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SUMMARY:Groupes sans extensions paramétriques sur Q
DESCRIPTION:L’exposé portera sur une version forte de quelques questions classiques de la théorie inverse de Galois qui demande que toutes les extensions galoisiennes de Q de groupe G donné puissent être obtenues par spécialisation d’une même extension galoisienne E/Q(T) de groupe G. Après avoir replacé cette variante dans le contexte de la théorie inverse de Galois\, j’expliquerai comment la mettre en défaut. Il s’agit d’un travail en cours avec Joachim König.
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SUMMARY:On Hyperplane Sections of k3 Surfaces II
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SUMMARY:Propriétés topologiques des groupes d'automorphismes de structures omega-stables omega-catégoriques
DESCRIPTION:Nous discuterons des liens entre les propri&eacute
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SUMMARY:On Hyperplane Sections of k3 Surfaces I
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SUMMARY:Questions de décidabilité pour des théories de modules sur certains anneaux de Bézout
DESCRIPTION:Nous introduisons la notion de modules l-valués sur un anneau commutatif de Bézout. Un exemple étant l’anneau lui-même muni de l’application vers son groupe de divisibilité (une l-valuation). Dans ce cadre et supposant une propriété de divisiblité\, nous montrons un résultat d’élimination relative des quantificateurs. Un des ingrédients est un théorème de Feferman-Vaught pour ces modules l-valués.On en déduit des résultats de décidabilité pour des théories de modules sur certains anneaux de Bézout dénombrables avec &#147
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SUMMARY:Sur la stabilité des fibrés tangents d'espaces hermitiens symétriques
DESCRIPTION:Soit Y un espace hermitien symétrique. Son fibré tangent est stable au sens de la pente par rapport à la polarisation canonique. Dans cet exposé\, on s?RTMintéressera à la question de savoir en restriction à quelles sous-variétés X de Y ce fibré reste stable. Plusieurs résultats généraux montrent que c?RTMest le cas pour des intersections complètes de grand degré. Par un argument cohomologique\, nous montrerons que c?RTMest en fait le cas pour toutes les intersections complètes de dimension au moins 3\, en dehors d?RTMune liste de contre-exemples évidents. En dimension 2\, nous finirons par étudier le cas ou Y est un solide quadratique et X une surface de del Pezzo de degré 4.
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SUMMARY:Nouveaux exemples d'équations différentielles orthogonales aux constantes
DESCRIPTION:Depuis les travaux de Hrushovski sur la conjecture de Mordell-Lang\, on sait que la propriété d’orthogonalité aux constantes est centrale dans les corps différentiellement clos puisqu’elle témoigne de la dichotomie entre types minimaux localement modulaires et non localement modulaires.Dans mon exposé\, je présenterai un critère d’orthogonalité aux constantes pour les équations différentielles définies sur le corps des nombres réels. J’expliquerai ensuite comment appliquer ce critère à la construction d’équations différentielles orthogonales aux constantes
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SUMMARY:La trichotomie et les idéaux virtuels
DESCRIPTION:La théorie ACFA des corps aux différences existentiellement clos est supersimple. La trichotomie (de Zilber) est la propriété suivante des types minimaux : la prégéométrie donnée par acl sur l’ensemble des réalisations du type\, est ou bien triviale (acl(A)=igcup_{a in A} acl(a))
URL:https://www.math.ens.psl.eu/evenement/la-trichotomie-et-les-ideaux-virtuels/
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SUMMARY:Cohomology jump loci
DESCRIPTION:Firstly\, we propose and illustrate a refinement of Deligne?RTMs principle: every infinitesimal deformation problem over a field of characteristic zero with cohomology constraints is governed by a differential graded Lie algebra together with a module. Secondly\, we review recent results about the global structure of cohomology jump loci of rank one local systems. Finally\, we address future directions for other types of jump loci. All this is joint work with Botong Wang.
URL:https://www.math.ens.psl.eu/evenement/cohomology-jump-loci/
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SUMMARY:Arithmetic purity
DESCRIPTION:It is well-known that weak approximation is birational invariant between smooth varieties by the implicit function theorem. For strong approximation\, such property is no longer true. However one can expect that strong approximation is invariant between smooth varieties up to a closed sub-variety of codimension at least 2. Indeed\, this result is proved for affine spaces in a joint work with Yang Cao which is applied to show strong approximation for toric varieties. Such result is also proved by Dasheng Wei by using a different method. In this talk\, I’ll explain that this purity result is true for SL(n) and Sp(n).
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SUMMARY:Hasse principles over global function fields
DESCRIPTION:I will explain some geometric ideas (mostly due to de Jong-Starr) one can use to study the Hasse principle for varieties defined over funvtion fields. I will illustrate these methods by giving a new proof of the classical result of Hasse -Minkowsky on quadrics.
URL:https://www.math.ens.psl.eu/evenement/hasse-principles-over-global-function-fields/
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CATEGORIES:Variétés rationnelles
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SUMMARY:Sur le 17ème problème de Hilbert en petit degré.
DESCRIPTION:Artin a résolu le 17ème problème de Hilbert en démontrant qu’un polynôme positif en n variables à coefficients réels est une somme de carrés de fractions rationnelles\, et Pfister a montré que 2^n carrés suffisent. Dans cet exposé\, on étudiera quand le théorème de Pfister peut être amélioré. On montrera qu’un polynôme réel positif de degré d en n variables est une somme de (2^n)-1 carrés si d<2n\, et dans certains cas si d=2n.
URL:https://www.math.ens.psl.eu/evenement/sur-le-17eme-probleme-de-hilbert-en-petit-degre/
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SUMMARY:La composition de Gauss pour les points entiers primitifs de sphères\, en suivant\, partiellement\, Gunawan.
DESCRIPTION:Gauss a donné des formules pour le nombre de points entiers primitifs de la 2-sphère de rayon au carré égal à n. Ces formules sont en termes de nombres de classes d’anneaux quadratiques de discriminant étroitement liés à n. Cela mène à la question de savoir si ceci peut être expliqué par une action libre et transitive du groupe de Picard de cet anneau sur l’ensemble des tels points entiers primitifs à symétries globales SO_3(Z) près. Ceci est en effet le cas\, et cette action peut être explicitée. L’outil utilisé est la théorie des schémas en groupes sur Z\, ce qui est plus direct que la cohomologie galoisienne et les adèles\, et remarquablement élémentaire. En fait\, Gross et Bhargava demandent une telle approche dans leur article ‘Arithmetic invariant theory’.
URL:https://www.math.ens.psl.eu/evenement/la-composition-de-gauss-pour-les-points-entiers-primitifs-de-spheres-en-suivant-partiellement-gunawan/
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SUMMARY:The Lang-Vojta conjecture and smooth hypersurfaces over number fields.
DESCRIPTION:Siegel proved the finiteness of the set of solutions to the unit equation in a number ring\, i.e.\, for a number field K with ring of integers O\, the equation x+y=1 has only finitely many solutions in O*. That is\, reformulated in more algebro-geometric terms\, the hyperbolic curve P^1-{0\,1\,infinite} has only finitely many ‘integral points’. In 1983\, Faltings proved the Mordell conjecture generalizing Siegel’s theorem: a hyperbolic complex algebraic curve has only finitely many integral points. Inspired by Faltings’s and Siegel’s finiteness results\, Lang and Vojta formulated a general finiteness conjecture for ‘integral points’ on complex algebraic varieties: a hyperbolic complex algebraic variety has only finitely many ‘integral points’. In this talk we will start by explaining the Lang-Vojta conjecture and then proceed to prove some of its consequences for the arithmetic of homogeneous polynomials over number fields. This is joint work with Daniel Loughran.
URL:https://www.math.ens.psl.eu/evenement/the-lang-vojta-conjecture-and-smooth-hypersurfaces-over-number-fields/
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SUMMARY:Irreducibility of Polynomials over Number Fields is Diophantine
DESCRIPTION:We show that irreducibility of a polynomial in any number of variables over a number field is a diophantine condition\, i.e. captured by an existential formula. This generalises a previous result by Colliot-Thélène and Van Geel that the set of non-nth-powers is diophantine for any n. Our method is heavily based on the Brauer group\, originating from Poonen’s use of quaternion algebras as a technical tool for first-order definitions in number fields.
URL:https://www.math.ens.psl.eu/evenement/irreducibility-of-polynomials-over-number-fields-is-diophantine/
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CATEGORIES:Variétés rationnelles
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SUMMARY:Wave front sets of distributions in non-archimedean analysis
DESCRIPTION:In 1969\, Sato and Hörmander introduced the notion of wave front set of a distribution in the real context. This concept gives a better understanding of operations on distributions such as product or pullback and it plays an important role in the theory of partial differential equations. In 1981\, Howe introduced a notion of wave front set for some Lie group representations and in 1985\, Heifetz gave an analogous version in the p-adic context. In this talk\, in the t-adic context in characteristic zero\, using Cluckers-Loeser motivic integration we will present analogous constructions of test functions\, distributions and wave front sets. In particular\, we will explain how definability can be used as a substitute for topological compactness of the sphere in the real and p-adic contexts to obtain finiteness.This a joint work with R. Cluckers\, and F. Loeser.
URL:https://www.math.ens.psl.eu/evenement/wave-front-sets-of-distributions-in-non-archimedean-analysis/
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CATEGORIES:Séminaire Géométrie et théorie des modèles
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SUMMARY:Profinite NIP groups
DESCRIPTION:We consider profinite groups as 2-sorted first order structures\, with a group sort\, and a second sort which acts as an index set for a uniformly definable basis of neighbourhoods of the identity. It is shown that if the basis consists of all open subgroups\, then the first order theory of such a structure is NIP (that is\, does not have the independence property) precisely if the group has a normal subgroup of finite index which is a direct product of finitely many compact p-adic analytic groups\, for distinct primes p. In fact\, the condition NIP can here be weakened to NTP2.We also show that any NIP profinite group\, presented as a 2-sorted structure\, has an open prosoluble normal subgroup.(Joint work with Dugald Macpherson)
URL:https://www.math.ens.psl.eu/evenement/profinite-nip-groups/
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SUMMARY:Non-standard fewnomials
DESCRIPTION:Call non-standard fewnomial (or sparse/lacunary polynomial) a non-standard polynomial whose number of non-zero terms is finite. The non-standard translation of a conjecture of Rényi and Erdöt
URL:https://www.math.ens.psl.eu/evenement/non-standard-fewnomials/
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SUMMARY:Integral points on log K3 surfaces
DESCRIPTION:In this talk we will discuss questions concerning the qualitative and quantitative behavior of integral points on log K3 surfaces. After describing some examples we will consider the question of growth rate of integral points on log K3 surfaces. We will discuss an asymptotic formula produced by a circle method heuristic due to Tim Browning that was established for other types of varieties\, such as toric varieties whose log anti-canonical class is big (Tschinkel\, Takloo-Bighash\, Chambert-Loir)\, but argue that it requires some modification in order to fit the case of log K3 surfaces. We will then suggest a possible revised formula\, which seems to agree with preliminary numeric simulations.
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SUMMARY:Invariants et cohomologie stable
DESCRIPTION:Fixons un corps de base k\, algébriquement clos de caractéristique zéro. A tout groupe fini G\, Serre associe le groupe des invariants [des G-torseurs sur les extensions de k] à valeurs dans la cohomologie galoisienne à coefficients dans un groupe abélien donné A. La cohomologie de G à coefficients dans A s’envoie naturellement vers ces invariants. Cette flèche est-elle surjective? La réponse à cette question de Serre est oui en degré au plus 2\, mais non en général en degré au moins 3 (avec A=Z/p\, p premier). J’expliquerai comment cela se déduit de calculs récents de Burt Totaro\, et tâcherai d’éclairer la situation en considérant les invariants des groupes algébriques semi-simples.
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SUMMARY:La conjecture de Manin-Mumford dynamique pour les relevés du Frobenius.
DESCRIPTION:La conjecture de Manin-Mumford dynamique est un analogue dynamique de la conjecture de Manin-Mumford. Dans cet exposé\, on démontre une version de cette conjecture pour les endomorphismes d’espaces projectifs sur un corps p-adique dont la réduction modulo p est le Frobenius. Notre méthode est de transporter la dynamique p-adique à une dynamique sur un corps de caractéristique p par la théorie des espaces perfectoïdes de Peter Scholze.
URL:https://www.math.ens.psl.eu/evenement/la-conjecture-de-manin-mumford-dynamique-pour-les-releves-du-frobenius/
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CATEGORIES:Séminaire Géométrie et théorie des modèles
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SUMMARY:Réseaux euclidiens de rang fini et infini\, séries thêta et formalisme thermodynamique
DESCRIPTION:Un réseau euclidien est la donnée (E\, | . |) d’un Z-module E isomorphe à Z^r\, r in N\, et d’une norme euclidienne | . | sur le R-espace vectoriel E_R simeq R^r qui lui est associé.En géométrie arithmétique\, il s’avère naturel d’associer à un réseau euclidien un invariant dans R_+ défini au moyen d’une série thêta par la formule:h^0_?(E\, | . |) := log sum_{v in E} e^{-pi|v|^2}.Dans cet exposé\, je discuterai diverses propriétés\, classiques et moins classiques\, de cet invariant h^0_?. Notamment\, j’expliquerai comment certaines de ses propriétés se rattachent à la théorie des grandes déviations et au formalisme thermodynamique.Je présenterai aussi des généralisations de l’invariant h^0_? attachées à des avatars de rang infini des réseaux euclidiens.
URL:https://www.math.ens.psl.eu/evenement/reseaux-euclidiens-de-rang-fini-et-infini-series-theta-et-formalisme-thermodynamique/
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CATEGORIES:Séminaire Géométrie et théorie des modèles
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SUMMARY:Enveloppes définissable de sous groupe abélien\, nilpotent ou résoluble
DESCRIPTION:ï/ootant donné un groupe G\, un problème particulier qui nous intéresse est de trouver des enveloppes définissables de sous-groupes abéliens\, nilpotents ou résolubles de G qui ayant les mêmes propriétés algébriques.Au cours des dernières décennies\, il y a eu des progrès remarquables pour répondre a cette question pour des groupes qui satisfont certaines propriétés modèle-théoriques (théorie stable\, dépendante\, simple\, etc.)\, ainsi que pour des groupes dont les centralisateurs satisfont certaines conditions de chaîne sur des centralisateur.Je présente ces résultats et donne des applications.
URL:https://www.math.ens.psl.eu/evenement/enveloppes-definissable-de-sous-groupe-abelien-nilpotent-ou-resoluble/
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SUMMARY:Actions de SL(n\,Z) par transformations birationnelles
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SUMMARY:Groupes et corps colorés
DESCRIPTION:Le rang de Morley est une dimension combinatoire à valeurs ordinales sur la collection des ensembles définissables d’une théorie complète\, qui coïncide avec la dimension de Zariski pour la théorie des corps algébriquement clos de caractéristique fixée.Le théorème d’interprétation du corps de Zilber permet de retrouver de façon définissable un corps algébriquement clos à partir d’un groupe abélien agissant par permutations sur un groupe abélien\, le tout de rang de Morley fini. Or\, une certaine configuration `interdite’ risque d’apparaître\, ce que l’on appelle un mauvais corps : un corps algébriquement clos de rang de Morley fini muni d’un sous-groupe multiplicatif propre définissable et divisible. En caractéristique positive\, un tel objet n’existe probablement pas. En caractéristique nulle\, un mauvais corps de rang de Morley 2 fut construit\, à partir du corps verts de Poizat par une technique d’amalgamation et collapse\, introduite par Hrushovski.Nous allons continuer l’étude des groupes définissables dans certaines expansions de corps algébriquement clos\, présentée dans l’exposé de Thomas Blossier lors de la séance précédente\, pour considérer les groupes définissables à l’intérieur du mauvais corps vert. En particulier\, on montrera que tout groupe définissable simple non-abélien est algébrique. Pour cela\, une notion d’ampleur relative au corps algébriquement clos sous-jacent jouera un rôle fondamental.
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SUMMARY:Etude dynamique de certaines transséries
DESCRIPTION:Des résultats classiques montrent comment\, étant donné un système dynamique holomorphe\, en déterminer une forme normale ou le plonger dans le flot d’un champ de vecteurs. Nous montrons comment étendre la version formelle de ces résultats à certaines transséries\, et donnons quelques motivations en lien avec l’analyse fractale.
URL:https://www.math.ens.psl.eu/evenement/etude-dynamique-de-certaines-transseries/
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SUMMARY:From motives of twisted flag varieties to modular representations of Hecke-type algebras
DESCRIPTION:Let G be a split semisimple linear algebraic group over a field k\, let Ebe a G-torsor over k. Let h be an algebraic oriented cohomology theory inthe sense of Levine-Morel (e.g.~Chow ring or an algebraic cobordism).Consider a twisted form E/B of the variety of Borel subgroups G/B.Following Brion’s and Kostant-Kumar’s results on equivariant cohomology offlag varieties we establish an equivalencebetween the h-motivic subcategory generated by E/B and the category ofprojective modules of certain Hecke-type algebra H which depends on theroot system of G\, its isogeny class\, on E\, and on the formal group law ofthe theory h. In particular\, taking h to be the Chow groups with finite coefficients F_pand E to be a generic torsor we obtain that all irreducible submodules oftheaffine nil-Hecke algebra H of G with coefficients in F_p are isomorphicand correspond to the generalized Rost-Voevodsky motive for (G\,p).
URL:https://www.math.ens.psl.eu/evenement/from-motives-of-twisted-flag-varieties-to-modular-representations-of-hecke-type-algebras/
LOCATION:ENS 29 rue d’Ulm salle 236
CATEGORIES:Variétés rationnelles
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SUMMARY:p-indices de Tits des groupes semisimples
DESCRIPTION:Les versions locales en p des indices de Tits caractérisent les classes d’équivalences motiviques des groupes semisimples. L’objectif de cet exposé est de présenter deux travaux consécutifs à ce résultat. On proposera dans un premier temps la classification des algèbres à involution à équivalence motivique près (travail commun avec Anne Quéguiner et Maksim Zhykhovich). Par suite on abordera la détermination de l’ensemble des valeurs possibles de ces p-indices de Tits (travail en commun avec Skip Garibaldi). Cette étude exhaustive aboutit à un dictionnaire complet mêlant structures algébriques\, invariants cohomologiques\, algèbres de Tits et motifs associés aux groupes semisimples (travail en commun avec Skip Garibaldi).
URL:https://www.math.ens.psl.eu/evenement/p-indices-de-tits-des-groupes-semisimples/
LOCATION:ENS 29 rue d’Ulm salle 236
CATEGORIES:Variétés rationnelles
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