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SUMMARY:Divisibilité  du groupe de Chow des 0-cycles sur un corps local  à  corps résiduel algébriquement clos
DESCRIPTION:Il s’agit d’un travail en commun avec Olivier Wittenberg.
URL:https://www.math.ens.psl.eu/evenement/divisibilite-du-groupe-de-chow-des-0-cycles-sur-un-corps-local-a-corps-residuel-algebriquement-clos/
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SUMMARY:On the divisibility of the Tate-Shafarevich group of an elliptic curve in the Weil-Châtelet group
DESCRIPTION:In this talk I will report on progress on the following two questions\, the first posed by Cassels in 1961 and the second considered by Bashmakov in 1974. The first question is whether the elements of the Tate-Shafarevich group are infinitely divisible when considered as elements of the Weil-Châtelet group. The second question concerns the intersection of the Tate-Shafarevich group with the maximal divisible subgroup of the Weil-Chatelet group. This is joint work with Mirela Ciperiani.
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SUMMARY:Conjecture de torsion pour les schémas abéliens sur les courbes
DESCRIPTION:La conjecture de torsion prédit que si k est un corps de nombre etA une variété abélienne  sur k alors l’ordre du sous-groupe de torsion deA(k) est borné par une constante ne dépendant que du degré de k sur Q etde la dimension de A.Cette conjecture n’est connue que pour les courbes elliptiques: Manin l’amontré en 69 pour les l-Sylow de la torsion (l:premier) puis Mazur (77)\,Kamienny (92)\, Merel (96) ont réussi a compléter la preuve en analysant lastructure des courbes modulaires X_{0}(l) (l:premier).Que les courbes elliptiques soient (essentiellement) classifiées par unschéma elliptique sur P1 moins trois points intervient de façon crucialeà plusieurs endroit de la preuve.Avec Akio Tamagawa\, nous nous intéressons à un énoncé intermédiaire entrela conjecture de torsion générale et le cas des courbes elliptiques: onconsidère une *courbe* S sur k\, un schéma abélien A sur S et on essaye demontrer que l’ordre du sous-groupe de torsion de A_s(k(s)) est borné parune constante ne dépendant que du degré du corps résiduel k(s) en s sur Q(et de A). Comme dans le cas des courbes elliptiques\, on peut scinder lepb en deux parties: à l premier fixé\, borner uniformément (par uneconstante dépendant de l) l’ordre des l-sylow de la torsion et\, pour ldécrivant l’ensemble des nombres premiers\, borner uniformément (par uneconstante indépendante de l) l’ordre de la l-torsion .J’expliquerai d’abord comment la théorie du groupe fondamental étalepermet de reformuler le problème en termes de points rationnels surcertains revêtements étales S_n de la courbe de base S (les analogues descourbes modulaires Y_1(n)). L’étape suivante est de nature géométrique etconsiste à montrer que la gonalité ou\, au moins\, le genre\, des courbe S_ntend vers l’infini avec n. On se pose le pb en toute caractéristique. Jedécrirai brièvement comment résoudre ce pb pour les courbes S_l^n (l:premier fixé\, n:entier) grâce\, notamment\, à des techniques de géométriel-adique. Je détaillerai ensuite un peu plus le pb pour les courbes S_l(l: premier variant) et essaierai notamment d’expliquer comment certainestechniques introduites par Nori pour étudier les sous-groupes des groupeslinéaires sur F_l peuvent se substituer aux techniques de géométriel-adique pour montrer que le genre des courbes S_l tend vers l’infini avecl.
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