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SUMMARY:Percolation de premier passage avec temps de passage infinis : constante de temps\, théorème de forme et continuité
DESCRIPTION:Ce travail a été réalisé en collaboration avec Raphaël Cerf (DMA\,ENS)\, Olivier Garet et Régine Marchand (IECL\, Univ. Lorraine).Considérons le modèle de percolation de premier passage standard sur legraphe Z^d : aux arêtes e du graphe sont associées des variables (t(e))i.i.d. positives. La variable t(e) est appelée le temps de passage de e\,c?RTMest le temps nécessaire pour traverser l?RTMarête e. Il en découle unepseudo-métrique aléatoire T sur le graphe : T(x\,y) est le temps minimalnécessaire pour aller d?RTMun site x à un site y. Cette pseudo-métrique a étélargement étudiée. On peut montrer entre autres que- quelque soit le site x considéré\,la limite quand n tend vers l?RTMinfini deT(0\,nx)/n existe en un certain sens : on l?RTMappelle la constante de tempset on la note m(x)\,- cette convergence a lieu uniformément en la direction de x : c?RTMest lethéorème de forme asymptotique\,- la constante m(x) dépend continûment de la loi des temps de passage.Que se passe-t-il si au lieu de considérer le modèle classique\, onautorise les temps de passage des arêtes à être infinis ? Il fauts?RTMassurer que les arêtes de temps de passage fini percolent\, i.e.\, onsuppose que l?RTMatome de la loi des temps de passage en l?RTMinfini estinférieur strictement à 1-p_c(d)\, le paramètre critique pour lapercolation de Bernoulli par arêtes dans Z^d. Cela revient à faire unepercolation de Bernoulli sur-critique sur Z^d\, puis à associerindépendamment des temps de passage finis à chaque arête restante. Nousverrons comment généraliser les résultats précédents à ce type de lois destemps de passage.
URL:https://www.math.ens.psl.eu/evenement/percolation-de-premier-passage-avec-temps-de-passage-infinis-constante-de-temps-theoreme-de-forme-et-continuite/
CATEGORIES:Séminaire informel de probabilités
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