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SUMMARY:Une formule pour le groupe de Brauer algébrique d'un torseur
DESCRIPTION:Nous présenterons une formule qui décrit une partie du groupe de Brauer d’un espace homogène sur corps de caractéristique nulle grâce à un groupe d’hypercohomologie galoisienne d’un complexe explicite associé à l’espace homogène. Ce travail généralise des résultats antérieurs sur le groupe de Brauer algébrique\, dus entre autres à Sansuc\, Kottwitz et Borovoi-van Hamel. Contrairement à ces résultats\, le sous-groupe du groupe de Brauer considéré ici contient en général des éléments transcendants\,qui sont nécessaires pour  étudier l’arithmétique des espaces homogènes. En particulier\, dans le cas d’un corps de nombres\, le groupe en question mesure le défaut d’approximation forte (et du principe de Hasse entier) sur l’espace homogène considéré via l’obstruction de Brauer-Manin entière.
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SUMMARY:Sur le groupe de Brauer transcendant
DESCRIPTION:Soit k un corps\, K une clôture séparable\, G le groupe de Galois absolu. Pour X une variété projective et lisse sur k\, le groupe de Brauer de X s’envoie dans les invariants sous G du groupe de Brauer de X_K. On étudie le quotient. S’il reste du temps\, sur un corps de nombres\, on discutera la structure de l’ensemble de Brauer-Manin des variétés dont le groupe de Picard géométrique est sans torsion. On considèrera en particulier le cas des surfaces quartiques diagonales. (Travaux en commun avec A. Skorobogatov\, Imperial College\, Londres.)
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SUMMARY:Courbes rationnelles sur les surfaces K3 (d'après Li-Liedtke)
DESCRIPTION:On conjecture que toute surface K3 sur un corps algébriquement closcontient une infinité de courbes rationnelles. En travaillant encaractéristique mixte\, on montre que c’est le cas pour les surfaces K3complexes dont le rang de Picard est impair.
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SUMMARY:K3 surfaces: rational points and Picard numbers
DESCRIPTION:It is a widely accepted philosophy that the arithmetic of a variety\,say over a number field\, is governed by its geometry. Indeed\, weexpect many rational points\, if any\, on Del Pezzo surfaces\, while onsurfaces of general type\, we expect that the rational points are notdense. On K3 surfaces\, as for Del Pezzo surfaces\, we expect morerational points for higher Picard numbers: for high enough Picardnumber\, rational points are potentially dense by a result of Tschinkeland Bogomolov. In this talk\, I will highlight some results on thearithmetic of K3 surfaces. I will focus on diagonal quartic surfaces\,surfaces with two elliptic fibrations\, and on computing Picardnumbers.
URL:https://www.math.ens.psl.eu/evenement/k3-surfaces-rational-points-and-picard-numbers/
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SUMMARY:Soficité des groupes de Cremona
DESCRIPTION:Le groupe de Cremona Crn(C) est le groupe des transformations birationnelles de Cn. Au contraire des groupes de matrices\, on ne sait pas\, si n?oo2\, s’il possède des sous-groupes de type fini non résiduellement finis. Je montrerai une version faible dans cette direction: il est sofique\, c’est-à-dire approximable\, en un sens convenable\, par des groupes finis (notion introduite par M. Gromov et B. Weiss). J’introduirai en détail toutes les notions utilisées.
URL:https://www.math.ens.psl.eu/evenement/soficite-des-groupes-de-cremona/
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CATEGORIES:Séminaire Géométrie et théorie des modèles
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SUMMARY:Topology of definable groups in tame structures
DESCRIPTION:I will survey some results on definable groups in o-minimal structures\, some old\, some new\, emphasizing the interplay between algebra\, logic\, and topology. In particular I will show how a combination of techniques from model theory and algebraic topology lead to the determination of the definable homeomorphism type of definable abelian groups in dimension not equal to 4 (joint work with E. Baro). If time permits\, I will consider the problem of finding a tame definable context\, larger than o-minimality\, which is suitable for the study of universal covers (work in progress with M. Mamino).
URL:https://www.math.ens.psl.eu/evenement/topology-of-definable-groups-in-tame-structures/
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SUMMARY:Hilbert's fifth problem and applications
DESCRIPTION:Hilbert’s fifth problem asks whether every locally euclidean group G can be equipped with a real analytic structure (compatible with the topology) so that the group operations become real analytic
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CATEGORIES:Séminaire Géométrie et théorie des modèles
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SUMMARY:Chai's conjecture and Fubini properties of motivic integrals.
DESCRIPTION:Let K be a discretely valued field with perfect residue field k. Let G be a semi-abelian variety over K\, i.e.\, an extension of an abelian K-variety A by a K-torus T. The Néron lft-model of G is the minimal extension of G to a smooth group scheme over the value ring of K. We say that G has semi-abelian reduction if the identity component of the special fiber of the Néron lft-model of G is a semi-abelian k-variety. By Grothendieck’s Semi-Stable Reduction Theorem\, G acquires semi-abelian reduction over some finite separable extension K’ of K. Chai’s base change conductor c(G) is a positive rational number that measures the defect of semi-abelian reduction of G over K. Chai conjectured that c(G)=c(A)+c(T)\, and he proved this property if k is finite and also if K has characteristic zero. The proof of the finite residue field case uses Fubini’s theorem for integrals with respect to the Haar measure on the completion of K. The proof of the case where K has characteristic zero uses completely different methods. In this talk\, we will first give a general introduction to Néron lft-models and the base change conductor. Then we’ll show how one can use Loeser and Sebag’s motivic integration on rigid varieties to reformulate Chai’s conjecture as a Fubini property for motivic integrals\, and how one can use Cluckers and Loeser’s motivic integration on definable sets to prove this Fubini property if K has characteristic zero. This is joint work with Raf Cluckers and François Loeser.
URL:https://www.math.ens.psl.eu/evenement/chais-conjecture-and-fubini-properties-of-motivic-integrals/
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CATEGORIES:Séminaire Géométrie et théorie des modèles
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SUMMARY:Théorie des modèles des corps munis d'une dérivation de Hasse
DESCRIPTION:Je commencerai par présenter les résultats basiques de la théorie des modèles des corps ?Roedifférentiellement clos?Roe au sens des dérivations de Hasse en toute caractéristique.Ensuite j’introduirai les notions de D-prolongations et de D-structures sur une variété\, pour D une dérivation de Hasse\, et expliquerai les liens avec des théorèmes de descente sur le corps des constantes. Ce contexte nous permettra de ?Roerevisiter?R avec un point de vue différent certaines des notions que j’avais introduites lors de mon exposé du 19 novembre à ce même séminaire ou qui avaient été évoquées dans l’exposé du 17 décembre de Anand Pillay. Il ne sera pas nécessaire d’avoir suivi l’un ou l’autre de ces exposés précédents pour suivre celui-ci.
URL:https://www.math.ens.psl.eu/evenement/theorie-des-modeles-des-corps-munis-dune-derivation-de-hasse/
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CATEGORIES:Séminaire Géométrie et théorie des modèles
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SUMMARY:Sur le type d'homotopie des espaces de Berkovich.
DESCRIPTION:J’expliquerai comment on peut aborder les résultats récents de E. Hrushovski et F. Loeser sur la topologie des variétés algébriques sur un corps non archimédien en reprenant le point de vue de Berkovich\, fondé sur des théorèmes de désingularisation.
URL:https://www.math.ens.psl.eu/evenement/sur-le-type-dhomotopie-des-espaces-de-berkovich/
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CATEGORIES:Séminaire Géométrie et théorie des modèles
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SUMMARY:R-trivialité de certains groupes orthogonaux de type adjoint
DESCRIPTION:Les multiplicateurs des similitudes d’une forme quadratique de dimension 12 dont le discriminant et l’invariant de Witt-Clifford sont triviaux sont dans le groupe engendré par les normes des extensions quadratiques qui la déploient. Il en résulte que le groupe orthogonal de type adjoint de cette forme est R-trivial\, et que la conjecture de Kneser-Tits vaut pour les groupes d’indice de Tits E_{8\,2}^{66} sur un corps arbitraire. (Travail en collaboration avec Skip Garibaldi\, Parimala et Richard Weiss.)
URL:https://www.math.ens.psl.eu/evenement/r-trivialite-de-certains-groupes-orthogonaux-de-type-adjoint/
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CATEGORIES:Variétés rationnelles
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SUMMARY:J-invariant et Trialité
DESCRIPTION:Cet exposé est basé sur un travail commun avec K. Zainoulline et N. Semenov. Dans un premier temps\, nous expliquerons comment définir le J-invariant d’une algèbre à involution à partir de son groupe d’automorphisme\, en particulier dans le cas trialitaire. En utilisant le lien avec les indices des algèbres de Tits présenté par N. Semenov dans son exposé\, nous montrerons comment calculer le J-invariant en petit degré. Enfin\, nous obtiendrons des restrictions supplémentaires sur les valeurs possibles\, qui ne semblent pas pouvoir être détectées à l’aide des opérations de Steenrod.
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CATEGORIES:Variétés rationnelles
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SUMMARY:J-invariant of linear algebraic groups and Tits algebras
DESCRIPTION:The J-invariant of a linear algebraic group measures the subring of rational cycles on the variety of its Borel subgroups. In the talk I’m going to introduce this invariant and discuss its possible values. The restrictions come from Steenrod operations and from indices of Tits algebras. If time permits\, I will discuss applications of the J-invariant to cohomological invariants of algebraic groups.
URL:https://www.math.ens.psl.eu/evenement/j-invariant-of-linear-algebraic-groups-and-tits-algebras/
LOCATION:Salle W
CATEGORIES:Variétés rationnelles
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SUMMARY:Théorème de préparation quasianalytique et élimination des quantificateurs
DESCRIPTION:Le ?Roethéorème de préparation?R de L. van den Dries et P. Speissegger affirme que les fonctions définissables dans les structures o-minimales polynomialement bornées admettent une forme factorisée. Dans le cas des structures engendrées par des algèbres quasianalytiques de fonctions réelles\, nous montrons que cette factorisation admet une écriture explicite. Nous en déduisons un théorème d’élimination des quantificateurs dans ce cadre\, dans l’esprit du théorème d’élimination démontré par J. Denef et L. van den Dries dans le cadre analytique.
URL:https://www.math.ens.psl.eu/evenement/theoreme-de-preparation-quasianalytique-et-elimination-des-quantificateurs/
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SUMMARY:Arithmetic jet spaces: an overview.
DESCRIPTION:Arithmetic jet spaces are analogues of arc spaces in which derivation operators are replaced by Fermat quotient operators. The talk is an overview of some of the main concepts\, results\, applications\, and open questions pertaining to this topic.
URL:https://www.math.ens.psl.eu/evenement/arithmetic-jet-spaces-an-overview/
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SUMMARY:Les theoremes de Hrushovski et leurs versions quantitatives.
DESCRIPTION:La notion de sous-groups approximatif\, introduite récemment par T. Tao\, permet de comprendre les parties finies A d’un groupe dont la taille de l’ensemble des produits AA est beaucoup plus petite que |A|^2. Cette notion et les méthodes combinatoires utilisées pour l’étudier ont été couronnées de succès par le rôle qu’elles jouent dans la théorie spectrale des graphes (graphes expanseurs) d’une part et pour les applications arithmétiques qui en découlent (crible de Bourgain-Gamburd-Sarnak). Récemment\, en connection avec la théorie des modèles et la stabilité\, Hrushovski s’est intéressé au problème de la classification des groupes approximatifs et a réussi à obtenir plusieurs résultats remarquables dans cette direction. Entre autres\, une classification des sous-groupes approximatifs des groupes linéaires\, ainsi qu’une version améliorée du fameux théorème de Gromov sur les groupes à croissance polynomiale. Dans cet exposé je présenterai ces travaux ainsi qu’une autre approche (travail en commun avec Ben Green et Terence Tao) qui permet de retrouver certains de ces résultats et d’en donner des bornes précises\, lesquelles sont souvent cruciales pour les applications.
URL:https://www.math.ens.psl.eu/evenement/les-theoremes-de-hrushovski-et-leurs-versions-quantitatives/
LOCATION:ENS Salle W
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SUMMARY:Failure of the Hasse principle for Enriques surfaces
DESCRIPTION:Dans ce travail en collaboration avec  Anthony Várilly-Alvarado\, nous contruisons une surfaced’Enriques sur le corps des nombres rationnels dont l’ensemble des points adéliques pour l’equivalencede Brauer-étale est vide (en particulier X n’a pas de point rationnel) mais pour laquelleil n’y a d’obstruction de Brauer-Manin à l’existence d’un point rationnel.
URL:https://www.math.ens.psl.eu/evenement/failure-of-the-hasse-principle-for-enriques-surfaces/
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SUMMARY:Rost nilpotence and applications
DESCRIPTION:In the first part of my talk I will discuss the meaning of Rost nilpotence for motives and explain why this is an important property. In the second part I will review my proof of this property for (geometrically rational) surfaces.
URL:https://www.math.ens.psl.eu/evenement/rost-nilpotence-and-applications/
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SUMMARY:Action de groupes finis\, points fixes rationnels et modèles de Néron faibles
DESCRIPTION:Si G est un l-groupe fini agissant sur un espace affine défini sur un  corps fini  Kd’ordre premier à l\, Serre et Bialynicki-Birula ont  montré que G fixe un point rationnel.On généralise ce résultat au cas d’un corps K valué  discret et henséliendont le corps résiduel est algébriquement clos de caractéristique première à l.
URL:https://www.math.ens.psl.eu/evenement/action-de-groupes-finis-points-fixes-rationnels-et-modeles-de-neron-faibles/
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SUMMARY:Homogeneous structures\, automorphism groups\, and free amalgamation
DESCRIPTION:
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SUMMARY:Around pseudo-reductive groups
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SUMMARY:Un theoreme de Montel non-archimedien
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SUMMARY:Canonical dimension of algebraic tori
DESCRIPTION:Canonical dimension is a numerical invariant of algebraic varieties X over a field F\, that measures how far X is from having a F-rational point. This concept has been introduced in 2005 by G. Berhuy and Z. Reichstein\, and was recently presented at ICM 2010 by N. Karpenko. In the first part of the talk I want to give you an idea of canonical dimension and to show how it is related to essential dimension. In the second part I will present a general result on canonical dimension\, where the varieties in question are torsors of a given algebraic F-torus. As an application we get the following statement: Let p be a prime integer and let T be an anisotropic F-torus which splits over a cyclic extension of p-primary degree. Then T admits a torsor (over some field extension of F) whose canonical dimension is equal to the (usual) dimension of T.
URL:https://www.math.ens.psl.eu/evenement/canonical-dimension-of-algebraic-tori/
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CATEGORIES:Variétés rationnelles
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SUMMARY:Dimension essentielle des tores
DESCRIPTION:Je présenterai d’abord une brève introduction à la théorie de la dimension essentielle quiest une mesure de complexité des certaines structures algébriques\, par exemple destorseurs d’un groupe algébrique. Je  discuterai ensuite la dimension essentielle des torseurs d’un tore algébrique
URL:https://www.math.ens.psl.eu/evenement/dimension-essentielle-des-tores/
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CATEGORIES:Variétés rationnelles
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SUMMARY:Cohomologie log plate\, actions modérées et structures galoisiennes
DESCRIPTION:Les structures galoisiennes dont il est question ici décrivent lastructure de module sous-jacente à l’action d’un schéma en groupes(commutatif) fini et plat sur un schéma. Quand l’action est modérée(dans un sens que nous préciserons)\, le module obtenu est projectif.Nous montrerons comment l’utilisation des log schémas permet deréinterpréter certaines actions modérées en termes de torseurs pourla topologie log plate définie par Kato. Pour finir\, nous donneronsdes applications à l’arithmétique des variétés abéliennes.
URL:https://www.math.ens.psl.eu/evenement/cohomologie-log-plate-actions-moderees-et-structures-galoisiennes/
CATEGORIES:Variétés rationnelles
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SUMMARY:Propriété de Hilbert-Grunwald et théorie inverse de Galois
DESCRIPTION:Notre résultat principal combine une conclusion de typeGrunwald-Wang pour les groupe arbitraires\, une version effective duthéorème de Hilbert et le problème inverse de Galois (travail commun avecPierre Dèbes).
URL:https://www.math.ens.psl.eu/evenement/propriete-de-hilbert-grunwald-et-theorie-inverse-de-galois/
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CATEGORIES:Variétés rationnelles
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SUMMARY:Diametre geodesique d'ensembles definis par un petit nombre d'equations et inegalites quadratiques
DESCRIPTION:
URL:https://www.math.ens.psl.eu/evenement/diametre-geodesique-densembles-definis-par-un-petit-nombre-dequations-et-inegalites-quadratiques/
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CATEGORIES:Séminaire Géométrie et théorie des modèles
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SUMMARY:Around Manin-Mumford and Mordell-Lang
DESCRIPTION:
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CATEGORIES:Séminaire Géométrie et théorie des modèles
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SUMMARY:Une majoration explicite du nombre des points rationnels dans une variété arithmétique
DESCRIPTION:J’explique l’approche de la gémométrie d’Arakelov dans les majorations uniformes des nombres de points rationnels de hauteurs bornées dans les variétés arithmétiques de degré et dimension fixés dans un espace projectif. Cette approche permet de trouver des majorations explicites\, qui sont utiles dans l’étude des points de petite hauteur.
URL:https://www.math.ens.psl.eu/evenement/une-majoration-explicite-du-nombre-des-points-rationnels-dans-une-variete-arithmetique/
CATEGORIES:Variétés rationnelles
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SUMMARY:Points de hauteur bornée des  variétés toriques
DESCRIPTION:Dans ce travail en commun avec Yuri Tschinkel\, nous établissons une formule asymptotiquepour le nombre de points de hauteur bornée d’une variété torique.
URL:https://www.math.ens.psl.eu/evenement/points-de-hauteur-bornee-des-varietes-toriques/
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CATEGORIES:Variétés rationnelles
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