Théorie des modèles des corps finis et pseudo-finis Zoé Chatzidakis, CNRS/Paris 7, Mai 1996

Ces notes sont celles d’un cours de DEA, que j’ai donné à l’université de Paris 7 le printemps 1996. Le but du cours était d’étudier les propriétés modèle-théoriques des corps finis et pseudo-finis. Les connaissances requises sont minimales, aussi bien en théorie des modèles qu’en algèbre. Nous développons d’abord les résultats d’Ax, puis étudions de façon plus précise la structure des ensembles définissables. Nous concluons avec les applications données par Hrushovski et Pillay sur les groupes algébriques sur des corps finis.

Table des matières: Chapître 0: Théorie des modèles – Quelques résultats et notations. Chapître 1: Les corps algébriquement clos. Chapître 2: Ensembles algébriques, topologie de Zariski. Chapître 3: Corps finis. Chapître 4: Bornes pour les idéaux de polynômes. Chapître 5: Les corps pseudo-finis. Chapître 6: Théorie des corps finis et décidabilité. Chapître 7: Groupes algébriques. Chapître 8: Réduction mod p; sous-groupes Zariski denses. Bibliographie. Exercices et examen du cours.

0. Théorie des modèles – Quelques résultats et notations

(0.1) Morphismes. Soient A et B des L-structures, F : A → B une application.

(1) F est un (homo)morphisme (de L-structures), si pour tout n-uplet ā de A, fonction n-aire f et relation n-aire R,

A ⊧ R(ā) ⇒ B ⊧ R(F (ā)), et f(F (ā)) = F (f(ā)).

(2) F est un plongement si F est un homomorphisme injectif et pour tout n-uplet ā de A

et relation n-aire R,

A ⊧ R(ā) ⟺ B ⊧ R(F (ā)).

(3) F est un isomorphisme si F est un plongement surjectif.

(4) F est un plongement élémentaire si F (A), l’image de A par F, est une sous-structure élémentaire de B. De façon équivalente, si pour toute formule φ(x̄) et n-uplet ā de A,

A ⊧ φ(ā) ⟺ B ⊧ φ(F (ā)).

(5) Un isomorphisme partiel entre A et B est une bijection g entre des sous-emsembles A_{0} de A et B_{0} de B satisfaisant: si φ(x̄) est une formule sans quantificateurs de L, et ā un uplet de A_{0}, alors

A ⊧ φ(ā) si et seulement si B ⊧ φ(g(ā)).

Ou tout simplement: si g induit un isomorphisme entre les structures engendrées par A_{0} et B_{0}. On parle aussi d’isomorphisme élémentaire partiel, quand l’application g préserve toutes les formules.

(0.2) Un test pour l’équivalence élémentaire. Soient A ⊆ B des modèles. Alors A ≺ B si et seulement si pour toute formule φ(x̄, ȳ) du langage, x̄ = (x_{1}, …, x_{n}), ȳ = (y_{1}, …, y_{m}), et pour tout n-uplet ā de A,

B ⊧ ∃ȳφ(ā, ȳ)

si et seulement s’il existe un m-uplet b̄ de A tel que

B ⊧ φ(ā, b̄).

(0.3) Quelques résultats de préservation.

Nous commençons par un théorème de compacité qui nous sera très utile par la suite.

Théorème. Soient T_{1} et T_{2} des théories, avec T_{1} ∪ T_{2} consistante, et soit Δ un ensemble d’énoncés clos par disjonction finie. Les conditions suivantes sont équivalentes:

(1) Il existe Γ ⊆ Δ tel que T_{1} ∪ Γ axiomatise T_{1} ∪ T_{2}.

(2) Pour tous modèles A et B de T_{1}, si A ⊧ T_{2} et B satisfait tous les énoncés de Δ satisfaits par A, alors B ⊧ T_{2}.

Démonstration. (1) implique (2) est clair. Supposons maintenant (2), et soit Γ = {ψ ∈ Δ | T_{1} ∪ T_{2} ⊢ ψ}. Alors T_{1} ∪ T_{2} ⊧ Γ, et il suffit de montrer que T_{1} ∪ Γ ⊧ T_{2}, c’est à dire que tout modèle de T_{1} ∪ Γ est un modèle de T_{2}. Soit B ⊧ T_{1} ∪ Γ, et soit

Σ = {¬ψ | ψ ∈ Δ, B ⊧ ¬ψ}.

Nous allons montrer que T_{1} ∪ T_{2} ∪ Σ est consistante. Sinon, (par compacité) il existerait ¬ψ_{1}, …, ¬ψ_{n} ∈ Σ, et φ ∈ T_{2} tels que T_{1} ∪ {¬ψ_{1}, …, ¬ψ_{n}, φ} est inconsistante; nous obtenons alors:

T_{1} ∪ {φ} ⊢ (ψ_{1} ∨ ⋯ ∨ ψ_{n}).

Comme Δ est clos par disjonction, l’énoncé ψ_{1} ∨ ⋯ ∨ ψ_{n} est dans Γ, et donc ne peut appartenir à Σ, ce qui donne la contradiction souhaitée.

Soit A un modèle de T_{1} ∪ T_{2} ∪ Σ; si ψ ∈ Δ est satisfaite dans A, alors ¬ψ ∉ Σ, ce qui montre que ψ est aussi satisfaite dans B. Donc B est un modèle de T_{2}, ce qui montre que Γ est une axiomatisation de T_{2} modulo T_{1}.

Corollaire. Soit T une théorie, φ(x̄), x̄ = (x_{1}, …, x_{n}) une formule telle que T ∪ ∃x̄ φ(x̄) est consistante. Soit Δ une ensemble de formules dans les variables x̄, clos par disjonction. Les conditions suivantes sont équivalentes:

(1) Il existe des formules ψ_{1}(x̄), …, ψ_{m}(x̄) ∈ Δ telles que

T ⊢ ∀x̄ φ(x̄) ↔ (ψ_{1}(x̄) ∧ ⋯ ∧ ψ_{m}(x̄)).

(2) Pour tous modèles A et B de T, pour tous n-uplets ā et b̄ de A et B respectivement, si A ⊧ φ(ā), et toute formule ψ(x̄) ∈ Δ qui est satisfaite par ā dans A est satisfaite par b̄ dans B, alors B ⊧ φ(b̄).

Démonstration. On agrandit le langage en ajoutant des nouveaux symboles de constantes c_{1}, …, c_{n}. On applique alors le théorème, et on obtient des formules ψ_{1}, …, ψ_{m} ∈ Δ telles que

T ⊢ φ(c̄) ↔ (ψ_{1}(c̄) ∧ ⋯ ∧ ψ_{n}(c̄)),

ce qui entraîne, puisque les symboles de constantes c̄ n’apparaissent pas dans T, que

T ⊢ ∀x̄ φ(x̄) ↔ (ψ_{1}(x̄) ∧ ⋯ ∧ ψ_{n}(x̄)).

(0.4) Quelques propriétés En utilisant le critère (0.2), on montre facilement les résultats suivants:

(1) Si A ≺ B et B ≺ C alors A ≺ C.

(2) Si A ≺ C, B ≺ C et A ⊆ B alors A ≺ B.

(3) Soit (A_{i})_{i∈N} une chaîne croissante de structures, telle que A_{i} ≺ A_{i+1} pour tout i, et soit A = ⋃_{i∈N} A_{i}. Alors A_{i} ≺ A pour tout i.

Les résultats suivants sont un peu plus difficiles à démontrer, et leur preuve utilise le théorème (0.3). Pour une démonstration, adapter par exemple celle de Chang et Keisler ([CK], Chapître 3.2). Soient φ(x̄) une formule du langage et T une théorie.

(4) Les conditions suivantes sont équivalentes:

(a) Pour tous modèles A et B de T, homomorphisme F : A → B et uplet ā de A, si A ⊧ φ(ā) alors B ⊧ φ(F (ā)).

(b) Il existe une formule positive ψ(x̄) (c’est à dire construite à partir de formules atomiques en utilisant seulement les symboles logiques ∧, ∨, ∃, ∀ mais pas le symbole logique ¬) telle que T ⊧ ∀x̄ (φ(x̄) ↔ ψ(x̄)).

(5) Les conditions suivantes sont équivalentes:

(a) Pour tous modèles A et B de T, avec A ⊆ B et uplet ā de A, si A ⊧ φ(ā) alors B ⊧ φ(ā).

(b) Il existe une formule existentielle ψ(x̄) telle que T ⊧ ∀x̄ (φ(x̄) ↔ ψ(x̄)).

(6) Les conditions suivantes sont équivalentes:

(a) Pour tous modèles A et B de T, avec A ⊆ B, et uplet ā de A, si B ⊧ φ(ā) alors A ⊧ φ(ā).

(b) Il existe une formule universelle ψ(x̄) telle que T ⊧ ∀x̄ (φ(x̄) ↔ ψ(x̄)).

(7) Les conditions suivantes sont équivalentes:

(a) Pour toute suite croissante (A_{i})_{i∈N} de modèles de T, et uplet ā de A_{0}, si A_{i} ⊧ φ(ā) pour tout i ∈ N alors ⋃_{i∈N} A_{i} ⊧ φ(ā).

(b) Il existe une formule ∀∃ ψ(x̄) telle que T ⊧ ∀x̄ (φ(x̄) ↔ ψ(x̄)). (0.5) Théories modèle complètes, élimination des quantificateurs Définitions. Soit T une théorie du premier ordre.

(1) T est modèle complète si pour tous modèles A et B de T, si A ⊆ B alors A ≺ B.

(2) On dit que T admet l’élimination des quantificateurs (eq) si pour toute formule φ(x̄) il existe une formule ψ(x̄) sans quantificateurs, telle que

T ⊢ ∀x̄(φ(x̄) ↔ ψ(x̄)).

Remarques. Rappelons que le langage L(A) est obtenu en rajoutant à L des symboles de constantes pour tous les éléments de A. Nous notons Δ(A) le diagramme sans quantificateurs de A, c’est à dire l’ensemble des énoncés sans quantificateurs du langage L(A) qui sont vrais dans A. Une application facile du théorème de compacité donne:

(1) T est modèle complète si et seulement si, pour tout modèle A de T, la théorie T ∪Δ(A) est complète.

(2) T admet l’élimination des quantificateurs si et seulement si pour toute sous-structure A d’un modèle de T, T ∪ Δ(A) est complète.

(3) Si T est modèle complète, alors elle admet une axiomatisation par des énoncés ∀∃. Démonstration. (1) B est un modèle de T ∪ Δ(A) si et seulement si B contient une sous-structure isomorphe à A. Ce n’est vraiment qu’une retraduction de la propriété de modèle complétude.

(2) Compacité.

(3) La réunion d’une chaîne de modèles de T est un modèle de T; on applique le résultat de préservation pour conclure.

Proposition. Soit T une théorie.

(1) Pour montrer que T est modèle complète, il suffit de montrer que si A ⊆ B sont deux modèles quelconques de T, φ(x̄, ȳ) est une formule sans quantificateurs de L, et ā est un n-uplet de A, alors

B ⊧ ∃ȳ φ(ā, ȳ) si et seulement si A ⊧ ∃ȳ φ(ā, ȳ).

(On dit alors que A est existentiellement clos dans B, aussi noté par A ≺_{1} B).

(2) T est modèle complète si et seulement si toute formule φ(x) est équivalente modulo T à une formule existentielle ψ(x̄) (T ⊧ ∀x̄ (φ(x̄) ↔ ψ(x̄)), si et seulement si toute formule φ(x̄) est équivalente modulo T à une formule universelle ψ(x̄).

(3) Pour montrer que T a l’élimination des quantificateurs, il suffit de montrer que, étant donnée une sous-structure C de deux modèles A et B de T, il existe un modèle D de T qui contient A et B comme sous-structures élémentaires.

(4) Pour montrer que T admet l’élimination des quantificateurs, il suffit de trouver un modèle M de T avec les deux propriétés suivantes:

(a) Tout modèle dénombrable de T se plonge élémentairement dans M.

(b) Si F : A_{0} → B_{0} est un isomorphisme partiel entre deux sous-ensembles finis, et c ∈ M, alors il existe d ∈ M tel que l’extension F′ de F définie en posant F′(c) = d, est aussi un isomorphisme partiel. La partie (4) est en fait conséquence d’un résultat plus géneral:

La méthode du va-et-vient. Soient A et B des L-structures. Supposons qu’il existe une famille I d’isomorphismes (partiels) dont le domaine est contenu dans A et l’image dans B, et satisfaisant les deux conditions suivantes:

(i) Pour tout a ∈ A et F ∈ I, il existe F′ ∈ I étendant F ayant a dans son domaine. (ii) Pour tout b ∈ B et F ∈ I, il existe F′ ∈ I étendant F ayant b dans son image.

Alors A ≡ B. Démonstration. (1) Supposons que T satisfait à la condition indiquée, et soient A ⊆ B deux modèles de T. Du fait que A ≺_{1} B on déduit que T h(A, a)_{a∈A} ∪Δ(B) est consistante. En effet notre hypothèse est équivalente à: toutes les formules universelles à paramètres dans A vraies dans A le sont aussi dans B. Soit A_{1} ⊧ T h(A, a)_{a∈A} ∪ Δ(B), que l’on peut donc supposer être une extension élémentaire de A contenant B; en appliquant le même raisonnement à la paire B ⊆ A_{1} de modèles de T, on obtient une extension élémentaire B_{1} de B, contenant A_{1}.

On construit ainsi inductivement une chaîne

A_{0} = A ⊆ B_{0} = B ⊆ A_{1} ⊆ B_{1} ⊆ ⋯ ⊆ A_{n} ⊆ B_{n} ⊆ A_{n+1} ⊆ ⋯

où A_{n} ≺ A_{n+1} et B_{n} ≺ B_{n+1}. Alors C = ⋃_{n∈N} A_{n} = ⋃_{n∈N} B_{n} est une extension élémentaire de A et de B, ce qui implique que A ≺ B.

(2) Si toute formule est équivalente modulo T à une formule existentielle, alors elle est aussi équivalente modulo T à une formule universelle (puisque la négation d’une formule existentielle est une formule universelle). Cela montre l’équivalence des deux dernières conditions.

L’équivalence des deux premières conditions découle de la définition de modèle complète, et du résultat de préservation (0.4)(5).

(3) Si T n’admet pas l’élimination des quantificateurs, on peut trouver une sousstructure C de deux modèles A et B de T tels que (A, c)_{c∈C} ≢ (B, c)_{c∈C}; ces deux modèles ne peuvent évidemment pas se plonger de façon élémentaire dans un même modèle de T.

(4) Nous allons montrer le théorème du va-et-vient. On prouve par induction sur le nombre de quantificateurs d’une formule φ(x̄) sous forme prénexe que: si ā est un uplet dans le domaine d’un élément f de I alors

A ⊧ φ(ā) ⟺ B ⊧ φ(f(ā)).

Pour les formules sans quantificateurs, c’est par définition d’isomorphisme partiel. Considérons la formule φ(x̄) = ∃y ψ(x̄, y), et supposons le résultat vrai pour la formule ψ(x̄, y). Supposons que ā est dans le domaine de la fonction f ∈ I, et que A ⊧ ∃y ψ(ā, y); soit b ∈ A tel que A ⊧ ψ(ā, b). Par hypothèse, il existe f′ ∈ I étendant f et ayant b dans son domaine. Par hypothèse d’induction, on a B ⊧ ψ(f′(ā), f′(b)), ce qui montre bien que B ⊧ φ(f(ā)). On procède de la même façon pour montrer l’autre direction. Exemples. Nous montrerons plus tard que la théorie du corps C admet l’élimination des quantificateurs dans le langage des anneaux {+, −, ·, 0, 1}.

Considérons maintenant le corps des réels; on peut montrer que sa théorie T est modèle complète. Cependant elle n’admet pas l’élimination des quantificateurs dans le langage des anneaux: soit C le corps Q(α), où α^{2} = 2. On peut plonger C dans le corps des réels de deux façons différentes: en envoyant α sur \sqrt{2} (la racine carrée positive de 2), ou bien sur −\sqrt{2}. Ces deux plongements sont incompatibles, car un modèle de T satisfait: (∀x∃y (y^{2} = x ∨ y^{2} = −x)) ∧ (∀x, y (x^{2} + y^{2} = 0) → x = y = 0). Donc en prenant A = B = R, et en plongeant C dans A et B des deux manières décrites ci-dessus, on voit que T n’admet pas l’élimination des quantificateurs.

(0.6) Ultraproduits Définitions. Soit I un ensemble, A_{i} une famille de L-structures, indexée par l’ensemble I. Soit F un sous-ensemble de P(I) (l’ensemble des parties de I).

(1) F est un filtre (sur I) si: (i) ∅ ∉ F, I ∈ F; (ii) si X, Y ∈ F alors X ∩ Y ∈ F; (iii) si X ⊆ Y et X ∈ F alors Y ∈ F.

(2) F est un ultrafiltre si c’est un filtre maximal, c’est à dire s’il n’est contenu strictement dans aucun filtre. On peut montrer que F est un ultrafiltre si et seulement si c’est un filtre qui de plus satisfait:

pour tout X ⊆ I, X ∈ F ⟺ (I \ X) ∉ F.

(3) Un filtre F est dit principal s’il existe un élément i ∈ I tel que F = {X ⊆ I | i ∈ X}. Autrement, F est appelé non-principal.

(4) Nous allons définir une L-structure sur le produit cartésien des structures A_{i} de la façon suivante. ∏_{i∈I} A_{i} est la structure dont l’univers est le produit cartésien des A_{i}, c’est à dire l’ensemble des fonctions a de I dans la réunion disjointe des A_{i}, i ∈ I, satisfaisant a(i) ∈ A_{i} pour tout i. Une telle fonction a est aussi notée a = (a(i))_{i∈I}. Les fonctions du langage sont définies coordonnée par coordonnée, c’est à dire, f(a_{1}, …, a_{n})(i) = (f(a_{1}(i), …, a_{n}(i)))_{i∈I}; si c est un symbole de constante, et c(i) est son interprétation dans A_{i} alors l’interprétation de c dans ∏_{i∈I} A_{i} est tout simplement (c(i))_{i∈I}; enfin si R est un symbole de relation n-aire, alors ∏_{i∈I} A_{i} ⊧ R(a_{1}, …, a_{n}) si et seulement si A_{i} ⊧ R(a_{1}(i), …, a_{n}(i)) pour tout i ∈ I.

(5) Soit F un filtre sur I. On définit une relation d’équivalence sur ∏_{i∈I} A_{i} de la façon

suivante:

a ≡_{F} b ⟺ {i ∈ I | a(i) = b(i)} ∈ F.

On vérifie que cette relation d’équivalence est compatible avec les fonctions et relations de L, ce qui nous permet de définir une L-structure sur l’ensemble ∏_{i∈I} A_{i}/F des classes d’équivalence modulo ≡_{F} des éléments de ∏_{i∈I} A_{i}: l’égalité est donnée par ≡_{F}; si [a_{1}]_{F}, …, [a_{n}]_{F} ∈ ∏_{i∈I} A_{i}/F, alors f([a_{1}]_{F}, …, [a_{n}]_{F}) = [f(a_{1}, …, a_{n})]_{F}, et ∏_{i∈I} A_{i}/F ⊧ R([a_{1}]_{F}, …, [a_{n}]_{F}) si et seulement si {i ∈ I | A_{i} ⊧ R(a_{1}(i), …, a_{n}(i))} ∈ F; finalement l’interprétation de c est donnée par [(c(i))_{i∈I}]_{F}. Cette structure est appellée le produit réduit des structures A_{i} relativement au filtre F; si F est un ultrafiltre, on l’appelle ultraproduit, et si de plus toutes les structures A_{i} sont égales à une même structure A, on parle alors d’ultrapuissance de A.

(6) Notons que la L-structure ∏_{i∈I} A_{i}/F est une structure quotient de la L-structure ∏_{i∈I} A_{i}. Le filtre le plus connu est le filtre de Fréchet sur I, qui est l’ensemble de toutes les

parties cofinies de I. Si I est fini, tous les ultrafiltres sur I sont principaux. Si I est infini, les ultrafiltres non-principaux sont exactement ceux qui contiennent le filtre de Fréchet sur I. Nous avons implicitement supposé l’axiome du choix (sans lequel il serait impossible de parler de produit cartésien infini). Une application du Lemme de Zorn nous donne alors que tout filtre est contenu dans un ultrafiltre. La cardinalité d’un ultraproduit est soit finie, soit au moins égale à 2^{ℵ_{0}}. Théorème de Łos. Soit F un filtre sur I, (A_{i}), i ∈ I, une famille de L-structures, et A = ∏_{i∈I} A_{i}/F.

(1) Soit φ(x̄), x̄ = (x_{1}, …, x_{n}), une formule positive, ā = [ā(i)]_{F} un n-uplet de A. Alors

A ⊧ φ(ā) ⟺ {i ∈ I | A_{i} ⊧ φ(ā(i))} ∈ F.

(2) Supposons maintenant que F est un ultrafiltre, et soit φ(x̄) une formule quelconque du langage, a un n-uplet de A. Alors,

A ⊧ φ(ā) ⟺ {i ∈ I | A_{i} ⊧ φ(ā(i))} ∈ F.

Une conséquence immédiate du théorème de Łos est alors: soit A une structure, F un ultrafiltre sur l’ensemble I, et considérons l’ultrapuissance A^{F} = A^{I}/F. La structure A se plonge de façon naturelle dans A^{F} via: a ↦ [â]_{F}, où â(i) = a pour tout i ∈ I. Ce plongement est élémentaire. Théorème (Keisler, Shelah). Deux structures A et B sont élémentairement équivalentes si et seulement si elles ont des ultrapuissances isomorphes.

1. Les corps algébriquement clos

(1.1) Nous commençons par étudier la théorie des corps algébriquement clos. Dans ce chapître le langage sera celui des anneaux, L = {+, −, ·, 0, 1}.

Considérons la théorie suivante, notée ACF, axiomatisée par:

— les énoncés universels dont les modèles sont les anneaux intègres commutatifs, avec unité 1 et zéro 0.

— ∀x∃y (x = 0 ∨ xy = 1).

— pour tout entier n > 1 l’enoncé: ∀x_{1}, …, x_{n}∃y y^{n} + x_{1}y^{n−1} + ⋯ + x_{n−1}y + x_{n} = 0.

Les modèles de ACF sont les corps algébriquement clos. Un exemple est le corps C des nombres complexes. Pour p un nombre premier, nous posons ACF_{p} = ACF ∪ {p = 0}, et ACF_{0} = ACF ∪ {n ≠ 0 | n ∈ N, n > 0}.

(1.2) Lemme. Soient K et L des corps algébriquement clos, et supposons que f : A → B est un isomorphisme entre des sous-structures de K et L respectivement. Soit a ∈ K un élément algébrique sur A. Alors il existe un isomorphisme f′ étendant f et ayant a dans son domaine.

Démonstration. En passant au corps des quotients, on peut supposer que A et B sont des corps. Soit P (X) ∈ A[X] le polynôme (unitaire) minimal de a au-dessus de A, et f(P)(X) ∈ B[X] le polynôme obtenu en appliquant f aux coefficients de P. Puisque L est algébriquement clos, il existe b ∈ B, racine de f(P)(X) = 0. Nous avons donc

A(a) ≃_{A} A[X]/(P (X)) et B(b) ≃_{B} B[X]/(f(P)(X)).

Donc f s’étend naturellement en un isomorphisme f′ : A(a) → B(b) qui envoie a sur b.

(1.3) Théorème. La théorie ACF admet l’élimination des quantificateurs, et est donc aussi modèle complète. Les théories ACF_{0} et ACF_{p} sont complètes.

Démonstration. Soient K et L des corps algébriquement clos, non dénombrables, de même caractéristique, et soit C une sous-structure dénombrable commune à K et L. Considérons la famille I d’isomorphismes f entre des sous-structures dénombrables de K et L contenant C. Nous allons montrer que cette famille satisfait la condition du va-et-vient:

Soit a ∈ K, et f ∈ I, A le domaine de f, B = f(A); si a est algébrique sur A, alors le lemme nous donne un isomorphisme partiel f′ ∈ I ayant a dans son domaine. Supposons que a n’est pas algébrique sur A: puisque la cardinalité de L est plus grande que celle de B, il existe b ∈ L qui n’est pas algébrique sur B. En posant f′(a) = b, on peut alors étendre f en un isomorphisme f′ : A[a] → B[b].

Si b ∈ L, on raisonne de la même façon avec f^{−1} pour obtenir l’autre direction.

Le théorème du va-et-vient nous donne donc:

(1) La théorie obtenue en ajoutant à ACF les énoncés sans quantificateurs du langage L(C) (obtenu à partir de L en y ajoutant des nouveaux symboles de constantes pour les éléments de C) est complète. Cela veut bien dire que ACF admet l’élimination des quantificateurs.

(2) Prenant C = ∅ ci-dessus, on obtient précisément que les théories ACF_{p} et ACF_{0} sont complètes.

(1.4) Corollaire. Tout sous-ensemble définissable (avec paramètres) dans un corps algébriquement clos K est fini ou cofini. Démonstration. Soit S ⊆ K un ensemble définissable, par une formule φ(x); grâce à l’élimination des quantificateurs, on peut supposer que φ(x) s’écrit ⋁_{i} φ_{i}(x), où chaque φ_{i}(x) est une conjonction d’équations et d’inéquations en une variable. Il suffit donc de montrer le résultat pour chacune des formules φ_{i}(x). La formule φ_{i}(x) est de la forme ⋀_{j∈I}(p_{j}(x) = 0) ∧ ⋀_{k∈J}(q_{k}(x) ≠ 0) pour des polynômes p_{j}(x) et q_{k}(x) ∈ K[x], que nous pouvons supposer non identiquement nuls. Si I est non vide, alors φ(x) n’a qu’un nombre fini de solutions, puiqu’un polynôme non nul en une variable n’a qu’un nombre fini de solutions dans un corps. Si I = ∅, alors J est non-vide, φ_{i}(x) = ⋀_{k∈J}(q_{k}(x) ≠ 0), et ¬φ_{i}(x) n’a qu’un nombre fini de solutions.

(1.5) Bases de transcendance. Soient A ⊆ K des corps (ou même des anneaux intègres). Rappelons qu’un élément a de K est transcendant sur A s’il n’est racine d’aucun polynôme à coefficients dans A.

Un sous-ensemble B de K est algébriquement indépendant sur A si pour tout uplet b̄ dans B, et polynôme non nul f(X̄) ∈ A[X̄], f(b̄) ≠ 0.

Un sous-ensemble B de K algébriquement indépendant sur A et maximal avec cette propriété, est appelé une base de transcendance de K sur A. Par le lemme de Zorn, tout sous-ensemble de K qui est algébriquement indépendant sur A se complète en une base de transcendance de K sur A.

Remarquons aussi que si B est une base de transcendance de K sur A, alors K est algébrique sur A(B). On montre aussi (de la même façon que pour les bases d’espaces vectoriels) que deux bases de transcendance de K sur A ont la même cardinalité. Cette cardinalité est appelée le degré de transcendance de K sur A.

(1.6) Automorphismes d’un corps algébriquement clos. Le lemme 1.2 et la preuve de (1.3) nous montrent qu’un corps algébriquement clos a beaucoup d’automorphismes. En effet, si A est un sous-corps du corps algébriquement clos K:

(1) Si a et b sont algébriques sur A et ont le même polynôme minimal sur A, alors il existe un automorphisme de K qui est l’identité sur A et envoie a sur b.

(2) Si c et d sont transcendants sur A, alors il existe un automorphisme de K qui est l’identité sur A et envoie c sur d.

Démonstration. (1) Le lemme 1.2 nous donne un isomorphisme partiel f, qui est l’identité sur A, et envoie a sur b. Soit maintenant B une base de transcendance de K sur A. Alors les corps A(a)(B) et A(b)(B) sont isomorphes, par un isomorphisme g qui prolonge f et est l’identité sur B. Des applications répétées du lemme 1.2 nous permettent de prolonger g à un isomorphisme entre la clôture algébrique de A(a)(B) et celle de A(b)(B), c’est à dire en un automorphisme de K.

(2) La démonstration est similaire: soient B_{1} et B_{2} des bases de transcendance de K sur A, avec B_{1} contenant c et B_{2} contenant d; puisqu’elles ont la même cardinalité, il existe une bijection f : B_{1} → B_{2} qui envoie c sur d. On étend f à un isomorphisme g : A(B_{1}) → A(B_{2}) qui est l’identité sur A, et on conclut de la même façon que pour (1).

(1.7) Définitions. Soit M un modèle d’une théorie T (complète) dans un langage L, A un sous-ensemble de M, et a ∈ M.

(1) On dit que a est algébrique sur A (au sens de la théorie des modèles), s’il existe une formule φ(x) de L(A), satisfaite par a dans M, et n’ayant qu’un nombre fini de réalisations dans M. L’ensemble des éléments algébriques sur A, la clôture algébrique de A, est notée acl(A).

(2) On dit que a est définissable sur A s’il existe une formule φ(x) de L(A), satisfaite par a dans M, et dont a est l’unique réalisation. L’ensemble des élements définissables sur A, la clôture définissable de A, est notée dcl(A).

Remarques. Ces deux notions dépendent du modèle M (ou plutôt de son diagramme élémentaire) dans lequel on se place. En effet si M ≺ N, les éléments de N algébriques sur A ⊆ M seront dans M.

On montre très facilement les faits suivants:

A ⊆ acl(A), A ⊆ B implique acl(A) ⊆ acl(B), acl(acl(A)) = acl(A), A ⊆ dcl(A) ⊆ acl(A), A ⊆ B implique dcl(A) ⊆ dcl(B), dcl(dcl(A)) = dcl(A).

(1.8) Nous allons maintenant considérer la relation entre les notions d’algébricité au sens de la théorie des modèles, et au sens algébrique (ie, de la théorie des corps). Soit K un corps algébriquement clos, A ⊆ K, a ∈ K, et φ(x) une formule de L(A) satisfaite par a. On a vu que deux cas sont possibles pour l’ensemble défini par φ(x): il est soit fini, soit cofini. Il est donc clair que les deux notions d’éléments algébriques sur A coïncident.

Nous allons maintenant étudier de plus près la clôture définissable de A dans K; sans perte de généralité, nous allons supposer que A est un sous-corps de K. Soit a ∈ acl(A), et soit p(X) ∈ A[X] son polynôme minimal sur A. Si p est de degré 1, alors a ∈ A. Supposons donc que le degré de p est plus grand que 1. Si b est une autre racine de p(X) = 0, par (1.6) il existe un automorphisme de K qui envoie a sur b et laisse A fixé. Cela implique que a et b satisfont les mêmes formules à paramètres dans A. Donc, a ∈ dcl(A) si et seulement si le polynôme p(X) a une seule racine; puisque p n’est pas linéaire, cela n’est possible que si la caractéristique est p > 0, et p est de la forme X^{p^{n}} − c = 0, pour un c ∈ A, n ∈ N.

Rappelons qu’un corps est parfait si sa caractéristique est 0, ou bien si sa caractéristique est p > 0 et qu’il est clos par racines p-ièmes. La clôture parfaite d’un corps F de caractéristique p > 0 est l’ensemble des éléments de la clôture algébrique de F qui satisfont une équation de la forme X^{p^{n}} − a = 0, où a ∈ F et n ∈ N. Elle est notée F^{1/p^{∞}} et l’on vérifie que c’est un corps: rappelons que (a+b)^{p} = a^{p} +b^{p}, et donc (a+b)^{1/p} = a^{1/p} +b^{1/p}, ce qui implique que F^{1/p^{∞}} est clos par addition.

Nous résumons les résultats montrés dans la proposition suivante: Proposition. Soit A un sous-ensemble du corps algébriquement clos K, et F le plus petit sous-corps de K contenant A. Soit T = T h(K).

(1) Un élément de K est algébrique sur A au sens de la théorie des modèles si et seulement si il est algébrique sur F au sens de la théorie des corps.

(2) Un élément de K est définissable sur A au sens de la théorie des modèles si et seulement si il est dans la clôture parfaite de F si et seulement si il est algébrique sur F et est fixé par tout automorphisme de K qui est l’identité sur A.

2. Ensembles algébriques, topologie de Zariski, variétés Dans ce qui suit, nous avons un corps F, contenu dans un corps algébriquement clos

K de cardinalité supérieure à celle de F. Nous notons F̃ la clôture algébrique de F dans K, et F_{s} la clôture séparable de F dans K.

(2.1) Soit S ⊆ K^{n}. On définit un idéal de K[X], X̄ = (X_{1}, …, X_{n}):

I(S) = {f(X̄) ∈ K[X̄] | f(ā) = 0 pour tout ā ∈ S}.

Réciproquement, si I ⊆ K[X̄], on définit

V (I) = {ā ∈ K^{n} | f(ā) = 0 pour tout f(X̄) ∈ I}.

On vérifie facilement que pour I, J ⊆ K[X̄] et S, T ⊆ K^{n} on a:

V ((0)) = K^{n}, I(K^{n}) = (0), V (K[X̄]) = ∅, I(∅) = K[X̄],
I ⊆ J implique V (J) ⊆ V (I), I ⊆ I(V (I)),
S ⊆ T implique I(T) ⊆ I(S), S ⊆ V (I(S)).
I(V (I(S))) = I(S), V (I(V (I))) = V (I).

(2.2) La topologie de Zariski. Les sous-ensembles de K^{n} de la forme V (I) sont appelés des ensembles algébriques, ou aussi des fermés de Zariski. Si S ⊆ K^{n}, on définit la clôture de Zariski de S par S̃ = V (I(S)); c’est bien sûr le plus petit fermé de Zariski contenant S.

Nous allons maintenant montrer que ces fermés définissent une topologie sur K^{n}, qui satisfait à la condition de chaîne descendante sur les fermés (cela s’appelle une topologie noethérienne). Soient S et T des fermés de K^{n}, et I = I(S), J = I(T). On vérifie facilement que S ∩T = V (I, J), et donc l’intersection de deux fermés est un fermé. Considérons maintenant l’idéal I ∩ J; il est clair que V (I ∩ J) ⊇ S ∪ T. Pour montrer l’autre inclusion, soit ā ∉ S ∪ T; par définition de I et J, il existe f(X̄) ∈ I et g(X̄) ∈ J tels que f(ā) ≠ 0 et g(ā) ≠ 0; cela implique que f(ā)g(ā) ≠ 0, et donc que ā ∉ V (I ∩ J), puisque f(X̄)g(X̄) ∈ I ∩ J. Nous avons donc montré que la réunion de deux fermés est fermée.

Rappelons qu’un anneau (commutatif) R est noethérien si toute chaîne strictement croissante d’idéaux est finie, ou de façon équivalente si tout idéal est engendré par un nombre fini d’éléments. En effet, si (I_{n})_{n∈N} est une chaîne croissante d’idéaux de R, alors I = ⋃_{n∈N} I_{n} est engendré par un nombre fini d’éléments, qui se trouvent donc dans un des idéaux I_{n}, ce qui implique que I = I_{n}. Réciproquement, si (I_{n})_{n∈N} est une suite strictement croissante d’idéaux de R, on prends un élément a_{n} ∈ I_{n+1} \ I_{n} pour chaque entier n, et l’on vérifie que l’idéal engendré par les a_{n}, n ∈ N, ne peut pas être engendré par un nombre fini d’éléments (puisque ce nombre fini d’éléments serait déjà dans un des idéaux I_{n} de la suite).

Les corps sont noethériens (puisqu’ils n’ont que l’idéal (0)). On montre que si R est noethérien, alors l’anneau de polynômes R[X] sur R est aussi noethérien (voir par exemple [L2]). La classe des anneaux noethériens est close par quotient.

Une suite strictement décroissante de fermés donne, en passant aux idéaux associés, une suite strictement croissante d’idéaux de K[X̄], qui est donc finie. Cela montre: d’une part qu’il n’y a pas de suite infinie strictement décroissante de fermés dans K^{n}; et donc, que toute intersection de fermés est l’intersection d’un nombre fini d’entre eux. En particulier, si l’intersection d’une famille de fermés est vide, alors une sous-intersection finie est déjà vide. En passant au complémentaire: tout recouvrement par des ouverts de K^{n} est un recouvrement fini, c’est à dire que K^{n} est compact pour la topologie de Zariski. (Attention: nous n’éxigeons pas que la topologie soit séparée).

Nous avons donc montré: La famille des fermés de Zariski est close par réunion finie et intersection arbitraire; toute suite strictement décroissante de fermés est finie. La topologie de Zariski sur K^{n} est compacte.

(2.3) Nous allons maintenant décrire les idéaux de la forme I(S). Nous commençons par un lemme: Lemme. Soit I un idéal (propre) de K[X̄]. Alors V (I) est non vide. Démonstration. Soit M un idéal maximal contenant I. Le corps K[X]/M contient naturellement K comme sous-corps, et sa clôture algébrique L est une extension élémentaire de K. Soient f_{1}(X̄), …, f_{m}(X̄) des générateurs de I. Puisque I ⊆ M, les éléments x̄, les classes de X̄ modulo M, satisfont alors: f_{1}(x̄) = f_{2}(x̄) = ⋯ = f_{m}(x̄) = 0. Comme K est une sous-structure élémentaire de L, K ⊧ ∃x̄ f_{1}(x̄) = f_{2}(x̄) = ⋯ = f_{m}(x̄) = 0, ce qui montre V (I) ≠ ∅.

Théorème (Nullstellensatz de Hilbert). Soit I ⊆ K[X̄] un idéal, et f ∈ K[X̄]. Si f ∈ I(V (I)), alors il existe un entier k tel que f^{k} ∈ I. Démonstration. Soit J l’idéal de l’anneau K[X̄, Y] engendré par I et par le polynôme f(X̄)Y − 1 (Y est une nouvelle variable). Nous savons que V (J) = ∅: par définition de I(V (I)), si ā ∈ V (I) alors f(ā) = 0, et donc on ne peut trouver d’élément b tel que f(ā)b = 1.

Donc 1 ∈ J, et nous trouvons des éléments g(X̄, Y), g_{1}(X̄, Y), …, g_{m}(X̄, Y) ∈ K[X̄, Y], et f_{1}(X̄), …, f_{m}(X̄) ∈ I tels que

1 = g(X̄, Y)(f(X̄)Y − 1) + f_{1}(X̄)g_{1}(X̄, Y) + ⋯ + f_{m}(X̄)g_{m}(X̄, Y).

Si nous remplaçons chaque occurrence de la variable Y par (1/f(X̄)), et multiplions l’équation par une puissance de f(X̄) suffisamment grande pour chasser les dénominateurs, nous obtenons une égalité de la forme

f(X̄)^{k} = 0 + f_{1}(X̄)g_{1}(X̄, 1/f(X̄))f(X̄)^{k} + ⋯ + f_{m}(X̄)g_{m}(X̄, 1/f(X̄))f(X̄)^{k},

et la somme de droite est dans I, ce qui montre le théorème.

Il y a donc une bijection entre les idéaux radicaux (ie, satisfaisant: si f^{k} ∈ I alors f ∈ I) et les fermés de Zariski de K^{n}.

(2.4) Corps de définition. Soit V un fermé de Zariski de K^{n}. On dit que V est défini sur F (un sous-corps de K) si l’idéal I(V) est engendré par I(V) ∩ F [X̄]. On dit aussi que F est un corps de définition de V.

Théorème. Soit V ⊆ K^{n} un fermé de Zariski. Alors V a un plus petit corps de définition. Démonstration. Soit I = I(V), et R = K[X̄]/I. Soit M l’ensemble de tous les monômes de K[X̄], c’est à dire les éléments de la forme X_{1}^{i_{1}}X_{2}^{i_{2}} ⋯ X_{n}^{i_{n}}. Alors M est une base du K-espace vectoriel K[X̄]. Soit B ⊆ M, K-indépendant modulo I et maximal avec cette propriété; B forme donc une base du K-espace vectoriel R. A tout monôme m de K[X̄] on associe alors une combinaison linéaire A_{m} d’éléments de B telle que m − A_{m} ∈ I; cette combinaison linéaire est bien entendu unique. De plus I est engendré par les polynômes m − A_{m} où m parcourt l’ensemble des monômes de K[X̄]: soit f(X̄) ∈ I, et écrivons f(X̄) = ∑_{m∈M} a_{m}m. Alors

f(X̄) = ∑_{m∈M} a_{m}(m − A_{m}) + ∑_{m∈M} a_{m}A_{m}.

Donc ∑_{m∈M} a_{m}A_{m} est une combinaison linéaire d’éléments de B, qui est dans I (parce que f(X̄) et chacun des (m−A_{m}) sont dans I). Par définition de B, cette somme est donc nulle, ce qui montre bien que f(X̄) est dans l’idéal engendré par les (m − A_{m}), m ∈ M.

Soit K_{0} le sous-corps de K engendré par les coefficients apparaissant dans les combinaisons linéaires A_{m}, m ∈ M. Nous avons montré que V est définie sur K_{0}.

Nous donnons maintenant une preuve rapide du théorème quand la caractéristique est 0. L’unicité de la combinaison linéaire A_{m} implique que tout automorphisme σ de K satisfaisant σ(I) = I est l’identité sur K_{0}. Soit K_{1} un corps de définition de V. Alors tout automorphisme de K fixant K_{1} satisfait σ(I) = I (par définition d’un corps de définition) et donc σ fixe K_{0}. Cela implique que K_{0} ⊆ dcl(K_{1}), et donc K_{0} ⊆ K_{1} puisque nous sommes en caractéristique 0.

Pour le cas général, supposons V définie sur K_{1}, et soient f_{1}(X̄), …, f_{r}(X̄) ∈ K_{1}[X̄] un système de générateurs de I(V). Soit m_{0} ∈ M \ B. Puisque (m_{0} − A_{m_{0}}) ∈ I(V), il existe g_{1}(X̄), …, g_{r}(X̄) ∈ K[X̄] tels que

(m_{0} − A_{m_{0}}) = f_{1}(X̄)g_{1}(X̄) + ⋯ + f_{r}(X̄)g_{r}(X̄).

Ecrivons f_{i}(X̄) = ∑_{m∈M} a_{im}m et g_{i}(X̄) = ∑_{m∈M} b_{im}m. Alors le coefficient du monôme m dans le polynôme f_{i}(X̄)g_{i}(X̄) est ∑_{m_{1}m_{2}=m} a_{im_{1}}b_{im_{2}}.

Soit S = {m ∈ M | il existe i tel que b_{im} ≠ 0}. Le coefficient de m dans f_{1}(X̄)g_{1}(X̄)+ ⋯ + f_{r}(X̄)g_{r}(X̄) est donc de la forme c_{m}(b̄), où b̄ = (b_{im})_{m∈S,i=1,...,r} et c_{m}(Ȳ) ∈ K_{1}[Ȳ] est une K_{1}-combinaison linéaire des variables Y_{im}, (m ∈ S, 1 ≤ i ≤ r). Considérons maintenant le système d’équations linéaires:

\begin{aligned}c_{m_{0}}(Ȳ) & = 1, \\ c_{m}(Ȳ) & = 0 pour m ∈ M \ B, m ≠ m_{0}. \end{aligned}

Ce système a une solution dans K, (les b_{im}), et donc a une solution (d_{im}) dans K_{1}. Soit h_{i}(X̄) = ∑_{m∈S} d_{im}m. Par notre choix des coefficients d_{im},

f_{1}(X̄)h_{1}(X̄) + ⋯ + f_{r}(X̄)h_{r}(X̄) = m_{0} + ∑_{m∈B} e_{m}m

pour des éléments e_{m} ∈ K_{1}. Le fait que B est une base modulo I implique que A_{m_{0}} = − ∑_{m∈B} e_{m}m et donc que (m_{0} − A_{m_{0}}) ∈ K_{1}[X̄].

Donc K_{1} contient tous les coefficients des monômes apparaissant dans les polynômes (m − A_{m}), m ∈ M. Il contient donc K_{0}. Attention. Les notions de définition au sens de la théorie des modèles et de la géométrie algébrique diffèrent en caractéristique p positive: en effet l’ensemble des zéros de l’équation f(x) = 0 est aussi défini par la formule f(x)^{p} = 0. On a le résultat suivant: si le fermé V est défini par une formule à paramètres dans A, alors V est défini sur dcl(A) au sens algébrique. Remarques. (1) La démonstration du théorème montre que tout élément de I(V) ⊆ K[X̄] est une K-combinaison linéaire de polynômes m − A_{m}, m ∈ M \ B.

(2) Nous avons en fait montré: soit V une fermé de K^{n}, I = I(V), K_{0} le corps de définition de V, et σ un automorphisme de K. Alors,

σ(V) = V ⟺ σ(I) = I ⟺ σ fixe K_{0}.

En effet, si f_{1}(X̄), …, f_{m}(x̄) ∈ K[X̄] sont des générateurs de I, alors σ(V) = V (σ(f_{1})(X̄), …, σ(f_{m})(X̄)), ce qui montre la première équivalence. La deuxième équivalence est implicite dans la preuve du théorème.

(2.5) Supposons maintenant que L est un corps contenant K. On peut se demander si la topologie induite sur K^{n} par la topologie de Zariski sur L^{n} coïncide avec la topologie de Zariski sur K^{n}. Une direction est évidente: si S ⊆ K^{n} est fermé au sens de K, alors il est la trace sur K^{n} d’un fermé de L^{n}.

Une démonstration très élégante de l’autre direction m’a été indiquée par W. Hodges. En fait l’hypothèse de clôture algébrique de K n’est pas nécéssaire. Soit T ⊆ L^{n} un fermé; nous allons montrer que T ∩ K^{n} est défini par des équations à coefficients dans K. En effet, soient f_{1}, …, f_{m} ∈ L[X̄] des polynômes définissant T. Choisissons une base B du K-espace vectoriel L; alors L[X̄] est un K[X̄]-module libre sur B. Ecrivons chaque f_{i}(X̄) comme ∑_{b∈B} g_{i,b}(X̄)b, où les g_{i,b}(X̄) ∈ K[X̄] sont presque tous nuls. Nous avons alors, pour ā ∈ K^{n}:

ā ∈ T ⟺ f_{1}(ā) = ⋯ = f_{m}(ā) = 0

⟺ ∑_{b∈B} g_{i,b}(ā)b = 0 pour tout i = 1, …, m,

⟺ g_{i,b}(ā) = 0 pour tout b ∈ B et i = 1, …, m,

ce qui montre le résultat.

(2.6) Composantes irréductibles. On dit qu’un fermé de K^{n} est une variété, ou bien est irréductible, s’il n’est pas réunion de deux sous-ensembles propres fermés. On dit qu’il est F -irréductible s’il est défini sur F et n’est pas réunion de deux sous-ensembles propres fermés définis sur F.

Puisque la topologie est noethérienne, tout fermé se décompose en ses composantes irréductibles, c’est à dire s’écrit de façon unique (à permutation près) comme V_{1}∪⋯∪V_{m}, où chaque V_{i} est une variété, et aucun des V_{i} n’est contenu dans la réunion des autres.

En effet, soit V un fermé. Si V n’est pas irréductible, nous pouvons écrire V = V_{1} ∪V_{2} où V_{1} et V_{2} sont des fermés contenus strictement dans V. Si V_{1} est irréductible, on ne fait rien, sinon on trouve des fermés V_{11} et V_{12} contenus strictement dans V_{1} et tels que V_{1} = V_{11} ∪ V_{12}; on fait de même pour V_{2}, pour V_{11}, etc . . .. De cette façon on construit un arbre à branchement fini, qui n’a pas de branche infinie, car toute branche donne une suite strictement décroissante de fermés, et on sait qu’une telle suite est finie.

Donc V peut s’écrire comme V_{1} ∪ ⋯ ∪ V_{m}, où chaque V_{i} est un fermé irréductible. On peut maintenant supposer qu’aucun des V_{i} n’est contenu dans la réunion des autres: si V_{1} ⊆ V_{2} ∪ ⋯ ∪ V_{m} alors V_{1} = (V_{1} ∩ V_{2}) ∪ ⋯ ∪ (V_{1} ∩ V_{m}); comme V_{1} est irréductible, il existe i tel que V_{1} ∩ V_{i} = V_{1}, ce qui implique que V_{1} ⊆ V_{i}.

Un résultat analogue est vrai pour les composantes F -irréductibles d’un fermé défini sur F.

On vérifie facilement que pour un fermé V défini sur F:

V est une variété si et seulement si I(V) est premier, V est F -irréductible si et seulement si I(V) ∩ F [X] est premier.

Vérifions par exemple la première équivalence. Supposons que V = V_{1} ∪ V_{2}, où V_{1} et V_{2} sont des fermés strictement contenus dans V. Alors les idéaux I(V_{1}) et I(V_{2}) contiennent strictement I(V); soient f(X̄) ∈ I(V_{1}) \ I(V), g(X̄) ∈ I(V_{2}) \ I(V) et considérons le polynôme f(X̄)g(X̄): il s’annule sur V_{1} et sur V_{2}, donc sur V. Donc f(X̄)g(X̄) ∈ I(V), bien que f(X̄) et g(X̄) ne soient pas dans I(V), ce qui montre que I(V) n’est pas premier.

Réciproquement, supposons que I(V) n’est pas premier, et soient f(X̄) et g(X̄) des polynômes qui ne sont pas dans I(V) mais dont le produit est dans I(V). Soient V_{1} = V (I(V), f(X̄)) et V_{2} = V (I(V), g(X̄)); ils sont strictement contenus dans V. D’autre part tout point ā de V satisfait f(ā)g(ā) = 0, et donc satisfait f(ā) = 0 ou g(ā) = 0, ce qui montre que V = V_{1} ∪ V_{2} et que V n’est pas irréductible.

Les composantes irréductibles correspondent donc aux idéaux minimaux parmi les idéaux premiers contenant I(V).

Il est clair que l’irréductibilité d’un fermé défini sur F implique son F -irréductibilité; la réciproque est cependant fausse: considérons le fermé défini par x^{2} + y^{2} = 0; il est Q-irréductible, mais n’est pas Q(i)-irréductible.

En fait on a le résultat suivant, qui sera montré dans (2.9): soit V un fermé défini sur F. Alors V = V_{1} ∪ … ∪ V_{m}, où les V_{i} sont des variétés définies sur une extension normale et finie E de F. Le groupe des automorphismes de E fixant F, Aut(E/F), permute les composantes V_{i}; si V est F -irréductible, alors il les permute transitivement. La première assertion est plus ou moins évidente, puisque Aut(E/F) induit un automorphisme de E[X̄] qui envoie I(V) sur I(V) et donc envoie un idéal premier minimal contenant I(V) sur un autre idéal premier minimal contenant I(V).

Donc en particulier, la notion de variété est indépendante du corps algébriquement clos dans lequel on travaille.

(2.7) Soit V un fermé de K^{n}. On définit l’anneau affine de V: K[V] = K[X]/I(V); si V est défini sur F, on définira F [V] = F [X]/(I(V) ∩ F [X]). Si V est irréductible, alors K[V] est un anneau intègre, et on notera K(V) son corps de fractions (corps des fonctions rationnelles sur V). De même, si V est F -irréductible, on note F (V) le corps des fractions de F [V].

Si V est une variété, on définit la dimension de V, dim(V), comme étant égale au degré de transcendance de K[V] sur K; si V est un fermé quelconque, alors dim(V) est égale au maximum des dimensions de ses composantes irréductibles.

Soit V un fermé F -irréductible défini sur F, et soit ā ∈ K^{n}. On dit que ā est un point générique de V (sur F) si ā ∈ V et le F -homomorphisme: F [V] → F [ā] qui envoie la classe de X̄ modulo I(V) sur le n-uplet ā, est un isomorphisme. Cela est équivalent à dire que ā ∈ V et le degré de transcendance de F (ā) sur F est égal à dim(V). Si ā et b̄ sont des génériques de V sur F, alors il existe un F -automorphisme de K qui envoie ā sur b̄, puisque les anneaux F [ā] et F [b̄] sont F -isomorphes.

Soit ā ∈ K^{n}; on définit
I(ā/F) = {f(X̄) ∈ F [X̄] | f(ā) = 0}.

Les assertions suivantes sont des conséquences immédiates de la définition:

(1) I(ā/F) est un idéal premier de F [X̄], et F [ā] ≃_{F} F [X̄]/I(ā/F).

(2) Donc si V est le fermé de K^{n} défini par I(ā/F), alors V est F -irréductible, et ā est un générique de V sur F. On a, pour b̄ ∈ K^{n}:

b̄ ∈ V ⟺ I(b̄/F) ⊇ I(ā/F) ⟺ I(b̄/F) ⊇ I(V) ∩ F [X̄].

(3) Un élément b ∈ V est générique de V sur F si et seulement si I(b̄/F) = I(V) ∩ F [X̄].

(4) Si b̄ ∈ V, alors il existe un homomorphisme: F [ā] → F [b̄] qui est l’identité sur F et envoie ā sur b̄.

(5) Soit V un ensemble algébrique défini sur F, et supposons qu’il existe un point ā ∈ V tel que pour tout b̄ ∈ V, il existe un F -homomorphisme F [ā] → F [b̄] qui envoie ā sur b̄. Alors V est F -irréductible et ā est un point générique de V sur F. En effet notre hypothèse entraîne que I(b̄/F) contient I(ā/F) pour tout b̄ ∈ V; donc I(V) ∩ F [X̄] = I(ā/F), et c’est un idéal premier.

(2.8) Soit A et B deux F -algèbres (contenues dans une F -algèbre C). On dit que A et B sont linéairement disjointes au-dessus de F, si tout ensemble d’éléments de A qui est linéairement indépendant au dessus de F, le reste au-dessus de B (par linéairement indépendant au-dessus de F nous voulons dire: linéairement indépendant au sens de l’espace vectoriel sur F). Nous allons montrer que cette définition est en fait symétrique.

Soient a_{1} … a_{n} ∈ A et supposons qu’ils sont linéairement indépendants sur F, mais ne le sont pas sur B. Soient b_{1}, …, b_{n} ∈ B tels que a_{1}b_{1} + … + a_{n}b_{n} = 0; en renumérotant les éléments, on peut supposer que b_{1}, …, b_{m} sont indépendants sur F, et que b_{m+1}, …, b_{n} sont des F -combinaisons linéaires de b_{1}, …, b_{m}; écrivons les b_{j} = ∑_{i=1}^{m} c_{ji}b_{i}, pour j = m + 1, …, n, et c_{ji} ∈ F. Alors

0 = a_{1}b_{1} + … + a_{n}b_{n}

= a_{1}b_{1} + … + a_{m}b_{m} + a_{m+1}(∑_{i=1}^{m} c_{m+1,i}b_{i}) + ⋯ + a_{n}(∑_{i=1}^{m} c_{ni}b_{i})

= (a_{1} + ∑_{j=m+1}^{n} a_{j}c_{j1})b_{1} + ⋯ + (a_{m} + ∑_{j=m+1}^{n} a_{j}c_{jm})b_{m}.

La somme de droite est une combinaison linéaire de b_{1}, …, b_{m} à coefficients dans A, et ces coefficients sont non nuls parce qu’ils sont des F -combinaisons linéaires de a_{1}, …, a_{n}. Exemples. (1) Soit A une extension algébrique de F, et t un élément transcendant sur A. Alors A et F (t) sont linéairement disjoints au-dessus de F.

(2) En géneral, si A et B sont linéairement disjoints au-dessus de F, et A′ est une sous-algèbre de A, alors A′ et B sont linéairement disjoints au-dessus de F.

(3) A et B sont linéairement disjoints au-dessus de F si et seulement si l’homomorphisme naturel A ⨂_{F} B → A[B] est un isomorphisme. (A[B] désigne l’anneau engendré par A et B).

Rappelons que l’algèbre A ⨂_{F} B est définie de la façon suivante: soient A_{0} ⊆ A et B_{0} ⊆ B des bases pour les F -espaces vectoriels A et B; nous supposerons que A_{0} et B_{0} contiennent 1. Alors A ⨂_{F} B a comme F -espace vectoriel sous-jacent l’espace vectoriel avec base {a ⊗ b | a ∈ A_{0}, b ∈ B_{0}}.

Pour c ∈ A et b ∈ B, on définit de la façon suivante l’élément a ⊗ b ∈ A ⨂_{F} B: écrivons c = ∑_{a∈A_{0}} c_{a}a, et d = ∑_{b∈B_{0}} d_{b}b, où les c_{a} et d_{b} sont des éléments de F presque tous nuls. Alors

c ⊗ d = ∑_{a∈A_{0},b∈B_{0}} c_{a}d_{b}a ⊗ b.

Cette somme est bien définie car presque tout les c_{a}d_{b} sont nuls.

On définit maintenant la multiplication sur les éléments de la base de la façon suivante: si a, c ∈ A_{0} et b, d ∈ B_{0} alors (a ⊗ b)(c ⊗ d) = (ac) ⊗ (bd).

La multiplication est ensuite étendue à A ⨂_{F} B de la seule façon possible pour qu’elle satisfasse aux règles de distributivité. On vérifie que tout cela marche bien. Pour plus de détails, voir [L2].

Remarquons aussi que A et B se plongent de façon naturelle dans A ⨂_{F} B: les applications: A → A ⨂_{F} B, a ↦ a ⊗ 1, et B → A ⨂_{F} B, b ↦ 1 ⊗ b, sont des isomorphismes de F -algèbres.

(4) Soient A et B des F -algèbres. Alors A et B sont linéairement disjoints au dessus de F, si et seulement si pour toutes sous-algèbres A_{0} de A et B_{0} de B qui sont de type fini (c’est à dire pouvant être engendrées en tant que F -algèbres par un nombre fini d’éléments), A_{0} et B_{0} sont linéairement disjointes au-dessus de F.

(5) Soient a et b deux racines cubiques distinctes de 2. Alors Q(a) ∩ Q(b) = Q; cependant Q(a) et Q(b) ne sont pas linéairement disjoints au-dessus de Q: en effet, le polynôme X^{3} − 2 s’écrit (X − a)(X − b)(X − 2/(ab)), et donc ne reste pas irréductible au-dessus de Q(a). Cependant, on a le résultat suivant:

(6) Supposons que A est une extension Galoisienne de F, et que B est un corps (contenant F). Alors A et B sont linéairement disjoints au-dessus de F si et seulement si A ∩ B = F.

Il est clair que si A ∩ B ≠ F, alors A et B ne sont pas linéairement disjoints au-dessus de F. Pour la réciproque, par (4) on peut supposer que A est une extension Galoisienne finie de F. Soit α ∈ A tel que A = F (α) (un tel α existe parce que A est une extension séparable finie de F), et soit p(X) son polynôme minimal (unitaire) sur F, q(X) son polynôme minimal (unitaire) sur B, α_{1} = α, α_{2}, …, α_{m} les racines de p(X). Alors q(X) divise p(X), et l’on a p(X) = ∏_{i=1}^{m}(X − α_{i}), et q(X) = ∏_{i∈J}(X − α_{i}) pour un sousensemble J de {1, …, m}. Les coefficients de q(X) sont donc dans le corps A, puisque A contient tous les α_{i}. Ils sont aussi dans B, et donc dans A ∩ B = F. Comme p(X) est irréductible sur F, cela implique que q(X) = p(X) et donc que A et B sont linéairement disjoints au-dessus de F, puisque [A : F] = [B(α) : B].

(7) Soient L et E_{1} ⊆ E_{2} des corps contenant F. Alors L et E_{2} sont linéairement disjoints au-dessus de F si et seulement si L et E_{1} sont linéairement disjoints au-dessus de F, et LE_{1} (le corps engendré par E_{1} et L) et E_{2} sont linéairement disjoints au-dessus de E_{1}.

(2.9) Théorème. (Décomposition d’un fermé F -irréductible). Soient V un fermé défini sur F et F -irréductible, et V_{1}, …, V_{m} ses composantes irréductibles. Alors V_{1}, …, V_{m} sont définies sur une extension normale finie E de F; le groupe des automorphismes de E qui sont l’identité sur F, G = Aut(E/F), agit transitivement sur les composantes V_{i} (c’est à dire, pour tout i et j il existe σ ∈ G tels que σ(V_{i}) = V_{j}. On a dim(V_{i}) = dim(V) pour tout i. Démonstration. Nous allons d’abord montrer que les variétés V_{i} sont définies sur une extension algébrique de F. Soit σ ∈ Aut(K/F). Alors σ(V) = V, et donc σ permute les composantes V_{i}. Comme le groupe des permutations de l’ensemble {1, …, m} a m! éléments, cela implique que σ^{m!}(V_{i}) = V_{i} pour tout i.

Donc, si σ ∈ Aut(K/F), alors σ^{m!} est l’identité sur le corps de définition de chaque V_{i}, et donc sur le plus petit corps E contenant les corps de définition des V_{i}. Notons que si E_{i} est le corps de définition de V_{i}, et σ ∈ Aut(K/F), alors σ(E_{i}) est le corps de définition de la variété σ(V_{i}); cela montre que E est une extension normale de F.

Nous allons maintenant montrer que toutes les composantes de V ont la même dimension, qui est égale à dim(V). Puisque chaque V_{i} est incluse dans V, il est clair que dim(V_{i}) ≤ dim(V).

Soit ā ∈ K^{n} un générique de V sur F, et b̄ ∈ K^{n} un générique de V_{i} sur F̃ (F̃ est la clôture algébrique de F dans K). Puisque b̄ ∈ V, il existe un F -homomorphisme φ : F [ā] → F [b̄] qui envoie ā sur b̄. Cet homomorphisme s’étend à F̃ (par (1.2)), et nous avons donc un F -homomorphisme

φ̃ : F̃[ā] → F̃[b̄].

La restriction de φ̃ à F̃ est un élément de Aut(F̃/F), que nous noterons ψ. Puisque K est algébriquement clos, de degré de transcendance infini sur F, on peut trouver c̄ ∈ K^{n}, et un isomorphisme

θ : F̃[ā] → F̃[c̄]

étendant ψ et envoyant ā sur c̄. Alors

φ̃ ∘ θ^{−1} : F̃[c̄] → F̃[b̄]

envoie c̄ sur b̄, est un F̃-homomorphisme (car ψ ∘ ψ^{−1} = id). Soit j tel que c̄ ∈ V_{j}; puisque c̄ est un générique de V sur F, il est un générique de V_{j} sur F̃ (car dim(V_{j}) ≤ dim(V)), et nous avons donc:

I(V_{j}) ∩ F̃[X̄] = I(c̄/F̃) ⊆ I(b̄/F̃) = I(V_{i}) ∩ F̃[X̄].

Cela implique que I(V_{j}) ⊆ I(V_{i}), et donc V_{i} = V_{j} par définition de la décomposition en composantes irréductibles. Donc φ̃ ∘ θ^{−1} est un isomorphisme, ce qui entraîne que φ est aussi un isomorphisme.

Nous avons donc montré que toutes les composantes de V ont la même dimension que V. Cela implique qu’un générique de V_{i} sur F̃ est aussi un générique de V sur F. Si ā et b̄ sont deux génériques quelconques de V sur F, alors il existe un automorphisme σ ∈ Aut(K/F) qui envoie ā sur b̄, ce qui montre bien que Aut(K/F), et donc Aut(E/F), permute transitivement les V_{i}.

(2.10) Théorème. Soit ā ∈ K^{n}, et E un sous corps de K contenant F. Alors l’idéal I(ā/E) est engendré par des polynômes de F [X̄] si et seulement si F (ā) et E sont linéairement disjoints au-dessus de F. Démonstration. Supposons que F (ā) et E sont linéairement disjoints au-dessus de F. Soit f(X̄) ∈ I(ā/E), soit C une base du F -espace vectoriel E, et écrivons f(X̄) = ∑_{i} c_{i}f_{i}(X̄), avec c_{i} ∈ C et f_{i}(X̄) ∈ F [X̄]. Puisque f(ā) = 0, ∑_{i} c_{i}f_{i}(ā) = 0, ce qui entraîne que chaque f_{i}(ā) = 0 (par disjonction linéaire). Donc les polynômes f_{i}(X̄) sont dans I(ā/F), ce qui donne le résultat souhaité.

Réciproquement, supposons que I(ā/E) est engendré par des polynômes de F [X̄]. Pour montrer que F (ā) et E sont linéairement disjoints au-dessus de F, il suffit de montrer que F [ā] et E sont linéairement disjoints au-dessus de F (pourquoi?). Soit M l’ensemble des monômes de F [X̄], et B ⊆ M une base du F -espace vectoriel F [X̄]/I(ā/F). Alors {b(ā) | b ∈ B} est une base du F -espace vectoriel F [ā]. Il suffit donc de montrer que cette base reste indépendante dans E[ā]. Soient b_{1}, …, b_{r} ∈ B, c_{1}, …, c_{r} ∈ E et supposons que b_{1}(ā)c_{1} + ⋯ + b_{r}(ā)c_{r} = 0. Alors b_{1}c_{1} + ⋯ b_{r}c_{r} ∈ I(ā/E). Puisque I(ā/E) est engendré par I(ā/F), par la remarque (2.4)(1) il existe des éléments e_{m} ∈ E, pour m ∈ M \ B, tels que

b_{1}c_{1} + ⋯ + b_{r}c_{r} = ∑_{m∈M\B} e_{m}(m − A_{m}).

Cela donne

b_{1}c_{1} + ⋯ + b_{r}c_{r} + ∑_{m∈M\B} e_{m}A_{m} = ∑_{m∈M\B} e_{m}m.

Puisque les monômes de M forment une base du E-espace vectoriel E[X̄], et que la somme de gauche est une combinaison linéaire d’éléments de B, nous en déduisons que e_{m} = 0 pour tout m ∈ M \ B, ce qui entraîne b_{1}c_{1} + ⋯ + b_{r}c_{r} = 0, et donc c_{1} = ⋯ c_{r} = 0.

(2.11) Corollaire. Soit V un fermé F -irréductible défini par des polynômes de F [X̄]. Alors V est une variété si et seulement si F (V) ∩ F_{s} = F (F_{s} est la clôture séparable de F). Démonstration. Nous savons que V est définie sur une extension purement inséparable de F, mais pas nécessairement sur F. Les conditions suivantes sont équivalentes:

(1) V est une variété;

(2) si ā et b̄ sont deux génériques de V sur F, alors il existe σ ∈ Aut(K/F̃) tel que σ(ā) = b̄ (autrement dit: V n’a qu’une composante irréductible);

(3) si ā est un générique de V sur F, alors I(ā/F^{1/p^{∞}}) engendre I(ā/F̃) (parce que I(ā/F^{1/p^{∞}}) = I(V) ∩ F^{1/p^{∞}}[X̄]);

(4) si ā est un générique de V sur F, alors F^{1/p^{∞}}(ā) et F̃ sont linéairement disjoints au-dessus de F^{1/p^{∞}} (par (2.10);

(5) F^{1/p^{∞}}(V) et F̃ sont linéairement disjoints au-dessus de F^{1/p^{∞}} (puisque F (ā) ≃_{F} F (V)).

Il est donc clair, par (5), que si V est une variété, alors F (V) ∩ F_{s} = F.

Pour la réciproque, nous savons par (2.8)(6) que F (V) ∩ F_{s} = F entraîne que F (V) et F_{s} sont linéairement disjoints au-dessus de F. Par (2.10), si ā est un générique de V sur F, alors I(ā/F) engendre I(ā/F_{s}). Soit b̄ un autre générique de V sur F; puisque I(b̄/F_{s}) = I(ā/F_{s}), il existe donc un automorphisme de K fixant F_{s} et envoyant ā sur b̄. Mais un tel automorphisme laisse F̃ fixé (puisque F̃ est une extension purement inséparable de F_{s}), ce qui montre que V n’a qu’une seule composante irréductible, et est donc une variété.

(2.12) Extensions régulières. Nous avons donc les critères suivants, pour ā un n-uplet de K:

(1) Le fermé de K^{n} défini par I(ā/F) est défini sur F si et seulement si F (ā) et F^{1/p^{∞}} sont linéairement disjoints au-dessus de F (voir exercice).

(2) Le fermé de K^{n} défini par I(ā/F) est une variété si et seulement si F (ā)∩F_{s} = F.

(3) Le fermé de K^{n} défini par I(ā/F) est une variété définie sur F si et seulement si F (ā) et F̃ sont linéairement disjoints au-dessus de F. Définition. Soit L ⊆ K un corps contenant F; on dit que L est une extension régulière de F si L et F̃ sont linéairement disjoints au-dessus de F.

Remarques. Soit ā un n-uplet de K. Si F est parfait, alors F (ā) satisfait aux conditions équivalentes de (1); pour que F (ā) soit régulière sur F, il suffit donc que F (ā) ∩ F_{s} = F.

Si F est algébriquement clos, toutes ses extensions sont régulières.

(2.13) Théorème. Soient ā, b̄ ∈ K^{n}, et supposons que I(ā/F) ⊆ I(b̄/F). Alors

deg.tr(b̄/F) ≤ deg.tr(ā/F).

Si ces degrés sont égaux, alors I(ā/F) = I(b̄/F). Démonstration. Puisque I(ā/F) ⊆ I(b̄/F) nous avons un F -homomorphisme φ : F [ā] → F [b̄] qui envoie ā sur b̄. Supposons que f(a_{1}, …, a_{r}) = 0, où f(X_{1}, …, X_{r}) ∈ F [X_{1}, …, X_{r}]; alors φ(f(a_{1}, …, a_{r})) = 0 = f(b_{1}, …, b_{r}), ce qui montre la première assertion.

Supposons que deg.tr(ā/F) = deg.tr(b̄/F). Nous voulons montrer que φ est un isomorphisme. En renumérotant les éléments du uplet, nous pouvons supposer que b_{1}, …, b_{d} forment une base de transcendance de F (b̄) sur F. Alors a_{1}, …, a_{d} sont aussi algébriquement indépendants au-dessus de F, et donc forment une base de transcendance de F (ā) sur F (puisque deg.tr(ā/F) = deg.tr(b̄/F)). En particulier, Ker(φ) ∩ F [a_{1}, …, a_{d}] = (0).

Soit c ∈ F [ā], c ≠ 0, et f(X) ∈ F (a_{1}, …, a_{d})[X] son polynôme minimal sur F (a_{1}, …, a_{d}); nous multiplions f(X) par un élément de F [a_{1}, …, a_{d}] pour obtenir un polynôme g(X) dont les coefficients sont des éléments non nuls de F [a_{1}, …, a_{d}]. Alors les coefficients de φ(g)(X) sont aussi non-nuls et φ(c) en est une racine. Comme le coefficient constant de φ(g)(X) est non-nul, 0 n’est pas une racine de φ(g)(X), ce qui montre que φ(c) ≠ 0.

Corollaire. Soient V ⊆ W des fermés F -irréductibles. Alors dim(V) ≤ dim(W). Si dim(V) = dim(W) alors V = W. Ou encore: si l’inclusion de V dans W est stricte, alors dim(V) < dim(W).

(2.14) Proposition. Soit F un sous-corps des corps L et M.

(1) Si L et M sont linéairement disjoints au-dessus de F alors ils sont algébriquement indépendants au-dessus de F.

(2) Si F est algébriquement clos, alors la réciproque de (1) est vraie: si L et M sont algébriquement indépendants au-dessus de F, alors ils sont linéairement disjoints audessus de F.

(3) Supposons que L est une extension régulière de F, algébriquement indépendante avec M au-dessus de F. Alors L et M sont linéairement disjoints au-dessus de F.

Démonstration. (1) Supposons que L et M sont linéairement disjoints au-dessus de F, et soit f(X̄) ∈ M[X̄], X̄ = (X_{1}, …, X_{n}), et ā ∈ L^{n}, et supposons que f(ā) = 0. Nous écrivons alors f(ā) comme une M-combinaison linéaire de monômes en a_{1}, …, a_{n}, et la disjonction linéaire de L et M au-dessus de F entraîne alors l’existence d’un polynôme g(X̄) ∈ F [X̄] tel que g(ā) = 0.

(2) Supposons que L et M sont algébriquement indépendants au-dessus de F, et soit ā ∈ L^{n}. Nous voulons montrer que I(ā/F) engendre I(ā/M). Puisque F est algébriquement clos, I(ā/F) est l’idéal d’une variété V, et ā est un générique de V sur F. Par hypothèse, deg.tr(ā/F) = deg.tr(ā/M), ce qui montre que ā est aussi un générique de V sur M par (2.13), et donc que I(ā/F) engendre I(ā/M). Par (2.10), nous en concluons que F (ā) et M sont linéairement disjoints au-dessus de F. Cela étant vrai pour tout uplet fini de L, nous en déduisons le résultat.

(3) Par hypothèse, L et F̃ sont linéairement disjoints au-dessus de F; le fait que M et L soient algébriquement indépendants au-dessus de F implique que F̃M et F̃L le sont aussi (passer de F à F̃ ne change rien au degré de transcendance). Donc, par (2) et (2.8)(7), L et F̃M sont linéairement disjoints au-dessus de F, ce qui donne la conclusion.

3. Corps finis Soit p un nombre premier. L’idéal pZ de Z est un idéal maximal, et Z/pZ est un

corps, avec p éléments. On le note F_{p} et on l’appelle le corps premier de caractéristique p. Il est contenu dans tout corps de caractéristique p, puisqu’il est engendré par 1.

Soit F un corps fini, avec n éléments. On regarde F comme un groupe additif, d’ordre n. Le sous-groupe de F engendré par 1, est donc un sous-groupe d’ordre m, pour un diviseur m de n, et ce sous-groupe est isomorphe à Z/mZ. En fait il est isomorphe à Z/mZ en tant qu’anneau, ce qui implique que Z/mZ est intègre, et donc que m est un nombre premier.

Nous avons donc montré que tout corps fini F contient un sous-corps isomorphe à F_{p} pour un nombre premier p. Le corps F a donc une structure naturelle d’espace vectoriel sur F_{p}, ce qui implique en particulier que son ordre doit être un puissance de p.

Soit F un corps fini de caractéristique p, ayant q = p^{m} éléments, et soit K un corps algébriquement clos le contenant. Considérons maintenant le groupe multiplicatif F^{×} = F \ {0}. Il a exactement q − 1 éléments, et donc tout élément a de F^{×} satisfait a^{q−1} = 1. Cela implique que tout élément de F est racine de l’équation

X^{q} − X = 0.

La dérivée du polynôme X^{q} − X est égale à qX^{q−1} − 1 = −1 (puisque q = 0 dans F), et donc ne peut jamais être égale à 0. L’équation X^{q} − X = 0 a donc q racines distinctes, qui sont précisément les éléments de F. Nous avons alors

X^{q} − X = ∏_{a∈F}(X − a).

Remarquons que cela implique qu’il y a un seul corps de cardinalité q (dans K). Nous le noterons F_{q}.

Réciproquement, soit q = p^{m}, et considérons l’ensemble S des solutions dans K de l’équation X^{q} − X = 0. Puisque la dérivée de ce polynôme égale −1, ses racines sont toutes distinctes et S a donc q éléments. Il est clair que S est clos par multiplication, et par inverse multiplicatif. Aussi, puisque nous sommes en caractéristique p > 0, et que q est une puissance de p, nous avons:

(a + b)^{q} = a^{q} + b^{q}

pour tout éléments a, b. Cela implique que S est clos par addition, et donc que S est un sous corps de K.

En résumé nous avons donc montré: (3.1) Théorème. Soit F un corps fini. Alors il contient le corps F_{p} pour un p premier, et a q = p^{m}éléments, pour un entier m. Ses éléments sont exactement les racines de l’équation X^{q} − X.

Etant donnée une puissance q d’un nombre premier p, il existe un seul corps de cardinalité q, que nous noterons F_{q}.

(3.2) Le groupe multiplicatif d’un corps fini est cyclique. Soit F = F_{q} un corps fini, F^{×} = F \{0} son groupe multiplicatif, qui a donc q −1 éléments. Nous allons montrer que ce groupe est cyclique (c’est à dire engendré par un élément). F^{×} est un groupe abélien fini, et s’écrit donc comme la somme directe de ses composantes ℓ-aires U(ℓ), où ℓ parcourt l’ensemble des nombres premiers divisant q − 1, et U(ℓ) est l’ensemble des éléments de F^{×} d’ordre une puissance de ℓ.

Rappelons que pour des entiers m, n,

Z/mZ ⊕ Z/nZ est cyclique ⟺ le pgcd (m, n) = 1.

Il suffit donc de montrer que chaque U(ℓ) est cyclique. Nous savons que U(ℓ) s’écrit comme une somme directe de groupes cycliques. Supposons que U(ℓ) n’est pas cyclique, et soit ℓ^{r} son ordre. Alors U(ℓ) = A ⊕ Z/ℓ^{s}Z, avec 1 ≤ s < r. Cela implique que tout élément de U(ℓ) satisfait l’équation X^{ℓ^{r−1}} = 1. Mais une telle équation a au plus ℓ^{r−1} solutions!! C’est une contradiction et donc F^{×} est cyclique.

(3.3) Un corps fini est parfait. L’ordre de F^{×} est premier à p. Cela implique que l’endomorphisme multiplicatif x → x^{p} a un noyau trivial, et donc qu’il est surjectif, puisque F^{×} est fini.

(3.4) La clôture algébrique de F_{p}. Fixons un nombre premier p. Soient m et n des entiers. Nous avons alors

F_{p^{m}} ⊆ F_{p^{n}} ⟺ m|n.

En effet, si F_{p^{n}} contient F_{p^{m}}, il est alors un F_{p^{m}}-espace vectoriel, et donc p^{n} est une puissance de p^{m}, ce qui implique que m|n. Réciproquement, si m|n, alors (p^{m} −1)|(p^{n} −1), ce qui montre que F_{p^{m}} ⊆ F_{p^{n}}. Soient m et n des entiers, d leur plus grand diviseur commun, et e = mn/d:

F_{p^{m}} ∩ F_{p^{n}} = F_{p^{d}} et F_{p^{m}}F_{p^{n}} = F_{p^{e}}.

On a aussi: si n = mf alors [F_{p^{n}} : F_{p^{m}}] = f. Les extensions algébriques finies de F_{p} sont toutes des corps finis, et réciproquement tout corps fini de caractéristique p est une extension algébrique de F_{p}. La clôture algébrique de F_{p} est donc obtenue en prenant la réunion de tous les corps finis:

F̃_{p} = ⋃_{m∈N} F_{p^{m}},

avec les inclusions naturelles F_{p^{m}} ⊆ F_{p^{n}} ssi m divise n.

(3.5) L’automorphisme de Frobénius. Groupes de Galois. Le corps F_{q} est l’ensemble des solutions de l’équation X^{q} − X, et c’est donc une extension normale de F_{p}, séparable, donc une extension Galoisienne de F_{p}. Considérons l’application φ : F_{q} → F_{q}, x ↦ x^{p}. C’est une bijection, et un automorphisme de F_{q}. Si a ∈ F_{p} alors a^{p} = a, et donc φ est l’identité sur F_{p}. Si q = p^{m}, nous avons alors: φ^{m} = id.

D’autre part l’ordre de φ est exactement m: le sous-corps de F_{q} fixé par φ^{d} pour un diviseur d de m, est l’ensemble des solutions de X^{p^{d}} = X, c’est à dire le sous-corps F_{p^{d}} de F_{q} = F_{p^{m}}, qui est un sous-corps propre de F_{q} si d < m.

Puisque le groupe de Galois Gal(F_{q}/F_{p}) a exactement [F_{q} : F_{p}] = m éléments, cela montre que φ engendre Gal(F_{q}/F_{p}).

Remarquons aussi que le groupe de Galois Gal(F_{q}/F_{p^{d}}) est engendré par φ^{d} et a m/d éléments.

L’automorphisme x ↦ x^{p} de F̃_{p} est appelé l’automorphisme de Frobénius, noté F rob. Toutes les puissances entières de F rob sont des automorphismes de F̃_{p}, mais il y en a beaucoup d’autres, en fait 2^{ℵ_{0}}. Nous allons montrer comment les construire.

Soit G le produit cartésien des groupes Z/nZ, où n parcourt l’ensemble des entiers positifs. On munit chaque Z/nZ de la topologie discrète, et l’on considère la topologie produit sur G: une base d’ouverts est donnée par les ensembles de la forme ∏_{n∈N} U_{n}, où {n ∈ N | U_{n} ≠ Z/nZ} est fini. Alors G est un espace compact (théorème de Tychonoff), séparé (Hausdorff en anglais), et admet une base d’ouverts-fermés. C’est aussi un groupe topologique.

Pour m un diviseur de n, soit π_{mn} la projection naturelle Z/nZ → Z/mZ. Considérons le sous-groupe H de G défini de la façon suivante: H est l’ensemble des suites (a_{n})_{n∈N} satisfaisant π_{mn}(a_{n}) = a_{m} pour toute paire d’entiers (m, n) où m|n.

On vérifie sans peine que H est un sous-groupe fermé de G et donc compact: si (b_{i})_{i} ∉ H, il existe des entiers m et n tels que m|n et π_{mn}(b_{n}) ≠ b_{m}. L’ouvert de base (∏_{k≠m,n} Z/kZ) × {b_{m}} × {b_{n}} contient (b_{i})_{i} et est disjoint de H.

Remarquons aussi que Z se plonge dans H, par l’application qui à un entier associe la suite de ses classes modulo n pour n ∈ N. On vérifie que l’image de Z est dense dans H, c’est à dire coupe tout ouvert qui coupe H: cela provient du fait que tout système fini et consistant de congruences a une solution dans Z.

Soit ψ ∈ Gal(F̃_{p}/F_{p}) =_{def} G(F_{p}). A ψ nous associons l’élément (a_{n})_{n} de G de la façon suivante: pour n ∈ N, a_{n} est l’unique élément de Z/nZ tel que les restrictions de ψ et F rob^{a_{n}} à F_{p^{n}} sont égales. On vérifie sans peine que cette association est un monomorphisme de groupe, et prend ses valeurs dans H.

Nous allons maintenant montrer que c’est un isomorphisme de G(F_{p}) sur H. En effet, soit (a_{n})_{n} ∈ H, et définissons

ψ(b) = b^{p^{am}} si b ∈ F_{p^{m}}.

La définition de H garantit que la définition de ψ(b) ne dépend pas de l’entier m choisi tel que b ∈ F_{p^{m}}. En effet, soit n un entier divisible par m. Alors a_{n} = a_{m} + km (identifiant ici a_{m} avec un élément de {0, 1, ⋯, m − 1} et a_{n} avec un élément de {0, 1, ⋯, n − 1}). Nous avons donc

p^{a_{n}} = p^{km}p^{a_{m}}, et donc a^{p^{an}} = (a^{p^{km}})^{p^{am}} = a^{p^{am}} .

Il est clair que ψ définit un automorphisme de chaque corps F_{p^{n}}, et donc un automorphisme de F̃_{p}.

Notation. Le groupe H défini ci-dessus est noté Ẑ, ou encore lim_{\overleftarrow{n∈N}}Z/nZ (une limite

inverse de groupes finis, indexée par les entiers, et avec pour morphismes les π_{mn} pour m divisant n). Comme nous avons remarqué plus haut, il contient un sous-groupe isomorphe à Z.

(3.6) Groupes profinis. Le but de la construction ci-dessus était de trouver un objet qui code toute l’information finie que nous avions. C’est à dire vraiment le système des groupes de Galois finis, avec les applications “restrictions” entre eux. Cette construction se généralise à des systèmes projectifs de groupes finis quelconques. Nous donnons rapidement les définitions, par souci de complétude — mais cette partie ne sera sans doute pas utilisée dans le cours.

Un groupe profini est un groupe topologique qui satisfait certaines propriétés (séparé, compact, ayant une base d’ouverts-fermés). Il y a plusieurs définitions équivalentes, et nous commencerons par la plus naturelle étymologiquement: la limite projective (aussi appelée limite inverse) de groupes finis. Cette limite est en fait définie par des propriétés universelles, mais qui donnent dans le cas des groupes un objet assez simple.

Nous avons un ensemble I partiellement ordonné, et pour chaque i ∈ I un groupe fini G_{i}. Pour i ≤ j nous avons aussi un épimorphisme de groupe π_{ij} : G_{j} → G_{i}, et ces épimorphismes satisfont:

π_{ii} = id; si i ≤ j ≤ k alors π_{ik} = π_{ij} ∘ π_{jk}.

Nous définissons la limite inverse du système (G_{i}, π_{ij} | i, j ∈ I) comme étant le sous-groupe G du groupe ∏_{i∈I} G_{i} défini par

(g_{i})_{i} ∈ G ⟺ π_{ij}(g_{j}) = g_{i} pour tout i ≤ j.

On munit chaque groupe G_{i} de la topologie discrète, et on prend la topologie produit sur ∏_{i∈I} G_{i}. Le groupe G avec la topologie induite est alors un groupe topologique, et l’on vérifie qu’il est fermé. C’est donc un groupe compact, séparé, et dont une base de la topologie est donnée par des ouverts-fermés. Les projections de ∏_{i∈I} G_{i} sur chacun des G_{i} induisent alors des homomorphismes continus π_{i} : G → G_{i}, qui sont surjectifs. On écrit

G = lim_{\overleftarrow{i∈I}} G_{i}.

La propriété universelle satisfaite par G est la suivante: soit H un groupe, et supposons que nous avons des homomorphismes h_{i} : H → G_{i} pour chaque i ∈ I, et que ces homomorphismes satisfont h_{i} = π_{ij} ∘ h_{j} pour i ≤ j. Il existe alors un unique homomorphisme h : H → G satisfaisant π_{i} ∘ h = h_{i} pour i ∈ I. En effet, si a ∈ H, alors l’élément (π_{i} ∘ h(a))_{i} est dans G.

De plus, si H est un groupe topologique et les morphismes h_{i} sont continus, alors h est aussi continu.

La seconde définition est tout simplement: un groupe profini est (isomorphe à) un sous-groupe fermé d’un produit de groupes finis, avec la topologie produit des topologies discrètes sur chacun des G_{i}.

(3.7) Groupes de Galois infinis. Nous allons montrer comment mettre ensemble l’information donnée par les groupes de Galois des extensions finies d’un corps au moyen des groupes profinis.

Soit F un corps, et soit (L_{i})_{i∈I} l’ensemble des extensions Galoisiennes finies de F. Remarquons que card(I) ≤ card(F) + ℵ_{0}: en effet tout élément de la clôture séparable F_{s} de F est racine d’un polynôme à coefficients dans F, et card(F [X]) = card(F) + ℵ_{0}.

Pour chaque i ∈ I, posons G_{i} = Gal(L_{i}/F); si L_{i} ⊆ L_{j} la restriction définit un épimorphisme res_{ij} : G_{j} → G_{i}. En effet, si σ ∈ Gal(L_{j}/F), alors σ fixe F, et permute donc les racines du polynôme minimal f(X) d’un élément α ∈ L_{i}; comme L_{i} contient toutes les racines de f(X) puisque L_{i} est normale, la restriction de σ à L_{i} est donc un élément de Gal(L_{i}/F).

Nous définissons Φ : Aut(F_{s}/F) =_{def} Gal(F_{s}/F) =_{def} G(F) → ∏_{i∈I} G_{i} de la façon suivante: σ ↦ (σ_{i})_{i∈I}, où σ_{i} est la restriction de σ à L_{i}.

On vérifie que Φ est un morphisme de groupe, qui est injectif, et que

Φ(G(F)) = {(g_{i})_{i} ∈ ∏_{i∈I} G_{i} | si L_{i} ⊆ L_{j}, alors res_{ij}(g_{j}) = g_{i}}.

On montre facilement que Φ(G(F)) est un sous-groupe fermé de ∏_{i∈I} G_{i}, et est donc un groupe profini. Nous identifions G(F) avec son image par Φ, et donc le considérons comme un groupe topologique.

La dualité de Galois finie s’étend sans peine aux groupes de Galois infinis. La seule différence est que les sous-groupes apparaissant dans la dualité seront fermés. A un sousgroupe fermé G de G(F) on associe le sous-corps de F_{s} fixé par tous les éléments de G. Réciproquement à un sous-corps E de F_{s} contenant F, on associe le sous-groupe de G(F) composé des éléments qui laissent E fixé.

Soit F ⊆ E ⊆ F_{s}, et montrons que le sous-groupe de G(F) qui laisse E fixé est un sous-groupe fermé; ce sous-groupe est en fait Gal(F_{s}/E) = G(E).

Soit σ ∈ G(F), et supposons que σ est l’identité sur E. Comme E = ⋃_{i∈I}(E ∩ L_{i}), cela arrive si et seulement si la restriction de σ à L_{i} est l’identité sur E ∩ L_{i} pour tout i ∈ I. Pour chaque i, Gal(L_{i}/E ∩L_{i}) est un sous-groupe de G_{i} = Gal(L_{i}/E), et nous avons donc un plongement canonique ∏_{i∈I} Gal(L_{i}/E ∩ L_{i}) ⊆ ∏_{i∈I} G_{i}. On a donc

Φ(Gal(F_{s}/E)) = Φ(Gal(F_{s}/F)) ∩ ∏_{i∈I} Gal(L_{i}/E ∩ L_{i}),

et l’intersection de deux groupes fermés est fermée.

Soit H un sous groupe (quelconque) de G(F), E le sous-corps de F_{s} fixé par H. Nous allons décrire la fermeture H̄ de H et montrer que c’est le sous-groupe de G(F) qui fixe E. Pour i ∈ I, considérons l’homomorphisme de restriction res_{i} : G(F) → G_{i}, et soit H_{i} = res_{i}(H); c’est donc un sous-groupe de G_{i}, et l’on vérifie que Φ(G(F)) ∩ ∏_{i∈I} H_{i} est le plus petit fermé de ∏_{i∈I} G_{i} contenant Φ(H), et est donc l’image par Φ de H̄. Puisque res_{i}(H̄) = H_{i} = Gal(L_{i}/E ∩ L_{i}), le sous-corps de F_{s} fixé par H̄ est E. Les sous-groupes ouverts. Soit i ∈ I, et considérons le sous-groupe U_{i} = {(σ_{j})_{j∈I} | σ_{i} = 1} ∩ Φ(G(F)). C’est un sous-groupe ouvert de Φ(G(F)), dont le corps fixé est L_{i}, et que l’on identifie à G(L_{i}) = Gal(F_{s}/L_{i}). C’est un sous-groupe normal, et on a la suite exacte:

1 → G(L_{i}) → G(F) → Gal(L_{i}/E) → 1.

Soit U un sous-groupe ouvert de G(F). Par définition de la topologie produit, il existe un ensemble fini J ⊆ I tel que Φ(U) contient l’intersection des sous- groupes U_{i}, i ∈ J (cette intersection est ouverte); on voit alors que le sous-corps de F_{s} fixé par U est contenu dans le corps engendré par les L_{i}, i ∈ J, ce qui nous ramène à la théorie de Galois finie. Quotients. De façon générale, si U est un sous-groupe fermé normal de G(F), et E est le sous-corps fixé par U, on a une suite exacte:

1 → U → G(F) → Gal(E/F) → 1.

Ici, Gal(E/F) est le groupe de Galois de E sur F, c’est à dire le groupe Aut(E/F); on l’identifie à un sous-groupe fermé de ∏_{i∈I,L_{i}⊆E} G_{i}.

4. Bornes pour les idéaux de polynômes Nous allons définir le degré d’un polynôme en plusieurs variables. Pour cela, nous

définissons d’abord le degré du monôme X_{1}^{i_{1}}X_{2}^{i_{2}} ⋯ X_{n}^{i_{n}} comme étant égal à i_{1} +…+i_{n}; si f(X̄) est un polynôme en X̄ = (X_{1}, …, X_{n}), le degré de f(X̄) est le maximum des degrés des monômes apparaisant dans l’expression de f(X̄) avec un coefficient non nul. Si e est un entier positif, les polynômes de K[X̄] de degré ≤ e forment donc un espace vectoriel, qui est de dimension finie, puisqu’il n’y a qu’un nombre fini de monômes X_{1}^{i_{1}}X_{2}^{i_{2}} ⋯ X_{n}^{i_{n}} avec i_{1} + i_{2} + ⋯ + i_{n} ≤ e. (4.1) Théorème. Soient n, e des entiers positifs, X̄ = (X_{1}, …, X_{n}).

(1) Il existe une constante A = A(n, e) telle que pour tout corps K, et polynômes f_{1}(X̄), …, f_{m}(X̄), g(X̄) ∈ K[X̄] de degré ≤ e, si g(X̄) ∈ (f_{1}(X̄), …, f_{m}(X̄)) (l’idéal de K[X̄] engendré par f_{1}(X̄), …, f_{m}(X̄)), alors

g(X̄) = f_{1}(X̄)h_{1}(X̄) + ⋯ f_{m}(X̄)h_{m}(X̄)

pour des polynômes h_{1}(X̄), …, h_{m}(X̄) ∈ K[X̄] de degré ≤ A.

(2) Il existe une constante B = B(n, e) telle que pour tout corps K, et idéal I de K[X̄] engendré par des polynômes de degré ≤ e, s’il existe k tel que g(X̄)^{k} ∈ I, alors g(X̄)^{B} ∈ I.

(3) Il existe une constante C = C(n, e) telle que pour tout corps K, et idéaux I et J de K[X̄] engendrés par des polynômes de degré ≤ e, les idéaux I ∩ J et I : J (= {f ∈ K[X̄] | fJ ⊆ I}) sont engendrés par des polynômes de degré ≤ C.

(4) Il existe une constante D = D(n, e) telle que pour tout corps K, et idéal I de K[X̄] engendré par des polynômes de degré ≤ e, si I n’est pas premier, alors il existe des polynômes g(X̄), h(X̄) de degré ≤ D tels que g(X̄), h(X̄) ∉ I, et g(X̄)h(X̄) ∈ I.

(5) Il existe une constante E = E(n, e) telle que pour tout corps K, et idéal I de K[X̄] engendré par des polynômes de degré ≤ e, il y a au plus E idéaux premiers minimaux contenant I, et chacun est engendré par des polynômes de degré ≤ E. Les preuves de ces résultats se trouvent par exemple dans l’article de A. Seidenberg,

Constructions in Algebra, Trans. A.M.S 197 (1974), 273 – 313. On peut aussi en trouver une démonstration qui utilise des ultraproduits dans: L. van den Dries et K. Schmidt, Bounds in the theory of polynomial rings over fields, Invent. Mat. 76 (1984), 77 – 91.

(4.2) Ces résultats nous permettent de trouver des formules dont les variables sont les coefficients des polynômes, qui expriment l’appartenance à un idéal, le fait que cet idéal est premier, radical, etc . . .. Soient r, n, e des entiers positifs, et M(n, e) l’ensemble des monômes de degré ≤ e dans les variable X̄ = (X_{1}, …, X_{n}). Notons que si K est un corps, tout idéal de K[X̄] engendré par des polynômes de degré ≤ e est en fait engendré par au plus card(M(n, e)) d’entre eux. Ci-dessous, nous donnons deux applications.

(1) Il existe une formule α(x̄_{1}, …, x̄_{r}, x̄_{r+1}), où x̄_{i} = (x_{im})_{m∈M(n,e)}, telle que, pour tout corps K, si f_{i}(X̄) = ∑_{m∈M(n,e)} a_{i,m}m ∈ K[X̄], alors

f_{r+1}(X̄) ∈ (f_{1}(X̄), …, f_{r}(X̄)) ⟺ K ⊧ α(ā_{1}, ā_{2}, …, ā_{r}, ā_{r+1}).

(2) Il existe une formule β(x̄_{1}, …, x̄_{r}), où x̄_{i} = (x_{im})_{m∈M(n,e)}, telle que, pour tout corps K, si f_{i}(X̄) = ∑_{m∈M(n,e)} a_{i,m}m ∈ K[X̄], alors

(f_{1}(X̄), …, f_{r}(X̄)) est premier ⟺ K ⊧ β(ā_{1}, ā_{2}, …, ā_{r}).

Démonstration. (1) f_{r+1}(X̄) ∈ (f_{1}(X̄), …, f_{r}(X̄)) si et seulement s’il existe des polynômes h_{1}(X̄), …, h_{r}(X̄) de degré ≤ A tel que f_{r+1}(X̄) = f_{1}(X̄)h_{1}(X̄) + ⋯ + f_{r}(X̄)h_{r}(X̄). Les monômes apparaissant dans les produits f_{i}(X̄)h_{i}(X̄) ont degré ≤ e + A, et leurs coefficients sont obtenus en évaluant certains termes du langage au uplet des coefficients des polynômes f_{i}(X̄) et h_{i}(X̄). Il existe donc une formule ψ(x̄_{1}, …, x̄_{r+1}, ȳ_{1}, …, ȳ_{r}), qui est une conjonction d’équations, et telle que pour tout corps K, et uplets ā_{1}, …, ā_{r+1} et b̄_{1}, …, b̄_{r} de K, où ā_{i} = (a_{im})_{m∈M(n,e)}, b̄_{i} = (b_{im})_{m∈M(n,A)} , on a, pour f_{i}(X̄) = ∑_{m∈M(n,e)} a_{m}m et h_{i}(X̄) = ∑_{m∈M(n,A)} b_{im}m,

f_{r+1}(X̄) = f_{1}(X̄)h_{1}(X̄) + ⋯ + f_{r}(X̄)h_{r}(X̄) ⟺ K ⊧ ψ(ā_{1}, …, ā_{r+1}, b̄_{1}, …, b̄_{r}).

Nous prenons alors pour α la formule ∃(ȳ_{im})_{1≤i≤r,m∈M(n,A)} ψ(x̄_{1}, …, x̄_{r+1}, ȳ_{1}, …, ȳ_{r}).

(2) Les formules construites en (1) dépendent en fait des entiers n, e, r. La formule β(x̄_{1}, …, x̄_{r}) est alors obtenue en traduisant au premier ordre: Pour tout ȳ = (y_{m})_{m∈M(n,D)}, pour tout z̄ = (z_{m})_{m∈M(n,D)}, si t̄ = (t_{m})_{m∈M(n,2D)} est la suite des coefficients du polynôme (∑_{m∈M(n,D)} y_{m}m)(∑_{m∈M(n,D)} z_{m}m), alors α_{n,2D,r}(x̄_{1}, …, x̄_{r}, t̄) → α_{n,D,r}(x̄_{1}, …, x̄_{r}, ȳ) ∨ α_{n,D,r}(x̄_{1}, …, x̄_{r}, z̄).

(4.3) Nous pouvons parler de façon élémentaire dans un corps K de fermés K-irréductibles définis sur K. Nous pouvons donc quantifier, avec une infinité de formules, sur l’ensemble des fermés K-irréductibles. Cependant, ce n’est pas tout à fait ce que nous voulons. En effet, la notion de K-irréductibilité n’est pas stable par extension de corps.

Puisque la théorie ACF des corps algébriquement clos admet l’élimination des quantificateurs, il existe une formule β_{0}(x̄_{1}, …, x̄_{r}) sans quantificateurs, qui est équivalente à β(x̄_{1}, …, x̄_{r}) modulo ACF.

Soit donc F un corps quelconque, K un corps algébriquement clos contenant F, et f_{1}(X̄), …, f_{r}(X̄) ∈ F [X̄] de degré ≤ e. Ecrivons f_{i}(X̄) = ∑_{m∈M(n,e)} a_{im}, et soit I l’idéal de K[X̄] engendré par f_{1}(X̄), …, f_{r}(X̄). Alors

I est premier ⟺ K ⊧ β_{0}(ā_{1}, …, ā_{r}) ⟺ F ⊧ β_{0}(ā_{1}, …, ā_{r}),

en utilisant l’équivalence de β et β_{0} modulo ACF, puis le fait que β_{0} n’a pas de quantificateurs. Nous avons donc montré: Théorème. (n, e, r fixés) Il existe un formule sans quantificateurs qui définit dans tout corps F les coefficients de polynômes f_{1}(X̄), …, f_{r}(X̄) de degré ≤ e qui engendrent l’idéal d’une variété.

5. Les corps pseudo-finis Nous allons maintenant décrire une théorie du premier ordre, Psf, dont les modèles

seront appelés des corps pseudo-finis. Nous montrerons d’abord que les modèles infinis de la théorie T_{f} des corps finis sont des corps pseudo-finis. Ensuite nous étudierons les complétions de Psf, et donnerons des critères pour les extensions élémentaires. Finalement, nous conclurons en montrant que les corps pseudo-finis sont exactement les modèles infinis de la théorie T_{f}, et que les corps pseudo-finis de caractéristique 0 sont exactement les modèles infinis de la théorie de tous les corps premiers F_{p}.

(5.1) Définition. Un corps F est pseudo-fini s’il possède les trois propriétés suivantes: P1 F est un corps parfait. P2 Pour tout entier n > 1, F a exactement une extension algébrique de degré n. P3 Toute variété V définie sur F a un point F -rationnel, c’est à dire un point dont toutes

les coordonnées sont dans F.

Remarques. (1) Les corps ayant la propriété P3 sont appelés des corps pseudo-algébri-quement clos (PAC). Ils ne sont pas necéssairement algébriquement clos, la raison étant que les seuls polynômes en une variable qui définisssent une variété sont les polynômes linéaires!!

C’est là en fait où intervient la différence entre variété et ensemble algébrique F - irréductible: si V est F -irréductible, mais n’est pas une variété, alors ses composantes irréductibles ne sont pas définies sur F.

(2) Bien entendu, les corps algébriquement clos sont PAC.

(3) On peut aussi prouver: tout corps F se plonge dans un corps E qui est PAC et tel que F̃ ∩ E = F (F est relativement algébriquement clos dans E).

(4) Les corps finis satisfont les propriétés P1 et P2. Ils ne peuvent satisfaire à P3: soit F_{q} un corps fini, et considérons la variété V ⊆ K^{q+2} définie par l’équation

y ∏_{0≤i<j≤q}(x_{i} − x_{j}) = 1.

Cette équation ne peut être satisfaite dans F_{q} puisque tout (q + 1)-uplet d’éléments de F_{q} a au moins deux coordonnées égales.

(5.2) La théorie Psf est obtenue en traduisant au premier ordre les propriétés P1, P2, P3 ci-dessus. Les axiomes pour P1 sont clairs: on donne les axiomes de la théorie des corps, et pour chaque nombre premier p on ajoute un axiome disant que si la caractéristique est p alors tout élément a une racine p-ième.

Les axiomes pour P3 sont aussi assez clairs, grâce aux résultats sur les idéaux de polynômes. En effet, pour chaque triplet (n, e, m) d’entiers, on peut exprimer au premier ordre: Pour tout f_{1}(X̄), …, f_{m}(X̄) ∈ F [X̄] de degré ≤ e, où X̄ = (X_{1}, …, X_{n}), si “l’idéal engendré par f_{1}(X̄), …, f_{m}(X̄) dans F̃[X̄] est premier” (voir (4.3)), alors ∃x̄ f_{1}(x̄) = ⋯ = f_{m}(x̄) = 0.

Pour la propriété P2, fixons un entier n > 1. Il existe alors une formule Irr(x̄), x = (x_{1}, …, x_{n}), qui dans tout corps F définit les n-uplets ā tels que le polynôme f(X) = X^{n} + a_{1}X^{n−1} + ⋯ + a_{n} soit irréductible sur F: on utilise tout simplement le fait que si f(X) = g(X)h(X) alors les degrés de g et h sont ≤ n.

Supposons montré le résultat suivant (il le sera dans (5.3)): A toute formule θ(ȳ), ȳ = (y_{1}, …, y_{m}), on peut associer une formule θ^{∗}(x̄, ȳ), x̄ = (x_{1}, …, x_{n}), telle que, pour tout corps F, et tout n-uplet ā de F, si le polynôme f(X) = X^{n} + a_{1}X^{n−1} + ⋯ + a_{n} est irréductible sur F et b̄ ∈ F^{m} alors

F (X/(f(X))) ⊧ θ(b̄) ⟺ F ⊧ θ^{∗}(ā, b̄).

Soit θ(ȳ), ȳ = (y_{1}, …, y_{n}), la formule ∃z z^{n} +y_{1}z^{n−1} +⋯+y_{n} = 0, et considérons l’énoncé suivant, où x̄ et ȳ sont comme ci-dessus:

∃x̄ Irr(x̄) ∧ ∀ȳIrr(ȳ) → θ^{∗}(x̄, ȳ).

Cet énoncé est alors une traduction au premier ordre de la propriété suivante: il existe une extension de F de degré n, et tout polynôme irréductible sur F de degré n y a une racine.

Un corps F ayant cette propriété a donc exactement une extension de degré n, puisque, s’il en avait deux distinctes, aucune des deux ne pourrait être contenue dans l’autre.

(5.3) Codage des extensions algébriques finies.

Soit F un corps, et f(X) = X^{n} + a_{1}X^{n−1} + ⋯ + a_{n} un polynôme irréductible à coefficients dans F, et soit α une racine de f(X) = 0. Nous allons montrer comment interpréter dans F un corps F -isomorphe à F (α).

Nous prenons comme base du F -espace vectoriel F (α) la base {1, α, …, α^{n−1}}; l’addition est donc définie coordonnée par coordonnée. Pour la multiplication, remarquons que la multiplication par α est une transformation linéaire de l’espace vectoriel F (α), et que sa matrice dans la base choisie est:

M_{α} = ( \begin{matrix}0 & 0 & … & 0 & −a_{n} \\ 1 & 0 & … & 0 & −a_{n−1} \\ ⋮ & ⋮ & ... & ⋮ & ⋮ \\ 0 & 0 & … & 1 & −a_{1} \end{matrix} ) .

La multiplication par α^{i} est aussi une transformation linéaire, et sa matrice est M_{α}^{i}. Nous définissons donc la multiplication de deux n-uplets de la façon suivante:

(x_{1}, …, x_{n}) ˜×(y_{1}, …, y_{n}) = (x_{1}I_{n} + x_{2}M_{α} + ⋯ + x_{n}M_{α}^{n−1}) ( y_{1} ; ⋮ ; y_{n} ) .

Remarquons que la définition de ˜× a besoin des paramètres a_{1}, …, a_{n}, mais qu’elle est uniforme en ces paramètres. L’interprétation dans F d’une structure isomorphe à F (α), (en remarquant que le sous-corps F est l’ensemble des n-uplets (a, 0, …, 0)), et l’uniformité de cette interprétation nous donne alors:

Proposition. Fixons un entier n. Soit L′ le langage des anneaux auquel on a rajouté un prédicat unaire. A toute L′-formule θ(ȳ, z), ȳ = (y_{1}, …, y_{m}), on peut associer une formule du langage des anneaux θ^{∗}(x̄, ȳ), x̄ = (x_{1}, …, x_{n}), telle que, pour tout corps F et tout n-uplet ā de F, si le polynôme f(X) = X^{n} + a_{1}X^{n−1} + ⋯ + a_{n} est irréductible sur F et α en est une racine, et si b̄ ∈ F^{m} alors

F (α) ⊧ θ(b̄, α) ⟺ F ⊧ θ^{∗}(ā, b̄).

(5.4) Le théorème de Lang-Weil. Soient m, n, e des entiers positifs. Il existe une constante positive C = C(m, n, e) telle que, pour tout corps fini F = F_{q}, et polynômes f_{1}(Ȳ), …, f_{m}(Ȳ) ∈ F [Ȳ] de degré plus petit ou égal à e, Ȳ = (Y_{1}, …, Y_{n}),

si les polynômes f_{1}(Ȳ), ⋯, f_{m}(Ȳ) engendrent l’idéal d’une variété V de dimension d, alors

|card(V ∩ F^{n}) − q^{d}| < Cq^{d−1/2}.

Remarquons en particulier, que si q > C^{2}, alors V ∩ F^{n} doit être non-vide, puisque

0 < −Cq^{d−1/2} + q^{d} < card(V ∩ F^{n}) < Cq^{d−1/2} + q^{d}.

Comme corollaire, nous obtenons immédiatement:

(5.5) Théorème. Les modèles infinis de la théorie T_{f} des corps finis sont des corps pseudo-finis. Démonstration. Nous avons déjà remarqué que les corps finis satisfont les propriétés P1 et P2. Pour P3, notons que le théorème de Lang-Weil implique (en gardant les mêmes notations):

si les polynômes f_{1}(Ȳ), ⋯, f_{m}(Ȳ) engendrent l’idéal d’une variété, et s’il existe au moins C^{2} + 1 éléments distincts alors ∃x̄ f_{1}(x̄) = … = f_{m}(x̄) = 0.

Cela entraîne qu’un modèle infini de T_{f} est bien un corps PAC.

(5.6) Exemples de corps pseudo-finis

(1) Le premier exemple est tout à fait naturel. Soit U un ultrafiltre non-principal sur l’ensemble des puissances de nombres premiers, et soit F = ∏_{q} F_{q}/U. Alors F est un modèle infini de la théorie des corps finis, et est donc pseudo-fini.

(2) Nous allons maintenant donner un exemple algébrique sur le corps premier F_{p}. Un sous-corps F de F̃_{p} est pseudo-fini, si et seulement si il est infini, et a exactement une extension algébrique de degré n pour tout n ∈ N. Remarquons que, comme tout corps fini est parfait, tout sous-corps de F̃_{p} est parfait, et donc la condition P1 est automatiquement vérifiée.

Pour P3, supposons que F est un sous-corps infini de F̃_{p} et soit V une variété définie sur F; le théorème de Lang-Weil montre alors que V (F) (= V ∩ F^{n}) est non-vide.

Choisissons une fonction f définie sur l’ensemble des nombres premiers et prenant ses valeurs dans les entiers non-négatifs; supposons de plus qu’il existe une infinité de nombres premiers ℓ tels que f(ℓ) > 0. Soit F le corps engendré par tous les corps F_{p^{ℓ^{f(ℓ)}}} pour ℓ parcourant l’ensemble des nombres premiers. Il est clair que F est infini, et donc satisfait P3. Il nous reste donc à vérifier P2. Nous allons d’abord introduire quelques notations: soit (ℓ_{i})_{i∈N} une énumération croissante des nombres premiers; pour m ∈ N nous définissons F_{m} le corps engendré par les corps F_{p^{ℓ^{f(ℓ)}}} pour ℓ un premier ≤ l_{m}. Les corps F_{m}, m ∈ N, sont finis et forment une suite croissante, dont l’union est précisément F. Pour m ∈ N, nous avons [F_{m+1} : F_{m}] = ℓ_{m+1}^{f(ℓ_{m+1})}.

Soit n ∈ N et choisissons m tel que tout nombre premier plus grand ou égal à ℓ_{m} est premier avec n. Soit E l’extension de F_{m} de degré n. Nous allons montrer que [EF_{m′} : F_{m′}] = n pour tout m′ ≥ m: mais c’est clair, car pour tout m′ ≥ m, [F_{m′} : F_{m}] n’est divisible que par des nombres premiers ne divisant pas n, et n divise [EF_{m′} : F_{m}] = [EF_{m′} : F_{m′}][F_{m′} : F_{m}].

Nous avons donc montré que F a une extension de degré n, EF; s’il en avait deux distinctes, elles donneraient deux extensions distinctes de même degré d’un corps fini, ce qui est impossible.

(3) Fixons maintenant des nombres premiers p et ℓ et considérons l’extension infinie E de F_{p} définie par

E = ⋃_{m∈N} F_{p^{ℓ^{m}}} .

Ce corps est PAC, cependant, il n’a aucune extension de degré ℓ: en effet, supposons que α soit algébrique de degré ℓ sur E, et soit m ∈ N tel que le polynôme minimal de α ait ses coefficients dans F_{p^{ℓ^{m}}}; alors α ∈ F_{p^{ℓ^{m+1}}} , et donc α ∈ E.

(5.7) Lemme. Soient K ⊆ L des corps parfaits.

(1) Supposons que K a au plus une extension de degré n pour tout n ∈ N. Alors toutes ses extensions algébriques (finies) sont Galoisiennes, et leur groupe de Galois sur K est cyclique.

(2) Les conditions suivantes sont équivalentes:

(a) Pour chaque entier positif n, K a exactement une extension de degré n.

(b) Gal(K̃/K) ≃ Ẑ.

Ces conditions impliquent en particulier que toute extension Galoisienne finie de K a un groupe de Galois sur K qui est cyclique.

(3) Soit σ ∈ Gal(K̃/K). Les conditions suivantes sont équivalentes:

(a) Le sous-groupe de Gal(K̃/K) engendré par σ est dense.

(b) Pour toute extension finie E de K la restriction de σ à E engendre Gal(E/K).

(c) Le sous-corps de K̃ fixé par σ est K.

Un tel élément σ est appelé un générateur topologique du groupe profini Gal(K̃/K).

(4) Supposons que K satisfait l’une des conditions équivalentes de (2), et que σ est un générateur topologique de Gal(K̃/K). Supposons de plus que K est relativement algébriquement clos dans L (c’est à dire, K̃ ∩ L = K — on peut dire aussi que L est une extension régulière de K, parce que K est parfait), et soit τ ∈ Gal(L̃/L) un élément prolongeant σ, et M le sous-corps de L̃ fixé par τ. Alors τ est un générateur topologique de Gal(L̃/M) ≃ Ẑ; K est relativement algébriquement clos dans M; si K_{n} est l’unique extension de K de degré n, alors K_{n}M est l’unique extension de M de degré n. L’application de restriction Gal(L̃/M) → Gal(K̃/K) est un isomorphisme continu.

Démonstration. (1) Soit E une extension Galoisienne finie de K. Nous allons montrer que Gal(E/K) est cyclique. Comme tous les sous-groupes de Gal(E/K) sont normaux, cela entraînera que toutes les extensions algébriques de K contenues dans E sont Galoisiennes, avec groupe de Galois sur K cyclique. Comme toute extension algébrique de K est contenue dans une extension Galoisienne, cela montrera le résultat souhaité.

Pour cela il suffit de montrer l’assertion suivante: Sous-lemme. Soit G un groupe fini, et supposons que pour m divisant l’ordre de G, G a au plus un sous-groupe d’ordre m. Alors G est cyclique.

Par induction sur n, l’ordre de G; si n est premier, c’est clair. Remarquons que notre hypothèse implique que tous les sous-groupes de G sont normaux (distingués). Soit p un nombre premier divisant n, et a ∈ G un élément d’ordre p. Par hypothèse d’induction, G/⟨a⟩ est cyclique, engendré par un élément b, disons; puisque le sous-groupe ⟨a⟩ est d’ordre p, soit ⟨b⟩ contient ⟨a⟩, ce qui montre que G est cyclique; ou bien ⟨a⟩ ∩ ⟨b⟩ = (1), ce qui implique (puisque ces deux sous-groupes sont normaux) que a^{−1}b^{−1}ab = 1 et donc que G = ⟨a⟩ × ⟨b⟩. Puisque G n’a qu’un seul sous-groupe d’ordre p, p ne divise pas l’ordre de b, ce qui entraîne que G est cyclique.

(2) Supposons (a), et soit L une extension Galoisienne finie de degré n. Nous allons montrer que Gal(L/K) est cyclique, ce qui revient à montrer que pour tout diviseur m de n, Gal(L/K) a un seul sous-groupe d’ordre m (par le sous-lemme); mais les sous-groupes d’ordre m de Gal(L/K) correspondent aux sous-corps de L de degré n/m sur K, et par hypothèse il y a un seul tel sous-corps pour chaque n. Nous avons donc montré que tous les groupes de Galois finis sont cycliques.

Par hypothèse, pour chaque n, K a une extension de degré n. On vérifie que cela entraîne que Gal(K̃/K) ≃ Ẑ.

Supposons maintenant (b). Les extensions de K de degré m correspondent, par dualité de Galois, aux sous-groupes fermés de Ẑ d’indice m; mais un sous-groupe fermé d’indice fini est aussi ouvert, et le seul sous-groupe d’indice m dans Ẑ est la clôture du sous groupe mZ de Z, c’est à dire les éléments (a_{n})_{n∈N} ∈ Ẑ, où chaque a_{n} est divisible par m dans Z/nZ. On le voit facilement en écrivant Ẑ = lim_{\overleftarrow{n∈N}} Z/n!Z

(3) Soit G_{0} le sous-groupe de Gal(K̃/K) engendré par σ. Vous allez montrer que c’est équivalent à ce que la projection canonique de G_{0} sur chacun des groupes Gal(E/K) (où E est une extension de Galois finie de K) est surjective. Or cette projection est engendrée par la restriction de σ à E, ce qui montre l’équivalence de (a) et (b).

L’équivalence de (b) et (c) est aussi immédiate.

Pour la dernière remarque, si E et F sont deux extensions de K de degré n, σ^{n} fixe E et F. Donc, la restriction de σ à EF est un élément d’ordre n qui engendre Gal(EF/K), ce qui entraîne que E = F et que Gal(EF/K) est cyclique.

(4) K̃ ∩ M = K, puisque τ prolonge σ. Cela entraîne que [K_{n}M : M] = [K_{n} : K] = n. D’autre part, puisque M est le sous-corps de L̃ fixé par τ, nous savons que M a au plus une extension de chaque degré. Le fait que la restriction Gal(L̃/M) → Gal(K̃/K) soit un isomorphisme continu est immédiat.

(5.8) Lemme. Soit F un corps parfait PAC, contenu dans un corps K, et soient ā un uplet de K, et A un sous-ensemble dénombrable de K.

(1) Si F est relativement algébriquement clos dans F (ā), alors il existe un F -homomorphis-me: F [ā] → F.

(2) Si F est ℵ_{1}-saturé et relativement algébriquement clos dans F (A), alors il existe un F -homomorphisme : F [A] → F.

Démonstration. (1) Considérons l’idéal I(ā/F). Comme F est parfait et relativement algébriquement clos dans F (ā), cela entraîne que F (ā) et F̃ sont linéairement disjoints au-dessus de F. Par (2.10), l’idéal I(ā/F) engendre donc l’idéal d’une variété V. Puisque F est PAC, V (F) contient un point b̄, et nous avons un F -homomorphisme: F [ā] → F qui envoie ā sur b̄ (puisque par définition, ā est un point générique de V).

(2) Puisque A est dénombrable, il existe un sous-corps dénombrable F_{0} de F tel que l’idéal I(A/F) soit engendré par I(A/F_{0}). On utilise maintenant la compacité, la partie (1), et le fait que F est ℵ_{1}-saturé.

(5.9) Lemme. Soient K ⊆ E des corps parfaits, F̃ un corps algébriquement clos contenant K, et supposons que ψ : Ẽ → F̃ est un K̃-isomorphisme. Soit F = ψ(E). Alors l’application Ψ : Gal(Ẽ/E) → Gal(F̃/F) définie par

Ψ(σ) = ψ ∘ σ ∘ ψ^{−1}

est un isomorphisme. De plus, pour tout a ∈ K̃ et σ ∈ Gal(Ẽ/E), Ψ(σ)(a) = σ(a). Démonstration. Il est clair que c’est un homomorphisme de groupe. Comme ψ est l’identité sur K̃, nous avons aussi la dernière assertion.

Soit Θ : Gal(F̃/F) → Gal(Ẽ/E) définie par Θ(τ) = ψ^{−1} ∘ τ ∘ ψ. Alors Θ ∘ Ψ est l’identité sur Gal(Ẽ/E), et de même, Ψ ∘ Θ est l’identité sur Gal(F̃/F), ce qui montre que Ψ est un isomorphisme.

(5.10) Lemme de plongement. Soit K un sous-corps des corps E et F. Supposons que K, E et F sont parfaits, K est relativement algébriquement clos dans E et F, E est dénombrable, et F est un corps pseudo-fini ℵ_{1}-saturé. Supposons de plus que nous avons un isomorphisme (continu) Φ : Gal(F̃/F) → Gal(Ẽ/E) (≃ Ẑ) tel que pour tout a ∈ K̃, pour tout σ ∈ Gal(F̃/F), Φ(σ)(a) = σ(a).

Alors il existe un plongement φ : Ẽ → F̃, qui est l’identité sur K̃, envoie E dans F, et satisfait: pour tout a ∈ Ẽ, pour tout σ ∈ Gal(F̃/F),

φ(Φ(σ)(a)) = σ(φ(a)).

De plus, F est une extension régulière de φ(E). Démonstration. Nous montrons d’abord que nous pouvons supposer Ẽ et F̃ linéairement disjoints au-dessus de K̃. Soit (t_{i})_{i∈I} une base de transcendance de E sur K, et choisissons des éléments (u_{i})_{i∈I} (dans un grand corps algébriquement clos contenant tous les corps considérés) algébriquement indépendants au-dessus de F. Alors l’application qui envoie t_{i} sur u_{i} pour i ∈ I se prolonge en un K̃-isomorphisme ψ de Ẽ sur la clôture algébrique de K̃(u_{i})_{i∈I}. Soit E′ = ψ(E). Puisque Ẽ′ et F̃ sont algébriquement indépendants au-dessus de K̃, ils sont linéairement disjoints au-dessus de K̃ par (2.14). Si l’on définit Ψ comme dans (5.9), on vérifie que Φ′ = Ψ ∘ Φ satisfait la condition imposée à Φ. Nous pouvons donc remplacer E par E′, Φ par Φ′; ensuite nous composerons le K̃-plongement φ′ de Ẽ′ dans F̃ avec ψ pour obtenir le plongement φ = φ′ ∘ ψ désiré. On vérifie aisément que pour tout a ∈ Ẽ, pour tout σ ∈ Gal(F̃/F), φ(Φ(σ)(a)) = σ(φ(a)).

Nous supposons donc que Ẽ et F̃ sont linéairement disjoints au-dessus de K̃. Cela entraîne que le corps ẼF̃ est isomorphe au corps des fractions de Ẽ ⨂K̃ F̃. Soit σ_{0} un générateur topologique de Gal(F̃/F), et définissons τ_{0} ∈ Gal(ẼF̃/EF) de la façon suivante:

τ_{0}(a ⊗ b) = Φ(σ_{0})(a) ⊗ σ_{0}(b)

pour a ∈ E et b ∈ F, et prolongeons de la seule manière possible à ẼF̃.

Remarquons d’abord que τ_{0} prolonge σ_{0} et Φ(σ_{0}); d’autre part, la disjonction linéaire de Ẽ et F̃ au-dessus de K̃, et le fait que σ_{0} et Φ(σ_{0}) ont la même action sur K̃ entraînent que τ_{0} est bien défini.

Soit maintenant τ ∈ Gal(ẼF/EF) un prolongement de τ_{0}, et soit M le sous-corps de ẼF fixé par τ. Puisque σ_{0} et Φ(σ_{0}) engendrent topologiquement les groupes Gal(F̃/F) et Gal(Ẽ/E), nous savons que E et F sont relativement algébriquement clos dans M. Nous avons aussi M̃ = ẼF = ẼM = F̃M.

Puisque M̃ est algébrique sur M, le corps F̃M est en fait égal à l’anneau M[F̃] = F̃[M]. Chaque a ∈ Ẽ s’écrit donc ∑_{i∈I(a)} b_{a,i}y_{a,i}, avec b_{a,i} ∈ M et y_{a,i} ∈ F̃. Soit M_{0} l’ensemble E ∪ {b_{a,i} | a ∈ Ẽ, i ∈ I(a)}, qui est donc dénombrable; nous avons Ẽ ⊆ F̃[M_{0}].

L’extension F [M_{0}] de F est régulière, puisque contenue dans M. Par (5.8), il existe donc un F -homomorphisme φ_{0} : F [M_{0}] → F, qui se prolonge en un F̃-homomorphisme φ : F̃[M_{0}] → F̃ (car I(M_{0}/F̃) est engendré par I(M_{0}/F)). Notons que la restriction de φ à Ẽ est un K̃-isomorphisme: puisque F̃ contient K̃, c’est un K̃-homomomorphisme; ker(φ) ∩ Ẽ est alors un idéal propre de Ẽ, c’est à dire (0). Pour a ∈ Ẽ nous avons

φ(a) = ∑_{i∈I(a)} φ(b_{a,i})y_{a,i} et τ(φ(a)) = σ_{0}(φ(a)) = ∑_{i∈I(a)} φ(b_{a,i})σ_{0}(y_{a,i})

puisque τ est l’identité sur φ(M_{0}) ⊆ F. Nous avons aussi

Φ(σ_{0})(a) = τ(a) = ∑_{i∈I(a)} b_{a,i}σ_{0}(y_{a,i}), et donc φ(Φ(σ_{0})(a)) = ∑_{i∈I(a)} φ(b_{a,i})σ_{0}(y_{a,i})

puisque φ est un F̃-homomorphisme. Cela entraîne que

φ(Φ(σ_{0})(a)) = σ_{0}(φ(a)).

Comme σ_{0} est un générateur de Gal(F̃/F), cela montre que φ(Φ(σ)(a)) = σ(φ(a)) pour tout a ∈ Ẽ et σ ∈ Gal(F̃/F). En effet, soit a ∈ Ẽ et σ ∈ Gal(F̃/F). Alors a est dans une extension finie L de E, et nous avons Φ(σ)|_{L} = Φ(σ_{0})^{m}|_{L} pour un entier m. Nous avons alors

Φ(σ)(a) = Φ(σ_{0}^{m})(a) = Φ(σ_{0})^{m}(a) = σ_{0}^{m}(φ(a)) = σ(φ(a)).

Nous avons donc montré la première partie du théorème. Nous savons que φ(E) ⊆ F, et il nous faut montrer que φ(E) est relativement algébriquement clos dans F, c’est à dire que φ(Ẽ) ∩ F = φ(E). Pour a ∈ Ẽ nous avons

φ(a) ∈ F ⟺ σ_{0}(φ(a)) = φ(a)
⟺ φ(Φ(σ_{0})(a)) = φ(a)
⟺ Φ(σ_{0})(a) = a
⟺ a ∈ E.

La première et la dernière équivalence viennent du fait que σ_{0} engendre Gal(F̃/F), et donc Φ(σ_{0}) engendre Gal(Ẽ/E); la deuxième équivalence provient de l’égalité φ(Φ(σ_{0})(a)) = σ_{0}(φ(a)), et la troisième de ce que φ est un isomorphisme.

Corollaire. Soient K_{1} un sous-corps du corps E, et K_{2} un sous-corps du corps F. Supposons que: K_{1}, K_{2}, E et F sont parfaits, K_{1} est relativement algébriquement clos dans E, K_{2} est relativement algébriquement clos dans F, E est dénombrable, et F est un corps pseudo-fini ℵ_{1}-saturé. Supposons de plus que nous avons un isomorphisme (continu) Φ : Gal(F̃/F) → Gal(Ẽ/E) (≃ Ẑ) et un isomorphisme φ_{0} : K̃_{1} → K̃_{2} satisfaisant: pour tout a ∈ K̃_{1}, pour tout σ ∈ Gal(F̃/F), φ_{0}(Φ(σ)(a)) = σ(φ_{0}(a)).

Alors il existe un plongement φ : Ẽ → F̃, qui prolonge φ_{0}, envoie E dans F, et satisfait: pour tout a ∈ Ẽ, pour tout σ ∈ Gal(F̃/F),

φ(Φ(σ)(a)) = σ(φ(a)).

De plus φ(E) est relativement algébriquement clos dans F. Démonstration. Nous pouvons étendre φ_{0} en un isomorphisme ψ défini sur Ẽ: nous appliquons maintenant le résultat précédent au triplet K_{2}, ψ(E) et F, et composons le plongement obtenu avec ψ pour obtenir un plongement de Ẽ dans F̃.

(5.11) Théorème. Soient E et F des corps pseudo-finis, K un sous-corps. Alors

E ≡_{K} F ⟺ E ∩ K̃ ≃_{K} F ∩ K̃.

Démonstration. Nous allons commencer par la direction facile: supposons que E ≡_{K} F. Nous savons que si f(X) ∈ K[X], alors

E ⊧ ∃x f(x) = 0 ⟺ F ⊧ ∃x f(x) = 0,

et nous voulons en déduire que E ∩ K̃ ≃_{K} F ∩ K̃.

Soit L une extension normale finie de K, et soit S_{L} = {σ ∈ Aut(K̃/K) | σ(L∩E) = L∩ F }. L’ensemble S_{L} est alors la réunion finie de cosets du sous-groupe Aut(K̃/L) (la topologie sur Aut(K̃/K) est celle induite par l’isomorphisme de Aut(K̃/K) avec Gal(K_{s}/K)) et est donc fermé. Nous allons montrer que S_{L} est non-vide.

Supposons d’abord que L est séparable sur K, et soit α tel que L ∩ E = K(α). Soit f(X) le polynôme minimal de α sur K, et soit β ∈ F une racine de f(X) = 0. Nous avons alors [E ∩ L : K] = [K(β) : K] ≤ [F ∩ L : K]; par symétrie nous avons aussi [F ∩ L : K] ≤ [E ∩ L : K] donc ces degrés sont égaux. Soit σ ∈ Gal(L/K) tel que σ(α) = β; alors σ(L ∩ E) = L(β) = L ∩ F et donc S_{L} est non-vide.

Supposons maintenant que L n’est pas séparable. Cela implique que K n’est pas parfait, et en particulier est infini. Soient L_{1}, …, L_{n} les images par les éléments de Aut(L/K) du corps L∩F. Soit a ∈ L∩E; par hypothèse, il existe b ∈ L∩F ayant le même polynôme irréductible au-dessus de K. Donc K(a) ≃_{K} K(b), et il existe σ ∈ Aut(L/K) tel que σ(b) = a. Nous avons donc L ∩ E ⊆ L_{1} ∪ ⋯ ∪ L_{n}. Le sous-lemme démontré ci-dessous nous donne l’existence d’un i tel que L ∩ E ⊆ L_{i}. Sous-lemme. Soit K un corps infini, et V, V_{1}, …, V_{n} des espaces vectoriels sur K tels que V ⊆ V_{1} ∪ ⋯ ∪ V_{n}. Alors il existe i tel que V ⊆ V_{i}. Démonstration. La preuve se fait par induction sur n. Si n = 1 il n’y a rien à montrer. Si V_{1} ∩ V ⊆ V_{2} ∪ ⋯ ∪ V_{n}, l’hypothèse d’induction nous donne le résultat. Supposons que V_{1} ∩ V ⊈ V_{2} ∪ ⋯ ∪ V_{n}. Soit a ∈ V_{1} ∩ V, a ∉ V_{2} ∪ ⋯ ∪ V_{n}, et b ∈ V. Pour chaque k ∈ K, ka + b ∈ V, et il existe un indice i tel que ka + b ∈ V_{i}. Comme K est infini, il existe donc un indice i, et deux éléments k ≠ ℓ de K tels que ka + b et ℓa + b sont dans V_{i}. Alors 0 ≠ (ka + b) − (ℓa + b) = (k − ℓ)a ∈ V_{i}, ce qui montre que i = 1 et b ∈ V_{1}.

De L ∩ E ⊆ L_{i} nous déduisons que [L ∩ E : K] ≤ [L_{i} : K] = [L ∩ F : K]. Comme dans le cas précédent, nous montrons ensuite que ces degrés sont égaux, ce qui montre que L ∩ E = L_{i}, et donc que S_{L} est non-vide.

Pour toute extension Galoisienne finie L de K, nous avons montré que l’ensemble S_{L} = {σ ∈ Gal(K̃/K) | σ(L ∩ E) = L ∩ F } est non vide; il est d’autre part fermé puisqu’il est une union finie de cosets de Gal(K̃/L). Si L_{1}, …, L_{m} sont des extensions Galoisiennes finies de K, et M = L_{1} ⋯ L_{m} alors S_{M} ⊆ S_{L_{1}} ∩ ⋯ ∩ S_{L_{m}}. Par compacité de Gal(K̃/K), l’intersection de tous les fermés S_{L} est donc non vide, ce qui montre que E ∩ K̃ ≃_{K} F ∩ K̃.

Pour l’autre direction, nous pouvons remplacer K par sa clôture algébrique relative dans E et F respectivement, et donc supposer que K̃ ∩ E = K̃ ∩ F = K. Par Löwenheim-Skolem appliqué au triplet (E, F, K), nous nous ramenons d’abord au cas où ils sont tous dénombrables; puis, passant à des extensions élémentaires de E et F, nous pouvons supposer que E et F sont ℵ_{1}-saturés. Pour pouvoir appliquer le lemme de plongement, il nous faut maintenant construire l’isomorphisme Φ entre les groupes de Galois.

Soit σ_{1} un générateur topologique de Gal(Ẽ/E) (≃ Ẑ), et σ_{0} sa restriction à K̃. Par (5.7), σ_{0} est un générateur topologique de Gal(K̃/K). Nous voulons prolonger σ_{0} à un générateur topologique σ_{2} de Gal(F̃/F). Pour chaque extension Galoisienne finie L de F, soit S_{L} l’ensemble des éléments σ ∈ Gal(F̃/F) dont la restriction à L engendre Gal(L/F) et prolonge σ_{0} sur (K̃ ∩ L). D’après sa définition, on voit que S_{L} est une réunion de cosets du groupe Gal(F̃/L), et donc un fermé; nous allons montrer qu’il est non-vide. Les groupes Gal(L/F) et Gal(K̃ ∩ L/K) sont des groupes cycliques, et l’application restriction est un épimorphisme.

Il suffit donc de montrer que, étant donnés deux groupes cycliques finis A et B, et un épimorphisme θ : A → B, tout générateur de B se relève en un générateur de A. Comme les générateurs des groupes cycliques proviennent des générateurs des p-composantes, nous pouvons en fait supposer que A et B sont des p-groupes (c’est à dire que leur ordre est une puissance de p).

Soit a un générateur de A et b un générateur de B. Alors θ(a) = b^{j} pour un entier j nécessairement premier avec p (puisque θ(a) engendre B). Cela entraîne que a^{j} est aussi un générateur de A, et montre que tout générateur de B se relève en un générateur de A.

Chaque S_{L} est donc un fermé non vide de Gal(F̃/F); si L_{1}, …, L_{m} sont des extensions Galoisiennes finies de F, et M = L_{1} ⋯ L_{m}, alors S_{M} ⊆ S_{L_{1}} ∩ ⋯ ∩ S_{L_{m}}. Par compacité de Gal(F̃/F), nous en déduisons qu’il existe un élément σ_{2} ∈ ⋂_{L} S_{L}, où L parcourt l’ensemble des extensions Galoisiennes finies de F. Par (5.7), σ_{2} est un générateur topologique de Gal(F̃/F), et par définition il prolonge σ_{0}.

Puisque Gal(Ẽ/E) et Gal(F̃/F) sont tous deux isomorphes à Ẑ, l’application σ_{1} → σ_{2} se prolonge de manière unique à un isomorphisme Φ : Gal(Ẽ/E) → Gal(F̃/F), qui satisfait, pour tout a ∈ K̃ et σ ∈ Gal(Ẽ/E), Φ(σ)(a) = σ(a).

Soit E_{0} une sous-structure élémentaire dénombrable de E contenant K. Alors E_{0} est relativement algébriquement clos dans E, et Ẽ_{0}E = Ẽ (puisque E_{0} a exactement une extension de degré n pour tout n). Donc, l’homomorphisme restriction: Gal(Ẽ/E) → Gal(Ẽ_{0}/E_{0}) est un isomorphisme. L’isomorphisme Φ induit donc un isomorphisme Φ_{0} : Gal(Ẽ_{0}/E_{0}) → Gal(F̃/F).

Par (5.10), il existe donc un K̃-isomorphisme φ_{0} : Ẽ_{0} → F̃ tel que φ_{0}(E_{0}) ⊆ F, F est une extension régulière de φ_{0}(E_{0}), et pour tout a ∈ E_{0}, et σ ∈ Gal(F̃/F), φ_{0}(Φ_{0}^{−1}(σ)(a)) = σ(φ_{0}(a)).

Soit F_{0} une sous-structure élémentaire dénombrable de F contenant φ_{0}(E_{0}). Nous avons un isomorphisme Ψ_{0} : Gal(Ẽ/E) → Gal(F̃_{0}/F_{0}), et par (5.10), nous pouvons trouver un isomorphisme ψ_{0} : F̃_{0} → Ẽ qui prolonge φ_{0}^{−1}, tel que ψ_{0}(F_{0}) ⊆ E et E est une extension régulière de ψ_{0}(F_{0}), et pour tout σ ∈ Gal(Ẽ/E) et a ∈ F_{0},

ψ_{0}(Ψ_{0}(σ)(a)) = σ(ψ_{0}(a)).

Nous construisons de cette manière deux familles d’isomorphismes partiels φ_{i} et ψ_{i}, i ∈ N, satisfaisant:

(i) Le domaine de φ_{i} est la clôture algébrique d’une sous-structure élémentaire dénombrable E_{i} de E contenant ψ_{i−1}(F_{i−1}).

(ii) Le domaine de ψ_{i} est la clôture algébrique d’une sous-structure élémentaire dénom-

brable F_{i} de F contenant φ_{i}(E_{i}). (iii) φ_{i} prolonge ψ_{i−1}^{−1} et ψ_{i} prolonge φ_{i}^{−1}. (iv) Pour tout σ ∈ Gal(Ẽ/E), pour tout a ∈ E_{i} et b ∈ F_{i},

φ_{i}(σ(a)) = Φ(σ)(φ_{i}(a)) et ψ_{i}(Φ(σ)(b)) = σ(ψ_{i}(b)).

Soient E_{ω} = ⋃_{i∈N} E_{i}, F_{ω} = ⋃_{i∈N} F_{i}. Alors E_{ω} ≺ E et F_{ω} ≺ F. De plus l’application ∪_{i∈N}φ_{i} définit un isomorphisme φ_{ω} : Ẽ_{ω} → F̃_{ω}, dont l’inverse est ψ_{ω} = ∪_{i∈N}ψ_{i}. Donc φ_{ω}(E_{ω}) = F_{ω}, et E_{ω} ≡_{K} F_{ω}, ce qui entraîne que E ≡_{K} F.

(5.12) Théorème. Soient E et F des corps pseudo-finis de même caractéristique, et k leur sous-corps premier (Q ou F_{p}). (1)

E ≡ F ⟺ E ∩ k̃ ≃ F ∩ k̃.

(2) La théorie Psf ∪ {∃x f(x) = 0 | f(x) ∈ Z[X], E ⊧ ∃x f(x) = 0} ∪ {∀x f(x) ≠ 0 | f(x) ∈ Z[X], E ⊧ ∀x f(x) ≠ 0} est complète.

(3) Soit φ un énoncé du langage L des anneaux. Alors il existe un énoncé ψ, qui est une combinaison booléenne d’enoncés de la forme ∃x f(x) = 0, où f(X) ∈ Z[X], telle que

Psf ⊢ (φ ↔ ψ).

Démonstration. (1) et (2) sont immédiats par (5.11). Pour (3) nous appliquons le résultat (0.3) à l’ensemble Δ des combinaisons booléennes d’énoncés de la forme ∃x f(x) = 0, où f(X) ∈ Z[X].

(5.13) Théorème. Soient E et F des corps pseudo-finis contenant un sous-corps K.

(1) La théorie Psf ∪ {∃x f(x) = 0 | f(x) ∈ K[X], E ⊧ ∃x f(x) = 0} ∪ {∀x f(x) ≠ 0 | f(x) ∈ K[X], E ⊧ ∀x f(x) ≠ 0} est complète.

(2) Soit φ(x̄), x̄ = (x_{1}, …, x_{n}), une formule du langage L(K) (L auquel nous avons ajouté des symboles de constantes pour les éléments de K). Alors il existe une formule ψ(x̄), qui est une combinaison booléenne d’énoncés de la forme ∃t f(x̄, t) = 0, où f(X̄, T) ∈ K[X̄, T], telle que

Psf ∪ Δ(K) ⊢ ∀x̄(φ(x̄) ↔ ψ(x̄)).

(Δ(K) est l’ensemble des énoncés sans quantificateurs du langange L(K) vrais dans K).

Démonstration. (1) est immédiat par (5.11). Pour (2), nous utiliserons de nouveau (0.3). Soient F_{1} et F_{2} des corps pseudo-finis, ā ∈ F_{1}^{n} et b̄ ∈ F_{2}^{n}. Soit Δ l’ensemble des combinaisons booléennes d’énoncés de la forme ∃t f(x̄, t) = 0, où f(X̄, T) ∈ K[X̄, T]. Alors Δ est clos par disjonction, et contient toutes les formules sans quantificateurs avec variables libres x̄. Par (0.3), il nous faut montrer que si b̄ satisfait dans F_{2} toutes les formules de Δ satisfaites par ā dans F_{1}, alors F_{2} ⊧ φ(b̄).

Supposons donc que b̄ satisfait dans F_{2} toutes les formules de Δ satisfaites par ā dans F_{1}. Nous avons alors K(ā) ≃_{K} K(b̄).

Nous avons montré dans la démonstration de (5.11), que si deux corps E et F contenant K satisfont les mêmes énoncés de la forme ∃t f(t) = 0, où f(X) ∈ K[X], alors E ∩ K̃ ≃_{K} F ∩ K̃. Appliquant ce résultat aux corps isomorphes K(ā) et K(b̄) nous obtenons un isomorphisme θ entre la clôture algébrique relative de K(ā) dans F_{1} et la clôture algébrique relative de K(b̄) dans F_{2} qui envoie ā sur b̄. Le théorème (5.11) nous dit alors que l’isomorphisme partiel θ est élémentaire, ce qui montre que F_{2} ⊧ φ(b̄).

(5.14) Théorème. Soient E ⊆ F des corps pseudo-finis. Alors

E ≺ F ⟺ Ẽ ∩ F = E.

Démonstration. Appliquer le théorème précédent à K = E.

(5.15) Pour chaque n ∈ N, n > 1, nous prenons des nouveaux symboles de constantes c_{i,n}, 1 ≤ i ≤ n. Soit L_{c} le langage L ∪ {c_{i,n} | n ∈ N, n > 1, 1 ≤ i ≤ n}, et soit Psf_{c} la théorie obtenue en rajoutant à Psf, pour chaque entier n > 1, l’énoncé exprimant que le polynôme x^{n} + c_{1,n}x^{n−1} + ⋯ + c_{n,n} est irréductible.

Théorème. La théorie Psf_{c} est modèle complète. Démonstration. Soient (E, c̄) ⊆ (F, c̄) des modèles de Psf_{c}. Alors E est relativement algébriquement clos dans F puisque pour chaque n le polynôme définissant l’extension de E de degré n reste irréductible sur F. Donc E ≺ F.

Remarque. En fait on peut affaiblir l’axiomatisation: il suffit de rajouter à Psf_{c}, pour chaque n > 1, l’axiome ∀x x^{n} + c_{1,n}x^{n−1} + ⋯ + c_{n,n} ≠ 0: en effet, soient (E, c̄) ⊆ (F, c̄) des corps pseudo-finis modèles de ces axiomes. Si E n’est pas relativement algébriquement clos dans F, alors il existe n > 1 tel que F contienne l’extension E_{n} de E de degré n. Cependant, E_{n} contient une racine de l’équation x^{n} + c_{1,n}x^{n−1} + ⋯ + c_{n,n} = 0, et par hypothèse, F ⊧ ∀x x^{n} + c_{1,n}x^{n−1} + ⋯ + c_{n,n} ≠ 0. Nous obtenons donc une contradiction, ce qui montre que Ẽ ∩ F = E.

(5.16) Théorème. Soit φ(x̄), x̄ = (x_{1}, …, x_{n}), une formule existentielle du langage des corps. Alors il existe une formule ψ(x̄), conjonction de formules de la forme ∃t f(x̄, t) = 0, où f(X̄, T) ∈ Z[X̄, T], qui est équivalente à φ(x̄) modulo la théorie des corps parfaits PAC. Démonstration. Remarquons d’abord que nous pouvons supposer que la formule φ(x̄) est positive. En effet, toute formule g(x̄) ≠ 0 est équivalente, modulo la théorie des corps, à la formule ∃t g(x̄)t−1 = 0. Nous remplaçons donc toute sous-formule négation d’atomique par une formule existentielle, et nous réduisons donc à une formule φ(x̄) de la forme

∃ȳ θ(x̄, ȳ),

où ȳ = (y_{1}, …, y_{m}), et la formule θ(x̄, ȳ) est une conjonction d’équations.

Soit Δ l’ensemble des disjonctions finies de formules de la forme ∃t f(x̄, t) = 0, où f(X̄, T) ∈ Z[X̄, T]. Soient F_{1} et F_{2} deux corps PAC parfaits, soient ā ∈ F_{1}^{n} et b̄ ∈ F_{2}^{n}. Supposons que F_{1} ⊧ ∃ȳ θ(ā, ȳ), et que b̄ satisfait dans F_{2} toutes les formules de Δ satisfaites par ā dans F_{1}. Comme dans (5.13), nous en déduisons que les corps F_{1} et F_{2} ont la même caractéristique, et que, si k est leur sous-corps premier, alors k(ā) et k(b̄) sont isomorphes. Soit K un grand corps algébriquement clos contenant F_{1} et F_{2}.

Soit c̄ ∈ F_{1}^{m} tel que F_{1} ⊧ θ(ā, c̄), et considérons le corps k(ā, c̄) ∩ k(ā)_{s}. C’est une extension séparable finie de k(ā), et est de la forme k(ā, α) pour un élément α séparable sur k(ā). De plus, l’ensemble algébrique V des zéros dans K^{m} de I(c̄/k(ā, α)) est une variété (par (2.11)), définie (au sens de la géométrie algébrique) sur la clôture parfaite de k(ā, α).

Soit p(X̄, T) ∈ Z[X̄, T] tel que p(ā, T) est irréductible au-dessus de k(ā) et a α pour racine. Par hypothèse, il existe β ∈ F_{2} tel que p(b̄, β) = 0, et nous avons donc un isomorphisme ψ : k(ā, α) → k(b̄, β), qui envoie (ā, α) sur (b̄, β). Prolongeant ψ^{−1} en un automorphisme de K, nous pouvons donc remplacer F_{2} par une copie isomorphe, qui contient ā et α, et supposer que (b̄, β) = (ā, α). Comme F_{2} est parfait, la variété V est définie sur F_{2}; comme F_{2} est PAC, nous pouvons donc trouver un point d̄∈ V (F_{2}) = V ∩ F_{2}^{m}. Puisque c̄ est un point générique de V, nous avons donc un k(ā, α)-homomorphisme: k(ā, α)[c̄] → k(ā, α)[d̄]. Comme la formule θ(x̄, ȳ) est positive, sans quantificateurs, et satisfaite par (ā, c̄), elle est aussi satisfaite par (ā, d̄) = (b̄, d̄), ce qui montre que F_{2} ⊧ ∃ȳ θ(b̄, ȳ).

En appliquant (0.3), nous concluons que modulo la théorie des corps PAC parfaits, la formule φ(x̄) est équivalente à une conjonction de formules de Δ. Le résultat s’ensuit, si l’on remarque que, modulo la théorie des corps, toute formule de Δ est équivalente à une formule de la forme ∃t f(x̄, t) = 0

(5.17) Proposition. Soit φ(x̄) une formule de L_{c}, x̄ = (x_{1}, …, x_{n}). Il existe alors des formules ψ_{I}(x̄), qui sont de la forme ∃t_{1}, …, t_{m} θ_{I}(x̄, t̄), où θ_{I}(x̄, t̄) est une conjonction d’équations, telles que:

(1) Psf_{c} ⊢ φ(x̄) ↔ ⋁_{I} ψ_{I}(x̄)).

(2) Pour chaque I il existe une constante N_{I}, telle que si (F, c̄) est un modèle de Psf_{c}, et ā ∈ F^{n} satisfait ψ_{I}(x̄), alors l’ensemble {t̄ ∈ F^{m} | F ⊧ θ_{I}(ā, t̄)} a au plus N_{I} éléments.

Démonstration. Nous savons, par (5.15) et (5.16), que φ(x̄) est équivalente modulo Psf_{c} à une formule que nous écrirons sous la forme ∃t_{1}, …, t_{s} ⋀_{i=1}^{s} f_{i}(x̄, c̄, t_{i}) = 0, où f_{i}(X̄, C̄, T_{i}) ∈ Z[X̄, C̄, T_{i}].

Soit (F, c̄) ⊧ Psf_{c} et ā ∈ F^{n} satisfaisant φ(x̄). Il est clair que si les polynômes f_{i}(ā, c̄, T_{i}) ne sont pas identiquement nuls, alors ils n’ont qu’un nombre fini de racines. Il se peut cependant que pour certaines valeurs de ā et c̄, ils deviennent identiquement nuls, et dans ce cas l’ensemble des solutions de f_{i}(ā, c̄, T_{i}) = 0 est infini, et en fait la condition est vide.

Pour chaque sous-ensemble I de {1, …, s}, considérons la formule ψ_{I}(x̄) qui exprime les propriétés suivantes:

(i) Si i ∉ I, tous les coefficients du polynôme f_{i}(x̄, c̄, T_{i}) sont nuls, (ii) Si i ∈ I, un des coefficients du polynôme f_{i}(x̄, c̄, T_{i}) est non-nul, (iii) ⋀_{i∈I} ∃t_{i} f_{i}(x̄, c̄, t_{i}) = 0.

Il est clair que φ(x̄) est équivalente modulo Psf_{c} à la disjonction des formules ψ_{I}(x̄), où I parcourt l’ensemble des sous-ensembles de {1, …, s}. Il nous faut maintenant montrer que les formules ψ_{I}(x̄) satisfont la condition désirée. La condition (i) est positive sans quantificateurs, et si (ii) est vérifiée et i ∈ I, alors l’ensemble des t_{i} satisfaisant f_{i}(x̄, c̄, t_{i}) = 0 est fini.

Il nous reste donc à montrer que nous pouvons exprimer la condition (ii) de façon positive. Observons que la disjonction ⋁(y_{j} ≠ 0) est équivalente modulo la théorie des corps, à la formule ∃u ∏_{j}(y_{j}u − 1) = 0. Pour chaque i ∈ I, nous avons donc une formule ∃u_{i} p_{i}(x̄, c̄, u_{i}) = 0, où p_{i}(x̄, c̄, U_{i}) est un polynôme avec un coefficient égal à 1, qui exprime que le polynôme f_{i}(x̄, c̄, T_{i}) n’est pas identiquement nul.

La formule ψ_{I}(x̄) est donc équivalente modulo Psf_{c} à une formule de la forme souhaitée. La borne N_{I} est alors égale au produit des degrés des polynômes f_{i}(x̄, c̄, T_{i}) et p_{i}(x̄, c̄, U_{i}) pour i ∈ I.

Corollaire. Soit F un corps pseudo-fini, et S ⊆ F^{m} un sous-ensemble définissable. Alors il existe un ensemble algébrique V ⊆ F^{m+n} tel que, si π : F^{m+n} → F^{m} est la projection sur les m premières coordonnées, alors π(V (F)) = S, et pour tout ā ∈ S, π^{−1}(ā) est fini. Démonstration. Nous nous plaçons dans le langage L_{c}, et trouvons des interprétations pour les constantes c_{i,n} de L_{c} telles que (F, c̄) ⊧ Psf_{c}. Soit φ(x̄, ȳ) et ā un uplet de F tels que S est défini par la formule φ(ā, ȳ).

Soient ψ_{I}(x̄, ȳ) les formules obtenues en appliquant la proposition à la formule φ(x̄, ȳ). Pour chaque I, l’ensemble défini par la formule ψ_{I}(ā, ȳ) est alors la projection de l’ensemble algébrique défini par la formule θ_{I}(ā, ȳ, t̄), et au dessus-d’un point (ā, b̄) satisfaisant ψ_{I}(ā, ȳ) il y a au plus N_{I} uplets t̄.

Nous mettons tous ces ensembles algébriques ensemble, et obtenons la conclusion.

6. Théorie des corps finis et décidabilité Nous avons donc obtenu une description des complétions de la théorie Psf, et montré

que les modèles infinis de la théorie des corps finis sont des corps pseudo-finis. Il nous reste à montrer que tout corps pseudo-fini est un modèle de la théorie des corps finis.

(6.1) Proposition. Soit E un corps parfait, et supposons que E a au plus une extension de degré n pour chaque n. Alors il existe un corps pseudo-fini F contenant E et tel que E est relativement algébriquement clos dans F. Démonstration. Nous commençons par construire une extension parfaite E_{0} de E telle que Ẽ ∩ E_{0} = E et Gal(Ẽ_{0}/E_{0}) ≃ Ẑ. Pour cela, nous avons besoin du résultat suivant, qu’on peut trouver par exemple dans le livre de S. Lang, Fundamentals of Diophantine geometry. Fait: Soit E un corps. Il existe une famille d’extensions Galoisiennes L_{n} de E(t), où n parcourt l’ensemble des entiers plus grands que 1, qui est linéairement disjointe au-dessus de E(t), et tel que pour n > 1, L_{n} est une extension régulière de E et Gal(L_{n}/E(t)) ≃ S_{n} (le groupe de permutations de l’ensemble à n éléments).

L’hypothèse de régularité et de disjonction linéaire des extensions L_{n} nous dit que, si nous prenons pour L le corps engendré par les L_{n} pour n > 1:

Gal(ẼL/E(t)) ≃ ∏_{n} S_{n} × Gal(Ẽ/E).

En utilisant le fait que chaque S_{n} contient un élément τ_{n} d’ordre n, nous prolongeons d’abord σ en un élément τ ∈ Aut(ẼL/E(t)) tel que le sous-corps de ẼL fixé par τ ait une extension de degré n pour chaque n ∈ N^{>1} (nous prenons τ égal à τ_{n} sur L_{n}, égal à σ sur Ẽ)), puis prolongeons τ en un élément σ_{0} de Aut(Ẽ(t)/E(t)); soit E_{0} le sous-corps de Ẽ(t) fixé par σ_{0}. Puisque σ_{0} prolonge σ, Ẽ ∩ E_{0} = E; alors E_{0} a une extension de degré n pour chaque n > 1 puisque σ_{0} prolonge τ, et donc Gal(Ẽ_{0}/E_{0}) ≃ Ẑ.

Nous allons maintenant construire une chaîne croissante (E_{n})_{n∈N} de corps satisfaisant pour chaque n:

(i) Ẽ_{n} ∩ E_{n+1} = E_{n}, (ii) Gal(Ẽ_{n}/E_{n}) ≃ Ẑ, est engendré topologiquement par σ_{n} qui prolonge σ_{0}, (iii) Si V est une variété définie sur E_{n}, alors V (E_{n+1}) ≠ ∅.

Supposons E_{n} construit, et soit V_{i}, i < κ une énumération de toutes les variétés V_{i} définies sur E_{n}. Nous construisons alors une suite croissante F_{i}, i < κ, d’extensions régulières de E_{n}, en adjoignant des points génériques des variétés V_{i}. Plus précisément, supposons F_{α} construite, telle que V_{i}(F_{α}) ≠ ∅ pour tout i < α. Choisissons c̄ ∈ V_{α}, générique sur F_{α}, et posons F_{α+1} = F_{α}(c̄); alors F_{α+1} est une extension régulière de F_{α} et donc de E_{n}. Pour α limite on pose F_{α} = ⋃_{i<α} F_{i}.

L’extension F_{κ} est donc une extension régulière de E_{n} qui satisfait la condition (iii). Si σ_{n+1} est une extension de σ_{n} à F̃_{κ}, et E_{n+1} est le sous-corps de F̃_{κ} fixé par σ_{n+1}, alors E_{n+1} satisfait toutes les conditions.

Soit F = ⋃_{n∈N} E_{n}. C’est alors un corps PAC, parfait, qui a exactement une extension de degré n pour chaque entier positif n. De plus, Ẽ ∩ F = E. C’est le corps cherché.

(6.2) Théorème. Tout corps pseudo-fini est un modèle de la théorie T_{f} des corps finis. De plus tout corps pseudo-fini de caractéristique 0 est élémentairement équivalent à un ultraproduit de corps premiers finis.

Démonstration. Montrons d’abord le cas facile, en caractéristique p. Etant donné un corps pseudo-fini F de caractéristique p, il nous faut trouver un ultraproduit F^{∗} de corps finis tel que F̃_{p} ∩ F ≃ F̃_{p} ∩ F^{∗}. Il y a deux cas à considérer:

Cas 1: le corps F̃_{p} ∩ F est infini.

Soit (F_{n})_{n∈N} une suite croissante de sous-corps finis de F tels que F ∩F̃_{p} = ⋃_{n∈N} F_{n}, et soit U un ultrafiltre non-principal sur N et F^{∗} = ∏_{n} F_{n}/U. Alors F̃_{p} ∩ F^{∗} ≃ ⋃_{n} F_{n}.

Cas 2: le corps F̃_{p} ∩ F = F_{0} est fini.

Soit Q l’ensemble des nombres premiers ne divisant pas [F_{0} : F_{p}]; c’est un ensemble infini. Pour q ∈ Q, soit F_{q} l’extension de F_{0} de degré q. Soit U un ultrafiltre non-principal sur Q, et F^{∗} = ∏_{q} F_{q}/U. Alors F^{∗} ∩ F̃_{p} = F_{0}.

Pour la caractéristique 0, la démonstration est plus difficile et utilise un théorème puissant: le théorème de Tchebotarev. Nous ne donnons pas de détails. Disons quand même que cela utilise la théorie des corps valués. Une des conséquences de ce théorème est la suivante:

Pour un entier n, et des polynômes f_{1}(T), …, f_{n}(T), g(T) ∈ Z[T], soit L l’extension obtenue en adjoignant à Q toutes les racines des polynômes f_{i}(T) et g(T). S’il existe un sous-corps E de L tel que Gal(L/E) est cyclique et E ⊧ ⋀_{i=1}^{n}(∃t f_{i}(t) = 0) ∧(∀t g(t) ≠ 0), alors il y a une infinité de nombres premiers p tels que F_{p} ⊧ ⋀_{i=1}^{n}(∃t f_{i}(t) = 0)∧(∀t g(t) ≠ 0).

Cela nous permet de prouver la dernière assertion, et donc aussi la première en caractéristique 0: en effet, soit E un sous-corps de Q̃, ayant au plus une extension de chaque degré, et considérons l’ensemble d’énoncés Σ = {∃x f(x) = 0 | f(x) ∈ Z[X], E ⊧ ∃x f(x) = 0} ∪ {∀x f(x) ≠ 0 | f(x) ∈ Z[X], E ⊧ ∀x f(x) ≠ 0}.

Chaque fragment fini de Σ est satisfait par une infinité de corps finis premiers. Une application standard de la compacité nous donne alors un ultraproduit F^{∗} de corps finis premiers qui satisfait Σ et est infini. Nous avons alors Q̃ ∩ F^{∗} ≃ E.

Remarque. Notons deux conséquences immédiates du résultat précédent. Soit φ un énoncé.

Tous les corps pseudo-finis satisfont φ si et seulement si il existe une constante C telle que tous les corps finis de taille supérieure à C satisfont φ.

Ou encore, prenant la contraposée:

Il existe une infinité de corps finis satisfaisant φ si et seulement si il existe un corps pseudofini satisfaisant φ.

Donc l’étude des corps pseudo-finis nous donne des propriétés asymptotiques des corps finis: pour tout corps fini suffisamment grand … (6.3) Résultats de décidabilité.

Nous avons un énoncé φ, et voulons décider si T_{f} ⊢ φ. Remarquons que nous avons prouvé les résultats suivants:

Psf = T_{f} ∪ { il existe une infinité d’éléments}, Psf_{0} = T h(F_{p})_{p premier} ∪ { il existe une infinité d’éléments},

où Psf_{0} dénote la théorie des corps pseudo-finis de caractéristique 0. Nous avons aussi

T_{f} ⊆ Psf ⊆ Psf_{0}.

Enumérons les énoncés ψ qui sont des combinaisons booléennes d’énoncés de la forme ∃t f(t) = 0, où f(T) ∈ Z[T]. Nous savons que l’un de ces énoncés est équivalent à φ modulo Psf. Nous prenons aussi une énumération des preuves à partir de Psf. A l’étape n, nous regardons si la n-ième preuve prouve que l’un des n premiers énoncés ψ est équivalent à φ. Il y a forcément un tel n.

La preuve que Psf ⊢ (φ ↔ ψ) n’utilise qu’un nombre fini d’énoncés exprimant que le corps est PAC. Avec le théorème de Lang-Weil, nous produisons donc une constante C_{1} telle que si q > C_{1}, alors F_{q} ⊧ φ ↔ ψ.

Il nous suffit donc de savoir décider la validité de l’énoncé ψ dans tous les corps pseudofinis, et la validité de l’énoncé φ dans chacun des corps finis de taille plus petite ou égale à C_{1}. La deuxième partie est évidemment récursive, il nous reste à traiter la première.

Nous avons donc un énoncé ψ, combinaison booléenne d’énoncés de la forme ∃t f(t) = 0. D’après les résultats précédents, il nous faut montrer que tout sous-corps E de la clôture algébrique du corps premier k, tel que Gal(k̃/E) est cyclique, satisfait l’énoncé ψ. Ecrivons d’abord ψ comme une disjonction d’énoncés de la forme ⋀_{i} ∃t_{i} f_{i}(t) = 0 ∧ ∀t g(t) ≠ 0, et remarquons que les énoncés de cette forme où g(T) n’est pas identiquement constant non-nul, ne peuvent être satisfaits dans k̃ (Gal(k̃/k̃) est cyclique). Nous nous ramenons donc au cas où l’énoncé ψ est positif.

Nous traitons d’abord le cas de caractéristique 0; soit L le corps de décomposition des polynômes apparaissant dans l’énoncé ψ. On peut calculer de façon effective son groupe de Galois sur Q, ainsi que les sous-corps de L fixés par des éléments de ce groupe de Galois. On peut donc décider si tous ces sous-corps satisfont l’énoncé ψ. Si non, alors Psf_{0} n’entraîne pas φ, et donc il en est de même des théories Psf et T_{f}. Si oui, alors Psf_{0} ⊢ ψ, et donc Psf_{0} ⊢ φ. Nous avons donc montré que la théorie Psf_{0} est décidable.

Supposons donc que Psf_{0} ⊢ ψ; il existe alors une preuve à partir de Psf_{0} de l’énoncé φ; cette preuve n’utilise qu’un nombre fini d’énoncés exprimant que la caractérique est ≠ p, et donc nous trouvons une constante C_{2} telle que tous les corps pseudo-finis de caractéristique > C_{2} satisfont ψ. Nous regardons alors ce qui se passe pour ceux de caractéristique ≤ C_{2}: puisque ψ est existentielle, il suffit de regarder si F_{p} ⊧ ψ pour p ≤ C_{2}. Cela est évidemment effectif.

Nous avons donc montré que les théories suivantes sont décidables: Psf_{0}, Psf, T_{f}. En fait on peut montrer qu’elles sont primitives récursives, mais nous ne le ferons pas.

(6.4) Théorème. Soit φ(x̄, ȳ) une formule x̄ = (x_{1}, …, x_{n}), ȳ = (y_{1}, …, y_{m}). Il existe un ensemble fini D de paires (d, μ) ∈ {0, 1, …, n}×Q^{>0} et une constante C > 0 tels que, pour tout corps fini F_{q}, et m-uplet ā de F_{q}, si l’ensemble φ(F_{q}^{n}, ā) =_{def} {b̄ ∈ F_{q}^{n} | F_{q} ⊧ φ(b̄, ā)} est non vide, alors

(∗)  |card(φ(F_{q}^{n}, ā)) − μq^{d}| < Cq^{d−1/2},

pour une paire (d, μ) ∈ D.

Pour chaque paire (d, μ) ∈ D il existe une formule φ_{d,μ}(ȳ) qui définit, dans tout corps F_{q}, l’ensemble des m-uplets ā satisfaisant (∗).

Remarques. (1) Dans le cas où φ(x̄, ā) définit une variété V, c’est tout simplement le théorème de Lang-Weil; on a alors d = dim(V) et μ = 1.

(2) Supposons que n = 1. Nous avons alors seulement deux possibilités pour d: d = 0 ou d = 1. De cela, nous produisons des constantes A > 0 et r > 0 telles que, pour tout corps fini F_{q} et m-uplet ā de F_{q},

card(φ(F_{q}^{n}, ā)) > A → card(φ(F_{q}^{n}, ā)) > rq.

En effet, soit A_{0} = sup{μ | (0, μ) ∈ D}, et soit r_{0} = inf{μ | (1, μ) ∈ D}. Nous avons alors, par (∗): card(φ(F_{q}^{n}, ā)) < A_{0} + Cq^{−1/2} ou card(φ(F_{q}^{n}, ā)) > −Cq^{1/2} + r_{0}q. Prenant par exemple r = r_{0}/2 et A = sup{A_{0} + C, 4C^{2}/r_{0}^{2}}, on vérifie que card(φ(F_{q}^{n}, ā)) > A entraîne card(φ(F_{q}^{n}, ā)) > rq pour tout q.

Esquisse de démonstration du théorème. Etape 1: nous allons commencer par le cas où la formule φ est sans quantificateurs. En remarquant que l’ensemble des x non nuls est en bijection avec l’ensemble des paires (x, y) satisfaisant xy = 1, nous pouvons supposer que φ est positive, et donc définit un ensemble algébrique W.

Soit F un corps pseudo-fini, et ā ∈ F^{m}. Nous regardons l’ensemble W (ā)(F) = {b̄ ∈ F^{n} | (b̄, ā) ∈ W }. C’est la trace sur F^{n} d’un fermé de F̃^{n}. Soit V la clôture de Zariski de W (ā)(F), et soient V_{1}, …, V_{s} les composantes irréductibles de V. On vérifie qu’elles sont définies sur la clôture algébrique relative de ā dans F (voir commentaires ci-après). On peut aussi prouver que, étant donnée une formule sans quantificateurs ψ(x̄, ȳ), l’ensemble des ȳ tels que ψ(x̄, ȳ) définit une variété de dimension d, est définissable (le seul problème est de définir la dimension).

Il existe donc une formule du premier ordre θ_{a}(ȳ), qui est satisfaite par ā, et qui exprime: il existe des variétés V_{1}, …, V_{s}, définies sur une extension algébrique de k(ā) (k est le corps premier) telles que W (ā)(F) = V_{1}∪⋯∪V_{s}; m de ces variétés sont de dimension maximale, égale à d.

En effet, nous remarquons que les polynômes définissant les variétés V_{i} sont donnés: nous avons donc une borne sur leur degré, et connaissons aussi les polynômes minimaux sur k(ā) des coefficients qui apparaissent dans ces polynômes.

Prenant toutes les formules θ_{a}(ȳ) possibles (c’est à dire F parcourant l’ensemble des corps pseudo-finis, et ā l’ensemble des m-uplets de F), nous avons donc

Psf ⊧ ⋁_{a} ∀ȳ θ_{a}(ȳ).

Par compacité, Psf prouve une disjonction finie, disons θ_{1} ∨⋯∨θ_{r}. Alors D est l’ensemble des paires (d_{i}, m_{i}) correspondantes.

Donc tout corps fini suffisamment grand satisfait la même disjonction. Soit ā ∈ F_{q}^{m} et supposons que F_{q} ⊧ θ_{i}(ā); alors W (ā)(F_{q}) = V_{i,1}(F_{q}) ∪ ⋯ ∪ V_{i,s}(F_{q}), et les variétés V_{i,j} sont définies sur F_{q}; d’après le théorème de Lang-Weil, l’ensemble V_{i,j}(F_{q}) a à peu près q^{dim(V_{i,j})} points, et donc W (ā)(F_{q}) a à peu près m_{i}q^{d_{i}} points. On peut calculer alors précisément la constante C. Observons que les formules θ_{i} nous donnent les formules φ_{d,μ}. Etape 2: nous passons maintenant au deuxième cas, celui d’une formule existentielle, de la forme ∃t̄ (x̄, ȳ, t̄) ∈ W, avec la propriété suivante:

si (b̄, ā, d̄) ∈ W alors l’ensemble {t̄| (b̄, ā, t̄) ∈ W } est fini (de taille bornée).

Etant donnés un corps F_{q} et un m-uplet ā de F_{q}, nous savons estimer la taille de l’ensemble W (ā)(F_{q}) = {(b̄, d̄) | (b̄, ā, d̄) ∈ W (F_{q})} (par l’étape 1). Cependant, nous comptons certains des points b̄ plusieurs fois, puisqu’il y a en général plusieurs uplets d̄ tels que (b̄, ā, d̄) ∈ W (F_{q}). Il nous faut donc tenir compte des différentes possibilités. En rajoutant des variables existentielles, on montre que l’ensemble W_{e} des points (b̄, ā) tels qu’il existe au moins e uplets d̄ avec (b̄, ā, d̄) ∈ W (F_{q}), est la projection d’un ensemble algébrique, où l’on peut estimer la taille des fibres. On utilise un peu de combinatoire, et on trouve les possibilités pour les paires (d, μ), ainsi que les formules φ_{d,μ}. Etape 3: par (5.17), la formule φ(x̄, ȳ) est équivalente modulo la théorie Psf_{c} à une formule existentielle ψ(x̄, ȳ, c̄) satisfaisant les hypothèse de l’étape 2. Par compacité, il existe une formule θ(c̄) telle que Psf ⊢ ∀z̄ θ(z̄) → (φ(x̄, ȳ) ↔ ψ(x̄, ȳ, z̄)). La même chose est vraie dans tous les corps finis de taille suffisamment grande, et nous concluons en appliquant l’étape 2 à la formule ψ(x̄, ȳ, z̄), où (ȳ, z̄) sont les variables correspondant aux paramètres. Les formules φ_{d,μ} sont alors construites en quantifiant sur z̄.

Remarques. (1) L’étape 1 est un peu moins innocente qu’elle ne paraît. Prenons par exemple le cas où m = 0, c’est à dire qu’il n’y a pas de paramètres, et que l’ensemble W est défini sur Z. Soit F un corps pseudo-fini de caractéristique 0, et supposons pour fixer les idées que W est Q-irréductible, mais n’est pas une variété. Si aucune composante irréductible de W n’est définie sur F, alors tous les points de W (F) seront en fait dans un ensemble algébrique beaucoup plus petit: l’intersection W_{0} de toutes les composantes irréductibles de W. La dimension de cet ensemble est plus petite que celle de W. On regarde maintenant les composantes F -irréductibles de W_{0}: certaines sont des variétés, aux autres nous devons encore appliquer la procédure d’intersection. Après un nombre fini d’étapes, on arrive finalement à un ensemble algébrique V, dont toutes les composantes irréductibles sont définies sur F, et tel que W (F) = V (F).

(2) L’hypothèse de non-vacuité de l’ensemble définissable est nécessaire. Si l’on veut s’en dispenser, on est obligé de rajouter à D la paire (0, 0).

En fait, nous le ferons en général, pour ne pas avoir à distinguer de cas particulier. Les valeurs de μ seront donc positives, excepté dans la paire correspondant à l’ensemble vide. La formule φ_{0,0}(ȳ) sera tout simplement la formule ∀x̄ ¬φ(x̄, ȳ).

(6.5) Interprétation dans les corps pseudo-finis.

Soit φ(x̄, ȳ) une formule, x̄ = (x_{1}, …, x_{n}), ȳ = (y_{1}, …, y_{m}), et soit D l’ensemble de paires associé, auquel on a rajouté (0, 0), et C la constante. Alors, pour tout corps F_{q} fini de taille suffisamment grande, et pour tout m-uplet ā de F_{q}, il existe une seule paire (d, μ) ∈ D telle que |card(φ(F_{q}^{n}, ā)) − μq^{d}| < Cq^{d−1/2}. Donc, il existe une seule paire (d, μ) ∈ D telle que F_{q} ⊧ φ_{d,μ}(ā). La même chose est alors vraie dans tous les corps pseudo-finis.

Etant donnés un corps pseudo-fini F, et un ensemble S ⊆ F^{n} défini par la formule φ(x̄, ā), où ā ∈ F^{m}, nous définissons la paire (dim(S), μ(S)) comme étant l’unique paire (d, μ) ∈ D telle que F ⊧ φ_{d,μ}(ā).

Pour avoir une première idée de la signification de ces nombres, nous allons supposer que F est un ultraproduit de corps finis, F = ∏_{q} F_{q}/U. Nous savons que tout corps pseudo-fini se plonge de façon élémentaire dans un tel ultraproduit (voir (6.2)), donc cette hypothèse peut être faite sans perte trop importante de généralité. Nous gardons les notations du paragraphe ci-dessus. Alors le m-uplet ā provient d’un m-uplet (ā_{q})_{q} ∈ ∏_{q} F_{q}, et donc S = ∏_{q} S_{q}/U, où S_{q} = φ(F_{q}^{n}, ā_{q}). Nous savons que pour un ensemble d’indices Q ∈ U, nous avons F_{q} ⊧ φ_{d,μ}(ā_{q}), et donc card(S_{q}) ∼ μq^{d} pour tout q ∈ Q (suffisamment grand).

(6.6) Proposition. Soit F un corps pseudo-fini, S ⊆ F^{n} un ensemble définissable, et φ(x̄, ȳ) une formule, x̄ = (x_{1}, …, x_{n}), ȳ = (y_{1}, …, y_{m}).

(1) Soit V une variété définie sur F. Alors dim(V (F)) = dim(V) et μ(V (F)) = 1.

(2) Soit S̃ la clôture de Zariski de S (dans F̃^{n}). Alors la dimension de l’ensemble algébrique S̃ est égal à la dimension de S définie ci-dessus.

(3) Si T ⊆ F^{n} est définissable et S et T sont disjoints, alors

μ(S ∪ T) = \{ \begin{matrix}μ(S) + μ(T) & si dim(S) = dim(T), \\ μ(S) & si dim(S) > dim(T), \\ μ(T) & si dim(S) < dim(T). \end{matrix}

(4) Soit f : S → T une fonction définissable. Si pour tout ā ∈ T, dim(f^{−1}(ā)) = d alors dim(S) = dim(T) + d. Si de plus nous avons pour tout ā ∈ T, μ(f^{−1}(ā)) = m, alors μ(S) = mμ(T).

(5) Le nombre μ peut être utilisé pour définir une mesure sur les sous-ensembles définissables de S, de la façon suivante:

m_{S}(T) = \{ \begin{matrix}0 & si dim(T) < dim(S), \\ μ(T)/μ(S) & si dim(T) = dim(S). \end{matrix}

Cette mesure est (finiment) additive, et m_{S}(S) = 1.

(6) Il existe un nombre M, indépendant du corps pseudo-fini F, tel que toute suite (ā_{i})_{i} telle que les ensembles φ(F^{n}, ā_{i}) forment une suite strictement croissante de sousensembles de F^{n}, est de longueur ≤ M.

(7) (La propriété S_{1}) Il existe un nombre M, indépendant du corps pseudo-fini F, tel que toute suite (ā_{i})_{i} satisfaisant pour tous i ≠ j:

dim(S ∩ φ(F^{n}, ā_{i})) = dim(S) = d,
dim(S ∩ φ(F^{n}, ā_{i}) ∩ φ(F^{n}, ā_{j})) < d,

est de longueur ≤ M. Démonstration. (1) est clair, par la définition des nombres d et μ. Remarquons que cela donne immédiatement que les deux notions de dimension coïncident pour un ensemble algébrique, à condition qu’il ait une composante de dimension maximale définie sur F.

(3), (4) et (5) sont immédiats si l’on pense à la définition de μ dans les corps finis. La propriété (4) est l’une des plus importantes de la dimension.

(2) Par (5.17), S est l’image par une projection π à fibres finies des points F -rationnels d’un ensemble algébrique V, et dim(V (F)) = dim(S) (on vérifie cette égalité soit en regardant l’étape 2 de l’esquisse de preuve de (6.4), soit en utilisant (4)). Nous pouvons supposer que V (F) est dense dans V (sinon, on remplace V par la clôture de Zariski de V (F)), et l’on a alors dim(S) = dim(V). Comme les fibres de π sont finies, la dimension de V est égale à la dimension de la clôture de Zariski de π(V), qui contient S̃. Mettant tout ensemble, nous obtenons le résultat.

(6) Supposons qu’il n’existe pas de tel M; par compacité, il existe un corps pseudo-fini F et une suite ā_{i}, i ∈ N, de m-uplets, telle que φ(F^{n}, ā_{i}) est strictement contenu dans φ(F^{n}, ā_{i+1}) pour tout i ∈ N. Comme l’ensemble D des paires associées à φ(x̄, ȳ) est fini, en passant à une sous-suite de la suite (ā_{i})_{i∈N} nous pouvons supposer que pour tout i ∈ N, F ⊧ φ_{d,μ}(ā_{i}) pour une paire (d, μ) fixée. Posons S_{i} = φ(F^{n}, ā_{i}).

Nous allons montrer que c’est impossible, par induction sur d. Si d = 0, nous savons que la taille des ensembles finis S_{i} est exactement μ; toute suite strictement croissante ne peut donc avoir qu’un élément. Supposons donc le résultat montré pour toutes les suites uniformément définissables d’ensembles de dimension ≤ (d − 1), et considérons les ensembles S_{i} \ S_{1}, pour i ∈ I. Ils forment une suite strictement croissante d’ensembles, définis par la formule ¬φ(x̄, ā_{1})∧φ(x̄, ā_{i}) et nous pouvons appliquer l’hypothèse d’induction à la suite S_{i} \ S_{1}: comme S_{1} ⊆ S_{i}, dim(S_{1}) = dim(S_{i}) et μ(S_{1}) = μ(S_{i}), et S_{i} \ S_{1} ≠ ∅, (3) implique que dim(S_{i} \ S_{1}) < d pour tout i. La suite S_{i} \ S_{1} est donc finie, ce qui entraîne que la suite de départ était elle aussi finie, et nous donne la contradiction souhaitée.

(7) Supposons que S est défini par la formule ψ(x̄, b̄), et soit D′ l’ensemble de paires associé à la formule ψ(x̄, z̄) ∧ φ(x̄, ȳ). Soit r = inf{μ | (d, μ) ∈ D′}. Considérons la mesure m_{S}, et posons S_{i} = S ∩ φ(F^{n}, ā_{i}). Alors notre hypothèse sur la suite (ā_{i}) se traduit de la façon suivante:

m_{S}(S_{i}) ≥ r/μ(S),  et  m_{S}(S_{i} ∩ S_{j}) = 0.

D’après les propriétés de base des mesures, cela entraîne que la suite (ā_{i}) a au plus μ(S)/r éléments, et nous donne la constante M.

7. Groupes algébriques

(7.1) Morphismes. Nous nous plaçons dans un grand corps algébriquement clos K. Soit V ⊆ K^{n} un ensemble algébrique, et U un ouvert de V.

Définition. Une application f : U → K est régulière si pour tout ā ∈ U il existe p(X̄), q(X̄) ∈ K[X̄], et un ouvert U′ ⊆ U contenant ā tels que pour tout b̄ ∈ U′, q(b̄) ≠ 0 et f(b̄) = p(b̄)/q(b̄).

Les éléments de K[V] définissent des fonctions régulières sur U; si U est défini par g(x̄) ≠ 0, les éléments de K[V, 1/g(x̄)] sont des fonctions régulières sur U.

Définition. Soit W ⊆ K^{m} un autre ensemble algébrique. Une fonction f = (f_{1}, …, f_{m}) : U → W est un morphisme si chacune des fonctions f_{i} est régulière sur U.

Si f est bijective, et f^{−1} est un morphisme, alors on dit que f est un isomorphisme. Attention, un morphisme bijectif n’est pas nécessairement un isomorphisme, par exemple, en caractéristique p > 0, la fonction x ↦ x^{p} est un morphisme bijectif, mais n’est pas un isomorphisme algébrique, puisque l’application inverse est x ↦ x^{1/p}, qui n’est pas une fonction polynômiale.

Voici quelques propriétés simples des morphismes:

(1) Une composition de morphismes est un morphisme.

(2) Un morphisme est continu pour la topologie de Zariski induite sur U.

(3) Supposons que V est F -irréductible. Alors la clôture de Zariski f(U)˜ de f(U) dans W est aussi F -irréductible: supposons que W_{1} et W_{2} sont des ensembles algébriques définis sur F et tels que f(U)˜ = W_{1} ∪ W_{2}; alors U = f^{−1}(W_{1}) ∪ f^{−1}(W_{2}), et comme les ensemble f^{−1}(W_{i}) sont fermés pour la topologie induite et que V est irréductible, V est contenu dans la clôture de Zariski de f^{−1}(W_{i}) pour un i, ce qui entraîne que f(U) ⊆ W_{i}.

(4) Supposons que f est un isomorphisme entre U et un sous-ensemble ouvert U′ de W. Alors f induit une bijection entre les composantes irréductibles de V et celles de W.

(7.2) Groupes algébriques. Un groupe algébrique est un groupe G, dont l’univers sousjacent est un ouvert de Zariski d’un ensemble algébrique, tel que les deux applications m : G × G → G et ı : G → G définies par m(g, h) = gh et ı(g) = g^{−1} pour tous éléments g, h ∈ G, sont des morphismes (d’ensembles algébriques).

Remarque. De même que toutes nos variétés étaient affines, nous nous restreignons aux groupes algébriques qui sont “affines”, c’est à dire des sous-ensembles de l’espace affine K^{n} pour un n.

Exemples (1) Le groupe additif G_{a}: l’ensemble algébrique est K, la loi de groupe est l’addition.

(2) Le groupe multiplicatif G_{m}: l’ensemble est l’ouvert K \ {0}, la loi de groupe est la multiplication.

(3) Le groupe GL_{n}(K) des matrices n × n qui sont inversibles. Nous considérons l’ensemble des n^{2}-uplets (x̄) de K, où x̄ = (x_{ij} | 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ n), satisfaisant det(x_{ij}) ≠ 0. La loi de groupe est donnée par la multiplication des matrices n × n.

Définition. Soit G un groupe algébrique; un sous-groupe algébrique de G est un sousgroupe qui est fermé pour la topologie de Zariski induite sur G.

Exemple. Le sous-groupe SL_{n}(K) de GL_{n}(K) est défini par l’équation det(x_{ij}) − 1 = 0; c’est donc un sous-groupe algébrique de GL_{n}(K).

Le groupe GL_{n} est particulièrement important, à cause du résultat suivant: Théorème. Tout groupe algébrique affine est isomorphe à un sous-groupe algébrique d’un groupe GL_{n} pour un certain n.

(7.3) Lemme. (1) Soit S ⊆ K^{n} un ensemble constructible (c’est à dire défini par une combinaison booléenne d’équations), et S̃ sa clôture de Zariski. Il existe un ouvert U tel que S̃ ∩ U ⊆ S et S̃ ∩ U est dense dans S̃.

(2) Soit V une variété. Si U est un ouvert de K^{n} qui coupe V, alors U ∩ V est dense dans V.

(3) Soit V une variété définie sur un corps PAC F. Alors V (F) est dense dans V.

(4) Soit F un corps pseudo-fini, S ⊆ F^{n} un ensemble définissable sur un sous-corps A de F, et soit d = dim(S); si F est (|A| + ℵ_{0})^{+} saturé, alors il existe ā ∈ S tel que deg.tr(ā/A) = d. Nous appellerons un tel élément un générique de S sur A. Démonstration. (1) Soient S̃_{i}, i = 1 …, m, les composantes irréductibles de S̃ et S_{i} = S̃_{i} ∩ S. Il suffit de montrer le résultat pour chacun des S_{i}, et nous pouvons donc supposer que S̃ est irréductible. Comme S est définissable, S est la réunion d’ensembles non-vides V_{i} définis par des conjonctions d’équations et d’inéquations. Supposons que V_{i} est défini par: ⋀_{j} f_{ij}(x̄) = 0 ∧ g_{i}(x̄) ≠ 0, et soit T l’ensemble algébrique défini par ∏_{i} g_{i}(x̄) = 0. Alors S̃ \ T ⊆ S. De plus, comme V_{i} est non-vide et contenu dans S̃, les polynômes g_{i}(x̄) ne sont pas dans I(S̃). Comme I(S̃) est premier, cela montre que S̃ ∩ T est un fermé strictement contenu dans S̃. Posons U = S̃ \ T.

(2) Tout ouvert de K^{n} est une réunion d’ouverts de la forme U_{g} = {x̄ | g(x̄) ≠ 0} pour des polynômes g[X̄] à coefficients dans K. Si U ∩ V ≠ ∅, alors U_{g} ∩ V ≠ ∅ pour un g tel que U_{g} ⊆ U, et nous pouvons donc supposer que U est de la forme U_{g}. Soit donc un autre ouvert U′ coupant V, que l’on peut supposer de la forme U_{h}. Puisque U_{g} ∩ V ≠ ∅, U_{h} ∩ V ≠ ∅, les polynômes g(X̄) et h(X̄) ne sont pas dans l’idéal premier I(V) ⊆ K[X̄], et donc leur produit non plus. Par le Nullstellensatz, l’ensemble U_{gh} ∩ V est non-vide.

(3) Soit U ⊆ K^{n} un ouvert, avec U ∩ V ≠ ∅. Comme la topologie de Zariski sur F̃^{n} coïncide avec la topologie induite par celle de K^{n}, nous pouvons supposer que U est défini sur F̃. Donc U ∩ V est dense dans V, puisque V est irréductible. De plus, nous pouvons supposer que U est de la forme U_{g} pour un polynôme g(X̄) à coefficients dans F̃, g ∉ I(V). Cela entraîne que chacun des conjugués de U_{g} au-dessus de F coupe V, et donc leur intersection U′ coupe aussi V (par (2)). Si h(X̄) est le produit des conjugués de g(X̄) au-dessus de F, alors U′ = U_{h} et h(X̄) ∈ F [X̄].

Considérons maintenant l’ensemble algébrique W ⊆ K^{n+1} défini par {(x̄, y) | x̄ ∈ V, yh(x̄) = 1}. Alors W est défini sur F, et K[W] = K[V, 1/h(x̄)] est un anneau intègre (puisque V est une variété). Donc W est une variété définie sur F, et a un point (ā, b) ∈ F^{n+1}; le point ā est alors dans V (F) ∩ U_{h}.

(4) Par (6.6)(2), nous savons que dim(S) = dim(S̃) = d. De plus les composantes irréductibles de S̃ sont définies sur F: si V est une composante irréductible de S̃ alors V ∩ S est dense dans V par définition de la clôture. Soit donc V une composante de S̃ de dimension d; elle est définie sur un corps B contenant A, de taille |A| + ℵ_{0}; d’autre part l’ensemble des inéquations exprimant que x̄ est un élément de V ∩ S générique sur B, est finiment satisfaisable dans V ∩ S (par densité); par saturation, il est donc satisfait dans V ∩ S.

(7.4) Définitions. Un groupe algébrique est connexe si sa clôture de Zariski est irréductible.

Si G est un groupe algébrique, nous noterons G^{0} la trace sur G de la composante irréductible de G̃ qui contient l’élément identité e (ou parfois 1) du groupe. Nous allons commencer avec quelques propriétés simples des groupes algébriques.

Proposition. Soit G un groupe algébrique défini sur un corps (parfait) F.

(1) Soit g ∈ G; les application h ↦ gh, h ↦ hg et h ↦ h^{−1} sont des homéomorphismes de G.

(2) Les composantes irréductibles de G (ou, plus exactement, les traces sur G des composantes irréductibles de G̃) sont disjointes. La composante G^{0} est définie sur F; c’est un sous-groupe normal de G, et les autres composantes sont des cosets de G^{0} dans G.

(3) Soit H un sous-groupe (quelconque) de G, et H̃ sa clôture de Zariski (dans G). Alors H̃ est un sous-groupe algébrique de G. Si H est abélien, H̃ l’est aussi.

(4) Soient U et V des ouverts denses de G. Alors U · V = G.

(5) Soit H un sous-groupe de G qui est constructible (i.e., définissable sans quantificateurs); alors H est un sous-groupe algébrique de G.

(6) Soient H un groupe algébrique, et f : H → G un morphisme de groupes algébriques (un homomorphisme de groupe qui est aussi un morphisme d’ensembles algébriques). Alors f(H) est un sous-groupe fermé de G. Le noyau de f, ker f, est un fermé. Nous avons dim(H) = dim(f(H)) + dim(ker(f)).

(7) Le centre de G, Z(G), est un fermé (Rappelons qu’un élément est central dans un groupe s’il commute avec tous les éléments de ce groupe; l’ensemble des éléments centraux est appelé le centre).

(8) Un sous-groupe fini normal d’un groupe algébrique connexe est central.

(9) Soit g un générique de G (sur F), et h ∈ G algébriquement indépendant de g au-dessus de F. Alors gh et hg sont des génériques de G sur F, indépendants de h au-dessus de F. Si de plus h est générique, alors gh et hg sont aussi indépendants avec g au-dessus de F. Tout élément de G est le produit de deux génériques.

Démonstration. (1) On observe que ces trois applications sont des isomorphismes d’ensembles algébriques; ce sont donc des homéomorphismes par (7.1)(2).

(2) Ecrivons G = G_{1} ∪ ⋯ ∪ G_{m}, où G̃_{1}, …, G̃_{m} sont les composantes irréductibles de G̃. Pour chaque g ∈ G, la multiplication par g étant un homéomorphisme, elle permute les composantes irréductibles de G. Soit g ∈ G_{1}, g ∉ G_{2} ∪ ⋯ ∪ G_{m}, et soit h ∈ G. Alors (hg^{−1})g = h; comme g appartient à une unique composante irréductible de G, il en est de même de h. Comme h était arbitraire, cela montre que les composantes irréductibles de G sont disjointes.

Il nous faut maintenant montrer que celle qui contient e, G^{0}, est un sous-groupe normal de G. Comme ^{−1} est un homéomorphisme, (G^{0})^{−1} est une composante irréductible de G, et elle contient e^{−1} = e. Donc (G^{0})^{−1} = G^{0}. De même, si g ∈ G^{0}, gG^{0} est une composante irréductible de G qui contient ge = g, et donc égale à G^{0}. Finalement, soit g ∈ G: g^{−1}G^{0}g est une composante irréductible de G qui contient g^{−1}eg = e, et donc égale à G^{0}.

Il est aussi clair que chacun des cosets de G^{0} dans G est une des composantes irréductibles de G. Nous allons maintenant montrer que e ∈ G(F): en effet, e est l’image par le morphisme g ↦ (g, g) ↦ gg^{−1} de l’ensemble G; c’est donc un ensemble algébrique défini sur F, autrement dit: e ∈ F. Tout élément de Gal(F̃/F) envoie la composante G^{0} sur elle-même, ce qui montre qu’elle est définie sur F.

(3) Comme g ↦ g^{−1} est un homéomorphisme de G, si W est un fermé de G contenant H, alors W^{−1} (= {g^{−1} | g ∈ W }) contient aussi H. Cela montre que H̃ est clos par ^{−1}. Soit g ∈ H; en raisonnant de la même façon, gH̃ = H̃, et donc HH̃ = H̃. Si g ∈ H̃, alors Hg ⊆ H̃, et donc la clôture de Zariski de Hg, H̃g, est contenue dans H̃, ce qui montre que H̃H̃ = H̃.

Soit g ∈ H; alors {h ∈ G | [g, h] ≠ e} est un ouvert, qui ne coupe pas H, et donc ne coupe pas H̃. Donc, tout élément de H commute avec tout élément de H̃; si h ∈ H̃, l’ensemble {g ∈ G | [g, h] = e} est alors un fermé qui contient H, ce qui montre que H̃ est abélien.

On peut montrer des résultats analogues pour les groupes résolubles, nilpotents, en fait pour toutes les propriétés exprimables au moyen de formules universelles positives.

(4) Soit g ∈ G. Alors gV^{−1} est dense dans G, et U ∩ gV^{−1} ≠ ∅; soit v ∈ V tel que h = gv^{−1} ∈ U: alors g = hv.

(5) Par (7.3)(1), il existe un ouvert U tel que H̃ ∩ U ⊆ H et H̃ ∩ U est un ouvert dense de H̃; par (3), H̃ est un sous-groupe de G, et par (4), H ⊇ (H̃ ∩ U) · (H̃ ∩ U) = H̃, ce qui montre que H est fermé dans G.

(6) f(H) est un sous-groupe constructible de G et est donc fermé par (5). Soit ā ∈ H et b̄ = f(ā); alors le fermé f^{−1}(b̄) est isomorphe (comme ensemble algébrique) à ker f, par l’application: c̄ ↦ c̄ā^{−1}. Donc dim(f^{−1}(b̄)) = dim(ker f). Pour tout ā ∈ H nous avons deg.tr(ā/F) ≤ deg.tr(f(ā)/F)+dim(ker f), et il existe des éléments pour lesquels ces deux nombres sont égaux. Cela montre que dim(H) = dim(f(H)) + dim(ker f).

(7) Soit Z = Z(G), et g ∈ G; l’ensemble des éléments qui commutent avec g est un fermé contenant Z et donc Z̃. Cela montre que Z̃ = Z(G).

(8) Soit N un sous-groupe normal fini de G, et g ∈ N; comme N est normal et fini, g n’a qu’un nombre fini de conjugués, et donc le centralisateur C_{G}(g) de g dans G est un sous-groupe d’indice fini dans G. Comme C_{G}(g) est défini par des équations, c’est un sous-groupe fermé de G, d’indice fini, qui doit donc être égal à G. Cela montre que N ⊆ Z(G).

(9) Soit d = dim(G). Nous savons que gh, hg ∈ F (g, h) et g ∈ F (h, gh), g ∈ F (h, hg). Nous avons donc:

deg.tr(g, h/F) = deg.tr(g/F) + deg.tr(h/F) = d + deg.tr(h/F)
≤ deg.tr(h, gh/F) = deg.tr(h/F) + deg.tr(gh/F (h))
≤ deg.tr(h/F) + d,

ce qui montre que deg.tr(gh/F (h)) = d, et donc que gh est un générique de G, indépendant de h. On raisonne de la même façon pour montrer l’assertion pour hg.

Si de plus h est générique, alors (par la première partie) gh et hg sont des génériques qui sont indépendants de g.

Soit g ∈ G, et h un générique de G indépendant de g; alors g^{−1} est aussi un générique, ainsi que gh, et nous avons h = g^{−1}(gh).

(7.5) Proposition. Soit G un groupe algébrique, défini sur un corps pseudo-fini F.

(1) Si G est connexe, alors G(F) est dense dans G.

(2) Si G est connexe alors tout élément central dans G(F) est central dans G.

(3) Soit H un sous-groupe de G(F), définissable dans F. Nous avons dim(G(F)) =

dim(G), et

dim(H) = dim(G(F)) ⟺ [G(F) : H] < ∞.

En particulier, H est d’indice fini dans H̃(F).

(4) Si f : H → G est un morphisme de groupe algébriques connexes, qui est surjectif et a un noyau fini, alors

card(ker f ∩ H(F)) = [G(F) : f(H(F))].

(1) C’est (7.3)(3).

(2) Soit g ∈ G(F) et supposons qu’il existe h ∈ G tel que [g, h] ≠ 1. La condition x̄ ∈ G∧[g, x̄] ≠ 1 définit alors un ouvert non vide U de G. Par (7.3)(3), cet ouvert contient donc un point de G(F), ce qui montre que g n’est pas central dans G(F).

Attention, ce résultat est faux si l’on ne suppose pas que G est connexe: il se peut en effet dans ce cas que G(F) ne soit pas dense dans G.

(3) Nous savons que dim(G^{0}) = dim(G), et G^{0} est connexe et défini sur F. Par (6.4), nous avons donc dim(G(F)) ≥ dim(G^{0}(F)) = dim(G).

Supposons que H est définissable d’indice fini dans G(F): chaque coset de H a la même dimension que H (par (6.6)(4)), et G(F) est la réunion d’un nombre fini de ces cosets, donc dim(G(F)) = dim(H).

Supposons maintenant que H est définissable mais d’indice infini dans G(F). Soient g_{i}, i ∈ N, des éléments de G tels que g_{i}^{−1}g_{j} ∉ H pour i ≠ j; les cosets g_{i}H sont alors disjoints, uniformément définissables, et de la même dimension que H. Par (6.6)(5), nous avons donc dim(H) < dim(G).

Nous savons que dim(H) = dim(H̃) = dim(H̃(F)); par le résultat ci-dessus, il faut donc que H soit d’indice fini dans H̃(F).

(4) Comme G et H sont connexes, nous avons μ(G(F)) = μ(H(F)) = 1. D’autre part, les hypothèses sur f entraînent dim(G) = dim(H) = dim(f(H)); par (6.4) nous avons dim(f(H(F)) = dim(G(F)), et donc

μ(kerf ∩ H(F))μ(f(H(F))) = μ(H(F)) et μ(f(H(F)))[G(F) : f(H(F))] = μ(G(F)),

ce qui donne l’égalité désirée.

(7.6) Théorème. Soit G un groupe algébrique de dimension n (> 0) défini sur le corps pseudo-fini F. Soit U un sous-ensemble définissable de G(F), de dimension n, et H le sous-groupe de G(F) engendré par U. Alors H est définissable, d’indice fini dans G(F), et il existe un entier m tel que tout élément de H est le produit d’au plus m éléments de U ∪ U^{−1}. Démonstration. Nous supposons que tout est défini avec paramètres sur un sous-corps A de F, relativement algébriquement clos dans F, et que F est suffisamment saturé.

Soit W = {g ∈ G(F) | dim(U ∩ gU) = n}. L’ensemble U ∩ gU est définissable, uniformément en g, et par (6.4), l’ensemble W est aussi définissable. Etape 1: W ⊆ U · U^{−1}.

Soit g ∈ W, et h ∈ U ∩ gU; si u ∈ U est tel que h = gu, alors g = hu^{−1}. Etape 2: dim(W) = n.

Pour cela, prenons des éléments h_{1}, h_{2} ∈ U, algébriquement indépendants au dessus de A, et de degré de transcendance sur A égal à n (c’est à dire, des génériques de G). Par (7.4)(9), l’élément g = h_{1}h_{2}^{−1} est un générique de G sur A, et il est indépendant de h_{1} au-dessus de A. Comme h_{1} est générique, cela entraîne que h_{1} est générique sur A(g); d’autre part h_{1} = gh_{2} ∈ U ∩ gU, ce qui montre que g ∈ W et donc que dim(W) = n. Etape 3: Un nombre fini de translatés de W recouvre H.

Supposons que non, et soit g_{i}, i ∈ N, une suite d’éléments de H tels que g_{i} ∉ ⋃_{j<i} g_{j}W pour tout i; pour j < i nous avons alors g_{j}^{−1}g_{i} ∉ W, et par la définition de W, cela veut dire que dim(U ∩ g_{j}^{−1}g_{i}U) < n, ou bien encore, que dim(g_{j}U ∩ g_{i}U) < n; nous remarquons que dim(g_{i}U) = dim(U) = n, que tous ces ensembles sont définissables, contenus dans G(F) qui est aussi de dimension n, et ont une petite intersection. Cela contredit la propriété S_{1} (6.6)(7), et montre donc qu’il suffit d’un nombre fini de translatés de W pour recouvrir H.

Soient donc g_{1}, …, g_{r} ∈ H tels que H = ⋃_{i=1}^{r} g_{i}W. Nous en déduisons l’existence de m (puisque chaque g_{i} est un produit fini d’éléments de U ∪ U^{−1}), et donc la définissabilité de H; nous avons n = dim(U) ≤ dim(H) ≤ dim(G(F)) = n, et donc H est un sous-groupe d’indice fini dans G(F).

(7.7) Théorème. Soit G un groupe algébrique défini sur le corps pseudo-fini F, et soit S_{i}, i ∈ I, une famille de sous-ensembles de G(F) définissables dans F, et tels que, pour tout i ∈ I, e ∈ S_{i} et S̃_{i} est une variété.

Soit H le sous-groupe de G(F) engendré par les ensembles S_{i}, i ∈ I. Alors H̃ est le sous-groupe de G engendré par les ensembles S̃_{i}, i ∈ I; c’est un groupe connexe, et H est d’indice fini dans H̃(F). De plus il existe des indices i_{1}, …, i_{m} (peut-être avec répétitions) tels que

H = S_{i_{1}}^{±1} · . . . · S_{i_{m}}^{±1} et H̃ = S̃_{i_{1}}^{±1} · . . . · S̃_{i_{m}}^{±1}.

Démonstration. Nous allons d’abord montrer le résultat pour le sous-groupe H_{0} de G engendré par les S̃_{i}, i ∈ I. Sans perte de généralité, nous supposerons que pour tout i ∈ I il existe j ∈ I tel que S_{i} = S_{j}^{−1}. Nous nous plaçons dans un grand corps algébriquement clos K. Nous avons un sous-corps A au-dessus duquel tout est défini.

Pour chaque suite finie α d’éléments de I, disons, α = (α(1), …, α(m)), nous définissons W_{α} ⊆ G comme étant l’image de S_{α} = S̃_{α(1)}×⋯×S̃_{α(m)} par le morphisme multiplication: (g_{1}, …, g_{m}) ↦ g_{1} ⋯ g_{m}. Comme chaque S̃_{i} est irréductible, S_{α} est aussi irréductible (exercice), et donc W̃_{α} est irréductible par (7.1)(3). C’est donc une variété.

Comme chaque S_{i} contient e, si α ⊆ β, alors W_{α} ⊆ W_{β}, et donc dim(W̃_{α}) ≤ dim(W̃_{β}). Comme cette dimension est bornée par dim(G), il existe donc une suite finie α telle que la variété W̃_{α} contient toutes les autres. Comme la famille S_{i} est close par inverses, il existe β tel que W_{α}^{−1} = W_{β}, ce qui montre que W̃_{α} = W̃_{α}^{−1}. Nous avons aussi W_{α}W_{α} ⊆ W̃_{α}. Nous avons maintenant besoin d’un résultat auxiliaire:

Assertion. Si X et Y sont des sous-ensembles de G, alors X̃ · Ỹ ⊆ X̃ · Y.

En effet, si g ∈ X, alors gY ⊆ X · Y et donc gỸ ⊆ X̃ · Y. Par conséquent, pour tout h ∈ Ỹ, Xh ⊆ X̃ · Y, ce qui implique que X̃h ⊆ X̃ · Y, et donc que X̃ · Ỹ ⊆ X̃ · Y.

Ce résultat entraîne, en prenant X = Y = W_{α}, que W̃_{α} · W̃_{α} ⊆ W̃_{α}, c’est à dire que W̃_{α} est un sous-groupe de G (nous savons déjà que W̃_{α} = W̃_{α}^{−1}). Comme W_{α} est dense dans W̃_{α}, nous en déduisons par (7.4)(4) que W_{α} · W_{α} = W̃_{α}.

Nous avons montré que W_{α} · W_{α} est un sous-groupe algébrique de G, qui contient chacun des S̃_{i}: c’est donc le sous-groupe H_{0} de G engendré par les S̃_{i}, i ∈ I.

Supposons que α est de longueur m, et considérons l’ensemble U ⊆ G(F) défini par S_{α(1)} ·. . .·S_{α(m)} ·S_{α(1)} ·. . .·S_{α(m)}. D’après l’assertion, Ũ = H_{0} et donc dim(U) = dim(H_{0}). De plus, nous avons U ⊆ H_{0}(F) ⊆ H_{0}; par (7.6), le sous-groupe H_{1} engendré par U est définissable, d’indice fini dans H_{0}(F). Il n’y a qu’un nombre fini de groupes entre H_{1} et H_{0}(F), donc l’un d’entre eux doit être égal à H, et il est définissable, puisqu’il est engendré au-dessus de H_{1} par un nombre fini d’éléments, qui se trouvent dans un produit fini d’ensembles S_{i}. Puisque U ⊆ H, nous avons dim(H) = dim(H_{0}), ce qui montre que H̃ = H_{0}.

(7.8) Corollaire. Soit G un groupe algébrique défini sur un corps pseudo-fini F, et soit S_{i}, i ∈ I une famille de sous-ensembles de G(F) définissables dans F. Alors il existe un sous-groupe définissable H de G(F), contenu dans le sous-groupe de G(F) engendré par les S_{i}, i ∈ I, et tel que, pour tout i ∈ I, S_{i}H/H est fini.

Démonstration. Les composantes irréductibles de chaque S̃_{i} sont définies sur F, et nous pouvons supposer, quitte à agrandir la collection d’ensembles considérés, que chaque S̃_{i} est irréductible. Pour i ∈ I, soit g_{i} ∈ S_{i}, et soit T_{i} = g_{i}^{−1}S_{i}. Alors T̃_{i} est irréductible; par (7.7), le sous-groupe H de G(F) engendré par les T_{i}, i ∈ I, est définissable. D’autre part, g_{i}^{−1}S_{i} ⊆ H, ce qui montre le résultat.

(7.9) Corollaire. Soit G un groupe algébrique défini sur un corps pseudo-fini F. Si G(F) est définissablement simple, et non-abélien, alors il est simple.

Démonstration. Supposons que G(F) est définissablement simple. On peut supposer que G est connexe: sinon, G^{0} est un sous-groupe algébrique de G définissable sur F, et nous avons G^{0}(F) = G(F). Nous pouvons donc remplacer G par G^{0}. De plus, puisque G n’est pas abélien, G(F) n’est pas abélien par (7.5)(2), et donc Z(G(F)) est un sous-groupe définissable propre de G(F), qui doit donc être trivial.

Supposons que H est un sous-groupe normal de G(F). S’il est fini, soit g ∈ H; alors le centralisateur de g dans G(F) est un sous-groupe définissable de G(F) d’indice fini plus grand que 1 puisque Z(G(F)) = (1); en prenant l’intersection de ses conjugués, nous obtenons un sous-groupe normal définissable propre de G(F), ce qui contredit notre hypothèse.

Nous pouvons donc supposer que H est infini, et que tous ses éléments ont une classe de conjugaison infinie. Soit g ∈ H, et considérons X = {h^{−1}gh | h ∈ G(F)}; c’est un ensemble définissable de G(F), et sa clôture de Zariski est irréductible parce que G est connexe. D’après (7.7), le sous-groupe H_{0} engendré par g^{−1}X est définissable; il est infini, normal et contenu dans H. Cela entraîne: G(F) = H_{0} = H.

(7.10) Théorème. Soit G un groupe algébrique défini sur un corps pseudo-fini F, et supposons qu’il est presque simple (almost simple en anglais; cela veut dire qu’il n’a pas de sous-groupe algébrique normal infini, et qu’il n’est pas abélien).

Alors G(F) a un plus petit sous-groupe normal d’indice fini H, et H est définissable dans F. Le centre Z(H) de H est fini, Z(H) = Z(G) ∩ H, et H/Z(H) est simple. L’indice [G(F) : H] est borné indépendamment de F.

Démonstration. Notre hypothèse sur G entraîne que G est connexe, et que ses seuls sous-groupes algébriques normaux sont finis et donc contenus dans Z(G), qui est fini.

Etape 1. Tout sous-groupe normal infini de G(F) est d’indice fini et définissable.

Soit N un sous-groupe normal infini de G(F), et soit g ∈ N, g ∉ Z(G). Soit X = {[h, g] | h ∈ G(F)}; par (7.7) (en raisonnant comme dans (7.9)), le sous-groupe H_{0} de G(F) engendré par X dans G(F) est définissable, normal, et d’indice fini dans le sous-groupe H̃(F), où H̃ est le sous-groupe de G engendré par X̃; comme H̃ est algébrique par (7.4), H̃ = G et donc H_{0} est d’indice fini dans G(F).

Donc, [N : H_{0}] est fini, ce qui montre que N est définissable.

Etape 2. G(F) a un plus petit sous-groupe normal infini. Il est définissable et d’indice fini.

Nous avons montré dans l’étape 1 que tout sous-groupe normal infini de G(F) est définissable, et est d’indice fini. La conclusion est une simple application du théorème de compacité: supposons qu’il n’y en ait pas de plus petit, et soit H_{i}, i ∈ N, une suite strictement décroissante de sous-groupes normaux infinis de G(F). En passant à une extension élémentaire de F, nous pouvons supposer que F est ω_{1}-saturé. Alors ⋂_{i} H_{i} est un sous-groupe normal infini de G(F), et d’indice infini dans G(F), ce qui contredit l’étape 1.

Soit H le plus petit sous-groupe normal infini de G(F). Notons d’abord que H̃ = G: en effet, H est d’indice fini dans G(F) qui est dense dans G, et G est connexe.

Cela entraîne que Z(H) ⊆ Z(G): en effet, le centralisateur de Z(H) dans G est fermé pour la topologie de Zariski et contient H, ce qui montre que Z(H) est centralisé par G tout entier.

Il nous faut maintenant montrer que H/Z(H) est simple. Il est clair que H n’a aucun sous-groupe propre d’indice fini. Soit N un sous-groupe normal de H; si N est fini, alors C_{H}(N) est d’indice fini dans H, et donc N ⊆ Z(H).

Nous pouvons donc supposer que N est infini. Soit g ∈ N, g ∉ Z(G), et considérons les ensembles X = {[h, g] | h ∈ G(F)} et Y = {[h, g] | h ∈ H}. Comme H est dense dans G, nous avons X̃ = Ỹ = {[h, g] | h ∈ G}, et X̃ est une variété. Cela montre aussi que dim(X) = dim(Y); par (7.7), nous en concluons que le sous-groupe H_{0} de H engendré par Y et le sous-groupe H_{1} de G(F) engendré par X sont définissables, et que [H_{1} : H_{0}] est fini; comme H_{1} est un sous-groupe normal infini de G(F), il contient H, ce qui montre que H_{0} ∩ H est d’indice fini dans H, et donc que H_{0} = H.

Nous avons montré que tout sous-groupe normal propre de H est contenu dans Z(H), ce qui implique que H/Z(H) est simple.

La borne sur [G(F) : H] résulte elle aussi de la compacité (en utilisant des ultraproduits).

(7.11) Groupes simplement connexes. Soit G un groupe algébrique connexe, et H un groupe algébrique. On dit que f : H → G est une isogénie si c’est un morphisme surjectif de groupes algébriques dont le noyau est fini. On dit que G est simplement connexe si toutes les isogénies f : H → G sont injectives. Nous allons montrer que si G est presque simple, alors il a une enveloppe simplement connexe. Pour cela nous avons besoin d’un résultat auxiliaire que nous ne montrerons pas. Si on le compare avec (5.17), il n’est pas très surprenant.

Théorème. Soit G un groupe algébrique connexe défini sur un corps pseudo-fini F, et soit H_{0} un sous-groupe de G(F) d’indice fini et définissable dans F. Alors il existe un groupe algébrique connexe H et une isogénie f : H → G, définis sur F, et tels que f(H(F)) est un sous-groupe de H_{0} d’indice fini.

Nous avons donc une correspondance entre les sous-groupes définissables d’indice fini de G(F) et les isogénies f : H → G; remarquons que, par (7.5)(4), f ne peut être un isomorphisme si H_{0} est un sous-groupe propre de G(F). Nous allons maintenant utiliser (7.10) pour déduire l’existence d’une enveloppe simplement connexe dans le cas où G est presque simple.

Théorème. Soit G un groupe algébrique presque simple. Soit H la famille des paires (H, f) où f : H → G est une isogénie, et H est un groupe algébrique connexe. Alors H a un élément universel (H, f), c’est à dire que si (H′, f′) ∈ H, alors il existe un épimorphisme (définissable, pas nécessairement de groupes algébriques) h : H → H′ satisfaisant f = f′∘h. Démonstration. Soit K_{0} un corps algébriquement clos suffisamment saturé sur lequel G est défini, et soit F un corps pseudo-fini contenant K_{0}. Soit H_{0} le sous-groupe normal infini minimal de G(F); il est donc définissable par (7.10). Soit (H, f) ∈ H tel que f(H(F)) est un sous-groupe de H_{0} d’indice fini; nous avons alors f(H(F)) = H_{0} par minimalité de H_{0}. Nous voulons montrer que (H, f) est universel. Etape 1. Si (H′, f′) ∈ H, alors | ker f′| ≤ | ker f|.

En effet, par saturation de K_{0} il existe (H_{1}, f_{1}) ∈ H défini sur K_{0}, et un isomorphisme h : H′ → H_{1} tel que f′ = f_{1}∘h. Nous avons donc ker f′ ≃ ker f_{1} et il nous suffit de montrer que | ker f_{1}| ≤ | ker f|. Comme f_{1} et H_{1} sont définis sur le corps algébriquement clos K_{0}, ker f_{1} ⊆ H_{1}(K_{0}) ⊆ H_{1}(F). D’autre part, par (7.5)(4), | ker f_{1}| = [G(F) : f_{1}(H_{1}(F))] ≤ [G(F) : H_{0}] = | ker f|. Cela montre notre assertion.

Soit (H′, f′) ∈ H. Considérons le produit fibré H ×_{G} H′ défini par: {(h, h′) ∈ H ×H′ | f(h) = f′(h′)}. C’est un sous-groupe algébrique du groupe algébrique H × H′. Soit J la composante connexe de H ×_{G} H′, et p : J → H, p′ : J → H′ les morphismes induits par les projections H × H′ → H et H × H′ → H′. Alors p et p′ sont surjectifs (par connexité de H et H′), et ker p ⊆ {e} × ker f′ et ker p′ ⊆ ker f × {e}.

Par définition de H ×_{G} H′, les applications f ∘ p et f′ ∘ p′ sont égales, ont leur noyau contenu dans (ker f × ker f′) ∩ J, et définissent donc une isogénie φ : J → G. Par l’étape 1, nous avons | ker φ| ≤ | ker f|; comme φ = f ∘ p, ker φ est fini et f est surjective, nous en déduisons que | ker p| = 1, c’est à dire que p est un isomorphisme. Définissons maintenant h : H → H′ par H = p′ ∘ p^{−1}; nous avons alors f′ ∘ h = f′ ∘ p′ ∘ p^{−1} = f, ce qui montre que (H, f) est universel.

(7.12) Eléments unipotents et nilpotents dans M_{n}(K). Soit n un entier et p un nombre premier. Supposons que la caractéristique du corps F est p ou 0. Nous travaillons dans le groupe GL_{n}(F).

Rappelons qu’une matrice v ∈ M_{n}(F) est nilpotente si une puissance de v est égale à 0_{n}. Un élément u ∈ GL_{n}(F) est unipotent si (u − I_{n}) est nilpotent. Des applications log et exp sont aussi définies pour certaines matrices, voir (2) ci-dessous.

(1) Soit u une matrice unipotente de GL_{n}(F). Alors (u − I_{n})^{n} = 0_{n}. Si F est de caractéristique p ≥ n, alors u^{p} = I_{n}.

(2) Pour u un unipotent de GL_{n}(F), nous définissons

log(u) = (u − I_{n}) − (u − I_{n})^{2}/2 + ⋯ + (−1)^{n−1}(u − I_{n})^{n−1}/(n − 1),

et pour v un nilpotent de M_{n}(F), nous définissons

exp(v) = v + v^{2}/2! + ⋯ + v^{n−1}/(n − 1)!.

L’application log définit une bijection entre l’ensemble des matrices unipotentes de GL_{n}(F) et celui des matrices nilpotentes de M_{n}(F). L’inverse de log est donné par exp.

(3) Si u et v sont des matrices unipotentes qui commutent entre elles, alors log(uv) = log(u) + log(v).

(4) Soit u ∈ GL_{n}(F) unipotente. Alors l’ensemble X(u, F) = {exp(t log(u)) | t ∈ F } est un sous-groupe de GL_{n}(F), qui est isomorphe au groupe additif de F. Si F = F̃, c’est un sous-groupe algébrique connexe de GL_{n}(F). Si F = F_{p}, où p ≥ n, alors c’est le sous-groupe de GL_{n}(F_{p}) engendré par u. De plus, {exp(t log(u)) | t ∈ F̃_{p}} ∩ GL_{n}(F_{p}) = ⟨u⟩.

Démonstration. (1) Il suffit de montrer que si v ∈ M_{n}(F) est nilpotent, alors v^{n} = 0_{n}. Supposons que v^{m} = 0_{n}, et pour i ≤ m, considérons le sous-espace vectoriel ker(v^{i}) de F^{n}. Nous avons alors ker(v^{i}) ⊆ ker(v^{i+1}), et ker(v^{m}) = F^{n}. Nous allons montrer que si ker(v^{i}) = ker(v^{i+1}), alors ker(v^{i}) = F^{n}, ce qui montrera que v^{i} = 0_{n}. Remarquons que pour i ≥ 1,

ker(v^{i}) = ker(v^{i+1}) ⟺ ker(v^{i}) ∩ Im(v) = (0).

En effet, si a ∈ ker(v^{i+1}) \ ker(v^{i}), alors v(a) est un élément non nul de Im(v) ∩ ker(v^{i}); réciproquement, si b = v(a) est un élément non nul de ker(v^{i}), alors a ∈ ker(v^{i+1})\ker(v^{i}).

Supposons que ker(v^{i}) = ker(v^{i+1}); alors ker(v^{i+1}) ∩ Im(v) = (0), ce qui entraîne que ker(v^{i+1}) = ker(v^{i+2}). Nous en déduisons que ker(v^{i}) = ker(v^{i+1}) = ker(v^{i+2}) = ⋯ = F^{n}. Comme F^{n} est de dimension n, toute suite strictement croissante de sous-espaces de F 6n est de longueur au plus n, et donc v^{n} = 0_{n}.

En caractéristique p ≥ n nous avons u^{p} = (u − I_{n} + I_{n})^{p} = (u − I_{n})^{p} + I_{n}^{p} = I_{n}.

(2) et (3) sont prouvés à partir de simples calculs.

(4) Il est immédiat que X(u, F) est un sous-groupe: exp(t_{1} log(u)) exp(t_{2} log(u)) = exp((t_{1} +t_{2}) log(u)); exp(t log(u))^{−1} = exp(−t log(u)). Il est aussi clair qu’il est isomorphe au groupe additif de F, et ce, de façon définissable.

Nous avons donc un isomorphisme algébrique entre X(u, F̃) et F̃; comme le groupe algébrique F̃ est connexe, X(u, F̃) l’est aussi.

Regardons maintenant ce qui se passe pour F = F_{p}, où p ≥ n. Les valeurs de t ∈ F_{p} nous donnent alors les éléments de ⟨u⟩. Réciproquement, soit t ∈ F̃_{p} et supposons que exp(t log(u)) ∈ GL_{n}(F_{p}); cela entraîne que t log(u) ∈ M_{n}(F_{p}), et comme d’autre part log(u) ∈ M_{n}(F_{p}), nous en déduisons que t ∈ F_{p}, ce qui prouve la dernière assertion.

(7.13) Théorème. Soit n > 1 un entier. Il existe un entier k tel que tout sous-groupe G de GL_{n}(F_{p}) qui est engendré par des éléments d’ordre p est de la forme ⟨g_{1}⟩ ⋯ ⟨g_{k}⟩ pour des éléments g_{1}, …, g_{k} ∈ G d’ordre p.

Il existe un entier d (qui dépend seulement de n), tel que si G^{∗} est le sous-groupe algébrique de GL_{n}(F̃_{p}) engendré par les ensembles X̃(u) = {exp(t log(u)) | t ∈ F̃_{p}}, où u parcourt l’ensemble des éléments de G d’ordre p, alors [G^{∗}(F_{p}) : G] ≤ d. Si p > d, alors tous les éléments de G^{∗}(F_{p}) d’ordre p sont dans G. Démonstration. Considérons la formule φ(x, y) (x et y sont des éléments du groupe, c’est à dire des uplets du corps) qui exprime: y est un unipotent de GL_{n}(F) et il existe t ∈ F tel que x = exp(t log(y)). C’est une formule dans le langage des corps, sans paramètres. Si b est un unipotent de GL_{n}(F), alors φ(x, b) définit un sous-groupe de GL_{n}(F) dont la clôture de Zariski est irréductible.

Supposons qu’il n’existe pas de tel k. Nous pouvons donc trouver une suite croissante p(i), i ∈ N, de nombres premiers, et pour chaque i, un ensemble A_{i} d’éléments de GL_{n}(F_{p(i)}) d’ordre p(i), tel que le sous-groupe G_{i} de GL_{n}(F_{p(i)}) engendré par A_{i}, ne peut être écrit comme produit ⟨a_{1}⟩ ⋯ ⟨a_{i}⟩ pour des éléments a_{1}, …, a_{i} ∈ G_{i} qui sont d’ordre p(i).

Soit M_{i} la structure (F_{p(i)}, +, ·, A_{i}), et soit M = (F, +, ·, A) un ultraproduit nonprincipal des M_{i}. Alors F est un corps pseudo-fini de caractéristique 0, et A est un ensemble d’éléments unipotents de GL_{n}(F).

Pour a ∈ A, soit X(a) le sous-groupe de GL_{n}(F) défini par la formule φ(x, a); c’est donc un sous-groupe, dont la clôture de Zariski est le groupe algébrique connexe {exp(t log(a)) | t ∈ F̃}. Par (7.7), le sous-groupe engendré par les X(a), a ∈ A, est définissable, et contenu dans un produit de la forme X(a_{1}) ⋯ X(a_{r}) pour certains a_{1}, …, a_{r} ∈ A.

Il existe une formule ψ(x_{1}, …, x_{r}) satisfaite par a_{1}, …, a_{r} dans M et exprimant que X(a_{1}) ⋯ X(a_{r}) est un sous-groupe de GL_{n}(F) contenant A; donc, il existe un ensemble infini J d’entiers i tels que les uplets (a_{1}(i), …, a_{r}(i)) satisfont ψ. Ce qui veut dire: X(a_{1}(i)) ⋯ X(a_{r}(i)) est un sous-groupe de GL_{n}(F_{p(i)}) contenant A_{i}. Cela contredit notre hypothèse, et montre l’existence d’une borne k.

Par (7.7), [G^{∗}(F_{p}) : G] est fini; par compacité, il est donc borné. Appelons d cette borne.

Supposons p > d, et soit a ∈ G^{∗}(F_{p}) un élément d’ordre p. Si B est le groupe engendré par a, il est d’ordre p, et son intersection avec G est d’ordre p ou 1. Si B ∩ G = (1), alors les cosets bG pour b ∈ B sont tous distincts, ce qui contredit [G^{∗}(F_{p}) : G] ≤ d < p. Nous en concluons que B ⊆ G, ce qui finit la démonstration du théorème.

8. Réduction mod p; sous-groupes Zariski denses

Soit G un groupe algébrique défini sur Q; il peut donc être défini par des équations dont les coefficients sont dans Z; en passant à Z/pZ, nous obtenons alors un objet G_{p} défini sur Z/pZ, dont une interprétation est: G mod p. Nous allons ci-dessous généraliser tout cela et montrer formellement quelques résultats.

(8.1) Théorème. Soit R un anneau intègre, finiment engendré en tant qu’anneau. Si R est un corps, alors R est fini. Si R est infini et a est un élément non nul de R, alors il existe une infinité d’idéaux maximaux de R qui ne contiennent pas a.

Démonstration. La preuve est par induction sur le nombre de générateurs de R. Il suffit de prouver la deuxième assertion, car elle entraîne la première. Pour R = Z ou R = F_{p}, le résultat est immédiat. Supposons le résultat vrai pour le sous-anneau S de R, et supposons que R = S[t]. Il y a deux cas à considérer:

Cas 1: t ne satisfait aucune équation à coefficients dans S.

Alors S[t] est un anneau de polynômes sur S. Supposons d’abord que S est fini. Comme il est intègre, c’est donc un corps. Si a(t) est un élément non-nul de R, il existe une infinité de polynômes irréductibles dans R qui sont relativement premiers avec a(t); de tels polynômes engendrent des idéaux maximaux ne contenant pas a(t).

Supposons maintenant que S est infini, et soit a(t) ≠ 0 un élément de R. Comme S est infini, il contient une infinité d’éléments c tels que a(c) ≠ 0. Pour chaque c ∈ S tel que a(c) ≠ 0, si P est un idéal maximal de S ne contenant pas a(c) (il en existe par hypothèse d’induction), alors (P, t − c) est un idéal maximal de R ne contenant pas a.

Cas 2: t est algébrique sur S.

Si S est fini, alors S[t] est un corps fini. Nous pouvons donc supposer que S est infini. Soit a un élément non nul de R, et f(X) ∈ S[X] un polynôme ayant a comme racine et de degré minimal. Alors le coefficient constant b de f(X) est non nul puisque a ≠ 0. Soit P un idéal maximal de S ne contenant pas b, et P′ un idéal maximal de R contenant P. Comme S/P est un corps, P′ ∩ S = P. Comme b ∉ P′, f(a) − b = −b ∉ P′, ce qui entraîne que a ∉ P′ (puisque X divise f(X) − b, et donc a divise −b). Par hypothèse d’induction, il existe une infinité d’idéaux maximaux de S ne contenant pas b, et donc une infinité d’idéaux maximaux de R ne contenant pas a.

(8.2) Soit R un anneau intègre, engendré par a_{1}, …, a_{n}. Soit X = Max(R) l’ensemble des idéaux maximaux de R. Nous définissons une topologie sur X de la façon suivante: les ouverts de bases sont les ouverts O_{a} = {P ∈ X | a ∉ P } pour a ∈ R.

Proposition. Soit R un anneau intègre infini, engendré par a_{1}, …, a_{n}.

(1) Si P est un idéal maximal, alors R/P est un corps fini.

(2) Soit m ∈ N. L’ensemble {P ∈ X | |R/P | ≤ m} est fini.

(3) Si a, b ∈ R alors O_{a} ∩ O_{b} = O_{ab}. Donc une intersection finie d’ouverts de base est un ouvert de base. L’espace X est compact, et tout singleton est fermé.

(4) Soit a ∈ R, a ≠ 0. Alors O_{a} est infini.

Démonstration. (1) Le quotient R/P est un corps, et il est engendré par a_{1}/P, …, a_{n}/P; par (8.1) il doit être fini.

(2) Pour P, P′ ∈ X, nous avons: P = P′ si et seulement si les n-uplets (a_{1}/P, …, a_{n}/P) et (a_{1}/P′, …, a_{n}/P′) satisfont les mêmes équations à coefficients dans Z. Donc, P = P′ si et seulement si les structures (R/P, +, ·, a_{1}/P, …, a_{n}/P) et (R/P′, +, ·, a_{1}/P′, …, a_{n}/P′) sont isomorphes. Mais il n’y a qu’un nombre fini de classes d’isomorphisme de corps (F_{q}, +, ·, c_{1}, …, c_{n}) avec q ≤ m, et nous en déduisons le résultat.

(3) Un idéal maximal est en particulier premier, et nous avons donc: ab ∉ P ⟺ a ∉ P et b ∉ P.

Soit P ∈ X; pour chaque P ≠ Q ∈ X, nous pouvons trouver b_{Q} ∈ Q \ P (comme Q est maximal, Q ⊈ P). Nous avons alors {P } = ⋂_{Q∈X, Q≠P} O_{b_{Q}}.

Soit maintenant U_{i}, i ∈ I, une famille d’ouverts de X telle que ⋃_{i} U_{i} = X. Par la première partie, tout ouvert est une réunion d’ouverts de base, et donc nous pouvons supposer que chaque U_{i} est de la forme O_{a_{i}} pour un élément a_{i} ∈ R. En passant au complémentaire, le fait que X = ⋃_{i} U_{i} est alors équivalent à: aucun élément de X ne contient tous les éléments a_{i}, i ∈ I, c’est à dire: l’idéal engendré par {a_{i} | i ∈ I} est R tout entier.

Il existe donc b_{1}, …, b_{m} ∈ R, et i(1), …, i(m) ∈ I tels que 1 = a_{i(1)}b_{1} + ⋯ + a_{i(m)}b_{m}. Nous avons alors: X = O_{a_{i(1)}} ∪ ⋯ ∪ O_{a_{i(m)}}.

(4) Soit a ≠ 0. Nous allons d’abord montrer que O_{a} est non vide. Soit R′ = R[1/a]; c’est un anneau intègre, finiment engendré. Prenons P′ un idéal maximal de R′ et posons P = P′ ∩ R. Comme R′ est finiment engendré, R′/P′ est un corps fini. D’autre part, P ∩ R est un idéal premier, et le morphisme R → R′ → R′/P′ induit une inclusion (R/P) ⊆ (R′/P′); (R/P) est un sous-anneau d’un corps fini, c’est donc un corps, ce qui montre que P ∈ X. Comme a ∉ P′, nous avons P ∈ O_{a}.

Nous savons que R est infini, et que si b ≠ 0, alors ∅ ≠ O_{ab} ⊆ O_{a}. De cela on déduit facilement que O_{a} est infini.

(8.3) Soit maintenant W un ensemble algébrique défini sur le corps des fractions de R. Il peut donc être défini par des équations à coefficients dans R. Pour P un idéal de R, nous considérons alors l’ensemble algébrique W_{P} défini sur (R/P) par I(W) ∩ R[X̄] + P.

Soit G un groupe algébrique défini sur le corps des quotients de R; on peut considérer le graphe de la multiplication, M, comme un sous-ensemble algébrique de G^{3}. Pour P un idéal de R, nous regardons alors la structure (G_{P} , M_{P}), où M_{P} est le graphe d’une relation ternaire. Nous désignerons aussi cette structure par G_{P}.

Proposition. Soit R un anneau intègre infini, engendré par a_{1}, …, a_{n}, et soit G un groupe algébrique connexe défini sur le corps des quotients de R. Il existe a ∈ R, a ≠ 0, tel que pour tout P ∈ O_{a}:

(1) G_{P} est un groupe algébrique connexe.

(2) Si de plus G est presque simple, alors G_{P} est presque simple.

(3) Supposons G presque simple. Il existe d (qui dépend seulement de G) tel que tous les sous-groupes normaux de G_{P} (R/P) sont soit finis de taille plus petite que d et centraux, ou bien d’indice ≤ d.

Démonstration. Soit (b_{n}), n ∈ N, une énumération des éléments non nuls de R. Les trois résultats sont prouvés par contradiction, en utilisant des ultraproduits. Le résultat central à toutes les démonstrations est le suivant:

Assertion. Soit P (m), m ∈ N, une suite d’idéaux maximaux de R satisfaisant b_{1} ⋯ b_{m} ∉ P (m) pour tout m ∈ N, et soit U un ultrafiltre non principal sur N. Alors l’homomorphisme R → ∏_{m∈N}(R/P (m)) → ∏_{m∈N}(R/P (m))/U (induit par les applications naturelles R → R/P (m)), est un plongement.

En effet, pour chaque élément non nul b de R, l’ensemble {m ∈ N | b ∉ P (m)} est cofini, et donc appartient à U.

Fixons un ultrafiltre non-principal U sur N.

(1) Supposons que la conclusion est fausse. Soient f_{1}(X̄, T̄), …, f_{m}(X̄, T̄), g_{1}(X̄, Ȳ , T̄), …, g_{r}(X̄, Ȳ , T̄) des polynômes à coefficients dans Z tels que les équations f_{1}(x̄, ā) = ⋯ = f_{m}(x̄, ā) = 0 définissent G, les équations g_{1}(x̄, ȳ, ā) = ⋯ = g_{r}(x̄, ȳ, ā) = 0 définissent M (ā = (a_{1}, …, a_{n})). Il existe alors une formule sans quantificateurs φ(z̄) qui définit dans tout corps K les n-uplets c̄ satisfaisant:

(a) L’ensemble algébrique W défini par les équations f_{1}(x̄, c̄) = ⋯ = f_{m}(x̄, c̄) = 0 est une variété.

(b) L’ensemble algébrique défini par les équations g_{1}(x̄, ȳ, c̄) = ⋯ = g_{r}(x̄, ȳ, c̄) = 0 définit une loi de groupe sur W. Puisqu’il n’existe pas de a satisfaisant la conclusion de (1), pour tout m ∈ N, nous

pouvons trouver P (m) ∈ O_{b_{1}···b_{m}} tel que G_{P (m)} n’est pas un groupe algébrique connexe. Nous avons donc R/P (m) ⊧ ¬φ(a_{1}/P (m), …, a_{n}/P (m)).

Soit F = ∏_{m∈N}(R/P (m))/U. D’après l’assertion, nous pouvons identifier R avec un sous-anneau de F, et donc F ⊧ φ(a_{1}, …, a_{n}) (φ est sans quantificateurs). Par notre choix des P (m) nous avons (R/P (m)) ⊧ ¬φ(a_{1}/P (m), …, a_{n}/P (m)), ce qui contredit le théorème de Łos.

(2) Soit b ∈ R satisfaisant la conclusion de (1). Supposons qu’il n’existe pas de a satisfaisant la conclusion de (2). Alors, pour tout m ∈ N nous pouvons trouver P (m) ∈ O_{bb_{1}···b_{m}} tel que G_{P (m)} n’est pas simple; c’est à dire qu’il existe un corps algébriquement clos K_{m} contenant R/P (m) et un sous-groupe normal propre infini H_{m} de G_{P (m)}(K_{m}).

Considérons les structures B_{m} = (R/P (m), K_{m}, H_{m}), et soit B = ∏_{m∈N} B_{m}/U. Alors B = (F, K, H) où F est un corps pseudo-fini contenant R, K est un corps algébriquement clos contenant F, et H est un sous-groupe normal propre infini de G(K). Mais par (7.5), si g ∈ H \ Z(G), H contient le sous-groupe algébrique engendré par la variété {[h, g] | h ∈ G(K)}, ce qui contredit la presque simplicité de G.

(3) Soit maintenant b satisfaisant la conclusion de (1) et (2). En appliquant le théorème (7.10), soit d ∈ N tel que si F est un corps pseudo-fini contenant R, alors tout sous-groupe normal de G(F) d’indice supérieur à d est central dans G, et de taille inférieure à d (on prend d ≥ |Z(G)|).

Supposons qu’il n’existe pas d’élément a satisfaisant la conclusion de (3). Pour tout m ∈ N nous pouvons donc trouver P (m) ∈ O_{bb_{1}···b_{m}}, et un sous-groupe normal H_{m} de G_{P (m)}(R/P (m)) d’indice plus grand que d, et qui est soit de taille plus grande que d, soit non-central.

Considérons les structures C_{m} = (R/P (m), H_{m}) et soit C = ∏_{m∈N} C_{m}/U. Alors C = (F, H), où F est un corps pseudo-fini contenant R, et H est un sous-groupe normal de G(F) d’indice plus grand que d. Par notre choix de d, H est central de taille inférieure à d. Cela contredit le choix des H_{m} et le théorème de Łos.

Remarque. Quand l’anneau R est Z ou bien une extension algébrique finie de Z, les ouverts O_{a} sont en fait cofinis pour a ≠ 0. Donc “pour tout P ∈ O_{a}” devient: “en dehors d’un ensemble fini S d’idéaux maximaux”, ou de façon équivalente, “pour presque tout P ”.

(8.4) Théorème. Soit G un sous-groupe algébrique de GL_{n} défini sur Q, presque simple et simplement connexe. Soit Γ un sous-groupe de G(Q) qui est finiment engendré, et dense (au sens de la topologie de Zariski) dans G.

Pour p un nombre premier, soit Z_{(p)} le sous-anneau de Q des fractions dont le dénominateur n’est pas divisible par p. L’homomorphisme de réduction modulo p: Z → F_{p} se prolonge naturellement en un homomorphisme π_{p} : Z_{(p)} → F_{p}.

Alors, pour presque tout nombre premier p, π_{p}(Γ) = G_{p}(F_{p}). Démonstration. Soient a_{1}, …, a_{r} des générateurs de Γ. Soit m un entier tel que G et sa loi de groupe sont définis sur Z[1/m], et a_{1}, …, a_{r}, a_{1}^{−1}, …, a_{r}^{−1} ∈ G(Z[1/m]). Alors Γ ⊆ G(Z[1/m]). Donc si p ne divise pas m, alors π_{p}(Γ) est bien défini.

Soit S un ensemble fini de nombres premiers contenant les diviseurs de m, et tel que pour p ∉ S, G_{p} est un groupe algébrique presque simple (voir (8.3)).

Supposons que le résultat est faux. Nous pouvons donc trouver une suite infinie (croissante) de nombres premiers p(i) ∉ S, i ∈ N, telle que pour i ∈ N, Γ_{i} = π_{p(i)}(Γ) est un sous-groupe propre de G_{i} = G_{p(i)}(F_{p(i)}).

Considérons les structures M_{i} = (F_{p(i)}, +, ·, Γ_{i}, π_{p(i)}(a_{1}), …, π_{p(i)}(a_{r})); alors, les éléments π_{p(i)}(a_{1}), …, π_{p(i)}(a_{r}) engendrent Γ_{i}.

Soit M = (F, +, ·, Γ′, a′_{1}, …, a′_{r}) un ultraproduit non principal des structures M_{i}. Alors F est un corps pseudo-fini de caractéristique 0, et l’inclusion Z[1/m] ⊆ F ainsi que la définition des éléments π_{p(i)}(a_{j}) montrent que (a′_{1}, …, a′_{r}) = (a_{1}, …, a_{r}). Le groupe Γ′ est donc un sous-groupe propre de G(F) qui contient Γ; c’est donc un sous-groupe dense de G. Etape 1. Γ′ contient un élément unipotent.

Ici, nous avons besoin d’un résultat d’algèbre: Résultat. Soit n un entier fixé. Il existe un entier d tel que si G est un sous-groupe de GL_{n}(F_{q}) pour une puissance première q et G ne contient pas d’élément unipotent, alors G a un sous-groupe abélien d’indice au plus d.

Si Γ′ ne contient pas d’élément unipotent, alors la plupart des Γ_{i} non plus; ils ont donc un sous-groupe abélien H_{i} d’indice au plus d; l’ultraproduit des H_{i} est alors un sousgroupe abélien H de Γ′ d’indice fini, et comme G est connexe et Γ′ est dense dans G, cela montre que H̃ = G est abélien, ce qui est absurde. Etape 2. Soit u ∈ Γ′ un unipotent, et U = {exp(t log u) | t ∈ F }. Alors U est un sous-groupe de Γ′.

En effet, écrivons u = (u_{i})_{i∈N} où u_{i} ∈ Γ_{i}; alors pour presque tout i (au sens de l’ultrafiltre), u_{i} est unipotent, et donc le sous-groupe engendré par u_{i} est précisément le groupe {exp(t log u_{i}) | t ∈ F_{p(i)}}. Cela prouve l’assertion.

Donc U est un sous-groupe définissable de Γ′, et Ũ est une variété. Par (7.7), le sousgroupe H de Γ′ engendré par {U^{g} | g ∈ Γ′} est définissable (U^{g} = g^{−1}Ug). Soit N son normalisateur dans G(F): N = {g ∈ G(F) | H^{g} = H}; c’est un sous-groupe définissable de G(F) qui contient Γ′, puisque H est normal dans Γ′. De cela on déduit que N est Zariski dense dans G, et donc que dim(N) = dim(G) = dim(G(F)); par (7.5)(3), N est un sous-groupe d’indice fini de G(F). Mais comme G est simplement connexe, nous savons que G(F) n’a pas de sous-groupe définissable d’indice fini. Donc N = G(F), et H est un sous-groupe normal infini de G(F) contenu dans Γ′. Cela contredit (7.10).

(8.5) Réduction mod p d’anneaux intègres finiment engendrés.

Soit R un anneau intègre finiment engendré de caractéristique 0, L son corps des fractions, et K_{0} = Q̃ ∩ L. Alors le corps des fractions de R_{0} = K_{0} ∩ R est K_{0}. Ecrivons R comme R_{0}[c̄], et soit V la variété définie sur K_{0} dont c̄ est un point générique.

En raisonnant de la même façon que dans (8.3) (voir aussi la démonstration du (2) de la proposition ci-dessous), on montre que pour presque tout idéal maximal P de R_{0}, l’ensemble algébrique défini en réduisant les équations définissant V modulo P, est une variété V_{P} définie sur le corps fini K_{P} = R_{0}/P. L’homomorphisme R_{0} → K_{P} s’étend alors en un homomorphisme π_{P} : R → K_{P} [c̄_{P}] = R_{P}, où c̄_{P} est un point générique de V_{P}. Soit L_{P} = K_{P} (V_{P}).

Lemme 1. Soit R_{1} un sous-anneau finiment engendré de Q̃ contenant R_{0}. Alors presque tout idéal maximal de R_{0} s’étend en un idéal maximal de R_{1}.

Démonstration. Soit R_{2} l’anneau engendré par les images de R_{1} par les automorphismes de Q̃. Alors R_{2} est finiment engendré car R_{1} n’a qu’un nombre fini de conjugués. Il suffit de montrer l’assertion pour R_{2}: si l’idéal engendré par P dans R_{1} contient 1, il en est de même dans R_{2}.

Soit P un idéal maximal de R_{0}, et supposons que l’idéal qu’il engendre dans R_{2} contient 1. Alors la même chose est vraie de tous les conjugués de P au-dessus de Q, c’est à dire de tous les idéaux premiers de R_{0} contenant P ∩ Z (car ils sont tous maximaux et tous conjugués). Donc, si p est le nombre premier engendrant P ∩ Z, alors p n’est contenu dans aucun idéal de R_{2}, ce qui implique que p est inversible dans R_{2}. Comme R_{2} est finiment engendré, il n’y a qu’un nombre fini de nombres premiers inversibles dans R_{2}, et donc un nombre fini d’idéaux premiers de R_{0} qui deviennent impropres dans R_{1}.

Lemme 2. Soit φ(x̄, ȳ) une formule sans quantificateurs, et soit ā un uplet de R_{0}, et supposons que R ⊧ φ(ā, c̄). Alors pour presque tout P, L_{P} ⊧ φ(π_{P} (ā), π_{P} (c̄)).

Démonstration. Il suffit de le montrer quand φ est atomique ou une négation d’atomique. Si φ est atomique, c’est clair puisque π_{P} est un homomorphisme d’anneau. Supposons donc que φ(x̄, ȳ) est de la forme g(x̄, ȳ) ≠ 0, où g est un polynôme à coefficients entiers. En agrandissant ā, nous pouvons supposer que Z[ā] = R_{0}.

Puisque g(ā, c̄) ≠ 0, g(ā, X̄) ∉ I(V). Soient f_{1}(Ȳ , X̄), …, f_{r}(Ȳ , X̄) des polynômes à coefficients entiers tels que f_{1}(ā, X̄), …, f_{r}(ā, X̄) engendrent I(V) ∩ R_{0}[X̄]. Par les résultats du chapître 4, il existe une formule sans quantificateurs ψ(ȳ) satisfaite par ā dans R_{0}, et telle que si F est un corps algébriquement clos et b̄ est un uplet de F, alors F ⊧ ψ(b̄) si et seulement si l’idéal de F [X̄] engendré par f_{1}(b̄, X̄), …, f_{r}(b̄, X̄) est un idéal premier, qui ne contient pas g(b̄, X̄).

Nous avons donc réduit le problème à l’assertion suivante:

Si ψ(ȳ) est une formule sans quantificateurs satisfaite par ā dans R_{0}, alors pour presque tout P, K_{P} ⊧ ψ(π_{P} (ā)).

Il suffit de le montrer pour ψ atomique ou négation d’atomique; le cas atomique est clair puisque π_{P} est un homomorphisme; le cas où ψ est une négation d’atomique découle de la remarque à la fin de (8.3).

Proposition. Soit f(T) ∈ R[T] un polynôme n’ayant pas de racine dans Q̃L. Soit g(T) ∈ R[T] tel que, si α est une racine de f(T), alors g(α) ∉ Q̃L.

(1) Pour presque tout P, le polynôme π_{P} (f)(T) n’a pas de racine dans L_{P}, et si α_{P} est une racine de π_{P} (f)(T), alors π_{P} (g)(α_{P}) ∉ L_{P}.

(2) Supposons que f(T) est irréductible et L(α) est une extension régulière de Q pour α une racine de f(T). Pour P un idéal maximal de R_{0}, soit α_{P} une racine de π_{P} (f)(T). Alors, pour presque tout P, π_{P} (f)(T) est irréductible au-dessus de L_{P}, [L_{P} (α_{P}) : L_{P}] = [L(α) : L], et [L_{P} (g(α_{P})) : L_{P}] = [L(g(α)) : L].

Démonstration. (2) Ecrivons f(T) = F (c̄, T) (F à coefficients entiers) et soit h(c̄) le coefficient du terme de plus haut degré en T de f(T). L’idéal de Q̃[X̄, T] engendré par I(V) et F (X̄, T) est l’idéal d’une variété W. Donc, pour presque tout idéal maximal P de R_{0}, l’ensemble algébrique défini par I(V_{P}) et π_{P} (F)(X̄, T) est une variété W_{P}, et π_{P} (h)(X̄) ∉ I(W_{P}). Soit α_{P} tel que (c̄_{P} , α_{P}) est un point générique de W_{P}. Alors π_{P} (f)(α_{P}) = 0, et le polynôme π_{P} (f)(T) est irréductible, de même degré en T que f(T). On obtient donc [L_{P} (α_{P}) : L_{P}] = [L(α) : L].

Pour la deuxième assertion, on applique la première partie à un polynôme irréductible h(T) ∈ R[T] dont g(α) est une racine.

(1) Soit M le corps de décomposition de f(T), et K_{1} = M ∩ Q̃; soit R_{1} un anneau finiment engendré contenant R_{0} et dont le corps des fractions est K_{1}. Alors le corps des fractions de R_{1}R = R_{1}[c̄] est L_{1} = K_{1}(c̄). Soient g_{1}(T), …, g_{s}(T) ∈ R_{1}[c̄, T] des polynômes irréductibles et r ∈ R_{1}[c̄] tels que g_{1}(T) ⋯ g_{s}(T) = rf(T). Par hypothèse, le degré des g_{i}(T) est plus grand que 1.

Par (2) et le lemme 2, pour presque tout idéal maximal P′ de R_{1}, π_{P′}(r) ≠ 0, et pour i = 1, …, s, le polynôme π_{P′}(g_{i})(T) est irréductible au-dessus de (R_{1}/P′)(c̄_{P}), de degré égal à celui de g_{i}(T) (et donc supérieur à 1). Comme π_{P′}(g_{1})(T) ⋯ π_{P′}(g_{s})(T) = π_{P′}(r)π_{P′}(f)(T), les racines de π_{P′}(f)(T) ne sont pas dans (R_{1}/P′)(c̄_{P}), et si α_{P′} est une racine de π_{P′}(f)(T), alors π_{P′}(g)(α_{P′}) ∉ (R_{1}/P′)(c̄_{P}).

En utilisant le lemme 1, on en déduit le résultat souhaité.

(8.6) Réduction mod p de variétés abéliennes.

Rappelons d’abord la définition de l’espace projectif de dimension n. Soit K un grand corps algébriquement clos, et considérons l’ensemble S des (n+1)-uplets (x_{0}, …, x_{n}), avec (x_{0}, …, x_{n}) ≠ (0, …, 0). Nous définissons une relation d’équivalence ∼ sur S en posant (x_{0}, …, x_{n}) ∼ (y_{0}, …, y_{n}) s’il existe a ≠ 0 tel que (x_{0}, …, x_{n}) = (ay_{0}, …, ay_{n}). Nous définissons alors P^{n}(K) comme étant l’ensemble S/ ∼ des classes d’équivalence de ∼ dans S. Il est clair d’après sa définition que P^{n}(K) est interprétable dans K. Les éléments de P^{n}(K) sont notés (x_{0} : ⋯: x_{n}).

Un sous-ensemble algébrique de P^{n}(K) est défini comme étant l’ensemble des zéros de polynômes homogènes de K[X_{0}, …, X_{n}] (ou plutôt son image dans S/ ∼). Comme dans le cas affine, une variété projective est un ensemble algébrique irréductible (au sens de la topologie de Zariski induite sur P^{n}(K)). Une variété abélienne est une variété projective munie d’une loi binaire définie par des fonctions rationnelles en (X_{0}, …, X_{n}) qui en font un groupe. On peut montrer que la loi de groupe d’une variété abélienne est commutative. On note sa loi de groupe additivement.

Nous gardons les notations introduites dans (8.5): R est un anneau intègre finiment engendré, R_{0} = Q̃ ∩ R, L est le corps des fractions de R et K_{0} celui de R_{0}; R = R_{0}[c̄], et V est la variété dont c̄ est un point générique. Pour P un idéal maximal de R_{0}, nous avons l’application π_{P} : R → K_{P} (c̄_{P}), où c̄_{P} est un point générique de l’ensemble algébrique V_{P}.

Soit A une variété abélienne définie sur L. Les équations la définissant peuvent donc être prises dans R, et en appliquant π_{P}, nous obtenons un sous-ensemble algébrique projectif A_{P} défini sur R_{P}, avec un sous-ensemble algébrique M_{P} ⊆ A_{P}^{3} , image par π_{P} du graphe M de l’addition de A. En raisonnant de la même façon que dans (8.3), on montre que pour presque tout idéal maximal P de R_{0}, (A_{P} , M_{P}) est une variété abélienne, définie sur L_{P}.

Remarquons maintenant que tout point de A(L) peut s’écrire (x_{0} : ⋯: x_{n}) avec x_{0}, …, x_{n} ∈ R. L’application π_{P} induit donc une application A(L) → A_{P} (L_{P}), qui est un morphisme de groupe pour presque tout P.

Théorème. Avec les notations ci-dessus, supposons que A(Q̃L) est finiment engendré. Alors pour presque tout idéal maximal P de R_{0}, π_{P} est injective sur A(L).

Démonstration. La preuve se décompose en plusieurs étapes.

Etape 1. Nous pouvons supposer que A(L) = A(Q̃L).

Comme A(Q̃L) est finiment engendré, il est contenu dans A(K_{1}L) pour une extension finie K_{1} de K_{0}. Par le lemme 1, nous pouvons remplacer K_{0} par K_{1}, R_{0} par un anneau finiment engendré dont le corps des fractions est K_{1}, L par LK_{1}, etc . . ..

Ecrivons A(L) = A_{tor}(L) ⊕ Γ, où A_{tor}(L) est un groupe fini, et Γ est un groupe sans torsion (et donc isomorphe à une somme de copies de Z).

Etape 2. Pour presque tout P, π_{P} est injective sur le sous-groupe de torsion de A(L).

Le sous-groupe de torsion de A(L) est fini. On applique le lemme 2 à la formule sans quantificateurs exprimant que les points de ce sous-groupe sont distincts.

Fixons un nombre premier ℓ tel que A(Q̃L) n’ait pas de point d’ordre ℓ.

Etape 3. Pour presque tout P, A_{P} (L_{P}) n’a pas de point d’ordre ℓ.

Soit D l’ensemble des points de A d’ordre exactement ℓ; pour chaque point d de D, nous fixons un (n + 1)-uplet le représentant et ayant une coordonnée égale à 1. Soit M l’extension Galoisienne de L obtenue en rajoutant ces représentants. Alors toute extension de L contenant tous les points d’ordre ℓ de A contient M. Soit α tel que M = L(α), et choisissons le de telle façon que tous les uplets représentant les éléments de D soient dans R[α]. Pour tout ā = (a_{0} : ⋯: a_{n}) ∈ D, il existe des polynômes g_{ā,i}(T) ∈ R[T], i = 0, …, n, tels que a_{i} = g_{ā,i}(α), et un indice i(a) tel que a_{i(a)} ∉ Q̃L. Nous pouvons alors appliquer la Proposition (8.5)(1) à un polynôme irréductible f(T) ∈ R[T] dont α est une racine, et aux polynômes g_{ā,i(ā)}(T), ā ∈ D, i = 0, …, n.

Donc pour presque tout P: si α_{P} est une racine de π_{P} (f)(T), et ā ∈ D alors le point ā_{P} = (π_{P} (g_{ā,0})(α_{P}) : ⋯: π_{P} (g_{ā,n})(α_{P})) est un point de A_{P} d’ordre ℓ, l’une de ses coordonnées est égale à 1, et une autre n’est pas dans L_{P}.

D’autre part, en utilisant l’étape 2 pour une extension finiment engendrée de R_{0} dont le corps des quotients est M ∩Q̃, on déduit que (gardant les notations introduites ci-dessus): pour presque tout P, l’application ā ↦ ā_{P} est injective sur D.

Comme A et A_{P} ont ℓ^{2dim(A)} points d’ordre ℓ si ℓ ∉ P, tous les points d’ordre ℓ de A_{P} sont de la forme ā_{P}, et donc ne sont pas dans A_{P} (L_{P}). Etape 3. Pour presque tout P, π_{P} (ℓΓ) = π_{P} (Γ) ∩ ℓA_{P} (L_{P}), et π_{P} induit une injection Γ/ℓΓ → A_{P} (L_{P})/ℓA_{P} (L_{P}).

Soit Γ′ = {ā ∈ A(L̃) | ℓā ∈ Γ}. Comme Γ est finiment engendré, et A n’a qu’un nombre fini d’éléments d’ordre ℓ, [Γ′ : Γ] est fini. Soit T un sous-ensemble de Γ′ représentant les cosets de Γ dans Γ′ et contenant 0_{A} (l’élément identité de A). Pour chaque b̄ ∈ T choisissons un (n + 1)-uplet (b_{0}, ⋯, b_{n}) avec l’une des coordonnées égale à 1, et tel que b̄ = (b_{0} : ⋯: b_{n}). Alors l’extension M obtenue en adjoignant à L les uplets (b_{0}, ⋯, b_{n}) pour b̄ ∈ T, est une extension Galoisienne finie de L. De plus pour b̄ ≠ d̄∈ T, nous avons b̄ − d̄∉ A(L).

Soit α ∈ M tel que M = L(α) et les uplets représentant les éléments de T sont dans L[α]; soit f(T) ∈ R[T] un polynôme irréductible dont α est une racine. On raisonne comme dans l’étape 2, et on obtient:

Pour presque tout P, si α_{P} est une racine de π_{P} (f)(T), et π′_{P} est l’extension de π_{P} qui envoie α sur α_{P}, et b̄ ≠ d̄∈ T alors π′_{P} (b̄ − d̄) ∉ A_{P} (L_{P}).

Nous avons donc montré que pour presque tout P: [Γ′ : Γ] = [π′_{P} (Γ′)A_{P} (L_{P}) : A_{P} (L_{P})]. Comme Γ′ contient tous les éléments d’ordre ℓ de A(L), pour presque tout P π′_{P} (Γ′) contient tous les éléments d’ordre ℓ de A_{P} (L_{P}), et donc π′_{P} induit un isomorphisme entre le sous-groupe des éléments d’ordre ℓ de A(L̃) et celui de A_{P} (L̃_{P}).

Soit ā ∈ Γ et supposons qu’il n’est pas divisible par ℓ dans Γ; soit b̄ ∈ Γ′ tel que ℓb̄ = ā. Alors les solutions de l’équation ℓx̄ = ā sont obtenues en ajoutant à b̄ les éléments d’ordre ℓ de A(M). De même, les solutions de l’équation ℓx̄ = π_{P} (ā) sont obtenues en rajoutant à π′_{P} (b̄) les éléments d’ordre ℓ de A_{P} (L(α_{P})). Les solutions de ℓx̄ = ā sont donc congrues modulo Γ à des éléments non nuls de T, ce qui entraîne que leurs images par π′_{P} sont congrues modulo A_{P} (L_{P}) à des éléments non nuls de π′_{P} (T), ce qui montre que l’équation ℓx̄ = π_{P} (ā) n’a pas de solution dans A_{P} (L_{P}).

La dernière assertion est évidente. Etape 4. Pour presque tout P, π_{P} est injective sur A(L).

Par l’étape 2, il suffit de le montrer pour le groupe libre Γ. L’application π_{P} : Γ → A_{P} (L_{P}) induit donc une injection Γ/ℓΓ → A_{P} (L_{P})/ℓA_{P} (L_{P}). Nous avons maintenant besoin d’un lemme: Lemme. Soient B et C des groupes abéliens, tels que B est libre et C n’a pas de ℓ-torsion. Soit f : B → C un morphisme de groupe, et supposons que l’application induite par f: B/ℓB → C/ℓC est injective. Alors f est injective.

En effet, soit a ∈ B, a ≠ 0. Comme B est libre, il existe un entier k tel que a ∈ ℓ^{k}B, a ∉ ℓ^{k+1}B. Soit b ∈ B tel que ℓ^{k}b = a; alors b ∉ ℓB, et donc f(b) ≠ 0. Comme C n’a pas de ℓ-torsion, f(a) = ℓ^{k}f(b) ≠ 0.

Cela termine la preuve du théorème, en utilisant les étapes 2 et 3.

Remarques. (1) Par un résultat de Mordell-Weil-Néron, l’hypothèse que A(Q̃L) est finiment engendrée est vérifiée si A n’a pas de sous-groupe algébrique isogène à une variété définie sur Q̃.

(2) Ce résultat est utilisé par Hrushovski, pour montrer comment obtenir la validité de la conjecture de Lang pour les corps de fonctions en caractéristique 0, à partir de de la validité de celle en caractéristique p > 0.

La conjecture de Lang pour les corps de fonctions a été prouvée par Manin en caractéristique 0, et par Hrushovski en caractéristique p > 0 (en 1993-94). Voici un énoncé du résultat: Soit K un corps finiment engendré (comme corps) au dessus de la clôture algébrique k du corps premier. Soit A une variété abélienne définie sur K, V une sous-variété de A et Γ un sous-groupe finiment engendré de A. Supposons que V ∩ Γ est dense dans V.

Alors il existe une variété abélienne A_{0} définie sur k, une sous-variété V_{0} de A_{0} aussi définie sur k, et un homomorphisme rationnel surjectif h d’un sous-groupe (algébrique) de A sur A_{0}, et a ∈ A satisfaisant V = a + h^{−1}(V_{0}).

Bibliographie.

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[H] E. Hrushovski, Proof of Manin’s theorem by reduction to positive characteristic,

manuscrit 1996 (à paraître dans les proceedings de la conférence de Manchester 1994).

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Cours de théorie des modèles des corps finis et pseudo-finis — Exercices (à rendre le 12/03/96)

Exercice 1. Soit V un fermé de Zariski défini sur F et F -irréductible. Nous allons montrer que F (V) et F^{1/p^{∞}} sont linéairement disjoints au-dessus de F.

(a) Soit a ∈ F tel que a^{1/p} ∉ F. Montrer que si F (a^{1/p}) et F (V) ne sont pas linéairement disjoints au-dessus de F, alors a^{1/p} ∈ F (V).

(b) Il existe donc des polynômes g(X̄), h(X̄) ∈ F [X̄] tels que (∗) g(X̄) − a^{1/p}h(X̄) ∈ I(V). Nous utilisons les notations de (2.4). En se servant du fait que B est une base pour le F -espace vectoriel F [V] et pour le K-espace vectoriel K[V], dériver de (∗) la nullité d’une certaine combinaison linéaire d’éléments de B. En déduire une contradiction.

(c) Nous avons donc montré: si a ∈ F \ F^{p}, alors F (V) et F (a^{1/p}) sont linéairement disjoints au-dessus de F. Nous remplaçons F par F_{1} = F (a^{1/p}), sur lequel V et aussi définie, et obtenons: si b ∈ F_{1} \ F_{1}^{p} alors F_{1}(b^{1/p}) et F_{1}(V) sont linéairement disjoints au-dessus de F_{1}.

Cela entraîne que F (a^{1/p}, b^{1/p}) et F (V) sont linéairement disjoints au-dessus de F: on utilise (2.8)(3), et le fait que F (V) ⨂_{F} F (a^{1/p}, b^{1/p}) est canoniquement isomorphe à (F (V) ⨂_{F} F_{1}) ⨂_{F_{1}} F_{1}(b^{1/p}). Procédant de proche en proche, on montre donc que F (V) et F^{1/p^{∞}} sont linéairement disjoints au-dessus de F. Exercice 2. Soit V une variété, définie sur F^{1/p^{∞}}.

(a) Montrer que l’idéal I(V) ∩ F [X̄] est premier.

(b) Soit F [V] = F [X̄]/(I(V) ∩ F [X̄]), et F (V) son corps de fractions. En se servant du résultat de l’exercice 1, montrer que V est définie sur F si et seulement si F (V) et F^{1/p^{∞}} sont linéairement disjoints au-dessus de F. Exercice 3. Soit (G_{i})_{i∈I} une famille de groupes finis, et soit G un sous-groupe fermé de ∏_{i∈I} G_{i}, où chaque G_{i} est muni de la topologie discrète, et ∏_{i∈I} G_{i} de la topologie produit. Rappelons que les ouverts de base de ∏_{i∈I} G_{i} sont de la forme ∏_{i∈I} U_{i}, où chaque U_{i} est un ouvert de G_{i}, et l’ensemble des i tels que U_{i} ≠ G_{i} est fini. Les ouverts sont alors des réunions (arbitraires) d’intersections finies d’ouverts de base.

Le groupe G avec la topologie induite est donc un groupe profini. Supposons que pour tout j ∈ I la projection naturelle π_{j} : G → G_{j} (induite par la projection ∏_{i∈I} G_{i} → G_{j}) est surjective.

(1) Soit H un sous-groupe ouvert de G. Montrer qu’il existe un sous-ensemble fini I_{0} de I tel que H contient

U(I_{0}) = {g ∈ G | π_{i}(g) = 1 pour tout i ∈ I_{0}}.

(2) Montrer que tout ouvert est une réunion de cosets de sous-groupes ouverts de la forme U(I_{0}).

(3) Montrer qu’un sous-ensemble X de G est dense dans G si et seulement si pour tout sous-ensemble fini I_{0} de I, on a XU(I_{0}) = G.

(4) Soit K un corps, et G = Gal(K_{s}/K) son groupe de Galois, et considérons le comme un sous-groupe de ∏ Gal(L/K), où L parcourt l’ensemble des extensions de Galois finies de K.

Soit H un sous-groupe de G, M le sous-corps de K̃ fixé par H, et H_{1} = {g ∈ G | ∀a ∈ M g(a) = a}. Montrer que H_{1} est la clôture topologique de H dans G (on sait qu’il est fermé; il faut donc montrer que H est dense dans H).

Examen du cours: Théorie des modèles des corps finis et pseudo-finis, DEA de Logique et Fondements de l’informatique, 09 Mai 1996.

Tous les problèmes sont indépendants. A l’intérieur d’un même problème, vous pouvez supposer les résultats antérieurs, ie se servir de la conclusion de (a) pour montrer (b). Une grande importance sera attachée à la rédaction: il faudra se réfèrer de façon précise aux résultats utilisés.

Problème 1. (a) Soient X et Y des espaces topologiques, et supposons que nous avons sur X × Y une topologie satisfaisant aux deux conditions suivantes:

(i) Si U et V sont des fermés de X et Y alors U × V est un fermé de X × Y. (ii) Si W est un fermé de X × Y et (a, b) ∈ X × Y alors {c ∈ Y | (a, c) ∈ W } est fermé

dans Y, et {c ∈ X | (c, b) ∈ W } est fermé dans X.

Montrer que si U et V sont des fermés irréductibles de X et Y respectivement, alors le fermé U × V est irréductible dans X × Y. (Procéder de la manière suivante: soient F_{1} et F_{2} deux fermés de X × Y dont la réunion est U × V; on considère les ensembles A_{i} = {x ∈ U | {x}×V ⊆ F_{i}}, et l’on montre que A_{1} et A_{2} sont des fermés, dont la réunion est U.)

On peut montrer que la topologie de Zariski dont les fermés sont les ensembles algébriques définis sur un corps algébriquement clos fixé K vérifie ces deux propriétés. Cependant cela est faux si l’on ne considère que les fermés définis sur un corps non algébriquement clos.

(b)(ne pas y passer trop de temps) Soit F un corps parfait non algébriquement clos. Donner un exemple de deux ensembles algébriques F -irréductibles définis sur F, dont le produit n’est pas F -irréductible (on peut imposer à ces ensembles d’être finis).

Problème 2. (a) Rappelons qu’un sous-ensemble X du groupe profini G est dense si pour tout sous-groupe ouvert N de G, XN = G. Montrer que si G est un groupe profini dont toutes les images continues finies peuvent être engendrées par e éléments, alors il existe un sous-groupe G_{0} de G, engendré par e éléments, et dense dans G.

(b) Soit G le groupe profini (Z/2Z)^{I}. Trouver une condition sur I pour que G soit finiment engendré en tant que groupe topologique (c’est à dire, ait un sous-groupe G_{0} finiment engendré et dense).

(c) Même question pour G = Ẑ^{I}.

Problème 3. Soit F un corps parfait, S ⊆ F^{n} un ensemble définissable dans F. On considère la clôture de Zariski S̃ de S dans F̃^{n}.

(a) Montrer que si V est une composante irréductible de S̃, alors V ∩ S est dense dans V.

(b)(ne pas y passer trop de temps) Montrer que les composantes irréductibles de S̃ sont définies sur F.

(c)(Facile) Soit V une composante irréductible de S̃. Montrer que si F est ω-saturé, alors S contient un point générique de V (par générique, je veux dire générique sur le corps de définition F_{0} de V).

Problème 4. (a) Soit f(T) un polynôme à coefficients entiers. Montrer que les conditions suivantes sont équivalentes:

(i) Il existe une infinité de nombres premiers p tels que F_{p} ⊧ ∀x f(x) ≠ 0. (ii) Soit M ⊆ Q̃ le corps de décomposition de f(T). Il existe un sous-corps E de M ne

contenant aucune racine de f(T), et tel que Gal(M/E) est cyclique.

(b) Ces deux conditions sont-elles équivalentes à: il existe une infinité de corps finis F_{q} satisfaisant ∀x f(x) ≠ 0.

(c) Trouver une condition sur f(T) qui implique: pour presque tout nombre premier p, F_{p} ⊧ ∀x f(x) ≠ 0. Est-ce une condition intéréssante?

Problème 5. Montrer le résultat suivant: soit n un entier. Alors n est un carré si et seulement si son image dans chacun des corps F_{p} est un carré.

Ce résultat se généralise-t-il aux puissances ℓ-ièmes, ℓ un nombre premier: un entier n est une puissance ℓ-ième si et seulement si son image dans chacun des corps F_{p} est une puissance ℓ-ième.

Problème 6. Montrer que si G est un groupe presque connexe et simplement connexe, et si F est un corps pseudo-fini sur lequel G est défini, alors G(F) est simple.

Problème 7. Soit K un corps algébriquement clos, et S un sous-ensemble de GL_{n}(K). Supposons que S contient tous les génériques de S̃, que S = S^{−1}, et que si a, b sont deux génériques indépendants de S alors ab ∈ S. Montrer que S̃ est un sous-groupe de GL_{n}(K).