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SUMMARY:Pierre Godfard\, raconte-moi la conjecture de Putman-Wieland et les correspondances non-ramifiées !
DESCRIPTION:Le mapping class group Mod(S) d’une surface S de genre au moins 3 est d’abélianisation finie. Une conjecture d’Ivanov dit que cette propriété devrait se prolonger aux sous-groupes d’indice fini de Mod(S). En 2013\, Putman et Wieland formulent une autre conjecture\, d’apparence plus abordable et essentiellement équivalente à celle d’Ivanov : pour tout revêtement S’->S d’une surface de genre >=2\, l’action (virtuelle) du mapping class groupe de S sur le H_1 de la clôture de S’ n’a pas d’orbite finie non-nulle. En 2022\, Marković a produit un contre-exemple à cette conjecture de Putman-Wieland en genre 2\, et plus généralement à la variante hyperelliptique de la conjecture en genre >=2\, en utilisant le résultat suivant de Bogomolov-Tschinkel : toute courbe hyperelliptique de genre >= 2 admet un revêtement non-ramifié d’ordre 648 qui se surjecte sur la courbe de genre 2 donnée par y^6=x(x-1). Dans cet exposé\, je présenterai les conjectures d’Ivanov et de Putman-Wieland\, puis je donnerai un aperçu des preuves des résultats de Marković et Bogomolov-Tschinkel mentionnés ci-dessus.
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SUMMARY:Ravi Ramakrishna\, tell me about Wild and Tame Galois groups !
DESCRIPTION:Absolute Galois groups have played a central role in most major breakthroughs in Algebraic Number Theory in the last half century. Typically the action of these groups is through an « almost pro-p quotient » with ramification at primes above p. For such groups the Poitou-Tate duality theorems are powerful. These theorems do not hold for pro-p groups unramified at primes above p. I will survey how this tame situation differs from the wild one above and introduce theorems of Labute and Schmidt which give situations where certain tame Galois groups have many nice properties.
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