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SUMMARY:Obstructions globales à la descente des variétés
DESCRIPTION:Soit K un   corps de caractéristique nulle et soit X une variété surla clôture algébrique de K. On suppose que X est isomorphe à toutes ses conjuguéespar le groupe de Galois absolu de K.  Autrement dit\,  le corps des modules de X estK.  Soit L une extension algébrique de K.  On dit que L est corps de définition de X s’il existeune variété  sur L qui devient isomorphe à X après extension des scalaires.On peut se demander quels sont les corps de définition de X.On dit qu’il y a une obstruction à la descente si K lui même n’est pas corps de définition.Dans le cas où  K est un corps de nombres\, on peut se demander si une obstruction estlocale ou globale. Je présenterai les exemples d’obstructions globales pour les  variétés\, quenous avons construits avec Emmanuel Hallouin. Je m’appuierai sur des obstructionsglobales à la descente dans la catégorie des revêtements\, construites naguèreavec Nicolas Ros. Je montrerai comment faire voyager ces obstructions depuis lacatégorie des revêtements vers celle des variétés.
URL:https://www.math.ens.psl.eu/evenement/obstructions-globales-a-la-descente-des-varietes/
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CATEGORIES:Variétés rationnelles
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SUMMARY:Descente sur les variétés non propres
DESCRIPTION:Soit X une variété algébrique définie sur un corps de nombres k.La théorie classique de la descente de Colliot-Thélène et Sansuc (raffinée parSkorobogatov) consiste en gros à décrire les propriétés arithmétiques de X viacelles des X-torseurs sous les groupes de type multiplicatif. Les résultatsprincipaux de cette théorie nécessitent l’hypothèse que X est propre\, ou tout aumoins que les seules fonctions inversibles sur X sont constantes. On expliqueracomment on peut s’affranchir de cette hypothèse à condition de travailler avecl’hypercohomologie de certains complexes au lieu de considérer seulement desmodules galoisiens.
URL:https://www.math.ens.psl.eu/evenement/descente-sur-les-varietes-non-propres/
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