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SUMMARY:Théorèmes de relèvement et cohomologie des groupes profinis lisses.
DESCRIPTION:La notion de groupe profini lisse permet d’axiomatiser les propriétés cohomologiques qui se déduisent du théorème de Hilbert 90 en cohomologie Galoisienne. L’objectif de cette introduction est de proposer une nouvelle approche effective à la conjecture de Bloch-Kato\, démontrée par Rost\, Suslin et Voevodsky. Un ingrédient clé est l’étude des puissances divisées de modules sur les vecteurs de Witt\, munies des opérateurs Frobenius et Verschiebung. On présentera quelques résultats partiels et applications d’intérêt propres\, notamment au relèvement des représentations Galoisiennes. Il s’agit d’un travail en cours avec Mathieu Florence.
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SUMMARY:On the classification of quadratic forms over an integral domain of a global function field.
DESCRIPTION:Let C be a smooth projective curve defined over the finite field F_q (q is odd) and let K=F_q(C) be its function field. Any (non-empty) finite set S of closed points of C gives rise to an integral domain O_S := F_q[C-S] in K. We show that given an O_S-regular quadratic space (V\,q) of rank n ?oo 3\, the set of genera in the proper classification of quadratic O_S-spaces isomorphic to (V\,q) in the flat or étale topology\, is in 1:1 correspondence with 2.Br(O_S)\, thus there are 2|S|-1 genera. Furthermore\, if (V\,q) is isotropic\, then the abelian group Pic(O_S)/2 classifies the forms in the genus Cl_S(O_q) of (V\,q). For n ?oo 5\, this is true for all genera\, hence the full classification is via the abelian group H2_ét(O_S\,?_2). If time permits\, we shall see when V is split by a hyperbolic plane H(L_0)\, an explicit isomorphism Pic(O_S)/2 –> Cl_S(O_q)\, and in case C is an elliptic curve and S={?} where ? is F_q-rational\, an algorithm producing representatives of classes in Cl_S(O_q).
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