i} de la façon suivante :

(a) Si i ∉ S(0), alors nous prenons pour b_{i} n’importe quel élément de M_{i}.

(b) Si i ∈ ⋂_{m∈N} S(m), alors nous choisissons b_{i} ∈ M_{i} satisfaisant ⋀_{k=0}^{i} φ_{k}(x, ā^{k}).

(c) Sinon, soit m ∈ N maximal tel que i ∈ S(m), et prenons b_{i} ∈ M_{i} satisfaisant ⋀_{k=0}^{m} φ_{k}(x, ā^{k}). Soit maintenant n ∈ N. Nous voulons montrer que l’ensemble T (n) = {i ∈ N | M_{i} ⊧

⋀_{k=0}^{n} φ_{k}(b_{i}, ā_{i}^{k})} appartient à D. Nout allons montrer que T (n) ⊇ S(n) ∩ {i | i ≥ n}. En effet, soit i ∈ S(n), i ≥ n. Si i ∈ ⋂_{m} S(m), alors par construction M_{i} ⊧ ⋀_{k=0}^{i} φ_{i}(b_{i}, ā_{i}^{k}), et comme i ≥ n, nous avons bien que i ∈ T (n). Supposons maintenant que i ∉ ⋂_{m} S(m), et soit m défini comme dans (c). Puisque i ∈ S(n), nous avons m ≥ n, et donc i ∈ T (m) ⊇ T (n).

Cela finit la démonstration : puisque D est non-principal, l’ensemble {i | i ≥ n} est bien dans D ; donc son intersection avec S(n) aussi, et aussi T (n). Par le théorème fondamental, nous obtenons que M^{∗} ⊧ φ_{k}((b_{i})_{D}, ā^{k}) pour tout k ∈ N, et donc que (b_{i})_{D} réalise p(x) dans M^{∗}.

(6.17) Deux résultats importants que nous ne montrerons pas. La démonstration de ces deux résultats peut être trouvée par exemple dans le Chang et Keisler. Le premier est difficile à montrer (la preuve est très combinatoire), le deuxième est plus facile (mais aussi plus faible).

Théorème 1. (Shelah) Soient M et N des L-structures. Alors M ≡ N si et seulement s’il existe un ensemble I et un ultrafiltre D sur I tels que M^{I}/D ≃ N^{I}/D.

Théorème 2. Soient M et N des L-structures. Alors M ≡ N si et seulement s’il existe un ensemble I, un ultrafiltre D sur I, et un plongement élémentaire f : M → N^{I}/D.

(6.18) Remarques. (1) Ces résultats peuvent être appliqués à n’importe quel langage. Par exemple, M est une extension élémentaire de N si et seulement s’il existe I, D et un plongement élémentaire f de M dans N^{I}/D qui prolonge l’inclusion naturelle N → N^{I}/D définie en (6.11).

(2) Une classe K de L-structures est élémentaire si et seulement si elle est close par ultraproduits et par sous-structures élémentaires.

(6.19) Exercice. Soit D un ultrafiltre principal sur l’ensemble I, et soit (M_{i})_{i∈I} une famille de L-structures. Montrez que ∏_{i∈I} M_{i}/D ≃ M_{j} pour un j ∈ I.

(6.20) Exercice. Soit I un ensemble, D un filtre sur I, et J ∈ D. Posons U = {U ∩ J | U ∈ D} = D ∩ P(J). Si (M_{i})_{i∈I} est une famille de L-structures, montrez que

∏_{i∈I} M_{i}/D ≃ ∏_{i∈J} M_{i}/U.

(6.21) Exercice. Soit I un ensemble, D un ultrafiltre sur I, et soient (M_{i})_{i∈I} et (N_{i})_{i∈I} deux familles de L-structures telles que M_{i} ≺ N_{i} pour tout i ∈ I. Les inclusions M_{i} → N_{i} induisent une inclusion ∏_{i∈I} M_{i} → ∏_{i∈I} N_{i}. Montrez que cette inclusion est élémentaire.

(6.22) Exercice. Soient K_{1} et K_{2} des classes de L-structures, et T_{1} = T h(K_{1}) et T_{2} = T h(K_{2}). Montrez que T_{1} ∪ T_{2} est consistante si et seulement s’il existe un ultraproduit déléments de K_{1} qui est élémentairement équivalent à un ultraproduit déléments de K_{2}.

(6.23) Exercice. Soit I un ensemble, D un filtre sur I, et (K_{i})_{i∈I} une famille de corps. Nous savons que R = ∏_{i∈I} K_{i} a une structure d’anneau. Nous identifions P(I) avec l’algèbre de Boole B(R) des idempotents de R de la fao̧n suivante : à J ⊂ I nous faisons correspondre l’idempotent e_{J} qui prend la valeur 0 sur J et 1 sur I \ J. [La structure d’algèbre de Boole sur B(R) est donnée par : a ∩ b = ab, a ∪ b = a + b − ab]. Montrez que {e_{J} | J ∈ D} est un idéal de B(R). De plus, si M est l’idéal de l’anneau R engendré par {e_{J} | J ∈ D}, montrez que

∏_{i∈I} K_{i}/D ≃ R/M.

(6.24) Exercice (Itérations). Soient I et J des ensembles, D un filtre sur I et F un filtre sur J. Définissons D × F comme étant l’ensemble des Y ∈ P(I × J) tels que

{j ∈ J | {i ∈ I | (i, j) ∈ Y } ∈ D} ∈ F.

(1) Montrez que D × F est bien un filtre sur I × J.

(2) Montrez que si D et F sont des ultrafiltres, alors D × F est aussi un ultrafiltre.

(3) Soit (M_{(i,j)}), (i, j) ∈ I × J, une famille de L-structures. Pour j ∈ J définissons M_{j}^{∗} = ∏_{i∈I} M_{(i,j)}/D. Montrez que

∏_{(i,j)∈I×J} M_{(i,j)}/D × F ≃ ∏_{j∈J} M_{j}^{∗}/F.

(6.25) Exercice (difficile). Soit I un ensemble dénombrable, et D un ultrafiltre sur I. Pour chaque i ∈ I, soit M_{i} une L-structure finie, et soit M^{∗} = ∏_{i∈I} M_{i}/D. Montrez que |M^{∗}| est finie, ou bien égale 2^{ℵ_{0}}.

7. Ensembles algébriques, topologie de Zariski, variétés Dans ce qui suit, nous avons un corps F, contenu dans un corps algébriquement clos

K de cardinalité supérieure à celle de F. Nous notons F̃ la clôture algébrique de F dans K, et F^{s} la clôture séparable de F dans K.

(7.1) Soit S ⊆ K^{n}. On définit un idéal de K[X], X̄ = (X_{1}, …, X_{n}) :

I(S) = {f(X̄) ∈ K[X̄] | f(ā) = 0 pour tout ā ∈ S}.

Réciproquement, si I ⊆ K[X̄], on définit

V (I) = {ā ∈ K^{n} | f(ā) = 0 pour tout f(X̄) ∈ I}.

On vérifie facilement que pour I, J ⊆ K[X̄] et S, T ⊆ K^{n} on a:

V ((0)) = K^{n}, I(K^{n}) = (0), V (K[X̄]) = ∅, I(∅) = K[X̄],
I ⊆ J implique V (J) ⊆ V (I), I ⊆ I(V (I)),
S ⊆ T implique I(T) ⊆ I(S), S ⊆ V (I(S)).
I(V (I(S))) = I(S), V (I(V (I))) = V (I).

(7.2) La topologie de Zariski. Les sous-ensembles de K^{n} de la forme V (I) sont appelés des ensembles algébriques, ou aussi des fermés de Zariski.

Soient I, J ⊆ K[X̄]. Alors V (I) ∩ V (J) = V (I, J) : c’est évident. En fait, si I_{j}, j ∈ J, est une famille de sous-ensembles de K[X̄] alors ⋂_{j∈J} V (I_{j}) = V (⋃_{j∈J} I_{j}). De plus, V (I) ∪ V (J) = V (I · J), où I · J = {f(X̄)g(X̄) | f(X̄) ∈ I, g(X̄) ∈ J}. En effet, tout d’abord l’inclusion V (I) ∪ V (J) ⊆ V (I · J) est évidente. Ensuite, soit ā ∈ V (I · J), et supposons que ā ∉ V (I). Par définition, il existe donc f(X̄) ∈ I tel que f(ā) ≠ 0. Par hypothèse, f(ā)g(ā) = 0 pour tout g(X̄) ∈ J, ce qui entraîne (car K est un corps) que g(ā) = 0 pour tout g(X̄) ∈ J, c’est à dire, ā ∈ V (J). Nous avons donc montré :

Proposition. La famille des sous-ensembles algébriques de K^{n} est close par intersection (arbitraire) et union finie. C’est donc l’ensemble des fermés d’une topologie sur K^{n}, appelée la topologie de Zariski.

Si S ⊆ K^{n}, on définit la clôture de Zariski de S par S̃ = V (I(S)) ; c’est bien sûr le plus petit fermé de Zariski contenant S.

Si I ⊆ F [X̄], alors l’ensemble V (I) ∩ F^{n} sera aussi appelé un fermé de Zariski de F^{n}. La proposition ci-dessous (ou plutôt, sa démonstration) montre que ces ensembles sont aussi les fermés d’une topologie sur F^{n}, qui sera aussi appelée la topologie de Zariski sur F. Nous verrons qu’il n’y a pas de confusion à craindre.

(7.3) Noetherianité de la topologie de Zariski. Rappelons qu’un anneau (commutatif) R est noethérien si toute chaîne strictement croissante d’idéaux est finie, ou de façon équivalente si tout idéal est engendré par un nombre fini d’éléments. En effet, si (I_{n})_{n∈N} est une chaîne croissante d’idéaux de R, alors I = ⋃_{n∈N} I_{n} est engendré par un nombre fini d’éléments, qui se trouvent donc dans un des idéaux I_{n}, ce qui implique que I = I_{n}.

Réciproquement, si (I_{n})_{n∈N} est une suite strictement croissante d’idéaux de R, on prends un élément a_{n} ∈ I_{n+1} \ I_{n} pour chaque entier n, et l’on vérifie que l’idéal engendré par les a_{n}, n ∈ N, ne peut pas être engendré par un nombre fini d’éléments (puisque ce nombre fini d’éléments serait déjà dans un des idéaux I_{n} de la suite).

Les corps sont noethériens (puisqu’ils n’ont que l’idéal (0)). On montre que si R est noethérien, alors l’anneau de polynômes R[X] sur R est aussi noethérien. La classe des anneaux noethériens est aussi close par quotient. L’anneau de polynômes K[X̄] est donc noethérien (Attention, ce n’est plus vrai quand X̄ est un uplet infini de variables).

Soient I ⊆ J ⊂ K[X̄]. On voit tout d’abord qu’on peut supposer que I et J sont des idéaux : en effet, si f_{1}(X̄), …, f_{m}(X̄) s’annulent en un point ā, alors toute K[X̄]- combinaison linéaire de f_{1}(X̄), …, f_{m}(X̄) s’annulera aussi en ā. Nous savons que V (I) ⊇ V (J). Si V (I) ≠ V (J), alors il existera forcément un élément f(X̄) ∈ J, f(X̄) ∉ I. Ce qui veut dire que à une inclusion stricte de fermés de K^{n} correspond une contenance stricte d’idéaux de K[X̄].

Mais nous savons qu’il n’existe pas de chaîne croissante infinie d’idéaux de K[X̄]. Cela entraîne donc qu’il n’existe pas de chaîne décroissante infinie de fermés de K^{n}.

(7.4) Remarques sur la compacité. Définition. Un espace topologique satisfaisant que toute suite décroissante de fermés est finie, est appelé noethérien.

Remarquons tout de suite que la noethérianité entraîne que tout recouvrement par des ouverts de K^{n} contient un sous-recouvrement fini : en effet, en passant au complémentaire, on a une famille de fermés dont l’intersection est vide, et par noethérianité, l’intersection de cette famille est égale à une intersection finie d’éléments de la famille.

Cependant, notre espace K^{n} n’est pas compact au sens français : en effet il n’est pas Hausdorff. Pire, on montre que l’intersection de deux ouverts non-vide est forcément non-vide. En effet, passant au complémentaire, il suffit de montrer que si V (I) et V (J) sont des fermés propres de K^{n}, alors V (I) ∪ V (J) ≠ K^{n}. Soit F un sous-corps de K tel que I, J ⊆ F [X̄]. Si ā ∈ V (I) ∪ V (J), cela veut dire que le uplet ā satisfait une équation non triviale à coefficients dans F. C’est à dire nous aurons tr.deg(ā/F) < n. De même si ā ∈ V (J). Donc V (I) ∪ V (J) ne contient aucun n-uplet d’éléments algébriquement indépendants sur F. Puisque F peut être choisi de degré de transcendance fini, et que K est “gros”, il contient des n-uplets d’éléments algébriquement indépendants au-dessus de F, qui ne sont donc pas dans V (I) ∪ V (J). Cela montre que V (I) ∪ V (J) ≠ K^{n}, et donc que l’intersection de leurs complémentaires est non-vide.

Le même raisonnement nous donne que dans F^{n}, toute suite décroissante de fermés est non-vide. De plus, on peut montrer que, si F est infini, alors l’intersection de deux ouverts non-vides de F^{n} est non-vide (Voir exercice (7.14)).

(7.5) Composantes irréductibles. On dit qu’un fermé de K^{n} est une variété, ou bien est irréductible, s’il n’est pas réunion de deux sous-ensembles propres fermés. On dit qu’il est F -irréductible s’il est défini sur F et n’est pas réunion de deux sous-ensembles propres fermés définis sur F.

Puisque la topologie est noethérienne, tout fermé se décompose en ses composantes irréductibles, c’est à dire s’écrit de façon unique (à permutation près) comme V_{1}∪⋯∪V_{m}, où chaque V_{i} est une variété, et aucun des V_{i} n’est contenu dans la réunion des autres.

En effet, soit V un fermé. Si V n’est pas irréductible, nous pouvons écrire V = V_{0} ∪V_{1} où V_{0} et V_{1} sont des fermés contenus strictement dans V. Si V_{0} est irréductible, on ne fait rien, sinon on trouve des fermés V_{00} et V_{01} contenus strictement dans V_{o} et tels que V_{0} = V_{00} ∪ V_{01}; on fait de même pour V_{1}, pour V_{00}, etc . . .. De cette façon on construit un arbre à branchement fini, qui n’a pas de branche infinie, car toute branche donne une suite strictement décroissante de fermés, et on sait qu’une telle suite est finie. Cet arbre est donc un arbre fini, et ses noeuds terminaux sont des fermés irréductibles contenus dans V.

Donc V peut s’écrire comme V_{1} ∪ ⋯ ∪ V_{m}, où chaque V_{i} est un fermé irréductible. On peut maintenant supposer qu’aucun des V_{i} n’est contenu dans la réunion des autres: si V_{1} ⊆ V_{2} ∪ ⋯ ∪ V_{m} alors V_{1} = (V_{1} ∩ V_{2}) ∪ ⋯ ∪ (V_{1} ∩ V_{m}); comme V_{1} est irréductible, il existe i tel que V_{1} ∩ V_{i} = V_{1}, ce qui implique que V_{1} ⊆ V_{i}.

Un résultat analogue est vrai pour les composantes F -irréductibles d’un fermé défini sur F.

(7.6) Nous allons maintenant décrire les idéaux de la forme I(S). Nous commençons par un lemme : Lemme. Soit I un idéal (propre) de K[X̄]. Alors V (I) est non vide. Démonstration. Soit M un idéal maximal contenant I. Le corps L = K[X]/M contient naturellement K comme sous-corps, et sa clôture algébrique L̃ est une extension élémentaire de K. Soient f_{1}(X̄), …, f_{m}(X̄) des générateurs de I. Puisque I ⊆ M, les éléments x̄, les classes de X̄ modulo M, satisfont alors: f_{1}(x̄) = f_{2}(x̄) = ⋯ = f_{m}(x̄) = 0. Comme K est une sous-structure élémentaire de L̃, K ⊧ ∃x̄ f_{1}(x̄) = f_{2}(x̄) = ⋯ = f_{m}(x̄) = 0, ce qui montre V (I) ≠ ∅.

(7.7) Théorème (Nullstellensatz de Hilbert). Soit I ⊆ K[X̄] un idéal, et f ∈ K[X̄]. Si f ∈ I(V (I)), alors il existe un entier k tel que f^{k} ∈ I. Démonstration. Soit J l’idéal de l’anneau K[X̄, Y] engendré par I et par le polynôme f(X̄)Y − 1 (Y est une nouvelle variable). Nous savons que V (J) = ∅ : en effet, par définition de I(V (I)), si ā ∈ V (I) alors f(ā) = 0, et donc on ne peut trouver d’élément b tel que f(ā)b = 1.

Donc 1 ∈ J, et nous trouvons des éléments g(X̄, Y), g_{1}(X̄, Y), …, g_{m}(X̄, Y) ∈ K[X̄, Y], et f_{1}(X̄), …, f_{m}(X̄) ∈ I tels que

1 = g(X̄, Y)(f(X̄)Y − 1) + f_{1}(X̄)g_{1}(X̄, Y) + ⋯ + f_{m}(X̄)g_{m}(X̄, Y).

Si nous remplaçons chaque occurrence de la variable Y par (1/f(X̄)), et multiplions l’équation par une puissance de f(X̄) suffisamment grande pour chasser les dénominateurs, nous obtenons une égalité de la forme

f(X̄)^{k} = 0 + f_{1}(X̄)g_{1}(X̄, 1/f(X̄))f(X̄)^{k} + ⋯ + f_{m}(X̄)g_{m}(X̄, 1/f(X̄))f(X̄)^{k},

et la somme de droite est dans I, ce qui montre le théorème.

(7.8) Remarque. Ce résultat est faux lorsque K n’est pas algébriquement clos. Le problème vient en fait du lemme précédent : si F est un corps quelconque, et I un idéal propre de F [X̄], il se peut très bien que V (I) ∩ F^{n} soit vide.

Par exemple, soit F = Q, ou même F = R, et prenons pour I l’idéal engendré par X^{2} + Y^{2} + 1. Alors V (I) ∩ R^{2} = ∅. Pourtant, dans C, V (I) est assez “gros”: pour tout a ∈ C, il existe b ∈ C tel que (a, b) ∈ V (I) : on prend tout simplement b = \sqrt{1 − a^{2}}.

(7.9) Il y a donc une bijection entre les idéaux radicaux (ie, satisfaisant: si f^{k} ∈ I alors f ∈ I) et les fermés de Zariski de K^{n}. On vérifie facilement que pour un fermé V défini sur F :

V est une variété si et seulement si I(V) est premier, V est F -irréductible si et seulement si I(V) ∩ F [X] est premier.

Vérifions par exemple la première équivalence. Supposons que V = V_{1} ∪ V_{2}, où V_{1} et V_{2} sont des fermés strictement contenus dans V. Alors les idéaux I(V_{1}) et I(V_{2}) contiennent strictement I(V); soient f(X̄) ∈ I(V_{1}) \ I(V), g(X̄) ∈ I(V_{2}) \ I(V) et considérons le polynôme f(X̄)g(X̄): il s’annule sur V_{1} et sur V_{2}, donc sur V. Donc f(X̄)g(X̄) ∈ I(V), bien que f(X̄) et g(X̄) ne soient pas dans I(V), ce qui montre que I(V) n’est pas premier.

Réciproquement, supposons que I(V) ne soit pas premier, et soient f(X̄) et g(X̄) des polynômes qui ne sont pas dans I(V) mais dont le produit est dans I(V). Soient V_{1} = V (I(V), f(X̄)) et V_{2} = V (I(V), g(X̄)) ; ils sont strictement contenus dans V. D’autre part tout point ā de V satisfait f(ā)g(ā) = 0, et donc satisfait f(ā) = 0 ou g(ā) = 0, ce qui montre que V = V_{1} ∪ V_{2} et que V n’est pas irréductible.

Les composantes irréductibles correspondent donc aux idéaux minimaux parmi les idéaux premiers contenant I(V).

Il est clair que l’irréductibilité d’un fermé défini sur F implique son F -irréductibilité; la réciproque est cependant fausse : considérons le fermé défini par x^{2} + y^{2} = 0; il est Q-irréductible, mais n’est pas Q(i)-irréductible.

En fait on a le résultat suivant: soit V un fermé défini sur F. Alors V = V_{1} ∪ … ∪ V_{m}, où les V_{i} sont des variétés définies sur une extension normale et finie E de F. Le groupe des automorphismes de E fixant F, Aut(E/F), permute les composantes V_{i}; si V est F - irréductible, alors il les permute transitivement. La première assertion est plus ou moins évidente, puisque Aut(E/F) induit un automorphisme de E[X̄] qui envoie I(V) sur I(V) et donc envoie un idéal premier minimal contenant I(V) sur un autre idéal premier minimal contenant I(V).

Donc en particulier, la notion de variété est indépendante du corps algébriquement clos dans lequel on travaille.

(7.10) Corps de définition. Soit V un fermé de Zariski de K^{n}. On dit que V est défini sur F (un sous-corps de K) si l’idéal I(V) est engendré par I ∩ F [X̄]. On dit aussi que F est un corps de définition de V. Théorème. Soit V ⊆ K^{n} un fermé de Zariski. Alors V a un plus petit corps de définition. Démonstration. Soit I = I(V), et R = K[X̄]/I. Soit M l’ensemble de tous les monômes de K[X̄], c’est à dire les éléments de la forme X_{1}^{i_{1}}X_{2}^{i_{2}} ⋯ X_{n}^{i_{n}}. Alors M est une base du K-espace vectoriel K[X̄]. Soit B ⊆ M, K-indépendant modulo I et maximal avec cette propriété; B forme donc une base du K-espace vectoriel R. A tout monôme m de K[X̄] on associe alors une combinaison linéaire A_{m} d’éléments de B telle que m − A_{m} ∈ I; cette combinaison linéaire est bien entendu unique. De plus I est engendré par les polynômes m − A_{m} où m parcourt l’ensemble des monômes de K[X̄]: soit f(X̄) ∈ I, et écrivons f(X̄) = ∑_{m∈M} a_{m}m. Alors

f(X̄) = ∑_{m∈M} a_{m}(m − A_{m}) + ∑_{m∈M} a_{m}A_{m}.

Donc ∑_{m∈M} a_{m}A_{m} est une combinaison linéaire d’éléments de B, qui est dans I (parce que f(X̄) et chacun des (m−A_{m}) sont dans I). Par définition de B, cette somme est donc nulle, ce qui montre bien que f(X̄) est dans l’idéal engendré par les (m − A_{m}), m ∈ M.

Soit K_{0} le sous-corps de K engendré par les coefficients apparaissant dans les combinaisons linéaires A_{m}, m ∈ M. Nous avons montré que V est définie sur K_{0}.

Nous donnons maintenant une preuve rapide du théorème quand la caractéristique est 0. L’unicité de la combinaison linéaire A_{m} implique que tout automorphisme σ de K satisfaisant σ(I) = I est l’identité sur K_{0}. Soit K_{1} un corps de définition de V. Alors tout automorphisme de K fixant K_{1} satisfait σ(I) = I (par définition d’un corps de définition) et donc σ fixe K_{0}. Cela implique que K_{0} ⊆ dcl(K_{1}), et donc K_{0} ⊆ K_{1} puisque nous sommes en caractéristique 0.

Pour le cas général, supposons V définie sur K_{1}, et soient f_{1}(X̄), …, f_{r}(X̄) ∈ K_{1}[X̄] un système de générateurs de I(V). Soit m_{0} ∈ M \ B. Puisque (m_{0} − A_{m_{0}}) ∈ I(V), il existe g_{1}(X̄), …, g_{r}(X̄) ∈ K[X̄] tels que

(m_{0} − A_{m_{0}}) = f_{1}(X̄)g_{1}(X̄) + ⋯ + f_{r}(X̄)g_{r}(X̄).

Ecrivons f_{i}(X̄) = ∑_{m∈M} a_{im}m et g_{i}(X̄) = ∑_{m∈M} b_{im}m. Alors le coefficient du monôme m dans le polynôme f_{i}(X̄)g_{i}(X̄) est ∑_{m_{1}m_{2}=m} a_{im_{1}}b_{im_{2}}.

Soit S = {m ∈ M | il existe i tel que b_{im} ≠ 0}. Le coefficient de m dans f_{1}(X̄)g_{1}(X̄)+ ⋯ + f_{r}(X̄)g_{r}(X̄) est donc de la forme c_{m}(b̄), où b̄ = (b_{im})_{m∈S,i=1,...,r} et c_{m}(Ȳ) ∈ K_{1}[Ȳ] est une K_{1}-combinaison linéaire des variables Y_{im}, (m ∈ S, 1 ≤ i ≤ r). Considérons maintenant le système d’équations linéaires:

\begin{aligned}c_{m_{0}}(Ȳ) & = 1, \\ c_{m}(Ȳ) & = 0 pour m ∈ M \ B, m ≠ m_{0}. \end{aligned}

Ce système a une solution dans K, (les b_{im}), et donc a une solution (d_{im}) dans K_{1}. Soit h_{i}(X̄) = ∑_{m∈S} d_{im}m. Par notre choix des coefficients d_{im},

f_{1}(X̄)h_{1}(X̄) + ⋯ + f_{r}(X̄)h_{r}(X̄) = m_{0} + ∑_{m∈B} e_{m}m

pour des éléments e_{m} ∈ K_{1}. Le fait que B est une base modulo I implique que A_{m_{0}} = − ∑_{m∈B} e_{m}m et donc que (m_{0} − A_{m_{0}}) ∈ K_{1}[X̄].

Donc K_{1} contient tous les coefficients des monômes apparaissant dans les polynômes (m − A_{m}), m ∈ M. Il contient donc K_{0}.

Attention. Les notions de définition au sens de la théorie des modèles et de la géométrie algébrique diffèrent en caractéristique p positive: en effet l’ensemble des zéros de l’équation f(x) = 0 est aussi défini par la formule f(x)^{p} = 0. On a le résultat suivant: si le fermé V est défini par une formule à paramètres dans A, alors V est défini sur dcl(A) au sens algébrique. Remarques. (1) La démonstration du théorème nous donne le résultat suivant: Tout élément de I(V) ⊂ K[X̄] est une K-combinaison linéaire de polynômes m − A_{m}, m ∈ M \ B.

(2) Nous avons en fait montré le résultat suivant: soit V un fermé de K^{n}, I = I(V), K_{0} le corps de définition de V, et σ un automorphisme de K. Nous avons:

σ(V) = V ⟺ σ(I) = I ⟺ σ fixe K_{0}.

En effet, si f_{1}(X̄), …, f_{m}(x̄) ∈ K[X̄] sont des générateurs de I, alors σ(V) = V (σ(f_{1})(X̄), …, σ(f_{m})(X̄)), ce qui montre la première équivalence. La deuxième équivalence est implicite dans la preuve du théorème.

(7.11) Supposons maintenant que F_{1} ⊆ F_{2} soient des sous-corps de K, et soient T_{1} la topologie de Zariski sur F_{1}^{n}, T_{2} celle de F_{2}^{n}. Les fermés de T_{1} seront donc les ensembles V (I) ∩ F_{1}^{n}, où I ⊂ F_{1}[X̄]. Il est clair qu’un fermé de T_{1} est l’intersection avec F_{1}^{n} d’un fermé de T_{2}. La réciproque, qui montre que la topologie T_{1} coïncide avec la topologie induite par T_{2} sur F_{1}^{n} (⊆ F_{2}^{n}) est vraie.

Une démonstration très élégante de cette réciproque m’a été indiquée par W. Hodges. Soit I ⊆ F_{2}[X̄] ; nous allons trouver J ⊆ F_{1}[X̄] tel que

V (I) ∩ F_{1}^{n} = V (J) ∩ F_{1}^{n},

ce qui montrera le résultat.

Choisissons une base B du F_{1}-espace vectoriel F_{2}; alors tout élément de F_{2}[X̄] s’écrit comme une F_{1}[X̄]-combinaison linéaire d’éléments de B. Soit f_{1}(X̄), …, f_{m}(X̄) un système de générateurs de I, et écrivons pour chaque i = 1, …, m,

f_{i}(X̄) = ∑_{b∈B} g_{i,b}(X̄)b,

où les g_{i,b}(X̄) ∈ F_{1}[X̄] sont presque tous nuls. Nous avons alors, pour ā ∈ F_{1}^{n}:

ā ∈ V (I) ⟺ f_{1}(ā) = ⋯ = f_{m}(ā) = 0

⟺ ∑_{b∈B} g_{i,b}(ā)b = 0 pour tout i = 1, …, m,

⟺ g_{i,b}(ā) = 0 pour tout b ∈ B et i = 1, …, m,

ce qui montre le résultat. Ici nous avons utilisé le fait que les éléments de B sont F_{1}- linéairement indépendants pour passer de la deuxième ligne à la troisième.

(7.12) Remarque. Cela montre donc que nous aurions pu définir les fermés de Zariski de F^{n} directement dans F, sans passer pr K.

(7.13) Exercice. Montrez les inclusions énoncées dans (7.1).

(7.14) Exercice. Soit F un corps infini, et F^{∗} une extension élémentaire de F, qui contient proprement F.

(1) Montrez que tout élément de F^{∗} \ F est transcendant sur F.

(2) Supposons maintenant que F^{∗} soit de cardinalité |F |^{+}. Montrer que le degré de transcendance de F^{∗} sur F égale |F |^{+}.

(3) En déduire que si U et V sont des ouverts de Zariski non vides de F^{n}, alors U ∩ V ≠ ∅.

(7.15) Soit V un fermé de K^{n}. On définit l’anneau affine de V: K[V] = K[X]/I(V); si V est défini sur F, on définira F [V] = F [X]/(I(V) ∩ F [X]). Si V est irréductible, alors K[V] est un anneau intègre, et on notera K(V) son corps de fractions (corps des fonctions rationnelles sur V). De même, si V est F -irréductible, on note F (V) le corps des fractions de F [V].

Pourquoi parle-t-on de “fonctions rationnelles”? Voici une explication. Si f(X̄) ∈ K[X̄], alors f(X̄) définit une fonction f̃: V → K, en posant tout simplement f̃(ā) = f(ā) pour ā ∈ V. On montre immédiatement que f̃ = g̃ si et seuelement si f(X̄)−g(X̄) ∈ I(V). La fonction f(X̄) ↦ f̃ définit donc un homomorphisme d’anneau, avec noyau I(V), qui envoie K[X̄] dans l’anneau des fonctions de V dans K. Cela établit un isomorphisme entre K[V] et un anneau de fonctions sur V. On peut donc considérer les éléments de K[V] comme des fonctions définies sur K.

Si maintenant f(X̄), g(X̄) ∈ K[X̄], et g(X̄) ∉ I(V), l’élément f̃/g̃ est une fonction (partielle) définie sur l’ouvert de Zariski U = {ā ∈ V | g(ā) ≠ 0} de V. Nous pensons donc aux éléments de K(V) comme à des fonctions définies sur des ouverts de V.

(7.16) Dimension, points génériques, etc. Si V est une variété, on définit la dimension de V, dim(V), comme étant égale au degré de transcendance de K[V] sur K; si V est un fermé quelconque, alors dim(V) est égale au maximum des dimensions de ses composantes irréductibles.

Soit V un fermé F -irréductible défini sur F, et soit ā ∈ K^{n}. On dit que ā est un point générique de V (sur F) si ā ∈ V et le F -homomorphisme: F [V] → F [ā] qui envoie la classe de X̄ modulo I(V) sur le n-uplet ā, est un isomorphisme. Cela est équivalent à dire que ā ∈ V et le degré de transcendance de F (ā) sur F est égal à dim(V). Si ā et b̄ sont des génériques de V sur F, alors il existe un F -automorphisme de K qui envoie ā sur b̄, puisque les anneaux F [ā] et F [b̄] sont F -isomorphes.

Soit ā ∈ K^{n}; on définit
I(ā/F) = {f(X̄) ∈ F [X̄] | f(ā) = 0}.

Les assertions suivantes sont des conséquences immédiates de la définition:

(1) I(ā/F) est un idéal premier de F [X̄], et F [ā] ≃_{F} F [X̄]/I(ā/F).

(2) Donc si V est le fermé de K^{n} défini par I(ā/F), alors V est F -irréductible, et ā est un générique de V sur F. On a, pour b̄ ∈ K^{n}:

b̄ ∈ V ⟺ I(b̄/F) ⊇ I(ā/F) ⟺ I(b̄/F) ⊇ I(V) ∩ F [X̄].

(3) Un élément b ∈ V est générique de V sur F si et seulement si I(b̄/F) = I(V) ∩ F [X̄].

(4) Si b̄ ∈ V, alors il existe un homomorphisme: F [ā] → F [b̄] qui est l’identité sur F et envoie ā sur b̄.

(5) Soit V un ensemble algébrique défini sur F, et supposons qu’il existe un point ā ∈ V tel que pour tout b̄ ∈ V, il existe un F -homomorphisme F [ā] → F [b̄] qui envoie ā sur b̄. Alors V est F -irréductible et ā est un point générique de V sur F. En effet notre hypothèse entraîne que I(b̄/F) contient I(ā/F) pour tout b̄ ∈ V; donc I(V) ∩ F [X̄] = I(ā/F), et c’est un idéal premier.

(7.17) Quelques exemples de dimension.

(1) Soit V = K^{n} = A^{n}(K), (V) = (0), K[V] = K[X̄], K(V) = K(X̄) et donc dim(V) = n.

(2) Soit f(X̄) ∈ K[X̄], non nul, et soit V = V (f). Alors dim(V (f)) = n − 1.

(3) En fait plus généralement, soit V une variété, f(X̄) ∈ K[X̄]\I(V) et W = V ∩V (f). Alors dim(W) = dim(V) − 1.

(7.18) Soient ā et F comme ci-dessus. L’idéal I(ā/F) définit alors un fermé de Zariski ((V (I(ā/F))), appelé le locus de ā sur F. Par définition, ce fermé V est F -irréductible, et ā est un générique de V sur F. Nous allons donner un critère d’irréductibilité de V : Fait. Le fermé V est une variété si et seulement si F (ā) ∩ F^{s} = F.

Nous n’allons pas montrer ce résultat, mais seulement montrer sa nécéssité. Supposons que α ∈ F (ā) soit dans F^{s} \ F, et soient α = α_{1}, α_{2}, …, α_{m} l’ensemble des conjugués de α au-dessus de F. Soient maintenant f(X̄), g(X̄) ∈ F [X̄] des polynø̂mes relativement premiers tels que g(ā) ≠ 0 et f(ā)/g(ā) = α. Si p(T) est le polynôme minimal de α au-dessus de F, alors une équation de la forme g(X̄)^{k}p((f(X̄)/g(X̄)) est dans I(ā/F). Si maintenant on regarde un idéal premier P de K[X̄] minimal contenant I(ā/F), il devra nécéssairement contenir g(X̄)α_{i} − f(X̄) pour un indice i, puisque le polynôme p(T) se factorise en facteurs linéaires sur K. On peut montrer que si i ≠ j, alors l’idéal (I(ā/F), g(X̄)α_{i} − f(X̄), g(X̄)α_{j} − f(X̄)) de K[X̄] égale 1.

(7.19) Fait. Les discussions précédentes montrent en particulier les choses suivantes. Soit ā un uplet de K, et F un sous-corps de K, I = I(ā/F).

(1) Si F est algébriquement clos, alors I engendre dans K[X̄] un idéal premier. Le locus de ā sur F est donc une variété.

(2) Supposons maintenant que F soit séparablement clos. Alors l’idéal J de K[X̄] engendré par I n’est pas nécéssairement premier, mais son radical le sera. De plus le locus de ā au-dessus de F est aussi une variété.

(7.20) Quelques remarques additionnelles. Pour se souvenir des différents cas, il est bon de se rappeler le cas algébrique. En effet, considérons un polynôme en une variable p(T), irréductible sur F. Alors l’ensemble V (p) est un ensemble fini de points (de F̃), et chacun de ces points est une composante irréductible de V (p). Si p(T) a des racines distinctes, alors V (p) contient plusieurs points, n’est pas irréductible, et ses composantes sont définies sur l’extension de F obtenues en rajoutant à F les racines de p(T).

Si maintenant F est séparablement clos, alors le polynôme irréductible p(T) n’a qu’une seule racine. Nous avons donc que V (p) consiste d’un point et est irréductible. Si le degré de p(T) est > 1 et p(a) = 0, alors p(T) = (T − a)^{deg(p)}, I(V (p)) est engendré par T − a, et le radical de l’idéal de K[T] engendré par p(T) est précisément I(V (p)).

Et finalement, si F est algébriquement clos, alors tout polynôme irréductible sur F est linéaire, et donc définit une variété.

(7.21) Variétés projectives. Dans les paragraphes précédents, nous avons étudié des sous-ensemble algébriques de K^{n}. La variété K^{n} est ausi appelée l’espace affine de dimension n et est notée A^{n}(K). (La notation A est une notation fonctorielle). De la même façon, les variétés projectives sont des sous ensemble de l’espace projectif P^{n}(K) de dimension n sur K.

P^{n}(K) est construit de la façon suivante. On prend le quotient de K^{n+1} \ {0} par la relation d’équivalence ∼ “être proportionnel à”, c’est à dire (a_{0}, …, a_{n}) ∼ (b_{0}, …, b_{n}) si et seulement s’il existe λ ∈ K tel que a_{i} = λb_{i} pour i = 0, …, m. Notons qu’un tel λ est forcément non-nul, puisque l’un des a_{i} doit être non nul.

La classe d’équivalence de (a_{o}, …, a_{n}) est alors notée (a_{0} : ⋯: a_{n}). L’ensemble des classes d’équivalence est l’espace projectif. D’après notre définition il est évident que P^{n}(K) peut être aussi décrit comme l’ensemble des droites de A^{n+1}(K).

On peut aussi exprimer P^{n}(K) comme une réunion d’espace affines de dimension n. En effet, pour chaque i = 0, …, n, soit

U_{i} = {(a_{0} : ⋯: a_{n}) ∈ P^{n}(K) | a_{i} ≠ 0}.

Alors certainement P^{n}(K) = ⋃_{i=0}^{m} U_{i}. De plus chaque U_{i} est en bijection avec A^{n}(K): notons que tout élément de U_{i} peut s’écrire (b_{0} : ⋯: b_{n}) avec b_{i} = 1: en effet, (1/a_{i})(a_{0}, …, a_{n}) = (b_{0}, …, b_{n}). Nous avons donc une bijection f_{i} : U_{i} → A^{n}(K), obtenue à partir de l’application

(a_{0}, …, a_{n}) ↦ (a_{0}/a_{i}, …, â_{i}/a_{i}, …, a_{n}/a_{i}).

Un sous ensemble S de P^{n}(K) est un fermé de Zariski si pour tout i = 0, …, m, f_{i}(S) est un fermé de Zariski de A^{n}(K). On vérifie que cela définit bien une topologie noethérienne sur P^{n}(K), où les ensembles U_{i} sont des ouverts. En fait quand on travaille dans P^{n}(K), on travaille très souvent localement, c’est à dire, dans un des U_{i}, et on peut alors utiliser les résultats sur les espaces affines. Une sous-variété de P^{n}(K) est un fermé irréductible S, et on vérifie que c’est le cas si et seulement si f_{i}(S ∩ U_{i}) est une variété de l’espace affine pour tout i.

Si maintenant S ⊂ P^{n}(K) est un fermé, on peut aussi regarder l’idéal I(S) des polynômes f(X_{0}, …, X_{n}) ∈ K[X_{0}, …, X_{n}) tel que pour tout (a_{0}, …, a_{n}) ∈ A^{n+1}(K)\{0} avec (a_{0} : ⋯: a_{n}) ∈ S, on ait f(a_{0}, …, a_{n}) = 0. On vérifie que c’est un idéal homogène, c’est à dire engendré par des polynômes f(X̄) où tous les monômes apparaissant avec un coefficient non nul ont le même degré (rappelons que le degré du monôme X_{0}^{i(0)} ⋯ X_{n}^{i(n)} est i(0) + ⋯ + i(n)).

8. Types définissables, héritiers.

Nous fixons une théorie complète T dans un langage L (dénombrable), et un modèle M^{∗} de T suffisamment saturé, infini, dans lequel nous travaillerons. Tous les ensembles de paramètres sont des sous-ensembles de M^{∗}, les modèles de T sont des sous-structures élémentaires de M^{∗}.

(8.1) Définitions. Soit p(x̄) ∈ S_{n}(A), et B ⊆ A.

(1) Nous disons que p est définissable sur B si pour toute formule φ(x̄, ȳ) ∈ L, il existe une formule d_{φ}(ȳ) ∈ L(B) telle que pour tout b̄ ∈ A,

φ(x̄, b̄) ∈ p(x̄) ⟺ M^{∗} ⊧ d_{φ}(b̄).

(2) Si p est définissable sur A, on dit tout simplement que p est définissable.

(3) L’ensemble des formules d_{φ} est appelé un schéma de définition de p.

(8.2) Remarques. (1) Dire qu’un type p ∈ S_{n}(A) est définissable, c’est dire que l’ensemble {ā ∈ A^{ℓ(ȳ)} | φ(x̄, ā) ∈ p(x̄)} est l’intersection avec A^{ℓ(ȳ)} d’un ensemble L(A)-définissable dans M.

(2) Donc en particulier, si p(x̄) est définissable, et si φ_{1}(x̄, ȳ_{1}) et φ_{2}(x̄, ȳ_{2}) sont des formules, avec définitions d_{φ_{1}}(ȳ_{1}) et d_{φ_{2}}(ȳ_{2}) respectives, alors la formule d_{φ_{1}}(ȳ_{1}) ∧ d_{φ_{2}}(ȳ_{2}) sera une définition pour la formule φ_{1}(x̄, ȳ_{1}) ∧ φ_{2}(x̄, ȳ_{2}). On raisonne de même pour les autres opérations booléennes.

Si notre type p(x̄) est axiomatisé (modulo T) par des combinaison booléennes de formules de la forme φ(x̄, ā), avec φ(x̄, ȳ) ∈ Δ (un ensemble de formules), il suffira donc, pour montrer que p(x̄) est définissable, de montrer que d_{φ} eziste pour chacune des formules de Δ. En particulier, si notre théorie T élimine les quantificateurs, pour vérifier qu’un type p(x̄) est définissable, il suffira donc de vérifier que toutes les formules sans quantificateurs ont une définition.

(8.3) Exemple 1. Un type isolé est toujours définisssable. En effet, soit ψ(x̄, ā) une formule isolant p(x̄) ∈ S_{n}(A). Alors d_{φ}(ȳ) est la formule ∀x̄(ψ(x̄, ā) → φ(x̄, ȳ)).

(8.4) Exemple 2. Soit T la théorie de l’ordre dense sans extrémités, et soient A = Q, a ∈ A et r ∈ R \ Q.

Soit p_{a^{+}}(x) le type (sur A) défini par {x < b | b ∈ Q, b > a} ∪ {x > a}. Alors p_{a^{+}}(x) est définissable. En effet d_{x<y}(y) = y > a, d_{x>y}(y) = y ≤ a, and d_{x=x}(y) = y ≠ y.

Soit maintenant q_{r}(x) = tp(r/Q). Alors on peut montrer que q_{r}(x) n’est pas définissable. Rappelons que q_{r}(x) est donné par la coupure C = {s ∈ Q | s < r}. En effet (par élimination des quantificateurs) q_{r}(x) est axiomatisé par les formules {x > s | s ∈ C}∪{x < s | s ∈ Q \ C}. Si q_{r}(x) était définissable, alors la formule d_{x<y}(y) définirait l’ensemble C. Cependant, si a_{1} < … < a_{m} sont des rationnels, on sait que deux éléments quelconques de (a_{i}, a_{i+1}) réalisent le même type sur ā = (a_{1}, …, a_{n}). Donc, si r ∈ (a_{i}, a_{i+1}), il existe des éléments de C et de Q \ C qui réalisent le même type sur ā : C ne peut donc être définissable.

(8.5) Exemple 3. Soit L le langage de l’egalité, T la théorie d’un ensemble infini. Nous savons que T est complète, et élimine les quantificateurs. Si p(x̄) est un type sur A, alors p(x̄) est une combinaison booléenne de formules de la forme x_{i} = a pour a ∈ A. Il est clair que les formules d_{x_{i}=y}(y) existent.

(8.6) Définition. Soit p(x̄) ∈ S_{n}(A), et supposons que p(x̄) soit définissable par un schéma (d_{φ}). Soit B ⊃ A. On définit alors p(B)(x̄) comme étant l’ensemble {φ(x̄, b̄) | M^{∗} ⊧ d_{φ}(b̄)}.

Attention : p(B)(x̄) est un ensemble de formules de L(B). Mais nous n’avons pas dit qu’il est consistant, encore moins qu’il est complet. Lemme. Le schéma (d_{φ}) définit un type sur B pour tout B ⊃ A si et seulement si les conditions suivantes sont satisfaites (dans M^{∗}) :

(a) Pour toute formule φ(x̄, ȳ) ∈ L,

M^{∗} ⊧ ∀ȳ(¬d_{φ}(ȳ) ⟺ d_{¬φ}(ȳ)).

(b) Pour toutes formules φ_{1}(x̄, ȳ_{1}), …, φ_{m}(x̄, ȳ_{m}),

M^{∗} ⊧ d_{φ_{1}}(ȳ_{1}) ∧ ⋯ ∧ d_{φ_{m}}(ȳ_{m}) → ∃x̄ ⋀_{i=1}^{m} φ_{i}(x̄, ȳ_{i}).

Démonstration. Soit B ⊃ A. Tout d’abord, la condition (a) nous dit que si p(B)(x̄) est consistant, alors il est complet. Mais sa consistance est impliquée par la condition (b). Corollaire. Soit M ≺ M^{∗}, et p(x̄) ∈ S_{n}(M) un type définissable, avec schéma de définition (d_{φ}). Alors pour tout B ⊃ M, p(B)(x̄) est un type (complet) sur B, qui prolonge p(x̄). Démonstration. Que p(B)(x̄) prolonge p(x̄) est évident car (d_{φ}) est un schéma de définition de p(x̄). Que le schéma (d_{φ}) satisfasse les conditions du lemme précédent est aussi évident, puisque M ≺ M^{∗}.

(8.7) Proposition. Soit p(x̄) ∈ S_{n}(M), M ≺ M^{∗}, et soient (d_{φ}) et (d′_{φ}) deux schémas de définitions de p(x̄). Alors M^{∗} ⊧ ∀ȳ(d_{φ}(ȳ) ↔ d′_{φ}(ȳ)) pour toute φ(x̄, ȳ) ∈ L. Démonstration. Pour tout ā dans M, nous avons

M ⊧ d_{φ}(ā) ⟺ φ(x̄, ā) ∈ p(x̄) ⟺ M ⊧ d′_{φ}(ā).

Comme M ≺ M^{∗}, cela montre le résultat.

(8.8) Ces deux résultats nous disent donc que si p(x̄) est un type sur M ≺ M^{∗} qui est définissable, alors pour tout A ⊃ M, p(x̄) a une extension privilégiée p(A)(x̄) à un type sur A, et ce type ne dépend pas du schéma de définition de p(x̄) choisi. Notons que le type p(A)(x̄) est certainement défini sur M.

(8.9) Définition. Soit φ(x̄, ȳ) ∈ L. Nous disons que φ(x̄, ȳ) est stable si on ne peut trouver dans M^{∗} de suites (ā_{i}) et (b̄_{i}), i ∈ N, telles que pour tous i, j ∈ N,

M^{∗} ⊧ φ(ā_{i}, b̄_{j}) ⟺ N ⊧ i < j.

Sinon, on dira que φ(x̄, ȳ) est instable.

(8.10) Remarques. (1) La définition dépend de la partition (x̄, ȳ) des variables de φ. Elle dépend aussi bien entendu de la théorie T, puisqu’on travaille dans M^{∗}.

(2) Supposons que φ(x̄, ȳ) soit instable, et soit (I, <) un ordre (de cardinalité < |M^{∗}|). Par compacité et saturation de M^{∗}, il existe des suites (ā_{i}), (b̄_{i}), i ∈ I, de uplets de M^{∗} telles que pour tous i, j ∈ I,

M^{∗} ⊧ φ(ā_{i}, b̄_{j}) ⟺ I ⊧ i < j.

En effet, nous enrichissons le langage avec des nouveaux symboles de constantes, groupés en uplets c̄_{i}, d̄_{i}, i ∈ I, ℓ(c̄_{i}) = ℓ(x̄), ℓ(b̄_{i}) = ℓ(ȳ), puis nous considérons la théorie T′ obtenue en rajoutant à T h(M^{∗}) les énoncés (du nouveau langage)

{φ(c̄_{i}, d̄_{j}) | i < j ∈ I} ∪ {¬φ(c̄_{i}, d̄_{j}) | j ≤ i ∈ I}.

Tout fragment fini de cette théorie T′ est satisfaisable dans M^{∗}, car il ne met en jeu qu’un sous-ensemble fini I_{0} d’éléments de I, et que tout ordre linéaire fini se plonge dans (N, <).

(3) Si φ(x̄, ȳ) est stable, alors il existe n ∈ N, tel qu’il n’existe pas de suite (ā_{i}), (b̄_{i}), 0 ≤ i ≤ n, telles que pour tous i, j

M^{∗} ⊧ φ(ā_{i}, b̄_{j}) ⟺ N ⊧ i < j.
(4) Si φ(x̄, ȳ) est stable, alors ¬φ(x̄, ȳ) aussi.

(5) Si φ_{1}(x̄, ȳ_{1}) et φ_{2}(x̄, ȳ_{2}) sont stables, alors φ_{1}(x̄, ȳ_{1}) ∧ φ_{2}(x̄, ȳ_{2}) aussi. Donc aussi toute combinaison booléenne de φ_{1}(x̄, ȳ_{1}) et de φ_{2}(x̄, ȳ_{2}).

(6) Il est clair que si < définit un ordre total sur un sous-ensemble infini de M^{∗}, alors la formule x < y n’est pas stable : on prend tout simplement une suite infinie (a_{i})_{i∈N} d’éléments de M^{∗} telle que a_{i} < a_{j} si et seulement si i < j, et prenant b_{i} = a_{i}, on voit que la formule est instable.

(8.11) Rappelons d’abord le théorème de Ramsey : Soit I un ensemble infini (avec un ordre), et soit [I]^{n} l’ensemble des suites i(1) < … < i(n) d’éléments de I. Si F : [I]^{n} → {0, 1} est une fonction, alors il existe un sous-ensemble infini J de I tel que F soit constante sur [J]^{n}. Exercice. Montrez les items (3) – (5) de la remarque ci-dessus.

(8.12) Théorème. Les conditions suivantes sont équivalentes :

(1) Pour tous M ≺ M^{∗}, et p(x̄) ∈ S_{n}(M), alors p(x̄) est définissable.

(2) T est κ-stable pour tout κ = κ^{ℵ_{0}}.

(3) Toute formule de L est stable. Démonstration. (1)→(2). Soit M ≺ M^{∗}. Il existe au plus |M|-formules de L(M), et donc (comme L est dénombrable) au plus |M|^{ℵ_{0}} schémas de définition. Cela entraîne que |S_{n}(M)| ≤ |M|^{ℵ_{0}}. Soit maintenant A ⊂ M^{∗} un ensemble de cardinalité λ = λ^{ℵ_{0}}. Alors il existe M ≺ M^{∗} de cardinalité λ et contenant A. Nous avons alors

|S_{n}(A)| ≤ |S_{n}(M)| ≤ λ^{ℵ_{0}} = |M|,

ce qui montre que T est λ-stable pour tout cardinal λ = λ^{ℵ_{0}}.

(2)→(3). Soit φ(x̄, ȳ) ∈ L. Nous allons montrer que φ(x̄, ȳ) est nécéssairement stable. En effet, soit κ un cardinal. En utilisant des reśultats de théorie des ensembles, on montre qu’il existe un ordre dense sans extrémités I de cardinalité κ, tel que |S_{1}(I)| > κ (pour la théorie Diag(I)). Soient (ā_{i}) et (b̄_{i}), i ∈ I, des suites comme dans la remarque (8.10)(2), et B = ⋃{b̄_{i} | i ∈ I}. Chaque type sur I est (uniquement) déterminé par une coupure C de I (car I est un ordre dense), et chaque coupure C de I donne un type partiel Σ_{C}(x̄) sur B : {¬φ(x̄, b̄_{i}) | i ∈ C} ∪ {φ(x̄, b̄_{i}) | i ∈ C}.

(3)→(1). Soient M ≺ M^{∗}, p ∈ S_{n}(M). Nous voulons montrer que p(x̄) est définissable. Soit c̄^{∗} une réalisation de p(x̄) dans M^{∗}, et soit N un entier satisfaisant la conclusion de (8.10)(4) pour les formules φ(x̄, ȳ) et ¬φ(x̄, ȳ). Nous allons définir par induction des sousensembles finis A_{i} et B_{i} de M^{ℓ(ȳ)}, et des ℓ(x̄)-uplets c̄_{i} de M, pour i ∈ N, tels que, pour tout k ∈ N :

(a) Si W ⊆ {0, …, k − 1} est tel qu’il existe b̄ ∈ M satisfaisant {φ(c̄_{i}, ȳ) | i ∈ W }, mais cependant M^{∗} ⊧ ¬φ(c̄^{∗}, b̄), alors il existe un tel b̄ dans A_{k}.

(b) Si W ⊆ {0, …, k − 1} est tel qu’il existe b̄ ∈ M satisfaisant {¬φ(c̄_{i}, ȳ) | i ∈ W }, mais cependant M^{∗} ⊧ φ(c̄^{∗}, b̄), alors il existe un tel b̄ dans B_{k}.

(c) Si b̄ ∈ A_{k} alors M^{∗} ⊧ ¬φ(c̄^{∗}, b̄) ; si b̄ ∈ B_{k} alors M^{∗} ⊧ φ(c̄^{∗}, b̄).

(d) Si b̄ est un uplet de ⋃_{i=0}^{k} A_{i} ∪ B_{i}, alors M ⊧ φ(c̄_{k}, b̄) ⟺ M^{∗} ⊧ φ(c̄_{k}, b̄). On construit ces ensembles par induction sur k. On commence avec A_{0} : alors nous

nous intéréssons à W = ∅ ⊆ ∅. S’il existe b̄ ∈ M tel que M^{∗} ⊧ ¬φ(c̄^{∗}, b̄), alors on met ce b̄ dans A_{0} ; et sinon on ne fait rien. De même, s’il existe b̄ ∈ M tel que M^{∗} ⊧ φ(c̄^{∗}, b̄), alors on en met un dans B_{0}, et sinon on ne fait rien. Il est clair que (c) est satisfait. Maintenant pour c̄_{0}, il faut remarquer la chose suivante :

Assertion. Si B ⊂ M^{ℓ(ȳ)} est un ensemble fini, alors il existe c̄ ∈ M tel que pour tout b̄ ∈ B on ait :

M ⊧ φ(c̄, b̄) ⟺ M^{∗} ⊧ φ(c̄^{∗}, b̄).

En effet, puisque B est fini, l’ensemble

{φ(x̄, b̄) | b̄ ∈ B, M^{∗} ⊧ φ(c̄^{∗}, b̄)} ∪ {¬φ(x̄, b̄) | b̄ ∈ B, M^{∗} ⊧ ¬φ(c̄^{∗}, b̄)}

est un ensemble fini de formules, dont la conjonction est satisfaite par c^{∗}, et donc est aussi satisfaite dans M, puisque M ≺ M^{∗}.

Nous pouvons donc trouver c̄_{0} ∈ M satisfaisant (d). Pour un k arbitraire, la démonstration est similaire : on énumère les sous-ensembles W de {0, 1, …, k − 1}, on regarde si (a) nous dit de faire quelque chose : si oui, on met un uplet b̄ dans A_{k} ; sinon, on n’en met pas. par construction, A_{k} satisfera (a) et (c). De même pour construire B_{k}, et enfin, on utilise le “fait” pour trouver c̄_{k} satisfaisant (d).

Nous allons d’abord montrer que si 0 ≤ i(0) < i(1) < … < i(m) ∈ N et b̄ ∈ M sont tels que

M^{∗} ⊧ ⋀_{j=0}^{m} φ(c̄_{i(j)}, b̄) ∧ ¬φ(c̄^{∗}, b̄),

alors il existe b̄_{0}, …, b̄_{m} ∈ M tels que pour tous j, r ≤ m,

M ⊧ φ(c̄_{i(j)}, b̄_{r}) ⟺ j < r.

En effet, appliquant (a) à W = ∅, il existe b̄_{0} ∈ B_{i(0)} tel que M^{∗} ⊧ ¬φ(c̄^{∗}, b̄_{0}). Par (c), nous avons alors M ⊧ ¬φ(c̄_{i(j)}) pour j ≥ 0.

Soit maintenant 0 ≤ k < m, et supposons que nous ayons construit b̄_{0}, …, b̄_{k} satisfaisant les conditions requises. Nous voulons donc trouver b̄_{k+1} ∈ M tel que

M ⊧ ⋀_{0≤j≤k} φ(c̄_{i(j)}, b̄_{k+1}) ∧ ⋀_{k<j≤m} ¬φ(c̄_{i(j)}, b̄_{k+1}).

Par (a) appliqué à W = {i(0), …, i(k)}, il existe b̄_{k+1} ∈ B_{i(k)+1} tel que M^{∗} ⊧ ¬φ(c̄^{∗}, b̄_{k+1}) ∧ ⋀_{j=0}^{k} φ(c̄_{i(j)}, b̄_{k+1}). Par (c), nous avons alors M ⊧ ¬φ(c̄_{i(j)}, b̄_{k+1}) pout j ≥ k + 1.

Notons que par hypothèse (de stabilité de φ(x̄, ȳ)), et par notre choix de N, nous avons nécéssairement que m ≤ N. De même, on montre que si 0 ≤ i(0) < i(1) < … < i(m) ∈ N et b̄ ∈ M sont tels que

M^{∗} ⊧ ⋀_{j=0}^{m} ¬φ(c̄_{i(j)}, b̄) ∧ φ(c̄^{∗}, b̄),

alors il existe b̄_{0}, …, b̄_{m} ∈ M tels que pour tous j, r ≤ m,

M ⊧ φ(c̄_{i(j)}, b̄_{r}) ⟺ j < r.

Nous avons donc montré : (I) Si b̄ ∈ M et il existe un sous-ensemble W de {0, …, 2N} de cardinalité N + 1 tel que

M ⊧ ⋀_{i∈W} φ(c̄_{i}, b̄), alors M^{∗} ⊧ φ(ā, c̄^{∗}). (II) Si b̄ ∈ M et il existe un sous-ensemble W de {0, …, 2N} de cardinalité N + 1 tel que

M ⊧ ⋀_{i∈W} ¬φ(c̄_{i}, b̄), alors M^{∗} ⊧ ¬φ(ā, c̄^{∗}).

Notons que pour tout uplet b̄ de M, les ensembles {i ∈ {0, …, 2N} | M^{∗} ⊧ φ(c̄^{∗}, b̄)} et {i ∈ {0, …, 2N} | M^{∗} ⊧ ¬φ(c̄^{∗}, b̄)} forment une partition de {0, …, 2N}, et donc l’un des deux (mais pas les deux) doit être de taille ≥ N + 1.

Les propriétés (I) et (II) entraînent que pour tout uplet b̄ de M, nous avons φ(x̄, b̄) ∈ p(x̄) si et seulement s’il existe un sous-ensemble W de {0, …, 2N} de taille N + 1, et tel que M ⊧ ⋀_{j∈W} φ(c̄_{j}, b̄). Cela nous donne la définition d_{φ}(ȳ) :

d_{φ}(ȳ) = ⋁_{W ⊂{0,...,2N},|W |=N+1} ⋀_{j∈W} φ(c̄_{j}, ȳ).

(8.13) Remarques et discussion. Soit φ(x̄, ȳ) une formule, et A ⊂ M^{∗}. Un φ-type partiel sur A est un ensemble de formules, qui sont équivalentes (modulo Diag(A)), à une combinaison booléenne de formules de la forme φ(x̄, ā) pour un uplet ā de A. Un φ-type sur A est un φ-type maximal consistant, l’ensemble de φ-types sur A est noté S_{φ}(A). On remarque qu’il existe une application S_{n}(A) → S_{φ}(A), donnée en associant à un type p(x̄) le type

p|_{φ}(x̄) = Diag(A) ∪ {φ(x̄, ā) | φ(x̄, ā) ∈ p(x̄)} ∪ {¬φ(x̄, ā) | ¬φ(x̄, ā) ∈ p(x̄)}.

Il est facile de voir que cette application est surjective. On peut donner des définitions analogues pour des ensembles Δ de formules.

Nous avons en fait montré bien plus. Supposons la formule φ(x̄, ȳ) stable.

(1) Tous les φ-types sur des sous-structures élémentaires de M^{∗} sont définissables, c’est à dire, d_{φ} existe.

(2) De plus nous avons montré que la définition d_{φ}(ȳ) est de forme spéciale : c’est une combinaison booléenne de formules de la forme φ(c̄_{i}, ȳ), i ∈ {0, …, 2N}.

(3) De plus, la démonstration de (8.12) nous montre que si φ(x̄, ȳ) est instable, alors pour tout cardinal infini κ il existe un sous-ensemble B de M^{∗} de cardinalité κ tel que |S_{φ}(B)| > κ : tout simplement parce que les types partiels Σ_{C}(x̄) exhibés dans la démonstration de (2)→(3) sont en fait des φ-types partiels.

D’autre part, si φ(x̄, ȳ) est stable, alors puisque tout φ-type sur une sous-structure élémentaire M de M^{∗} est définissable, et que connaître d_{φ} est suffisant pour connaître la définition d’un φ-type, il s’ensuit que

|S_{φ}(M)| ≤ |M|.

Nous avons donc montré l’équivalence suivante :

φ(x̄, ȳ) est stable ⟺ pour tout A ⊂ M^{∗}, |S_{φ}(A)| ≤ |A| + ℵ_{0}.

(3) Il existe des théories instables qui ont quand même beaucoup de formules stables. Par exemple, on peut montrer que si K est un corps (peut-être avec d’autre stucture), si T = T h(K) et φ(x̄, ȳ) est une formule sans quantificateurs du langage de corps ({+, −, ·, 0, 1}), alors φ(x̄, ȳ) est stable. On réduit la preuve de cette assertion aux formules atomiques, c’est à dire aux formules

φ(x̄, ȳ) : f(x̄, ȳ) = 0,

où f(X̄, Ȳ) ∈ Z[X̄, Ȳ]. La démonstration utilise la noethérianité de K[X̄], et est laissée en exercice.

Cependant, le corps ordonné R n’est certainement pas stable, puisqu’un ordre total y est définissable.

(8.14) Formules représentées dans un type, héritiers. Soient A ⊂ M^{∗} et p(x̄) ∈ S_{n}(A), φ(x̄, ȳ) ∈ L(A). On dit que φ(x̄, ȳ) est représentée dans p(x̄) s’il existe un uplet ā dans A tel que φ(x̄, ā) ∈ p(x̄).

Soient M ⊆ A ⊆ M^{∗}, avec M ≺ M^{∗}, et p(x̄) ∈ S_{n}(M), q(x̄) ∈ S_{n}(A). On dit que q(x̄) hérite de p(x̄), ou bien est un héritier de p(x̄) sur A si q(x̄) ⊇ p(x̄) et toute formule de L(M) représentée dans q(x̄) est représentée dans p(x̄).

Il existe une notion duale, celle de cohéritier, que nous n’utiliserons pas mais que je voudrais mentionner. Si M et A, p(x̄) et q(x̄) sont comme-ci dessus, on dira que q(x̄) est un cohéritier de p(x̄) si q(x̄) ⊃ p(x̄) et toute formule φ(x̄) ∈ q(x̄) est satisfaite dans M par un uplet ā. On dit aussi que q(x̄) est finiment satisfaisable dans M. On vérifie facilement que si ā et b̄ sont des uplets de M^{∗} alors tp(ā/M, b̄) hérite de sa restriction à A si et seulement si tp(b̄/A, ā) cohérite de sa restriction à A.

(8.15) Proposition. Soient M ≺ M^{∗}, A ⊇ M, et p(x̄) ∈ S_{n}(M). Alors p(x̄) a un héritier sur A. Démonstration. Soit Γ l’ensemble des formules φ(x̄, ȳ) de L(M) qui ne sont pas représentées dans p(x̄). Il nous faut montrer que le type partiel Σ(x̄) (sur A) suivant est consistant :

p(x̄) ∪ Diag(A) ∪ {¬φ(x̄, ā) | φ(x̄, ȳ) ∈ Γ, ā ∈ A^{ℓ(ȳ)}}.

Il suffit donc de montrer qu’il est finiment consistant : soient ψ(x̄, m̄) ∈ p(x̄), θ(m̄, ā) ∈ Diag(A) et φ_{1}(x̄, m̄, ā), …, φ_{m}(x̄, m̄, ā) des formules de l’ensemble de droite. Nous supposons que m̄ est un uplet de M, que ā est un uplet de A \ M, et que toutes les formules considérées sont dans L (ie, tous les paramètres sont dans ā ∪ m̄). (Remarquons que si ȳ = (ȳ_{1}, ȳ_{2}) et m̄_{1} est un uplet de M, alors si la formule φ(x̄, m̄_{1}, ȳ) est représentée dans M, la formule φ(x̄, ȳ) le sera aussi. Donc, φ(x̄, ȳ) ∈ Γ implique φ(x̄, m̄_{1}, ȳ_{2}) ∈ Γ : c’est pourquoi nous avons pu nous ramener au cas ā ∈ A \ M.) Nous voulons montrer que

ψ(x̄, m̄) ∧ θ(m̄, ā) ∧ ⋀_{i=1}^{m} ¬φ_{i}(x̄, m̄, ā)

est consistante. Sinon, on aurait (puisque ā ⊂ A \ M)

ψ(x̄, m̄) ⊢ (¬θ(m̄, ȳ) ∨ ⋁_{i=0}^{m} φ_{i}(x̄, m̄, ȳ).

D’autre part, commme M ≺ M^{∗}, il existe ā′ ∈ M tel que M ⊧ θ(ā′, m̄). Puisque les formules φ_{i}(x̄, ȳ) sont dans Γ, nous avons donc

p(x̄) ⊢ ψ(x̄, m̄) ∧ θ(m̄, ā′) ∧ ⋀_{i=0}^{m} ¬φ_{i}(x̄, m̄, ā′).

Cela montre la consistance de Σ(x̄). Si q(x̄) ∈ S_{n}(A) est un type contenant Σ(x̄) alors q(x̄) ⊃ p(x̄), et toute formule représentée dans q(x̄) l’est déjà dans p(x̄) : q(x̄) est bien un héritier de p(x̄) sur A.

(8.16) Proposition. Soit M ≺ M^{∗}, A ⊃ M. Si p(x̄) ∈ S_{n}(M) est définissable, alors p(A)(x̄) est l’unique héritier de p(x̄) sur A. Démonstration. Il y a deux choses à montrer : que p(A)(x̄) hérite, et qu’il est l’unique héritier.

Soit φ(x̄, ȳ, z̄) ∈ L, m̄ ∈ M, et supposons que φ(x̄, ȳ, m̄) ne soit pas représentée dans p(x̄). Puisque p(x̄) est définissable, si d_{φ}(ȳ, z̄) est la définition de φ dans p(x̄), nous avons alors M ⊧ ∀ȳ ¬d_{φ}(ȳ, m̄). Comme M ≺ M^{∗}, cela entraîne que φ(x̄, ȳ, m̄) n’est pas représentée dans p(A)(x̄).

Soit maintenant q(x̄) un héritier de p(x̄) sur A, et soit φ(x̄, ȳ) une formule de L, et d_{φ}(ȳ) ∈ L(M) sa définition (pour p). Alors la formule

φ^{∗}(x̄, ȳ) : ¬(φ(x̄, ȳ) ↔ d_{φ}(ȳ))

n’est pas représentée dans p(x̄), puisqu’elle contredit le fait que la formule d_{φ}(ȳ) définit dans M l’ensemble des b̄ tels que φ(x̄, b̄) appartienne à p(x̄). Remarquons que φ^{∗}(x̄, ȳ) ∈ L(M), car la formule d_{φ}(ȳ) ∈ L(M). Puisque q(x̄) est un héritier de p(x̄), la formule φ^{∗}(x̄, ȳ) n’est pas représentée dans q(x̄), ce qui dit précisément que q(x̄) = p(A)(x̄).

(8.17) Attention. Que se passe-t-il si nous ne sommes plus au-dessus d’un modèle? Les choses ne se passent pas nécéssairement bien. En effet, soient A ⊂ B ⊂ M^{∗}, et p(x̄) ∈ S_{n}(A). Nous voulons étendre p(x̄) à un type sur B qui représente les même formules que p(x̄). Mais maintenant, puisque A n’est pas un modèle, il est très possible que nous ayons des L(A)-formules φ_{i}(x̄, ȳ_{i}), i = 1, …, m, qui ne sont pas représentées dans p(x̄), et des uplets b̄_{1}, …, b̄_{m} de B tels que

p(x̄) ∪ Diag(B) ⊢ ⋁_{i=1}^{m} φ_{i}(x̄, b̄_{i}).

On ne peut donc définir un héritier de cette façon la. Voici un exemple simple :

Soit K un corps algébriquement clos, F un sous-corps de K non-algébriquement clos. Soit f(T) ∈ F [T] un polynôme irréductible sur F, et considérons le type p(x) ∈ S_{1}(F) : f(x) = 0. Comme f(T) est irréductible, cela donne un type complet. Il est cependant clair que si F̃ dénote la clôture algébrique de F, et si a_{1}, …, a_{m} sont les racines de f(T), alors

Diag(F̃) ∪ f(x) = 0 ⊢ ⋁_{i=1}^{m}(x = a_{i}).

Cependant, la formule x = y n’est pas représentée dans p(x).

(8.18) Définition des héritiers dans le cas général, mais quand T h(M^{∗}) est stable. Dans le cas général, la définition d’héritier est plus compliquée. Elle s’appuie aussi sur le fait de “représenter le moins de formules possibles”, mais contrairement au cas d’un modèle, nous ne considèrons que des L-formules.

Je vous donne la formulation d’abord dans le cas A ⊂ M ≺ M^{∗}, q(x̄) ∈ S_{n}(M) étendant p(x̄) ∈ S_{n}(A) : q(x̄) hérite de p(x̄) si et seulement si l’ensemble des L-formules φ(x̄, ȳ) représentées dans q(x̄) est minimal possible (relatif à la condition d’être un type sur M étendant p(x̄)). Notons que, puisque notre théorie est stable, le type q(x̄) est définissable, et nous aurons donc que q(M^{∗})(x̄) est aussi un héritier de p(x̄)

Si maintenant A ⊆ B ⊂ M^{∗}, et p(x̄) ∈ S_{n}(A), q(x̄) ∈ S_{n}(B) étend p(x̄), q(x̄) hérite de p(x̄) si et seulement s’il existe M ≺ M^{∗} contenant B et un type r(x̄) ∈ S_{n}(M) qui hérite de p(x̄) et de q(x̄).

On vérifie que si A ≺ M, alors les deux notions d’héritiers coïncident, et que si A ⊂ B ⊂ C ⊂ M^{∗} et r(x̄) ∈ S_{n}(C), alors r(x̄) hérite de sa restriction à A si et seulement si r(x̄) hérite de sa restriction q(x̄) à B, et q(x̄) hérite de sa restriction à A.

(8.19) Définition de l’indépendance dans le cas des théories stables. Soient ā ∈ M^{∗}, et A ⊆ B ⊂ M^{∗}. On dit que ā est indépendant de B sur A, si tp(ā/B) hérite de tp(ā/A). Cette notion est symétrique, et s’étend aux ensembles infinis : C est indṕendant de B sur A si et seulement si tout uplet fini de C est indépendant de B sur A. Nous ne montrerons pas ces propriétés.

(8.20) Exemple 1. M^{∗} est un modèle de la théorie des ordres denses sans extrémités, et on prend M = Q. Soit a ∈ Q, et p_{a^{+}}(x) le type (sur M) axiomatisé par {x > a} ∪ {x < b | b > a}. Ce type est bien définissable, et donc aura un unique héritier à tout ensemble A contenant Q.

Regardons maintenant Q comme un sous-modèle de R, et soit r ∈ R\Q. On considère le type q_{r}(x) = {x > a | a ∈ Q, a < r} ∪ {x < a | a ∈ Q, a > r}, et nous savons qu’il n’est pas définissable. Soit A = Q ∪ {r}, et considérons les extensions de q_{r}(x) à A. Il y a trois possibilités pour une extension q(x) de q_{r}(x) à A : ou bien elle contient x = r, ou bien elle contient x < r, ou bien elle contient x > r. Ces extensions nous donnent donc le type réalisé, le type p_{r^{−}}(x) et le type p_{r^{+}}(x). Les deux derniers sont des héritiers de q_{r}(x). En effet, soit φ(x, m̄, r) une formule sans quantificateurs (m̄ ∈ M). Nous savons qu’elle est impliquée par une formule qui nous dit où est placé x par rapport aux éléments du uplet (m̄, r). Considérons par exemple q_{r^{+}}(x). Alors φ(x, m̄, r) sera impliquée par la formule m_{j} < r < x < m_{i}, où m_{i} est le plus petit élément du uplet m̄ qui soit plus grand que r, et m_{j} le plus grand élément du uplet m̄ qui soit plus petit que r. Comme les rationnels sont denses, il existe certainement un rationnel m entre m_{j} et r, et donc la formule m_{j} < m < x < m_{i} est dans q_{r}(x).

Remarquez une chose curieuse : les deux héritiers de q_{r}(x) à A sont définissables (alors que q_{r}(x) ne l’était pas). On peut montrer aussi, de la même façon, que si l’on prend B ≺ M^{∗} contenant M, alors toute extension non réalisée de q_{r}(x) à B est un héritier de q_{r}(x).

(8.21) Exemple 2. Nous supposons que M^{∗} est un corps algébriquement clos. Soit A un sous-corps de M^{∗}. Par élimination des quantificateurs de T h(M^{∗}), nous savons que tout type p(x̄) ∈ S_{n}(A) est uniquement déterminé par l’idéal

I(p) = {f(X̄) ∈ A[X̄] | f(x̄) = 0 ∈ p(x̄)}.

En effet, étant donné I(p), le type p(x̄) est tout simplement axiomatisé par

{f(x̄) = 0 | f(X̄) ∈ I(p)} ∪ {f(x̄) ≠ 0 | f(X̄) ∉ I(p)}.

L’idéal I(p) est premier, et ā est une réalisation de p(x̄) si et seulement si I(ā/A) = I(p).

Remarquons que l’ensemble de gauche peut être remplacé par un ensemble fini d’équations : si f_{1}(X̄), …, f_{m}(X̄) engendrent l’idéal I(p), il suffit de dire que f_{1}(x̄) = ⋯ = f_{m}(x̄) = 0.

Supposons maintenant que A soit un sous-corps algébriquement clos de M^{∗}, et donc A ≺ M^{∗}. Soit B ⊇ A un sous-corps de M^{∗}, et q(x̄) une extension de p(x̄) à B. Nous avons alors I(q) ⊇ I(p)B[X̄] (puisque q(x̄) étend p(x̄)). De plus, nous savons que I(p)B[X̄] est un idéal premier de B[X̄] (C’est ici que nous utilisons l’hypothèse que A est algébriquement clos, voir (7.19)). Nous avons donc une extension privilégiée de p(x̄) à B : celle avec idéal associé I(p)B[X̄]. Nous allons montrer que c’est bien le seul héritier de p(x̄) à B. C’est-à-dire, nous allons montrer qu’aucun des autres types n’hérite de p.

Soit donc q(x̄) ∈ S_{n}(B) étendant p(x̄), avec I(q) contenant strictement I(p)B[X̄]. Considérons la variété V définie par I(p), et la sous-variété W de V définie par I(q). Comme W est contenue strictement dans V, nous avons que dim(W) < dim(V) (voir (7.17)). Soit ā une réalisation de q(x̄). Alors ā est un point générique de W sur B, et de V sur A (mais pas de V sur B). Nous avons donc tr.deg(A(ā)/A) = dim(V) > tr.deg(B(ā)/B) = dim(W). Il existe alors des indices i(1) < … < i(d) tels que a_{i(1)}, …, a_{i(d)} sont algébriquement indépendants sur A dans B(V), mais ne le sont pas sur B. Il existe donc un polynôme non nul f(X̄) ∈ I(q) ∩ B[X_{i(1)}, …, X_{i(d)}] qui s’annule sur (a_{i(1)}, …, a_{i(d)}). Soient g(X̄, Ȳ) ∈ Z[X̄, Ȳ] et b̄ ∈ B tels que f(X̄) = g(X̄, b̄), et tels que le coefficient d’un monôme en X soit dans Z. Alors la formule f(x̄, ȳ) = 0 n’est pas représentée dans p(x̄) : en effet, comme a_{i(1)}, …, a_{i(d)} sont algébriquement indépendants sur A, nous avons I(p)∩A[X_{i(1)}, …, X_{i(d)}] = (0). D’autre part, par notre choix de g(X̄, Ȳ), nous savons que si c̄ est un uplet quelconque de M^{∗}, nous avons g(X̄, c̄) ≠ 0.

9. Rang de Morley, ensembles fortements minimaux

(9.1) Rang de Morley. Le rang de Morley, noté RM, est une fonction de l’ensemble des formules de L(M^{∗}) dans Ord ∪ {∞}, où Ord dénote la classe des ordinaux. Nous étendons l’ordre sur les ordinaux en posant ∞ > α pour tout α ∈ Ord. Soit φ(x̄) une formule (de L(M^{∗})) définissant un ensemble X dans M^{∗}. On définit par induction le rang de Morley RM(X) ≥ α, ou bien RM(φ) ≥ α, pour α ∈ Ord, de la façon suivante :

– RM(X) ≥ 0 si et seulement X ≠ ∅.

– (α limite) RM(X) ≥ α si et seulement si RM(X) ≥ β pour tout β < α.

– (α = β + 1) RM(X) ≥ β + 1 si et seulement s’il existe une famille (X_{i})_{i∈N} de sous-ensembles définissables disjoints de X tels que RM(X_{i}) ≥ β pour tout i ∈ N.

(9.2) Lemme 1. Soient X ⊂ Y des sous-ensembles définissables de M^{∗}^{n}, et β < α des ordinaux.

(1) RM(X) ≥ α implique RM(Y) ≥ α.

(2) RM(X) ≥ α implique RM(X) ≥ β. Démonstration. (1) Pour α = 0 et pour α limite, c’est évident. Pour α = γ + 1, la famille (X_{i})_{i∈N} de sous-ensembles définissables disjoints de X et de rang ≥ γ nous donne RM(Y) ≥ γ + 1.

(2) Pour α limite, c’est par définition du rang. Supposons le montré pour α et montrons-le pour α+1. Par hypothèse, l’ensemble X contient un sous-ensemble définissable X_{0} avec RM(X_{0}) ≥ α. Par hypothèse d’induction, on a RM(X_{0}) ≥ β. Mais comme X_{0} ⊆ X, cela donne RM(X) ≥ β.

(9.3) Définition du rang de Morley. Soit φ une formule, définissant un sous-ensemble X de M^{∗}^{n}. S’il existe un ordinal α tel que RM(X) ≥ α, RM(X) ≱ α+1, on pose RM(X) = RM(φ) = α. S’il n’existe pas de tel ordinal, alors on pose RM(X) = RM(φ) = ∞. Nous avons donc défini une fonction de l’ensemble des formules de L(M^{∗}) dans Ord ∪ {∞}.

(9.4) Lemme. Soient X et Y des sous-ensembles définissables de M^{∗}^{n}. Alors RM(X ∪ Y) = max{RM(X), RM(Y)}. Démonstration. Il est clair que RM(X ∪ Y) ≥ RM(X), RM(Y). Nous supposerons RM(X) ≥ RM(Y). Montrons par induction sur α que RM(X ∪ Y) ≥ α implique RM(X) ≥ α. Si α = 0 ou α est limite, c’est clair. Supposons RM(X ∪ Y) ≥ α + 1, et soit Z_{i}, i ∈ N, une famille de sous-ensembles définissables disjoints de X ∪ Y de rang ≥ α. Par hypothèse d’induction, pour tout i, l’un de X ∩ Z_{i} ou Y ∩ Z_{i} est de rang ≥ α. Soient I = {i ∈ N | RM(Z_{i} ∩ X) ≥ α}, J = {i ∈ N | RM(Z_{i} ∩ Y) ≥ α}. Alors I ∪ J = N, et donc l’un des deux est infini. Si par exemple I est infini, la famille (Z_{i} ∩ X)_{i∈I} montre que RM(X) ≥ α + 1.

(9.5) Lemme. Soient X un sous-ensemble définissable de M^{∗}^{n}, de rang α < ∞. Alors X est une réunion finie d’ensembles disjoints X_{i} de rang α et ayant la propriété suivante : (∗) si Y est un sous-ensemble définissable de X_{i}, alors RM(X_{i}) < α ou bien RM(X_{i} \ Y) < α. Démonstration. Si notre ensemble X n’a pas la propriété (∗), alors il existe un sous ensemble définissable X_{0} de X tel que RM(X_{0}) = RM(X \ X_{0}) = α. C’est à dire qu’un ensemble qui ne satisfait pas (∗) peut être coupé en deux ensembles de même rang. On repète la procédure en l’appliquant à X_{0} et à X \X_{0}, etc., pour construire un arbre dont les feuilles (à chaque étape de la construction) nous donnent une partition de X en ensembles de rang α. Comme RM(X) ≱ α + 1, cette construction doit s’arrêter, c’est à dire qu’a partir d’un certain moment toutes les feuilles de l’arbre doivent satisfaire (∗). Définition du degré de Morley. Supposons que RM(X) = α < ∞. Nous définissons alors le degré de Morley de X, noté DM(X), comme étant le plus grand entier n tel qu’il existe des sous-ensembles définissables disjoints X_{1}, …, X_{n} de M avec RM(X_{i}) = α.

Le lemme précédent nous montre qu’un tel n existe. En effet, être de degré de Morley 1 correspond exactement à notre condition (∗) du lemme.

(9.6) Remarques. (1) Soit X un ensemble définissable non vide. Nous avons alors RM(X) ≥ 0. Si X est infini, alors les sous-ensembles de X définis par les formules x̄ = ā pour ā ∈ X, forment une partition de X, et nous aurons donc RM(X) ≥ 1. Réciproquement, le fait que RM(X) soit ≥ 1 entraîne qu’il contient une infinité de sousensembles non-vides et disjoints, ce qui entraîne que X est infini. Nous avons donc montré:

RM(X) = 0 ⟺ Xest fini.

De plus, si RM(X) = 0, nous aurons DM(X) = |X|.

(2) Il est clair que RM et DM sont préservés par les automorphismes de M^{∗}.

(3) Si RM(X) = α et RM(Y) < α, alors RM(X ∪ Y) = RM(X) et DM(X ∪ Y) = DM(X).

(4) Si RM(X) = RM(Y) = α alors RM(X ∪ Y) = α et DM(X ∪ Y) ≤ DM(X) + DM(Y). Nous aurons DM(X∪Y) = DM(X)+DM(Y) si et seulement si RM(X∩Y) < α.

(5) Si f : X → Y est une bijection définissable, alors RM(X) = RM(Y).

(9.7) Exemple 1 - Ordres denses. Considérons l’ordre dense sans extrémités, des point a < b ∈ M^{∗}, et la formule a < x < b. Nous savons que si c < d sont des éléments de M^{∗} alors il existe un automorphisme de M^{∗} qui envoie a sur c et b sur d. Les formules a < x < b et c < x < d auront donc le même rang. Mais, tout intervalle ouvert de M^{∗} contient une infinité d’intervalles ouverts disjoints. Nous aurons donc RM(a < x < b) ≥ RM(a < x < b)) + 1, ce qui ne peut arriver que si RM(a < x < b) = ∞.

(9.8) Exemple 2 - Groupes divisibles. Les groupes divisibles abéliens sans torsion. Nous savons que leur théorie élimine les quantificateurs. Un sous-ensemble définissable de M^{∗}^{n} sera donc une combinaison booléenne d’ensembles de la forme

Ax̄ = b̄

où A est une matrice (m × n), and x̄, b̄ sont des vecteurs (colonne) de longueur n. La dimension d’un tel ensemble X est égale à n−rang(A), et notée dim(X). Nous allons montrer que RM(X) = dim(X), par induction sur dim(X).

Pour dim(X) = 0, c’est clair, car X est alors réduit à un point. Supposons le résultat montré pour tous les entiers < dim(X) = d. En appliquant une application linéaire (à coefficients dans Q), et en utilisant (5) de la remarque ci-dessus, nous pouvons supposer que notre matrice A s’écrit (I_{m}|B), où I_{m} est la (m × m) matrice identité. Nous avons donc d = n − m. Pour chaque a ∈ M^{∗}, nous rajoutons l’équation x_{n} = a, et obtenons un sous-ensemble X_{a} de X, de dimension d − 1, et les ensembles X_{a} sont certainement disjoints. Nous avons donc dim(X) ≥ d. Nous voulons maintenant montrer que X ne contient pas une infinité de sous-ensembles définissable disjoints de rang ≥ d. Pour cela nous allons étudier d’un peu plus près les sous-ensembles définissables de X.

Soit Y un sous-ensemble définissable propre de X. Par élimination des quantificateurs, Y s’écrit donc comme une combinaison booléenne d’ensembles de base, et en fait on peut l’écrire comme une union Y = ⋃_{i=1}^{r} Y_{i} \ Z_{i}, où chaque Y_{i} est un sous-ensemble de base, et chaque Z_{i} est une union finie d’ensembles de base strictement contenus dans Y_{i}. De plus nous pouvons supposer que les ensembles Y_{i} sont distincts. Nous avons donc que chacun des ensembles de base apparaissant dans Z_{i} est de dimension inférieure à celle de Y_{i}, et donc (par hypothèse d’induction) que RM(Z_{i}) < RM(Y_{i}). Nous avons alors RM(Y) = sup_{i} RM(Y_{i}).

Si RM(Y) ≥ d, cela entraîne que l’un des Y_{i} est égale à X. Dans ce cas, nous avons X \ Y ⊆ Z_{i}. Par hypothèse d’induction, RM(Z_{i}) < d, et donc Z_{i} ne peut contenir une infinité de sous-ensembles disjoints de dimension ≥ d − 1, en particulier de rang d.

Cela montre que toute famille infinie de sous-ensembles définissables disjoints de X ne peut contenir une infinité d’éléments de rang ≥ d. Et donc que RM(X) = d. En fait, notre preuve montre aussi que DM(X) = 1.

(9.9) Exemple 3 - Corps algébriquement clos. Soit V ⊆ M^{∗}^{n} une variété, de dimension d. Nous allons montrer par induction sur d, que RM(V) = d. Pour d = 0, c’est clair car V est réduite à un point. Supposons le résultat montré pour tous les entiers < d. Nous allons d’abord montrer que RM(V) ≥ d. Soit F le corps de définition de la variété V, et ā un générique de V sur F. Puisque dim(V) > 0, l’un des éléments du uplet ā est transcendant sur F, et nous supposerons que c’est a_{1}. L’équation x_{1} = a_{1} coupe alors V en un ensemble algébrique V (a_{1}) de dimension d − 1 ; par induction, nous avons donvc RM(V (a_{1}) = d − 1, car les composantes irréductibles de V (a_{1}) sont de dimension d − 1.

Soient maintenant b_{n}, n ≥ 0, des éléments distincts de M^{∗} qui sont transcendants sur F. Pour chaque n il existe un F -automorphisme de M^{∗} qui envoie a_{1} sur b_{n}. L’ensemble V (b_{n}) défini par x̄ ∈ V ∧ x_{1} = b_{n} est donc de rang d − 1. Ces ensembles sont disjoints, contenus dans V, et cela montre que RM(V) ≥ d.

Nous allons maintenant montrer que RM(V) ≤ d, et pour cela nous avons besoin de regarder les sous-ensembles définissables de V. Nous savons que tout sous-ensemble définissable X de M^{∗}^{n} est une combinaison booléenne de sous-variétés de M^{∗}^{n}. Nous pouvons donc écrire

X = ⋃_{i=1}^{m} V_{i} \ F_{i}

ou chaque V_{i} est une variété (contenue dans la clôture de Zariski X̃ de X) et chaque F_{i} est un fermé (propre) de V_{i}. Prenons un tel X contenu dans V. Remarquons que comme les V_{i} et V sont des variétés, nous avons dim(F_{i}) < dim(V_{i}), et que si dim(V_{i}) = d alors V_{i} = V.

Si dim(V_{i}) = d, alors par hypothèse d’induction nous avons RM(F_{i}) < d, et donc RM(V_{i} \ F_{i}) = RM(V_{i}) = RM(V). Comme V \ X ⊆ F_{i}, nous en déduisons que RM(X) = RM(V). Si pour tout i nous avons dim(V_{i}) < d, alors par hypothèse d’induction, RM(V_{i}) < d, ce qui entraîne que RM(X) < d.

Nous avons donc montré la chose suivante : si X est un sous-ensemble définissable de V, alors RM(X) < d ou bien RM(V \ X) < d. Comme nous savons que RM(V) ≥ d, cela entraîne que RM(V) = d et DM(V) = 1.

Cela nous donne maintenant très facilement le résultat suivant : soit X ⊂ M^{∗}^{n} un ensemble définissable, et X̃ sa clôture de Zariski. Alors RM(X) = dim(X̃), et DM(X) est le nombre de composantes irréductibles de X̃ de dimension maximale (en effet, celles de dimension inférieure sont aussi de rang inférieur). Ceci utilise que si V_{1} et V_{2} sont deux variétés distinctes de même dimension, alors dim(V_{1} ∩ V_{2}) < dim(V_{1}).

(9.10) Quelques remarques sur le rang de Morley. On peut montrer que toute formule a un rang de Morley < ∞ si et seulement T (= T h(M^{∗}), dans un langage dénombrable) est ω-stable.

Je vous rappelle que l’ω-stabilité entraîne la λ-stabilité pour tout cardimal infini λ. De plus, on montre que si T est ω-stable, alors le rang d’une formule sera < ω_{1}.

On vérifie facilement (en comptant les types) que les théories des exemples 2 et 3 ci-dessus sont ω-stables, et donc il est normal que le rang de Morley soit fini.

Nous avons aussi vu que T h(Z, +) n’est pas ω-stable, car il existe 2^{ℵ_{0}} types sur {1}. En fait on peut voir directement que RM(x = x) = ∞. En effet nous avons des bijections définissables entre M^{∗} et 2M^{∗}, M^{∗} et 2M^{∗} + 1 (données par x ↦ 2x et x ↦ 2x + 1). Supposons RM(M^{∗}) = α < ∞. Alors nous avons RM(2M^{∗}) = RM(2M^{∗} + 1) = α, et DM(M^{∗}) = DM(2M^{∗}) = DM(2M^{∗} + 1). Mais 2M^{∗} ∩ (2M^{∗} + 1) = ∅, et cela nous donne une contradiction. Donc RM(M^{∗}) = ∞. Nous verrons plus tard qu’il existe un rang plus approprié à l’étude de ce groupe.

(9.11) Rang de Morley de types. Soit A ⊂ M^{∗}, p(x̄) ∈ S_{n}(A) et ā une réalisation de p(x̄) dans M^{∗}. On définit

RM(p) = RM(ā/A) = inf{RM(φ(x̄) | φ(x̄) ∈ p(x̄)}.

C’est bien défini car toute suite décroissante d’ordinaux se stabilise.

(9.12) Ensembles fortements mininaux. Soit X un sous-ensemble définissable de M^{∗}^{n}. On dit que X est fortement minimal si et seulement si RM(X) = DM(X) = 1. Remarquons que cela veut dire que si Y est un sous-ensemble définissable de X, alors Y ou X \ Y est cofini.

Si M^{∗} est un corps algébriquement clos (sans autre structure), alors M^{∗} est fortement minimal. De même les espaces vectoriels sur un corps K sont fortement minimaux (s’ils sont infinis). Je rappelle que ce sont des groupes abéliens (dans le langage {+, −.0}) avec des symboles de multiplications scalaire λ_{c} pour chaque c ∈ K. Ces deux exemples vérifient des propriétés plus fortes : leur théorie est ℵ_{1}-catégorique. En fait on peut montrer que si la formule (x = x) définit un ensemble fortement minimal dans un modèle saturé de T, alors T est ℵ_{1}-catégorique si le langage est dénombrable, voir en fin de chapitre.

(9.13) Prégéométrie sur les ensembles fortement minimaux. Soit X ⊆ M^{∗}^{n} un ensemble fortement minimal. En ajoutant quelques symboles de constantes au langage nous pouvons donc supposer que X est défini sur ∅. Pour simplifier la notation, nous ne mettrons pas de barre au dessus des éléments de X, mais la reserverons aux uplets d’éléments de X. Nous définissons une opération de clôture dans X, notée cl, de la façon suivante : si A ⊂ X, alors cl(A) = acl(A) ∩ X. Remarquons tout de suite que cl(cl(A)) = cl(A), et que si a, b ∈ X, ∉ cl(A), alors tp(a/A) = tp(b/A) : en effet, soit φ(x) ∈ L(A), et soit Y l’ensemble qu’elle définit sur X. Nous savons que Y est fini ou cofini dans X. S’il est fini, alors Y ⊂ cl(A), s’il est infini, alors X \ Y ⊂ cl(A). Dans tous les cas, nous avons M^{∗} ⊧ φ(a) ↔ φ(b), ce qui montre que tp(a/A) = tp(b/A).

(9.14) Lemme d’échange. Soit A ⊂ X, et a, b ∈ X. Si b ∈ cl(A, a) \ cl(A), alors a ∈ cl(A, b) \ cl(A). Démonstration. En incorporant les éléments de A au langage, nous pouvons supposer que A = ∅. Nous avons alors b ∈ cl(a), b ∉ cl(∅). Tout d’abord nous ne pouvons avoir a ∈ cl(∅), car sinon nous aurions cl(a) = cl(∅), et b ∈ cl(∅). Nous allons supposer que a ∉ cl(b) et obtenir une contradiction. Soit φ(x, a) la formule isolant tp(b/a), et n ≥ 1 tel que M ⊧ ∃^{=n}x φ(x, a). Par forte minimalité, et comme a ∉ cl(b), il existe un sousensemble cofini X_{1} de X tel que pour tout a′ ∈ X_{1} on ait

M ⊧ φ(b, a′) ∧ ∃^{=n}x φ(x, a′).

Comme b ∉ cl(∅), il existe un sous-ensemble cofini Y de X tel que pour tout b′ ∈ Y, il existe au plus |X \ X_{1}| éléments a′ de X qui ne satisfont pas la formule

(φ(b′, y) ∧ ∃^{=n}x φ(x, y)).

Soient b_{0}, …, b_{n} des éléments distincts de Y. Alors pour chaque i, l’ensemble Y_{i} des éléments a′ de X qui ne satisfont pas la formule

(φ(b_{i}, y) ∧ ∃^{=n}x φ(x, y))

est de cardinalité au plus |X \ X_{1}|, et est donc fini. Une union finie d’ensembles finis est finis, et nous pouvons donc trouver un élément a′ dans le complémentaire de ⋃ Y_{i}. Nous avons alors

M ⊧ ⋀_{i=0}^{n} φ(b_{i}, a′) ∧ ∃^{=n}x φ(x, a′),

ce qui est absurde.

(9.15) Définitions. Soit X ⊂ M^{∗}^{n} un ensemble fortement minimal (défini sur ∅). Nous disons que a ∈ X est indépendant de A ⊂ X si a ∉ cl(A). Un sous-ensemble A de X est indépendant si tout uplet a ∈ A est indépendant de A \ {a}. Un sous-ensemble B de A est une base de A si B est independant et cl(A) = cl(B).

Remarquons qu’une base de A peut être aussi définie comme étant un sous-ensemble de A maximal indépendant.

(9.16) Corollaire. Soit X ⊂ M^{∗}^{n} un ensemble fortement minimal (défini sur ∅).

(1) Soit A ⊂ X. Les propriétés suivantes sont équivalentes pour un sous-ensemble B de A :

(i) B est une base de A. (ii) cl(B) = cl(A) et si C ⊆ B et cl(C) = cl(B) alors C = B.

(2) Si A ⊂ B ⊂ X, alors toute base de A s’étend en une base de B.

(3) Soit A ⊂ X. Alors deux bases de A ont la même cardinalité. Démonstration. (1) (i) → (ii) : cl(B) = cl(A) par définition. Supposons C ⊂ B et cl(C) = cl(B). Si b ∈ B \ C, nous avons alors b ∈ cl(C), ce qui contredit le fait que B soit indépendant. (ii) → (i) : tout d’abord comme cl(B) = cl(A), un sous-ensemble de cl(A) contenant strictement B ne peut être indépendant. Il suffit donc de montrer que B est indépendant. Mais sinon, il existe b ∈ B, tel que b ∈ cl(B \ {b}), ce qui entraîne cl(B) = cl(B \ {b}) et contredit notre hypthèse.

(2) Une base de A est un sous-ensemble indépendant de B, et est donc contenue dans un sous-ensemble maximal indépendant de B, c’est à dire dans une base de B.

(3) Nous allons d’abord montrer cela dans le cas où A a une base finie. Nous prenons alors pour B une base finie de A de cardinalité n minimale, et allons montrer que si C = {c_{α} | α < κ} (κ un cardinal) est une autre base de A alors κ = n. La démonstration est par induction (inverse) sur |B ∩ C|. Si |B ∩ C| = n, alors B ⊆ C, et donc B = C. Soit c ∈ C \ B. Par hypothèse, c ∈ cl(B). Prenons B′ ⊆ B minimal tel que c ∈ cl(B′), et soit b ∈ B′. Par minimalité de B′, nous avons alors c ∈ cl(B′), c ∉ cl(B′ \ {b}). Par le lemme d’échange, b ∈ cl(B′ \ {b}, c). Cela entraîne que cl(B \ {b}, c) = cl(A), et donc que B_{1} = B \ {b} ∪ {c} est une base de A (par minimalité de n). Nous avons |B_{1} ∩ C| = |B ∩ C| + 1, et par hypothèse d’induction cela entraîne que κ = n.

Supposons maintenant que A n’ait pas de base finie, et soient B = {b_{α} | α < κ} et C = {c_{α} | α < λ} des bases de A. Nous allons définir une fonction f : λ → P_{ω}(B) de la façon suivante : pour chaque α < λ nous choisissons un sous-ensemble fini B_{α} de B tel que c_{α} ∈ cl(B_{α}), et nous posons f(α) = B_{α}. Alors, pour tout sous-ensemble fini B′ de B, l’ensemble f^{−1}(B′) est fini : en effet, cl(B′) a une base finie (B′), et les éléments c_{α} ∈ cl(B′) sont indépendants. Par le cas fini, nous savons qu’il y en a au plus |B′|, c’est à dire que |f^{−1}(B′)| ≤ |B′|. Nous avons alors λ ≤ |P_{ω}(B)|ℵ_{0} = κ car κ est infini. Cela montre que λ ≤ κ, et par symétrie on obtient κ = λ.

(9.17) Proposition. Soit X ⊆ M^{∗}^{n} un ensemble fortement minimal défini sur ∅, et A ⊆ X un ensemble infini. Alors les uplets de A forment une suite totalement indiscernable (sur ∅) si et seulement s’ils sont indépendants. Démonstration. Supposons d’abord que A soit indépendant. Comme A est infini, nous savons en particulier qu’aucun de ses éléments n’est dans cl(∅) (si a ≠ b ∈ A, alors a ∉ cl(b)). Nous allons montrer que si a_{1}, …, a_{n} et b_{1}, …, b_{n} sont des uplets de X, avec les a_{i} deux à deux distincts et {a_{1}, …, a_{n}} indépendant, et les b_{i} deux à deux distincts et {b_{1}, …, b_{n}} indépendant, alors tp(a_{1}, …, a_{n}) = tp(b_{1}, …, b_{n}). Par (9.13), le résultat est vrai pour n = 1. Supposons le montré pour n − 1. Par (9.13), tp(a_{n}/a_{1}, …, a_{n−1}) est axiomatisé par les formules exprimant que x_{n} ∈ X, x_{n} ∉ cl(a_{1}, …, a_{n}). Par hypothèse d’induction, tp(a_{1}, …, a_{n−1}) est axiomatisé par les formules exprimant que x_{1}, …, x_{n−1} ∈ D, x_{1}, …, x_{n−1} forment un ensemble indépendant. Donc, tp(a_{1}, …, a_{n}) est axiomatisé par les formules disant que x_{1}, …, x_{n} sont des éléments de X qui forment un ensemble indépendant. Comme b_{1}, …, b_{n} satisfont aussi ces formules, nous avons que tp(a_{1}, …, a_{n}) = tp(b_{1}, …, b_{n}). En particulier, puisque A est indépendant, nous obtenons que A est un ensemble totalement indiscernable.

Pour la réciproque, supposons que A soit totalement indiscernable, et supposons que A ne soit pas indépendant. Il existe alors a_{1}, …, a_{n} ∈ A, a ∈ A tel que a ∈ cl(a_{1}, …, a_{n}), a ∉ {a_{1}, …, a_{n}}. Soit φ(x, a_{1}, …, a_{n}) la formule isolant tp(a/a_{1}, …, a_{n}). Puisque A est totalement indiscernable, cette formule est alors satisfaite par tous les éléments de A\{a_{1}, …, a_{n}}. Mais A est infini, et φ(x, a_{1}, …, a_{n}) n’a qu’un nombre fini de réalisations, ce qui nous donne une contradiction.

(9.18) Lemme. Soit X ⊂ M^{∗}^{m} un ensemble fortement minimal. Pour simplifier la notation, nous noterons les éléments de X sans barre, et réserverons la barre aux uplets d’éléments de X. Soit φ(x, ȳ) une formule de L. Alors l’ensemble

{b̄ | M^{∗} ⊧ ∃^{<∞}x x ∈ X ∧ φ(x, b̄)}

est définissable. Démonstration. Nous allons montrer qu’il existe un entier N tel que pour tout uplet b̄ de M^{∗},

|{a ∈ X | M^{∗} ⊧ φ(a, b̄)}| ≤ N ou bien |{a ∈ X | M^{∗} ⊧ ¬φ(a, b̄)}| ≤ N.

Notons que comme ces deux ensembles recouvrent X la disjonction est exclusive. C’est évident : sinon, par compacité il existerait un uplet b̄ de M^{∗} tel que les sous-ensembles de X définis par les formules φ(x, b̄) et ¬φ(x, b̄) sont tous deux infinis, ce qui contredit la minimalité forte de X. Nous avons donc montré que l’ensemble {a ∈ X | M^{∗} ⊧ φ(a, b̄)} est fini si et seulement s’il est de cardinalité ≤ N. La formule désirée (en ȳ) est donc

∃^{≤N}x x ∈ X ∧ φ(x, ȳ).

(9.19) Proposition. Supposons que M^{∗} soit fortement minimal. Si A ⊆ M^{∗} est tel que acl(A) est infini, alors acl(A) ≺ M^{∗}. Démonstration. Soit φ(x, ȳ) une formule, ā ∈ acl(A), et supposons qu’il existe b ∈ M^{∗} tel que M^{∗} ⊧ φ(b, ā). Regardons l’ensemble X défini par la formule φ(x, ā). S’il est fini, alors il est contenu dans acl(A), et b ∈ acl(A). S’il est infini, alors son complémentaire est fini (par forte minimlité), et X coupe l’ensemble infini acl(A). Nous avons donc montré qu’il existe b ∈ acl(A) tel que M^{∗} ⊧ φ(b, ā). Par le test de Tarski-Vaught, cela montre que acl(A) ≺ M^{∗}.

(9.20) Proposition. Supposons que M^{∗} soit fortement minimal. Alors T = T h(M^{∗}) est ℵ_{1}-catégorique. Démonstration. Rappelons que le langage est dénombrable) Soient M et N deux modèles de T de cardinalité κ ≥ ℵ_{1}. Prenons des bases B_{1} de M et B_{2} de N. Comme le langage est dénombrable, nous savons que |acl(B_{1})| = |B_{1}| + ℵ_{0}, et donc, puisque |M| = |N| = κ, nous avons |B_{1}| = |B_{2}| = κ. Fixons une bijection f : B_{1} → B_{2}. Par (9.13), cette bijection est un isomorphisme partiel élémentaire. Nous allons montrer qu’elle se prolonge en un isomorphisme entre M = acl(B_{1}) et N = acl(B_{2}). En effet, considérons l’ensembles des isomorphismes partiels élémentaires entre M et N étendant f, ordonné par l’inclusion. Cet ensemble satisfait les hypothèse du Lemme de Zorn, et adonc un élément maximal g. Nous allons montrer que dom(g) = M. Sinon, il existe a ∈ M, a ∉ dom(g). Comme a ∈ acl(B_{1}), nous savons que tp(a/dom(g) est algébrique. Soit φ(x, b̄) la formule isolant tp(a/dom(g)) (φ ∈ L, b̄ ∈ dom(g)). Comme g est élémentaire, la formule φ(x, g(b̄) isole un type (complet) sur Im(g), et a donc une réalisation c ∈ N. Nous étendons g en posant g′(a) = c, g′ ⊃ g, et obtenons un isomorphisme partiel élémentaire prolongeant g, ce qui nous donne la contradiction désirée. Nous avons montré que dom(g) = M, on montre de la même façon que Im(g) = N, et nous avons donc montré que deux modèles de T de même cardinalité non dénombrable sont isomorphes.

10. Corps différentiellement clos Dans cette section nous allons étudier la modèle complétion de la théorie des corps

différentiels (de caractéristique 0). Tous nos anneaux seront commutatifs unitaires.

(10.1) Une dérivation sur un anneau R est un homomorphisme additif D : R → R satisfaisant

D(xy) = xDy + yDx

pour tous x, y ∈ R. Les dérivations satisfont les règles usuelles satisfaites par les dérivées de fonctions, et en particulier la loi pour la composition. Les anneaux différentiels sont des structures du langage L_{D} = {+, −, ·, D, 0, 1}. Une inclusion d’anneaux différentiels correspond à une inclusion de L_{D}-structures, et pareil pour les morphismes. Exemples. (1) La dérivation triviale sur R : D = 0.

(2) Soit C^{∞}((0, 1)) l’anneau des fonctions de domaine l’intervalle ouvert (0, 1) et à valeurs réelles qui sont infiniment différentiables. On prend pour D la dérivation usuelle.

(3) Soit U un sous-ensemble ouvert et connexe de C, soit O_{U} l’anneau des fonctions holomorphes sur U, et D la dérivation usuelle.

(4) Soit a ∈ R (R un anneau), X une indéterminée. La fonction D(∑_{i=0}^{m} a_{i}X^{i}) = a ∑_{i=1}^{m} ia_{i}X^{i−1} est alors une dérivation sur R[X]. Notons que si a = 1, alors D coïncide avec la dérivation usuelle \frac{d}{dX} sur R[X] et que D est 0 sur R. On peut généraliser cette construction à R[X_{1}, …, X_{n}] en considérant maintenant D_{i} = \frac{∂}{∂X_{i}}.

(5) Soit D_{0} : R → R une dérivation. Nous formons l’anneau de polynômes différentiels en X̄ = (X_{1}, …, X_{n}) de la façon suivante: Nous posons X_{i}^{(0)} = X_{i} pour i = 1, …, n, et considérons l’anneau R{X̄} = R[X_{i}^{(j)} | i = 1, …, n, j ∈ N] en une infinité de variables. Pour j ∈ N et i = 1, …, n, nous posons D(X_{i}^{(j)}) = X_{i}^{(j+1)}, et pour a ∈ R, D(a) = D_{0}(a). Il existe alors une seule façon d’étendre D à une dérivation de R{X̄}, en posant

D(f(X)) = D(f)(X̄) + ∑_{i,j} \frac{∂f}{∂X_{i}^{(j)}} (X̄)X_{i}^{(j+1)}

Ici, D(f)(X̄) est l’élément de R{X̄} obtenu en appliquant D aux coefficients de f(X̄), et \frac{∂f}{∂X_{i}^{(j)}} (X̄) est la dérivée partielle de f(X̄) considérée comme un polynôme en les variables X_{i}^{(m)}, i = 1, …, n, m ∈ N, par rapport à la variable X_{i}^{(j)}. Vous montrerez en exercice que cela définit bien une dérivation. [Attention, j’utiliserai indifféremment la notation g(X) pour l’élément de R{X} et pour le polynôme en X, X′, X^{(2)}, …, X^{(n)}, … le représentant. J’espère que cela ne créera pas de confusion].

(10.2) Lemme. Soit D une dérivation sur R.

(1) D(1) = D(0) = 0.

(2) Pour tous n ∈ N et a ∈ R, D(a^{n}) = na^{n−1}D(a).

(3) Si b est inversible dans R, et n ∈ Z alors D(b^{n}) = nb^{n−1}D(b). Démonstration. (1) D(1) = D(1 · 1) = D(1) + D(1), donc D(1) = 0. D(0) = D(0 + 0) = D(0) + D(0), donc D(0) = 0.

(2) Par induction sur n. Pour n = 0 c’est clair par (1). D(x^{n+1}) = D(x^{n} · x) = D(x^{n})x + x^{n}D(x) = nx^{n−1}D(x)x + x^{n}D(x) = (n + 1)x^{n}D(x).

(3) Si n ≥ 0, c’est (1). Supposons n = −1. Alors D(1) = 0 = D(b· \frac{1}{b}) = bD(\frac{1}{b})+D(b)\frac{1}{b}, d’où D(\frac{1}{b}) = −D(b)b^{−2}. Si maintenant n < 0, on applique le résultat à c^{−1} = b^{n} (et donc c = b^{−n}) et on obtient

D(b^{n}) = −D(c)\frac{1}{b^{2n}} = −((−nb^{−n−1}D(b))\frac{1}{b^{−2n}} = nD(b)b^{n−1}.

(10.3) Exercice 1. Montrez que si R est un anneau intègre différentiel, il existe une et une seule façon d’étendre la dérivation D de R à une dérivation sur le corps K des fractions de R.

Considérons la dérivée logarithmique définie par LogD(a) = \frac{D(a)}{a} pour a ∈ K. Montrez que LogD(ab) = LogD(a) + LogD(b), et que LogD(a^{−1}) = −LogD(a).

(10.4) Exercice 2. Soit R un anneau différentiel (la dérivation est notée D).

(1) Montrez que si f(X̄) ∈ R[X̄], X̄ = (X_{1}, …, X_{n}), et ā = (a_{1}, …, a_{n}) ∈ K^{n} alors

D(f(ā)) = D(f)(ā) + ∑_{i=1}^{n} \frac{∂f}{∂X_{i}} (ā)D(a_{i}).

(2) Vérifiez que la dérivation sur R{X̄} définie en (10.1)(5) définit bien une dérivation de R{X̄}.

(10.5) Définition. Soit D une dérivation sur R. Alors l’ensemble C_{R} = {a ∈ R | D(a) = 0} est appelé l’anneau des constantes de R. Nous omettrons en général l’indice R.

(10.6) Exercice 3. (1) Vérifiez que C_{R} est bien un sous-anneau de R. Montrez que si a ∈ R, alors aD est aussi une dérivation sur R.

(2) Montrez que si R est un anneau de caractéristique p > 0, alors C_{R} contient nécéssairement toutes les puissances p-ièmes d’éléments de R. En particulier, si K est un corps parfait de caractéristique positive, alors toute dérivation sur K est triviale.

(10.7) Idéaux différentiels. Si R est un anneau différentiel (avec dérivation D), un idéal différentiel de R est un idéal I de R satisfaisant D(I) ⊆ I. Si S ⊆ R, nous noterons par ⟨S⟩ l’idéal différentiel de R engendré par S.

(10.8) Exercice 4. Montrez que si I est un idéal différentiel de R, alors R/I a une structure naturelle d’anneau différentiel.

(10.9) Nous allons maintenant étudier l’anneau R{X} d’un peu plus près (X une seule variable, R un anneau différentiel). Soit f(X) ∈ R{X}. Alors l’ordre de f(X) est le plus grand entier n tel que X^{(n)} apparaisse dans f(X) de façon non triviale (si f(X) ∈ R, son ordre est par définition −1). Nous pouvons alors écrire

f(X) = ∑_{i=0}^{m} g_{i}(X)X^{(n)}^{i}

où les g_{i}(X) sont d’ordre ≤ n − 1 (et m ≥ 1, g_{m} ≠ 0). On dit alors que f(X) est de degré m.

Nous définissons un préordre ≪ sur R{X} en posant f(X) ≪ g(X) si l’ordre de f(X) est inférieur à celui de g(X), ou bien si ces ordres sont égaux et le degré de f(X) est inférieur ou égal à celui de g(X). Si l’on quotiente par la relation d’équivalence (f(X) ≪ g(X))∧(g(X) ≪ f(X)), on obtient l’ordre lexicographique sur les paires (ordre(f), deg(f)). Notons que ce préordre est bien-ordonné, c’est à dire que tout ensemble a un élément minimal.

(10.10) La séparante. Soit f(X) ∈ R{X}, d’ordre n ≥ 0. On définit la séparante de f(X) par

s(X) = \frac{∂f}{∂X^{(n)}} (X).

Attention, ici nous considérons f(X) comme un polynôme en les variables X, X′, …, X^{(n)}, et nous prenons sa dérivée partielle par rapport à la variable X^{(n)}. Si f(X) = ∑_{i=0}^{m} g_{i}(X)X^{(n)}^{i}, alors

s(X) = ∑_{i=0}^{m−1}(i + 1)g_{i+1}(X)X^{(n)}^{i}

car les polynômes g_{i}(X) sont des constantes pour la dérivation \frac{∂}{∂X^{(n)}} . Notons que s(X) ≪ f(X), car le degré de s(X) est inférieur à celui de f(X). Exemple. Soit f(X) = (X^{(2)})^{2} − 2X′, alors l’ordre de f(X) est 2, ainsi que son degré, et sa séparante est s(X) = 2X^{(2)}.

(10.11) Définition. Soit f(X) ∈ R{X}, et posons I(f) = {g(X) ∈ R{X} | ∃k ∈ N s^{k}(X)g(X) ∈ ⟨f(X)⟩}.

Nous montrerons que si R est un corps et f(X) ∈ R{X} est irréductible, alors I(f) est un idéal différentiel premier de R{X}, et de plus, que tous les idéaux premiers différentiels de R{X} sont de cette forme. Pour l’instant, nous montrerons déjà : Lemme. I(f) est un idéal différentiel. Démonstration. C’est certainement un idéal (car ⟨f⟩ est un idéal). Supposons que s^{n}g ∈ ⟨f⟩. Alors s^{n+1}g ∈ ⟨f⟩, donc D(s^{n+1}g) ∈ ⟨f⟩ (car ⟨f⟩ est un idéal différentiel), et D(s^{n+1}g) = (n + 1)s^{n}D(s)g + s^{n+1}D(g). Comme s^{n}g ∈ ⟨f⟩, on en déduit que s^{n+1}D(g) ∈ ⟨f⟩.

A partir de maintenant, nous supposerons que R est un corps K de caractéristique 0. Le lemme ci-dessous est faux en caractéristique p > 0.

(10.12) Lemme. Soit f(X) ∈ K{X} un polynôme différentiel irréductible d’ordre n et de degré m. Si g ∈ ⟨f⟩ \ 0, alors l’ordre de g(X) est au moins n, et s’il égale n alors f divise g. Démonstration. [Rappelons qu’un élément f d’un anneau R est irréductible si pour tous g, h ∈ R tels que f = gh, un des éléments g, h est inversible dans R.] Soit s(X) la séparante de f(X). Assertion. Si ℓ ≥ 1, alors D^{ℓ}(f(X)) = s(X)X^{(n+ℓ)} + f_{ℓ}(X), où f_{ℓ}(X) est d’ordre ≤ n + ℓ − 1.

Ecrivons f(X) = ∑_{i=0}^{m} g_{i}(X)(X^{(n)})^{i}, où les g_{i}(X) sont d’ordre ≤ n − 1. Alors

\begin{aligned}D(f) & = ∑_{i=0}^{m} D(g_{i}(X))(X^{(n)})^{i} + g_{i}(X)i(X^{(n)})^{i−1}X^{(n+1)} \\ & = s(X)X^{(n+1)} + f_{1}(X) \end{aligned}

où f_{1}(X) = ∑_{i=0}^{m} D(g_{i})(X) est d’ordre ≤ n (car chaque g_{i}(X) est d’ordre ≤ n − 1). Ceci montre le cas ℓ = 1. Le cas général se montre par induction (exercice).

Soit g ∈ ⟨f⟩, et écrivons g = a_{0}f + a_{1}D(f) + ⋯ + a_{k}D^{k}(f), où les a_{i} ∈ K{X}. Si k = 0 ou bien l’ordre de g est supérieur à n, il n’y a rien à montrer. Nous supposerons donc k > 0, et que l’ordre de g est au plus n.

Nous savons que X^{(n+k)} apparaît dans D^{k}(f) avec coefficient s, et qu’il n’apparaît pas dans g ou dans f, D(f), …, D^{k−1}(f) (car leurs ordres sont ≤ n). Nous allons remplacer toutes les occurrences de X^{(n+k)} par la fonction rationnelle −\frac{f_{k}}{s}. Rappelons que D^{k}(f) = sX^{(n+k)} + f_{k}, et en multipliant tout par une puissance de s appropriée, nous obtenons

s^{m}g = b_{0}f + b_{1}D(f) + ⋯ + b_{k−1}D^{k−1}(f).

(En effet la substitution n’affecte pas g, f, …, D^{k−1}(f), car X^{(k+n)} n’y apparaît pas). Nous avons donc prouvé que si g appartient à l’idéal de K{X} engendré par f, D(f), …, D^{k}(f), alors il existe m tel que s^{m}g appartienne à l’idéal de K{X} engendré par f, D(f), …, D^{k−1}(f). Par induction, il existe donc M tel que s^{M}g = cf. Mais le degré de s est inférieur à celui de f, et f est irréductible. Donc f divise g, ce qui prouve le lemme.

(10.13) Corollaire. Soit f ∈ K{X} irréductible d’ordre n, et soit g ∈ I(f) \ {0}. Alors l’ordre de g est au moins n, et s’il égale n alors f divise g. Démonstration. Soit m tel que s^{m}g ∈ ⟨f⟩. Par le lemme précédent, l’ordre de s^{m}g est au moins n. S’il est supérieur à n, alors l’ordre de g est supérieur à n. S’il égale n, alors f divise s^{M}g pour un entier M ≥ m, ce qui entraîne (comme précédemment) que f divise g.

(10.14) Exercice 5. Soit K un corps différentiel, contenu dans un grand corps algébriquement clos Ω, et ā = (a_{i})_{i∈I} un uplet (peut-être infini) d’éléments de Ω. Nous considérons l’idéal (premier) I(ā/K) ⊆ K[X̄] = K[X_{i} | i ∈ I], et prenons un système {f_{α}(X̄), α ∈ J} de générateurs de cet idéal. Supposons que nous ayons une famille (u_{i})_{i∈I} d’éléments de K(ā) satisfaisant pour tout α ∈ J :

0 = D(f_{α})(ā) + ∑_{i∈I} \frac{∂f_{α}}{X_{i}} (ā)u_{i}.

Nous étendons D^{∗} à K(ā) en posant, pour g(X̄) ∈ K(X̄) qui soit définie en ā,

D^{∗}(g(ā)) = D(g)(ā) ∑_{i∈I} \frac{∂g}{∂X_{i}} (ā)u_{i}.

(1) Montrez que si g(X̄) ∈ I(ā/K) ⊆ K[X̄], alors D^{∗}(g(ā)) = 0. En déduire que D^{∗} est bien définie, c’est à dire que si g(ā) = h(ā) pour des éléments g(X̄), h(X̄) de K(X̄), alors D^{∗}(g(ā)) = D^{∗}(h(ā)).

(2) Vérifiez que D^{∗} définit bien une dérivation de K(ā).

(3) Soit D′ une autre dérivation de K(ā) étendant D et satisfaisant D′(a_{i}) = u_{i} pour i ∈ I. Montrez que D = D′.

(10.15) Exercice 6. Soit k un corps différentiel et a ∈ k̃, f(X) = ∑_{i=0}^{n} a_{i}X^{i} son polynôme minimal (unitaire) sur k. Utilisant le fait que f(a) = 0 = D(f(a)), montrez qu’il existe une seule extension de la dérivation D au corps k(a). Si b = ∑_{i=0}^{n−1} a^{i}, où les a_{i} ∈ k, calculez D(b).

(10.16) Lemme (Division). Soit f ∈ K{X} irréductible d’ordre n, et soit g ∈ K{X}. Il existe g_{1} ∈ K{X} d’ordre au plus n et m ∈ N tel que s^{m}g − g_{1} ∈ ⟨f⟩. Démonstration. Supposons que g ait ordre k +n avec k > 0, et que le lemme soit vrai pour tous les h ∈ K{X} satisfaisant h ≪ g. Par l’assertion du lemme (10.12), nous pouvons écrire D^{k}(f) = sX^{(n+k)} + f_{k}, où l’ordre de f_{k} est au plus n + k − 1. Supposons que g soit de degré m, et écrivons le g = ∑_{i=0}^{m} h_{i}(X)X^{(n+k)}^{i}, où les h_{i} sont d’ordre < n + k. Soit maintenant g_{1} = s^{m}g − D^{k}(f)^{m}h_{m}. Alors g_{1} est d’ordre ≤ n + k et de degré < m. De plus s^{m}g − g_{1} ∈ ⟨f⟩. Par hypothèse d’induction, il existe ℓ et g_{2} ∈ K{X} d’ordre ≤ n tels que s^{ℓ}g_{1} − g_{2} ∈ ⟨f⟩. Nous avons alors s^{ℓ+m}g − g_{2} ∈ ⟨f⟩. Corollaire. Si f ∈ K{X} est irréductible et d’ordre n, alors I(f) est un idéal différentiel premier. Démonstration. Soient u, v ∈ K{X} tels que uv ∈ I(f), et soient u′, v′ d’ordre ≤ n et m ∈ N tels que s^{m}u − u′, s^{m}v − v′ ∈ ⟨f⟩. Alors s^{2m}uv − u′v′ ∈ ⟨f⟩. Nous avons donc que f divise u′v′, ce qui entraîne qu’il divise l’un des deux, disons u′. Mais alors s^{m}u ∈ ⟨f⟩, ce qui montre que u ∈ I(f).

(10.17) Lemma. Tout idéal différentiel premier I de K{X} est de la forme I(f). Démonstration. Choisissons f ∈ I \ {0} minimal pour ≪. Nous dirons que f est un polynôme minimal pour I. Nous allons montrer que I = I(f). Tout d’abord, ⟨f⟩ ⊆ I, et s ∉ I car s ≪ f. Donc, si s^{m}g ∈ I alors g ∈ I car I est premier, et cela montre que I(f) ⊆ I.

Soit g ∈ I, et prenons g_{1} ∈ ⟨f⟩ et m ∈ N tels que s^{m}g − g_{1} ∈ ⟨f⟩, et tel que l’ordre de g_{1} soit au plus égal à l’ordre n de f (lemme (10.16)). Notons que comme g_{1} ∈ I, l’ordre de g_{1} égale n. Soit d le degré de f. En utilisant l’algorithme d’Euclide dans l’anneau K(X, …, X^{(n−1)})[X^{(n)}], nous pouvons écrire g_{1} = af + r_{1}, où a, r_{1} ∈ K(X, …, X^{(n−1)})[X^{(n)}], et r_{1} est de degré < d en X^{(n)}. En chassant les dénominateurs, il existe a_{1}, a_{2}, r_{2} ∈ K[X, …, X^{(n)}] tels que a_{1}g_{1} = a_{2}f + r_{2}, avec a_{1}, a_{2} d’ordre < n et r_{2} d’ordre n et de degré < d. Alors r_{2} ∈ I, et r_{2} ≪ f, donc r_{2} = 0. Cela entraîne que a_{1}g_{1} = a_{2}f, et donc que f divise g_{1}. Nous avons donc : g_{1} ∈ I(f), s^{m}g − g_{1} ∈ I(f), ce qui entraîne que g ∈ I(f).

(10.18) Le rang différentiel. Si I est un idéal différentiel premier de K{X}, nous posons RD(I) comme étant l’ordre d’un polynôme minimal de I si I ≠ (0), et ω si I = (0). Soit L un corps différentiel contenant K, et a ∈ L. On définit I_{D}(a/K) = {f(X) ∈ K{X} | f(a) = 0}. Il est clair que I_{D}(a/K) est un idéal différentiel premier. De plus, notons par K⟨a⟩ le sous-corps différentiel de L engendré par a au-dessus de K (donc K⟨a⟩ = K(a, D(a), …, D^{k}(a), …)). On montre alors facilement que tr.deg(K⟨a⟩/K) = RD(I_{D}(a/K)), car K⟨a⟩ est K-isomorphe au corps de fractions de K{X}/I_{D}(a/K) (l’isomorphisme est celui qui envoie a sur la classe X/I_{D}(a/K), et D^{m}(a) sur la classe X^{(m)})/I_{D}(a/K)) pour m ≥ 1).

(10.19) Corollaire. Soient I ⊂ J ⊂ K{X} des idéaux premiers, avec I ≠ J. Alors RD(I) > RD(J). Démonstration. Soient f, g ∈ K{X} des polynômes différentiels irréductibles tels que I(f) = I et I(g) = J. Nous savons que RD(I) égale l’ordre de f, et RD(J) égale celui de g. Puisque l’ ordre de f est minimal parmi les éléments non nuls de I, et que I ⊂ J, nous savons que RD(I) ≥ RD(J). Supposons qu’ils soient égaux. Comme f ∈ I(g), nous avons alors (par (10.13)) que g divise f. Mais cela entraîne que f et g engendrent les même idéaux dans K{X} (car f est irréductible), et donc que I(f) = I(g). Ceci contredit notre hypothèse, et l’ordre de f est supérieur à celui de g. Donc RD(J) > RD(I).

(10.20) Eléments différentiellement algébriques, trasncendants, bases de transcendance différentielle. Soit k ⊂ K des corps différentiels. On dit que a ∈ K est différentiellement transcendant sur k si I_{D}(a/k) = (0). Sinon, on dira que a est différentiellement algébrique sur k. Un élément différentiellement algébrique sur k est donc un élément de K qui annule un polynôme différentiel non nul à coefficients dans k. Si ā est un n-uplet d’éléments de K, on dit que ā est différentiellement indépendant au-dessus de k si I_{D}(ā/k) = (0), c’est-à-dire si le n-uplet ā ne satisfait aucune équation différentielle à coefficients dans k.

Un sous-ensemble B de K est différentiellement indépendant au-dessus de k si tout uple fini de B est différentiellement indépendant au-dessus de k. Le sous-enesmble B de K est une base de transcendance diférentielle de K sur k si B est différentiellement indépendant sur k, et tout élément de K est différentiellement algébrique sur k⟨B⟩. De façon équivalente, si B est un sous-ensemble de K différentiellement indépendant sur k et maximal pour cette propriété.

(10.21) Remarque. Soient k ⊂ K des corps différentiels, et a ∈ K. Alors a est différentiellement transcendant sur k si et seulement si tr.deg(k⟨a⟩/k) = ∞. Il est clair que si I_{D}(a/k) = (0) alors tr.deg(k⟨a⟩/k) = ∞. Réciproquement, supposons que I_{D}(a/k) soit non nul, et soit f ∈ k{X} irréductible et tel que I_{D}(a/k) = I(f). Soit n l’ordre de f et s sa séparante. Alors s ∉ I(f). De plus, par le lemme de division (10.16), si N > n, alors il existe g_{1} d’ordre au plus n et un entier m tel que s^{m}X^{(N)} − g_{1} ∈ ⟨f⟩. Ceci nous dit exactement que s^{m}(a)D^{N}(a) = g_{1}(a), et donc que D^{N}(a) ∈ k[a, D(a), …, D^{n}(a), s(a)^{−1}] ⊂ k(a, …, D^{n}(a)). Le corps k(a, …, D^{n}(a)) est donc un corps différentiel, de degré de transcendance n au-dessus de k. [Puisque a ne satisfait aucune équation différentielle d’ordre n − 1 et à coefficients dans k, les éléments a, D(a), …, D^{n−1}(a) sont algébriquement indépendants au-dessus de k ; puisque a satisfait f(a) = 0, D^{n}(a) est algébrique sur k(a, D(a), …, D^{n−1}(a)).]

(10.22) Lemme d’échange. Soient k ⊂ K des corps différentiels, A ⊂ K, et a, b ∈ K. Supposons que b soit différentiellement algébrique sur k⟨A, a⟩, mais ne soit pas différentiellement algébrique sur k⟨A⟩. Alors a est différentiellement transcendant sur k⟨A⟩, et est différentiellement algébrique sur k⟨A, b⟩. Démonstration. Nous pouvons supposer que k = k⟨A⟩. Puisque b n’est pas différentiellement transcendental sur k⟨a⟩, nous savons qu’il existe f(X, Y) ∈ k{X, Y } non nul tel que f(a, b) = 0. Nous le choisissons d’ordre et de degré minimal en tant que polynôme différentiel en Y. Puisque b n’est pas différentiellement algébrique sur k, nous savons que f(X, Y) ∉ k{Y }, et que le polynôme différentiel f(X, b) ∉ k, c’est à dire que a est différentiellement algébrique sur k⟨b⟩. D’autre part, a ne peut être différentiellement algébrique sur k, sinon non aurait

\begin{aligned}tr.deg(k⟨a, b⟩/k) & = tr.deg(k⟨a, b⟩/k⟨b⟩) + tr.deg(k⟨b⟩/k) = ∞ \\ & = tr.deg(k⟨a, b⟩/k⟨a⟩) + tr.deg(k⟨a⟩/k) < ∞ \end{aligned}

ce qui nous donnerait une contradiction.

Grâce au lemme d’échange nous obtenons que deux bases de transcendance différentielles de K sur k ont la même cardinalité.

(10.23) Corps différentiellement clos. Nous travaillons dans le langage L_{D}. Soit DCF la théorie dont les modèles sont les L_{D}-structures K satisfaisant les axiomes suivants:

(i) Les axiomes pour les corps algébriquement clos de caractéristique 0. (ii) Les axiomes pour les corps différentiels. (iii) Pour tous f(X), g(X) ∈ K{X} tels que l’ordre de g est inférieur à l’ordre de g,

l’axiome ∃x f(x) = 0 ∧ g(x) ≠ 0. Les modèle de DCF seront appelés des corps différentiellement clos.

(10.24) Théorème. Tout corps différentiel k se plonge dans un corps différentiellement clos. Démonstration. Soit f(X), g(X) ∈ k{X}, avec f(X) d’ordre n, g(X) d’ordre < n (si n = 0, on ne prend pas de g. Le cas n = 0 nous permet donc de montrer que k se plongera dans un corps différentiel algébriquement clos). Remplaçant f(X) par un de ses facteurs irréductibles d’ordre n, nous pouvons supposer que f est irréductible. Soit R l’anneau différentiel k{X}/I(f). L’élément a = X/I(f) satisfait f(x) = 0 ∧ g(x) ≠ 0, car f(X) ∈ I(f), et g ∉ I(f) par (10.16). De plus, R est intègre (Corollaire (10.16)), D s’étend au corps F des fractions de R, et F est un corps différentiel contenant k.

Nous avons donc montré les deux choses suivantes :

– si f(X) ∈ k[X], est un polynôme irréductible, alors k est contenu dans un corps différentiel contenant une racine de f(X) = 0. Par un argument limite, nous voyons que tout corps différentiel se plonge dans un corps différentiel algébriquement clos.

– Tout instance de l’axiome (iii) est satisfaite dans un corps différentiel contenant k. De même, un argument standard montre que k se plonge dans un corps différentiellement clos. [On plonge d’abord k dans un corps différentiel k_{1} algébriquement clos et satisfaisant toutes les instances de l’axiome (iii) à coefficients dans k, puis on fait de même avec k_{1}, pour obtenir k_{2}. Finalement on prend K = ⋃ k_{n}, où chaque k_{n+1} est un corps différentiel algébriquement clos dans lequel toutes les instances de l’axiome (iii) à coefficients dans k_{n} sont satisfaites. On aura alosr K ⊧DCF.]

(10.25) Proposition. Soient K et L des corps différentiels ω-saturés. Alors la famille I des isomorphismes partiels entre K et L a la propriété du va-et-vient. Démonstration. Tout d’abord I n’est pas vide, car l’isomorphisme ∅ est dans I. Soit f ∈ I, ā = dom(f), b̄ = f(ā), et soient k = Q⟨ā⟩, ℓ = Q⟨b̄⟩. Alors f s’étend de façon unique à un isomorphisme de corps différentiels f : k → ℓ. En effet tous les éléments de k sont de la forme t(ā)u(ā)^{−1}, où t(x̄), u(x̄) sont des termes de L_{D}, et de même pour ℓ.

Soit g un polynôme minimal de I(a/k), et n son ordre. Nous avons alors I(a/k) = I(g). Par ω-saturation de L et l’axiome (iii), il existe b ∈ L satisfaisant le type (partiel) suivant:

{f(g)(x) = 0} ∪ {h(x) ≠ 0 | h(X) ∈ l{X}, ordre de h(X) < n}.

Nous affirmons que nécéssairement I(b/ℓ) = I(f(g)). Nous savons que I(b/ℓ) est un idéal premier différentiel de l{X}, qui contient le polynôme irréductible f(g) (puisque g est irréductible, f(g) l’est aussi), et qui ne contient pas d’éléments d’ordre inférieur à n. Par le corollaire (10.19), nous avons donc I(b/ℓ) = I(f(g)), et cela entraîne que l⟨b⟩ est ℓisomorphe (comme corps différentiel) au corps des fractions de l{X}/I(f(g)). L’application f se prolonge donc à un isomorphisme de corps différentiels entre k⟨a⟩ et l⟨b⟩ qui envoie a sur b.

Si maintenant I(a/k̃) = (0), alors par ω-saturation de L, il existe b ∈ L tel que b soit différentiellement transcendental sur ℓ̃, et nous pouvons prolonger f en envoyant a sur b.

(10.26) Théorème. DCF élimine les quantificateurs, est complète et modèle complète . Démonstration. C’est un corollaire de la proposition (10.25).

(10.27) Corollaire (Nullstellensatz différentiel). Si k est un corps différentiel, et Σ est un système fini d’équations différentielles qui a une solution dans un corps différentiel contenant k, alors Σ a une solution dans tout corps différentiellement clos contenant k. Démonstration. Soit L un corps différentiel contenant k, dans lequel Σ a une solution. Par (10.24), L se plonge dans un corps différentiellement clos K dans lequel Σ a aussi une solution. Par (10.26), DCF ∪ Δ(k) est complète, et nous savons aussi que L en est un modèle, qui satisfait la formule ∃x̄ Σ(x̄) = 0. Donc DCF ∪ Δ(k) ⊢ ∃x̄ Σ(x̄) = 0. Or, tout corps différentiellement clos contenant k est un modèle de cette théorie.

(10.28) Thérème DCF est ω-stable.

Démonstration. Soit K un corps différentiellement clos, et A ⊂ K de cardinalité ≤ ℵ_{0}. Nous pouvons supposer que A est un sous-corps diférentiel de K. Alors l’application qui à un type p(x) ∈ S_{1}(A) associe l’idéal différentiel I_{D}(p) des polynômes différentiels f(X) ∈ A{X} tels que f(x) = 0 ∈ p(x), établit une correspondance entre les 1-types sur A et les idéaux premiers différentiels de A{X}. Ces derniers sont ou bien (0), ou bien de la forme I(f) pour un f ∈ A{X}. Cela montre que |S_{1}(A)| ≤ |A{X}| = |A|.

(10.29) Clôture différentielle. Je vous ai dit que dans une théorie ω-stable, les modèles premiers au-dessus d’ensembles quelconques existent, et sont uniques à isomorphisme près (au-dessus de l’ensemble considéré). Traduit dans notre cas, cela donne:

Soit K un corps différentiellement clos, et A un sous-corps différentiel de K. Alors il existe une sous-structure élémentaire B de K contenant A qui se plonge dans tout corps différentiellement clos contenant A comme sous-corps différentiel. De plus, cette propriété détermine B à A-isomorphisme près. Nous appellerons ce corps différentiel B la clôture différentielle de A.

On peut montrer que B est nécéssairement atomique au-dessus de A, c’est à dire que le type sur A de tout uplet fini d’éléments de B est isolé.

(10.30) Corollaire. Soit k un corps différentiel, et K la clôture différentielle de k. Alors le corps C_{K} des constantes de K est la clôture algébrique du corps C_{k} des constantes de k. Démonstration. Soit a ∈ C̃_{k}, et f(X) = ∑_{i=0}^{m} a_{i}X^{i} son polynôme minimal sur C_{k}. Alors D(a_{i}) = 0 pour tout i, et donc D(f(a)) = 0 = ∑_{i=0}^{m} a_{i}ia^{i−1}D(a). Comme ∑_{i=0}^{m} a_{i}ia^{i−1} ≠ 0, nous avons D(a) = 0.

Soit a ∈ C_{K}, et I = I_{D}(a/k). Nous savons que I détermine tp(a/k), et nous savons aussi que tp(a/k) est isolé. Supposons que a ne soit pas algébrique sur k. Alors a est transcendant sur k, et son type sur k est axiomatisé par

D(x) = 0 ∪ {f(x) ≠ 0 | f(X) ∈ k[X] \ 0}.

Il existe donc g(X) ∈ k[X] tel que D(x) = 0 ∪ g(X) ≠ 0 axiomatise tp(a/k) : mais c’est impossible, car cette formule a une réalisation dans C̃_{k}. Cela entraîne que a est algébrique sur k. Nous avons vu que si b est un conjugué de a au-dessus de k, alors le k-isomorphisme entre k(a) et k(b) qui envoie a sur b est un isomorphisme de corps différentiels (cf exercice 6). Nous avons donc que tous les conjugués de a au-dessus de k sont dans C_{K}. Si p(T) ∈ k[T] est le polynôme minimal (unitaire) de a sur k, et a = a_{1}, …, a_{n} sont ses racines, alors p(T) = ∏_{i−1}^{n}(T − a_{i}), ce qui entraîne que les coefficients de p(T) sont dans C_{K}. Ils sont donc dans C_{K} ∩ k = C_{k}, ce qui montre que a ∈ k̃.

(10.31) Clôture algébrique, clôture définissable. Soit k un sous-corps différentiel du corps différentiellement clos K. Alors k = dcl(k) et acl(k) = k̃.

Montrons d’abord la deuxième assertion. Si a ∈ k̃, alors certainement a ∈ acl(k). Supposons maintenant que a ∈ K \k̃ et considérons I_{D}(a/k̃). Si a est algébrique au-dessus de k̃, alors l’ensemble A des b ∈ K tels que I_{D}(b/k̃) = I_{D}(a/k̃) est fini. Nous savons que I_{D}(a/k̃) est un idéal différentiel premier de k̃{X}, qui est de la forme I(f) pour un polynôme irréductible f(X) ∈ k̃{X}, et donc engendre dans K{X} un idéal premier différentiel que nous noterons J.

Soit L le corps des fractions de K{X}/J, et c = X/J. Le corps L se plonge dans un corps différentiellement clos M, et nous avons alors K ≺ M. Comme l’élément c satisfait I_{D}(c/k̃) = I_{D}(a/k̃), nous avons nécéssairement que c ∈ K. Cela entraîne que J est un idéal maximal de K{X}, c’est à dire que f(X) = X − a, et que a ∈ k̃.

Soit maintenant a ∈ k̃, et b un conjugué de a au dessus de k, avec b ≠ a. Le k-isomorphisme k(a) → k(b) qui envoie a sur b, est alors un isomorphisme de corps différentiels (cf exercice 6). Par élimination des quantificateurs nous avons tp(a/k) = tp(b/k), et donc a ∉ dcl(k).

(10.32) Rang de Morley. Puisque la théorie DCF est ω-stable, nous savons que toutes les formules ont un rang de Morley, et donc tous les types aussi. Vous montrerez que RM(x = x) = ω, ici nous allons faire une observation facile, je vous laisse les plus difficiles pour l’examen.

Lemme/Remarque Soient K un modèle de DCF, f(X) ∈ K{X} un polynôme différentiel irréductible d’ordre 1, s(X) sa séparante, et soit D = {a ∈ K | f(a) = 0, s(a) ≠ 0}. Alors D est fortement minimal.

Démonstration. Nous allons montrer que tout sous-ensemble définissable de D est fini ou co-fini. Considérons d’abord un sous-ensemble Y de D défini par x ∈ D ∧ g_{1}(x) = … = g_{m}(x) = 0, où les g_{i}(X) ∈ K{X}. Tout d’abord, par le lemme de division (10.16), nous pouvons supposer que les ordres des g_{i}(X) sont sont inférieurs à 1 : en effet pour chaque i il existe g′_{i}(X) d’ordre inférieur à 1 et un entier m tel que s^{m}g_{i} − g′_{i} ∈ ⟨f⟩. Si a ∈ D, nous aurons alors s(a) ≠ 0, et donc g_{i}(a) = 0 ⟺ g′_{i}(a) = 0. Nous supposerons donc que chaque g_{i}(X) s’écrit G_{i}(X, X′), où G_{i} ∈ K[X, X′]. De même, nous savons que f(X) = F (X, X′) pour F ∈ k[X, X′]. Soit C ⊂ K^{2} l’ensemble algébrique défini par l’équation F (X, X′) = 0. Par (7.17), c’est un ensemble de dimension 1, et parce que f est irréductible, F est irréductible, et C est en fait une variété. Alors C ∩ V (G_{1}, …, G_{m}) est un sous-ensemble fermé de C, qui est ou bien de dimension inférieure à dim(C) = 1 (c’est une conséquence de (7.17)(3)), et donc fini, ou alors contient C. Si a ∈ Y, alors (a, D(a)) ∈ C ∩ V (G_{1}, …, G_{m}). Dans le cas où C ∩ V (G_{1}, …, G_{m}) est fini, cela nous donne que Y est fini. Dans le cas où C ∩ V (G_{1}, …, G_{m}) contient C, nous avons que F divise chacun des G_{i}, c’est à dire que f(a) = 0 implique g_{1}(a) = ⋯ = g_{m}(a) = 0, et Y = D.

Soit maintenant Y un sous-ensemble définissable quelconque de D. Par élimination des quantificateurs, nous pouvons écrire Y comme une union finie d’ensembles de la forme Y_{i} \ Z_{i}, où les Y_{i} et Z_{i} sont définis par des équations différentielles. Par le premier cas, nous savons que les Y_{i} ou Z_{i} sont ou bien finis, ou bien contiennent D. Cela nous donne que Y est fini ou cofini, et montre que D est fortement minimal.

(10.33) Non minimalité de la clôture différentielle. Nous allons montrer que la clôture différentielle K de Q n’est pas minimale, c’est à dire qu’elle a une sous-structure élémentaire propre.

Lemme. Soit T une théorie ω-stable, et soit M un modèle de T premier au-dessus de A.

Supposons que M soit minimal au-dessus de A, c’est à dire, que si M′ est une sous-structure élémentaire de M contenant A alors M = M′.

Si ā_{i}, i ∈ I, est une suite totalement indiscernable au-dessus de A, alors I est fini. Démonstration. Supposons que ā_{i}, i ∈ N, soit une suite infinie totalement indiscernable sur A (voir définition (5.6)). Soit B = {ā_{i} | i ∈ N}, et C = {ā_{i} | i ≥ 1}. Soit N le modèle premier de T au-dessus de A ∪ C. Alors N se plonge élémentairement dans M, et nous pouvons supposer que N ≺ M. Nous allons montrer que ā_{0} ∉ N, ce qui montrera bien que M est non-minimal. Supposons que ā_{0} ∈ N. Nous savons que N est atomique sur A ∪ C, ce qui implique que tp(ā_{0}/A ∪ C) est isolé. Soit φ(x̄, ā, c̄) la formule l’isolant (φ ∈ L, ā ∈ A et c̄ ∈ C). Par indiscernabilité totale au-dessus de A, la formule φ(x̄, ā, c̄) est satisfaite par tous les éléments de C \ c̄. Fixons i > 0 avec ā_{i} ∉ C. La formule φ(x̄, ā, c̄) ne peut donc isoler tp(ā_{0}/A ∪ C), puisqu’elle n’implique pas la formule x̄ ≠ ā_{i} qui appartient à tp(ā_{0}/A ∪ C), et nous obtenons une contradiction. Donc ā_{0} ∉ N, et M n’est pas minimal. Remarque. En fait la réciproque de ce lemme est vraie aussi : si toute suite d’indiscernables au-dessus de A est finie, alors M est minimal au-dessus de A.

(10.34) Stratégie pour montrer que la clôture différentielle n’est pas nécéssairement minimale. Nous travaillons dans un modèle K de DCF. Nous allons exhiber un sous-corps différentiel k de K, et un ensemble fortement minimal D défini sur k, et tel que les éléments de D sont indépendants au-dessus de k (au sens de la prégéometrie sur D ; en fait cela coïncide aussi avec le sens “stable”). Si K_{0} est la clôture différentielle de K, alors D ∩ K_{0} est infini, et ses éléments forment une suite totalement indiscernable au-dessus de k (voir (9.17)). Par le lemme (10.33), K_{0} ne peut être minimal au-dessus de k.

(10.35) Théorème (Rosenlicht) Soient k ⊂ K des corps différentiels, avec même corps de constantes, noté C. Soient f(X) ∈ C(X), c_{1}, …, c_{n} ∈ C, u_{1}, …, u_{n} ∈ C(X), et

\frac{1}{f(X)} = ∑_{i=1}^{n} c_{i} \frac{\frac{∂u_{i}}{∂X}}{u_{i}} + \frac{∂v}{∂X} .

Soient x_{1}, x_{2} ∈ K des solutions de X′ = a_{1}f(X) et X′ = a_{2}f(X) respectivement, avec a_{1}, a_{2} ∈ k. Si x_{2} ∈ acl(k, x_{1}) alors x_{2} ∈ k̃, ou bien a_{2}D(v(x_{1})) = a_{1}D(v(x_{2})).

(10.36) Exemples (1) Soit f(X) = \frac{X}{1+X}. Alors

\frac{1}{f(X)} = \frac{1}{X} + 1

est de la forme requise : on prend u_{1} = v = X, c_{1} = 1.

(2) Soit f(X) = X^{3} − X^{2}. Prenons u_{1}(X) = \frac{X−1}{X} et v(X) = \frac{1}{X}. Alors \frac{∂u}{∂X} = \frac{1}{X^{2}} , et

\frac{\frac{∂u}{∂X}}{u} = \frac{1}{X(X − 1)} = \frac{1}{X − 1} − \frac{1}{X} ,

et

\frac{1}{f(X)} = \frac{1}{X^{2}(X − 1)} = \frac{1}{X_{1}} − \frac{1}{X} − \frac{1}{X^{2}} = \frac{\frac{∂u}{∂X}}{u} + \frac{∂v}{∂X} .

(10.37) Corollaire. Soit C le corps des constantes, K sa clôture différentielle, et soit f(X) = \frac{X}{X+1} ou f(X) = X^{3}−X^{2}. Soient x_{1}, …, x_{n} des solutions distinctes de X′ = f(X). Alors x_{1}, …, x_{n} sont algébriquement indépendants au-dessus de C.

Démonstration. Nous savons que C_{K} = C̃, et nous pouvons supposer que C est algébriquement clos. Prenons d’abord le cas où f(X) = \frac{X}{X+1}. Alors v(X) = X. La démonstration est par induction sur n. Si n = 1, il n’y a rien p̀rouver. Supposons que nous ayons montré que x_{1}, …, x_{n−1} sont algébriquement indépendants au-dessus de C, et soit k = C(x_{1}, …, x_{n−2}). Notons que k est un sous-corps différentiel de K. Supposons maintenant que x_{n−1} ∈ acl(k(x_{n})). Par hypothèse d’induction, nous savons que x_{n−1} ∉ k̃, et par (10.35), cela entraîne que D(x_{n−1}) = D(x_{n}). Donc, nous avons

\frac{x_{n−1}}{x_{n−1} + 1} = \frac{x_{n}}{x_{n} + 1},

ce qui entraîne x_{n−1} = x_{n}. Cela n’est pas possible, et x_{n−1} ∉ acl(k, x_{n}). Comme RD(x_{n−1}/k) = RD(x_{n}/k) = 1, cela entraîne que x_{n−1} et x_{n} sont indépendants au-dessus de k, et donc que x_{1}, …, x_{n} sont indépendants au-dessus de k.

La démonstration est similaire pour f(X) = X^{3} − X^{2}.

(10.38) Corollaire. La clôture différentielle de Q n’est pas minimale.

Démonstration. Soit K la clôture différentielle de Q. Elle contient donc une infinité de solutions de l’équation X′ = \frac{X}{X+1}, et ces solutions sont algébriquement indépendantes audessus de Q. De plus, elles réalisent toutes le même type, et forment une suite indiscernable au-dessus de Q, car la formule X′ = \frac{X}{X+1} est fortement minimale.

(10.39) Définition de l’indépendance. Soit K un corps différentiellement clos, k un sous-corps différentiel de K, et A, B des sous-ensembles de K. Nous dirons que A et B sont indépendants au-dessus de k (ou bien que A est indépendant de B au-dessus de k) si les corps k⟨A⟩ et k⟨ B⟩ sont algébriquement indépendants sur k (c’est à dire des éléments de k⟨A⟩ qui sont algébriquement indépendants sur k le sont aussi sur k⟨B⟩.)

(10.40) Remarques. (1) Remarquons tout de suite que si k est algébriquement clos, et B est un sous-corps différentiel de K contenant k, ā un uplet de K, alors I_{D}(ā/k) engendre un idéal premier dans B{X̄}. Il est clair que ā et B sont indépendants sur k si et seulement si I_{D}(ā/B) est l’idéal I_{D}(ā/k)B{X̄}.

(2) Il est clair que si ā est indépendant de B sur k = k̃, alors l’ensemble de formules représentées par tp(ā/B) est minimal parmi les ensembles de formules représentées par des extensions de tp(ā/k) à B. Donc notre notion d’indépendance coïncide avec celle introduite précédemment : si ā et B sont indépendants au-dessus de k, alors tp(ā/B) hérite de sa restriction à k.

(3) Il est clair que si A et B sont indépendants sur k, alors acl(k, A) et acl(k, B) sont indépendants sur k (car acl(k, A) = k̃⟨A⟩, acl(k, B) = k̃⟨B⟩)

(4) On peut étendre cette définition à des sous-ensembles quelconques de K: soient A, B, C des sous-ensembles de K. Nous dirons que A et B sont indépendants sur C si les corps acl(A, C) et acl(B, C) sont algébriquement indépendants au-dessus de acl(C).

(10.41) Définition du rang U. Nous allons définir un nouveau rang, sur les types d’abord puis sur les formules. Ce rang est aussi appelé le rang de Lascar (son inventeur), et je le trouve plus intuitif et pratique que le rang de Morley.

Soit A ⊂ K, ā ∈ K, et p = tp(ā/A). On définit par induction sur les ordinaux la relation U(p) ≥ α, de la façon suivante :

– U(p) ≥ 0.

– Si α est limite, alors U(p) ≥ α si et seulement si pour tout β < α, U(p) ≥ β.

– Si α = β + 1, alors U(p) ≥ α si et seulement s’il existe B contenant A tel que U(tp(ā/B)) ≥ β, et ā et B ne sont pas indépendants au-dessus de A.

On définit alors U(p) = U(ā/A) comme étant le plus petit ordinal α s’il existe, tel que U(p) ≥ α, U(p) ≠≥ α + 1, et U(p) = ∞ si U(p) ≥ α pour tout ordinal α.

On montre que cette notion est bien définie. On montre aussi que si A ⊂ B alors U(ā/A) ≥ U(ā/B), que si ā et B sont indépendants sur A, alors U(ā/B) = U(ā/A), et que U(ā/A) < ∞. On a bien sûr U(ā/A) = U(ā/acl(A)) (par notre définition de l’indépendance), et de plus le rang U satisfait une jolie formule additive

U(ā/Ab̄) + U(b̄/A) ≤ U(ā, b̄/A) ≤ U(ā/Ab̄) ⊕ U(b̄/A).

Ici, + est la somme des ordinaux, et ⊕ est la somme naturelle sur les ordinaux (qui est commutative ; par exemple, ω ⊕ 1 = 1 ⊕ ω = ω + 1). Les deux cas sont possibles : si ā et b̄ sont indépendants sur A, alors U(ā, b̄/A) = U(ā/A) ⊕ U(b̄/A). Cependant, considérons un élément a différentiellement transcendental sur le corps différentiel A, et soit b = D(a). On peut montrer que U(a/A) = ω (= U(b/A) car b est aussi différentiellement transcendental sur A), U(a/Ab) = 1, et donc ω = U(a, b/A) < U(a/Ab) ⊕ U(b/A) = 1 ⊕ ω = ω + 1. [J’utilise cet exemple pour me rappeler dans quel ordre mettre les éléments U(ā/Ab̄) et U(b̄/A)].

On peut aussi montrer que U(p) ≤ RM(p). Pour finir, on définit le rang U d’une formule φ(x̄) (à paramètres dans A) par

U(φ) = sup{U(p) | p ∈ S_{n}(A), φ(x̄) ∈ p}.

Il est clair que la définition du rang U s’étend à une théorie stable quelconque, en utilisant la notion d’indépendance correspondant à l’héritage.