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SUMMARY:Hasse principles over global function fields
DESCRIPTION:I will explain some geometric ideas (mostly due to de Jong-Starr) one can use to study the Hasse principle for varieties defined over funvtion fields. I will illustrate these methods by giving a new proof of the classical result of Hasse -Minkowsky on quadrics.
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SUMMARY:Sur le 17ème problème de Hilbert en petit degré.
DESCRIPTION:Artin a résolu le 17ème problème de Hilbert en démontrant qu’un polynôme positif en n variables à coefficients réels est une somme de carrés de fractions rationnelles\, et Pfister a montré que 2^n carrés suffisent. Dans cet exposé\, on étudiera quand le théorème de Pfister peut être amélioré. On montrera qu’un polynôme réel positif de degré d en n variables est une somme de (2^n)-1 carrés si d<2n\, et dans certains cas si d=2n.
URL:https://www.math.ens.psl.eu/evenement/sur-le-17eme-probleme-de-hilbert-en-petit-degre/
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SUMMARY:La composition de Gauss pour les points entiers primitifs de sphères\, en suivant\, partiellement\, Gunawan.
DESCRIPTION:Gauss a donné des formules pour le nombre de points entiers primitifs de la 2-sphère de rayon au carré égal à n. Ces formules sont en termes de nombres de classes d’anneaux quadratiques de discriminant étroitement liés à n. Cela mène à la question de savoir si ceci peut être expliqué par une action libre et transitive du groupe de Picard de cet anneau sur l’ensemble des tels points entiers primitifs à symétries globales SO_3(Z) près. Ceci est en effet le cas\, et cette action peut être explicitée. L’outil utilisé est la théorie des schémas en groupes sur Z\, ce qui est plus direct que la cohomologie galoisienne et les adèles\, et remarquablement élémentaire. En fait\, Gross et Bhargava demandent une telle approche dans leur article ‘Arithmetic invariant theory’.
URL:https://www.math.ens.psl.eu/evenement/la-composition-de-gauss-pour-les-points-entiers-primitifs-de-spheres-en-suivant-partiellement-gunawan/
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SUMMARY:The Lang-Vojta conjecture and smooth hypersurfaces over number fields.
DESCRIPTION:Siegel proved the finiteness of the set of solutions to the unit equation in a number ring\, i.e.\, for a number field K with ring of integers O\, the equation x+y=1 has only finitely many solutions in O*. That is\, reformulated in more algebro-geometric terms\, the hyperbolic curve P^1-{0\,1\,infinite} has only finitely many ‘integral points’. In 1983\, Faltings proved the Mordell conjecture generalizing Siegel’s theorem: a hyperbolic complex algebraic curve has only finitely many integral points. Inspired by Faltings’s and Siegel’s finiteness results\, Lang and Vojta formulated a general finiteness conjecture for ‘integral points’ on complex algebraic varieties: a hyperbolic complex algebraic variety has only finitely many ‘integral points’. In this talk we will start by explaining the Lang-Vojta conjecture and then proceed to prove some of its consequences for the arithmetic of homogeneous polynomials over number fields. This is joint work with Daniel Loughran.
URL:https://www.math.ens.psl.eu/evenement/the-lang-vojta-conjecture-and-smooth-hypersurfaces-over-number-fields/
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SUMMARY:Irreducibility of Polynomials over Number Fields is Diophantine
DESCRIPTION:We show that irreducibility of a polynomial in any number of variables over a number field is a diophantine condition\, i.e. captured by an existential formula. This generalises a previous result by Colliot-Thélène and Van Geel that the set of non-nth-powers is diophantine for any n. Our method is heavily based on the Brauer group\, originating from Poonen’s use of quaternion algebras as a technical tool for first-order definitions in number fields.
URL:https://www.math.ens.psl.eu/evenement/irreducibility-of-polynomials-over-number-fields-is-diophantine/
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SUMMARY:Wave front sets of distributions in non-archimedean analysis
DESCRIPTION:In 1969\, Sato and Hörmander introduced the notion of wave front set of a distribution in the real context. This concept gives a better understanding of operations on distributions such as product or pullback and it plays an important role in the theory of partial differential equations. In 1981\, Howe introduced a notion of wave front set for some Lie group representations and in 1985\, Heifetz gave an analogous version in the p-adic context. In this talk\, in the t-adic context in characteristic zero\, using Cluckers-Loeser motivic integration we will present analogous constructions of test functions\, distributions and wave front sets. In particular\, we will explain how definability can be used as a substitute for topological compactness of the sphere in the real and p-adic contexts to obtain finiteness.This a joint work with R. Cluckers\, and F. Loeser.
URL:https://www.math.ens.psl.eu/evenement/wave-front-sets-of-distributions-in-non-archimedean-analysis/
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CATEGORIES:Séminaire Géométrie et théorie des modèles
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SUMMARY:Profinite NIP groups
DESCRIPTION:We consider profinite groups as 2-sorted first order structures\, with a group sort\, and a second sort which acts as an index set for a uniformly definable basis of neighbourhoods of the identity. It is shown that if the basis consists of all open subgroups\, then the first order theory of such a structure is NIP (that is\, does not have the independence property) precisely if the group has a normal subgroup of finite index which is a direct product of finitely many compact p-adic analytic groups\, for distinct primes p. In fact\, the condition NIP can here be weakened to NTP2.We also show that any NIP profinite group\, presented as a 2-sorted structure\, has an open prosoluble normal subgroup.(Joint work with Dugald Macpherson)
URL:https://www.math.ens.psl.eu/evenement/profinite-nip-groups/
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SUMMARY:Non-standard fewnomials
DESCRIPTION:Call non-standard fewnomial (or sparse/lacunary polynomial) a non-standard polynomial whose number of non-zero terms is finite. The non-standard translation of a conjecture of Rényi and Erdöt
URL:https://www.math.ens.psl.eu/evenement/non-standard-fewnomials/
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SUMMARY:Integral points on log K3 surfaces
DESCRIPTION:In this talk we will discuss questions concerning the qualitative and quantitative behavior of integral points on log K3 surfaces. After describing some examples we will consider the question of growth rate of integral points on log K3 surfaces. We will discuss an asymptotic formula produced by a circle method heuristic due to Tim Browning that was established for other types of varieties\, such as toric varieties whose log anti-canonical class is big (Tschinkel\, Takloo-Bighash\, Chambert-Loir)\, but argue that it requires some modification in order to fit the case of log K3 surfaces. We will then suggest a possible revised formula\, which seems to agree with preliminary numeric simulations.
URL:https://www.math.ens.psl.eu/evenement/integral-points-on-log-k3-surfaces/
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SUMMARY:Invariants et cohomologie stable
DESCRIPTION:Fixons un corps de base k\, algébriquement clos de caractéristique zéro. A tout groupe fini G\, Serre associe le groupe des invariants [des G-torseurs sur les extensions de k] à valeurs dans la cohomologie galoisienne à coefficients dans un groupe abélien donné A. La cohomologie de G à coefficients dans A s’envoie naturellement vers ces invariants. Cette flèche est-elle surjective? La réponse à cette question de Serre est oui en degré au plus 2\, mais non en général en degré au moins 3 (avec A=Z/p\, p premier). J’expliquerai comment cela se déduit de calculs récents de Burt Totaro\, et tâcherai d’éclairer la situation en considérant les invariants des groupes algébriques semi-simples.
URL:https://www.math.ens.psl.eu/evenement/invariants-et-cohomologie-stable/
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SUMMARY:Réseaux euclidiens de rang fini et infini\, séries thêta et formalisme thermodynamique
DESCRIPTION:Un réseau euclidien est la donnée (E\, | . |) d’un Z-module E isomorphe à Z^r\, r in N\, et d’une norme euclidienne | . | sur le R-espace vectoriel E_R simeq R^r qui lui est associé.En géométrie arithmétique\, il s’avère naturel d’associer à un réseau euclidien un invariant dans R_+ défini au moyen d’une série thêta par la formule:h^0_?(E\, | . |) := log sum_{v in E} e^{-pi|v|^2}.Dans cet exposé\, je discuterai diverses propriétés\, classiques et moins classiques\, de cet invariant h^0_?. Notamment\, j’expliquerai comment certaines de ses propriétés se rattachent à la théorie des grandes déviations et au formalisme thermodynamique.Je présenterai aussi des généralisations de l’invariant h^0_? attachées à des avatars de rang infini des réseaux euclidiens.
URL:https://www.math.ens.psl.eu/evenement/reseaux-euclidiens-de-rang-fini-et-infini-series-theta-et-formalisme-thermodynamique/
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SUMMARY:Enveloppes définissable de sous groupe abélien\, nilpotent ou résoluble
DESCRIPTION:ï/ootant donné un groupe G\, un problème particulier qui nous intéresse est de trouver des enveloppes définissables de sous-groupes abéliens\, nilpotents ou résolubles de G qui ayant les mêmes propriétés algébriques.Au cours des dernières décennies\, il y a eu des progrès remarquables pour répondre a cette question pour des groupes qui satisfont certaines propriétés modèle-théoriques (théorie stable\, dépendante\, simple\, etc.)\, ainsi que pour des groupes dont les centralisateurs satisfont certaines conditions de chaîne sur des centralisateur.Je présente ces résultats et donne des applications.
URL:https://www.math.ens.psl.eu/evenement/enveloppes-definissable-de-sous-groupe-abelien-nilpotent-ou-resoluble/
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SUMMARY:La conjecture de Manin-Mumford dynamique pour les relevés du Frobenius.
DESCRIPTION:La conjecture de Manin-Mumford dynamique est un analogue dynamique de la conjecture de Manin-Mumford. Dans cet exposé\, on démontre une version de cette conjecture pour les endomorphismes d’espaces projectifs sur un corps p-adique dont la réduction modulo p est le Frobenius. Notre méthode est de transporter la dynamique p-adique à une dynamique sur un corps de caractéristique p par la théorie des espaces perfectoïdes de Peter Scholze.
URL:https://www.math.ens.psl.eu/evenement/la-conjecture-de-manin-mumford-dynamique-pour-les-releves-du-frobenius/
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SUMMARY:Actions de SL(n\,Z) par transformations birationnelles
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SUMMARY:Etude dynamique de certaines transséries
DESCRIPTION:Des résultats classiques montrent comment\, étant donné un système dynamique holomorphe\, en déterminer une forme normale ou le plonger dans le flot d’un champ de vecteurs. Nous montrons comment étendre la version formelle de ces résultats à certaines transséries\, et donnons quelques motivations en lien avec l’analyse fractale.
URL:https://www.math.ens.psl.eu/evenement/etude-dynamique-de-certaines-transseries/
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SUMMARY:Groupes et corps colorés
DESCRIPTION:Le rang de Morley est une dimension combinatoire à valeurs ordinales sur la collection des ensembles définissables d’une théorie complète\, qui coïncide avec la dimension de Zariski pour la théorie des corps algébriquement clos de caractéristique fixée.Le théorème d’interprétation du corps de Zilber permet de retrouver de façon définissable un corps algébriquement clos à partir d’un groupe abélien agissant par permutations sur un groupe abélien\, le tout de rang de Morley fini. Or\, une certaine configuration `interdite’ risque d’apparaître\, ce que l’on appelle un mauvais corps : un corps algébriquement clos de rang de Morley fini muni d’un sous-groupe multiplicatif propre définissable et divisible. En caractéristique positive\, un tel objet n’existe probablement pas. En caractéristique nulle\, un mauvais corps de rang de Morley 2 fut construit\, à partir du corps verts de Poizat par une technique d’amalgamation et collapse\, introduite par Hrushovski.Nous allons continuer l’étude des groupes définissables dans certaines expansions de corps algébriquement clos\, présentée dans l’exposé de Thomas Blossier lors de la séance précédente\, pour considérer les groupes définissables à l’intérieur du mauvais corps vert. En particulier\, on montrera que tout groupe définissable simple non-abélien est algébrique. Pour cela\, une notion d’ampleur relative au corps algébriquement clos sous-jacent jouera un rôle fondamental.
URL:https://www.math.ens.psl.eu/evenement/groupes-et-corps-colores/
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SUMMARY:From motives of twisted flag varieties to modular representations of Hecke-type algebras
DESCRIPTION:Let G be a split semisimple linear algebraic group over a field k\, let Ebe a G-torsor over k. Let h be an algebraic oriented cohomology theory inthe sense of Levine-Morel (e.g.~Chow ring or an algebraic cobordism).Consider a twisted form E/B of the variety of Borel subgroups G/B.Following Brion’s and Kostant-Kumar’s results on equivariant cohomology offlag varieties we establish an equivalencebetween the h-motivic subcategory generated by E/B and the category ofprojective modules of certain Hecke-type algebra H which depends on theroot system of G\, its isogeny class\, on E\, and on the formal group law ofthe theory h. In particular\, taking h to be the Chow groups with finite coefficients F_pand E to be a generic torsor we obtain that all irreducible submodules oftheaffine nil-Hecke algebra H of G with coefficients in F_p are isomorphicand correspond to the generalized Rost-Voevodsky motive for (G\,p).
URL:https://www.math.ens.psl.eu/evenement/from-motives-of-twisted-flag-varieties-to-modular-representations-of-hecke-type-algebras/
LOCATION:ENS 29 rue d’Ulm salle 236
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SUMMARY:p-indices de Tits des groupes semisimples
DESCRIPTION:Les versions locales en p des indices de Tits caractérisent les classes d’équivalences motiviques des groupes semisimples. L’objectif de cet exposé est de présenter deux travaux consécutifs à ce résultat. On proposera dans un premier temps la classification des algèbres à involution à équivalence motivique près (travail commun avec Anne Quéguiner et Maksim Zhykhovich). Par suite on abordera la détermination de l’ensemble des valeurs possibles de ces p-indices de Tits (travail en commun avec Skip Garibaldi). Cette étude exhaustive aboutit à un dictionnaire complet mêlant structures algébriques\, invariants cohomologiques\, algèbres de Tits et motifs associés aux groupes semisimples (travail en commun avec Skip Garibaldi).
URL:https://www.math.ens.psl.eu/evenement/p-indices-de-tits-des-groupes-semisimples/
LOCATION:ENS 29 rue d’Ulm salle 236
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SUMMARY:The Hasse norm principle for abelian extensions.
DESCRIPTION:Let L/K be a normal extension of number fields. The Hasse normprinciple is a local-global principle for norms. It is satisfied if anyelement x of K is a norm from L whenever it is a norm locally at everyplace. For any fixed abelian Galois group G\, we investigate the densityof G-extensions violating the Hasse norm principle\, when G-extensionsare counted in order of their discriminant. This is joint work with DanLoughran and Rachel Newton.
URL:https://www.math.ens.psl.eu/evenement/the-hasse-norm-principle-for-abelian-extensions/
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SUMMARY:Classification des fibrations elliptiques sur certaines surfaces K3.
DESCRIPTION:Soit X une surface algébrique de type K3 munie d’une involution non-symplectique. Nous classifions les fibrations elliptiques sur X sous certaines hypothèses sur l’involution non-symplectique. L’idée sous-jacente est de transférer le problème a une surface plus simple du point de vue géométrique. L’exposé portera sur une collaboration en cours avec Alice Garbagnati (Milan).
URL:https://www.math.ens.psl.eu/evenement/classification-des-fibrations-elliptiques-sur-certaines-surfaces-k3/
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SUMMARY:Fibres de Milnor réelles et séries de Puiseux.
DESCRIPTION:Je parlerai d’une description des fibres de Milnor d’une fonction polynomiale réelle qui passe par l’étude d’un ensemble de séries de Puiseux. On calcule l’homologie semialgébrique de cet ensemble\, que l’on compare avec les fibres de Milnor topologiques.Il s’agit d’un travail en commun avec Masahiro Shiota\, de Nagoya.
URL:https://www.math.ens.psl.eu/evenement/fibres-de-milnor-reelles-et-series-de-puiseux/
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CATEGORIES:Séminaire Géométrie et théorie des modèles
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SUMMARY:Corps et géométries relatives
DESCRIPTION:Tout groupe constructible est algébrique (Weil – Van den Dries – Hrushovski). Pillay en 1997\, puis Kowalski et Pillay en 2001\, ont montré que la composante connexe de tout groupe constructible dans un corps différentiellement clos ou dans un corps avec un automorphisme générique\, se plonge (à noyau fini près dans le second cas) dans un groupe algébrique. Ces démonstrations consistent à obtenir une configuration de groupe dans le pur corps algébriquement clos à partir de celle dans le corps enrichi. Pour les groupes définissables dans les corps colorés\, corps algébriquement clos enrichi avec un prédicat pour un sous-groupe additif ou multiplicatif infini propre\, le passage à des relations purement algébriques s’avère plus complexe dans le cas collapsé. Dans un travail commun avec Amador Martin-Pizarro et Frank Wagner\, nous avons isolé des propriétés géométriques relatives à la structure de pur corps afin d’entamer une étude des groupes dans un corps enrichi. Ces propriétés nous ont en particulier permis de montrer que tout groupe simple définissable dans un corps coloré est définissablement isomorphe à un groupe algébrique.Dans cet exposé\, je présenterai les outils et propriétés utilisées pour construire un groupe algébrique à partir d’un groupe définissable dans un corps enrichi. J’introduirai ensuite des notions de géométries relatives permettant de faire un lien entre le groupe donné et le groupe algébrique construit. J’expliciterai en particulier comment on retrouve ainsi les résultats de Pillay et de Kowalski-Pillay. Dans un prochain exposé (GTM du 18 mars)\, Amador Martin-Pizarro présentera d’autres applications.
URL:https://www.math.ens.psl.eu/evenement/corps-et-geometries-relatives/
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CATEGORIES:Séminaire Géométrie et théorie des modèles
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SUMMARY:Pseudo-exponential maps of algebraic groups
DESCRIPTION:Zilber conjectured that the complex exponential field (C
URL:https://www.math.ens.psl.eu/evenement/pseudo-exponential-maps-of-algebraic-groups/
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CATEGORIES:Séminaire Géométrie et théorie des modèles
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SUMMARY:Groupes algébriques commutatifs à isogénie près.
DESCRIPTION:Les schémas en groupes commutatifs de type fini sur un corps k forment une catégorie abélienne C. Lorsque k est algébriquement clos\, la dimension homologique de C vaut 1 en caractéristique nulle (Serre) et 2 en caractéristique positive (Oort). Sur un corps parfait\, cette dimension peut être arbitrairement grande (Milne). L’exposé portera sur la catégorie quotient de C par la sous-catégorie F formée des schémas en groupes finis. On verra en particulier que la dimension homologique de C/F est 1 pour tout corps k.
URL:https://www.math.ens.psl.eu/evenement/groupes-algebriques-commutatifs-a-isogenie-pres/
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CATEGORIES:Variétés rationnelles
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SUMMARY:Automorphismes extérieurs de groupes algébriques.
DESCRIPTION:Pour un groupe algébrique linéaire absolument simple de type adjoint ou simplement connexe\, une obstruction à l’existence d’automorphismes extérieurs provient de la classe de Tits. Dans cet exposé\, basé sur un travail en collaboration avec Anne Quéguiner-Mathieu\, on montre par des exemples que l’annulation de cette obstruction ne suffit pas à garantir l’existence d’automorphismes extérieurs. Ce résultat donne une réponse négative à une question de Garibaldi-Petersson.
URL:https://www.math.ens.psl.eu/evenement/automorphismes-exterieurs-de-groupes-algebriques/
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CATEGORIES:Variétés rationnelles
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SUMMARY:Dégénérescences de variétés de Calabi-Yau et géométrie non-archimédienne
DESCRIPTION:Je vais présenter un travail en commun avec Mattias Jonsson\, dans lequel nous utilisons une variante d’une construction de Berkovich pour étudier la convergence au sens de la théorie de la mesure d’une famille de variétés de Calabi-Yau vers son `squelette essentiel’ au sens de Kontsevich et Soibelman.
URL:https://www.math.ens.psl.eu/evenement/degenerescences-de-varietes-de-calabi-yau-et-geometrie-non-archimedienne/
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CATEGORIES:Séminaire Géométrie et théorie des modèles
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SUMMARY:On approximability of extremal tropical currents
DESCRIPTION:I will briefly explain complex tropical currents\, and willaddress their extremality\, intersection theory\, and approximationproblems. I will discuss how in joint work with June Huh\, we constructedan example of a non-approximable tropical current\, which\, in turn\,refutes a strong version of the Hodge conjecture for positive currents.
URL:https://www.math.ens.psl.eu/evenement/on-approximability-of-extremal-tropical-currents/
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SUMMARY:La définissabilité des types\, par l'analyse fonctionnelle
DESCRIPTION:Comme demandé par les organisateurs\, je parlerai des liens entre la stabilité en théorie des modèles et certains résultats d’analyse fonctionnelle\, notamment la caractérisation par Grothendieck des ensembles faiblement précompacts dans  C(X) .En effet\, nous retrouvons dans le critère de Grothendieck la définition de formule stable\, (re)donnée 20 ans plus tard par Shelah\, et pouvons en déduire le théorème de Shelah sur la définissabilité des types dans une théorie stable\, ainsi que la forme de la formule défninissante.
URL:https://www.math.ens.psl.eu/evenement/la-definissabilite-des-types-par-lanalyse-fonctionnelle/
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SUMMARY:A geometric approach to a refinement of Manin's conjecture
DESCRIPTION:Manin’s conjecture is a conjectural asymptotic formula for the counting function of rational points of bounded height on Fano varieties\, however the conjecture admits many counterexamples due to covering families of subvarieties violating compatibility of Manin’s conjecture. In this talk\, I will explain how one can use the minimal model program and the boundedness of log Fano varieties to prove a sort of finiteness of such families. This is joint work with Brian Lehmann and Yuri Tschinkel.
URL:https://www.math.ens.psl.eu/evenement/a-geometric-approach-to-a-refinement-of-manins-conjecture/
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CATEGORIES:Variétés rationnelles
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SUMMARY:Dynamical spectra and rationality
DESCRIPTION:Taking the irrationality problem for very general cubic n-folds as motivating example\, we explore the possibility to use entropy-type invariants (dynamical degrees) and growth behaviour of Cremona multidegrees of birational self-maps for distinguishing birational automorphism groups of nearly rational varieties. We discuss some recent results (semi-continuity properties of dynamical degrees\, computations of dynamical degrees for some compositions of reflections on cubic fourfolds\, relation to algebraic subgroups of the birational automorphism groups) obtained jointly with H.-Chr. v. Bothmer and P. Sosna.
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