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SUMMARY:Actions de SL(n\,Z) par transformations birationnelles
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SUMMARY:Etude dynamique de certaines transséries
DESCRIPTION:Des résultats classiques montrent comment\, étant donné un système dynamique holomorphe\, en déterminer une forme normale ou le plonger dans le flot d’un champ de vecteurs. Nous montrons comment étendre la version formelle de ces résultats à certaines transséries\, et donnons quelques motivations en lien avec l’analyse fractale.
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SUMMARY:Groupes et corps colorés
DESCRIPTION:Le rang de Morley est une dimension combinatoire à valeurs ordinales sur la collection des ensembles définissables d’une théorie complète\, qui coïncide avec la dimension de Zariski pour la théorie des corps algébriquement clos de caractéristique fixée.Le théorème d’interprétation du corps de Zilber permet de retrouver de façon définissable un corps algébriquement clos à partir d’un groupe abélien agissant par permutations sur un groupe abélien\, le tout de rang de Morley fini. Or\, une certaine configuration `interdite’ risque d’apparaître\, ce que l’on appelle un mauvais corps : un corps algébriquement clos de rang de Morley fini muni d’un sous-groupe multiplicatif propre définissable et divisible. En caractéristique positive\, un tel objet n’existe probablement pas. En caractéristique nulle\, un mauvais corps de rang de Morley 2 fut construit\, à partir du corps verts de Poizat par une technique d’amalgamation et collapse\, introduite par Hrushovski.Nous allons continuer l’étude des groupes définissables dans certaines expansions de corps algébriquement clos\, présentée dans l’exposé de Thomas Blossier lors de la séance précédente\, pour considérer les groupes définissables à l’intérieur du mauvais corps vert. En particulier\, on montrera que tout groupe définissable simple non-abélien est algébrique. Pour cela\, une notion d’ampleur relative au corps algébriquement clos sous-jacent jouera un rôle fondamental.
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SUMMARY:Fibres de Milnor réelles et séries de Puiseux.
DESCRIPTION:Je parlerai d’une description des fibres de Milnor d’une fonction polynomiale réelle qui passe par l’étude d’un ensemble de séries de Puiseux. On calcule l’homologie semialgébrique de cet ensemble\, que l’on compare avec les fibres de Milnor topologiques.Il s’agit d’un travail en commun avec Masahiro Shiota\, de Nagoya.
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SUMMARY:Corps et géométries relatives
DESCRIPTION:Tout groupe constructible est algébrique (Weil – Van den Dries – Hrushovski). Pillay en 1997\, puis Kowalski et Pillay en 2001\, ont montré que la composante connexe de tout groupe constructible dans un corps différentiellement clos ou dans un corps avec un automorphisme générique\, se plonge (à noyau fini près dans le second cas) dans un groupe algébrique. Ces démonstrations consistent à obtenir une configuration de groupe dans le pur corps algébriquement clos à partir de celle dans le corps enrichi. Pour les groupes définissables dans les corps colorés\, corps algébriquement clos enrichi avec un prédicat pour un sous-groupe additif ou multiplicatif infini propre\, le passage à des relations purement algébriques s’avère plus complexe dans le cas collapsé. Dans un travail commun avec Amador Martin-Pizarro et Frank Wagner\, nous avons isolé des propriétés géométriques relatives à la structure de pur corps afin d’entamer une étude des groupes dans un corps enrichi. Ces propriétés nous ont en particulier permis de montrer que tout groupe simple définissable dans un corps coloré est définissablement isomorphe à un groupe algébrique.Dans cet exposé\, je présenterai les outils et propriétés utilisées pour construire un groupe algébrique à partir d’un groupe définissable dans un corps enrichi. J’introduirai ensuite des notions de géométries relatives permettant de faire un lien entre le groupe donné et le groupe algébrique construit. J’expliciterai en particulier comment on retrouve ainsi les résultats de Pillay et de Kowalski-Pillay. Dans un prochain exposé (GTM du 18 mars)\, Amador Martin-Pizarro présentera d’autres applications.
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SUMMARY:Pseudo-exponential maps of algebraic groups
DESCRIPTION:Zilber conjectured that the complex exponential field (C
URL:https://www.math.ens.psl.eu/evenement/pseudo-exponential-maps-of-algebraic-groups/
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SUMMARY:Dégénérescences de variétés de Calabi-Yau et géométrie non-archimédienne
DESCRIPTION:Je vais présenter un travail en commun avec Mattias Jonsson\, dans lequel nous utilisons une variante d’une construction de Berkovich pour étudier la convergence au sens de la théorie de la mesure d’une famille de variétés de Calabi-Yau vers son `squelette essentiel’ au sens de Kontsevich et Soibelman.
URL:https://www.math.ens.psl.eu/evenement/degenerescences-de-varietes-de-calabi-yau-et-geometrie-non-archimedienne/
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SUMMARY:On approximability of extremal tropical currents
DESCRIPTION:I will briefly explain complex tropical currents\, and willaddress their extremality\, intersection theory\, and approximationproblems. I will discuss how in joint work with June Huh\, we constructedan example of a non-approximable tropical current\, which\, in turn\,refutes a strong version of the Hodge conjecture for positive currents.
URL:https://www.math.ens.psl.eu/evenement/on-approximability-of-extremal-tropical-currents/
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SUMMARY:La définissabilité des types\, par l'analyse fonctionnelle
DESCRIPTION:Comme demandé par les organisateurs\, je parlerai des liens entre la stabilité en théorie des modèles et certains résultats d’analyse fonctionnelle\, notamment la caractérisation par Grothendieck des ensembles faiblement précompacts dans  C(X) .En effet\, nous retrouvons dans le critère de Grothendieck la définition de formule stable\, (re)donnée 20 ans plus tard par Shelah\, et pouvons en déduire le théorème de Shelah sur la définissabilité des types dans une théorie stable\, ainsi que la forme de la formule défninissante.
URL:https://www.math.ens.psl.eu/evenement/la-definissabilite-des-types-par-lanalyse-fonctionnelle/
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SUMMARY:Cohomologie des disques de Berkovich sur Z
DESCRIPTION:Bien que les espaces de Berkovich apparaissent souvent dans un contexte ultramétrique\, leur définition la plus générale s’applique en réalité en prenant pour base un anneau de Banach arbitraire\, par exemple Z muni de la valeur absolue usuelle. Dans ce dernier cas\, les espaces obtenus se présentent naturellement comme des fibrations contenant à la fois des fibres complexes et p-adiques\, pour tout nombre premier p. Nous rappellerons les propriétés connues de ces espaces puis esquisserons la démonstration du fait que la cohomologie cohérente des disques de dimension arbitraire sur Z s’annule. Nous expliquerons que ce résultat entraîne un analogue global du théorème classique d’acyclicité de Tate. Il permet également d’obtenir des résultats de noethérianité pour des anneaux de séries convergentes à coefficients entiers.
URL:https://www.math.ens.psl.eu/evenement/cohomologie-des-disques-de-berkovich-sur-z/
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SUMMARY:Corps définissables dans le groupe libre
DESCRIPTION:La théorie du groupe libre est stable\, donc elle admet une ?Roebonne?R notion d’indépendance (comme l’indépendance algébrique dans un corps algébriquement clos). Cette notion est appelée déviation et on peut calculer sa complexité au sens de l’ampleur. La déviation est la plus simple dans une espace vectoriel et la plus complexe dans un corps algébriquement clos. Dans la théorie du groupe libre la déviation est la plus complexe\, mais il a été conjecturé qu’aucun corps infini n’est définissable dans un groupe libre. Nous allons exposer une preuve de cette conjecture. C’est un travail en commun avec Ayala Byron.
URL:https://www.math.ens.psl.eu/evenement/corps-definissables-dans-le-groupe-libre/
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SUMMARY:Généricité différentielle des fonctions spéciales et théories de Galois à paramètres
DESCRIPTION:En théorie de la transcendance\, on cherche à cerner les relations algébriques entre des nombres. Un problème plus simple consiste à se poser la même question sur les fonctions qui s’évaluent en ces nombres en espérant des théorèmes de transfert. D’après des résultats de Nishioka et Philippon\, c’est le cas des fonctions de Mahler\, qui satisfont des équations fonctionnelles discrètes en un opérateur de type Frobenius. En effet\, les relations algébriques entre les valeurs de ces fonctions en des points algébriques se relèvent en des relations entre les fonctions elles-mêmes. La classe des fonctions de Mahler est stable par dérivation. On peut ainsi se poser la question de la dépendance algébrique entre une fonction de Mahler et ses dérivées. Depuis quelques années\, des théories de Galois à paramètres (Cassidy-Singer\, H.-Singer ) ont fourni un cadre formel et systématique pour attaquer ces questions de dépendances différentielles algébriques fonctionnelles. Nous essaierons dans cet exposé d’introduire ces théories dans les grandes lignes. Nous conclurons en montrant comment elles permettent de déterminer non seulement l’existence mais aussi la forme des relations différentielles algébriques satisfaites par les fonctions de Mahler et en particulier par les séries génératrices de suites p-automatiques de rang 2. Ces derniers résultats sont issus d’une collaboration avec T. Dreyfus (Institut Camille Jordan\, Lyon) et J. Roques (Institut Fourier\, Grenoble)
URL:https://www.math.ens.psl.eu/evenement/genericite-differentielle-des-fonctions-speciales-et-theories-de-galois-a-parametres/
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SUMMARY:Counting points vs. counting extensions
DESCRIPTION:In this talk\, I will explain how to relate the two counting problems in the title by generalizing the McKay correspondence to number-theoretic base fields\, that is\, local fields and number fields. Over local fields\, generalizing the McKay correspondence by Batyrev and Denef-Loeser\, one can relate stringy invariants of quotient varieties to mass formulas of extensions of local fields. Over number fields\, using the local result and a heuristic argument\, one can (less tightly than in the local case) relate Manin’s conjecture on rational points of Fano varieties to Malle’s conjecture on extensions of number fields.
URL:https://www.math.ens.psl.eu/evenement/counting-points-vs-counting-extensions/
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SUMMARY:The p-adic analog of Artin-Schreier Theorem - revisited (II)
DESCRIPTION:A famous Theorem by Artin and Schreier characterizes the real closed fields as being those fields which have a finite non-trivial absolute Galois group. Instances of p-adic analogs of this Theorem are known (Neukirch\, Pop\, Koenigsmann\, Efrat)\, but there is much more to this story. Namely I will give a ‘minimalistic’ p-adic analog\, which as in the Artin-Schreier Theorem\, invoves only finite groups. This aspect of the story relates to the birational p-adic section conjecture\, etc.
URL:https://www.math.ens.psl.eu/evenement/the-p-adic-analog-of-artin-schreier-theorem-revisited-ii/
LOCATION:Sophie Germain salle 1021
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SUMMARY:Nonarchimedean globally valued fields
DESCRIPTION:In a joint research project with Itay Ben Yaacov\, we study a class of fields enriched with a global structure tying together their various valuations by a product formula. This is an elementary class in the sense of continuous logic
URL:https://www.math.ens.psl.eu/evenement/nonarchimedean-globally-valued-fields/
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SUMMARY:Comptage en théorie des groupes et imaginaires p-adiques
DESCRIPTION:Travail en commun avec Ehud Hrushovski et Ben Martin.Sous certaines hypothèses sur un groupe G\, on peut montrer que le nombre de sous-groupes de G d’indice p^n (que l’on note a_n) est fini. Pour étudier la croissance des a_n\, on s’intéresse à la série ?_{p\,G}(s) = sum_n a_n t^n dont la rationalité a été démontrée par Grunewald\, Segal et Smith (1988). Leur preuve consiste à réécrire cette somme comme une intégrale p-adique à paramètres et à utiliser un résultat de Denef (1984) sur la rationalité des telles intégrales. On peut aussi démontrer que de tels résultats de rationalité sont uniformes en p.Le but de cet exposé sera d’expliquer une méthode générale pour démontrer de tels résultats de comptage (uniformes en p) qui permet de retrouver les résultats connus en en simplifiant la preuve et de prouver de nouveaux résultats (par exemple sur le comptage des représentations). Cette méthode générale utilise toujours le résultat de rationalité de Denef et un nouvel ingrédient modèle théorique: l’élimination (uniforme) des imaginaires p-adiques.
URL:https://www.math.ens.psl.eu/evenement/comptage-en-theorie-des-groupes-et-imaginaires-p-adiques/
LOCATION:Batiment Sophie Germain salle 2015 (angle avenue de France et rue Alice Domon 75013 Paris)
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SUMMARY:Diagonales\, congruences `à la Lucas' et indépendance algébrique
DESCRIPTION:Les diagonales de fractions rationnelles forment une classe de fonctions analytiques se situant au confluent de plusieurs grands thèmes : la combinatoire énumérative\, la théorie des équations différentielles\, l’arithmétique\, la géométrie algébrique et l’informatique théorique. Lorsque leurs coefficients sont des nombres rationnels\, ces séries ont la propriété remarquable d’être algébriques modulo presque tout nombre premier p. La façon dont leur degré d’algébricité varie en fonction de p est source de nombreuses questions. En particulier\, des exemples de diagonales de fractions rationnelles ayant un `grand degré modulo p’ peuvent être mis en évidence à l’aide de séries vérifiant certaines congruences introduites par Lucas. J’expliquerai comment ces congruences conduisent à des résultats d’indépendance algébrique pour certaines classes de G-fonctions. Il s’agit de travaux communs avec J. Bell et E. Delaygue.
URL:https://www.math.ens.psl.eu/evenement/diagonales-congruences-a-la-lucas-et-independance-algebrique/
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SUMMARY:Décomposition de types dans les théories NIP
DESCRIPTION:La classe des théories NIP — définie par Shelah dans les années 70 — contient celles des théories stables et des théories o-minimales. On pense souvent à NIP comme étant une combinaison de stabilité et de o-minimalité. Dans cet exposé\, je présenterai des résultats qui tendent à rendre cette intuition explicite. Je montrerai comment on peut décomposer certains types en une partie stable et un quotient ayant des propriétés typiques des ordres linéaires. Le résultat général pour tous les types est encore conjecturel.
URL:https://www.math.ens.psl.eu/evenement/decomposition-de-types-dans-les-theories-nip/
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SUMMARY:Around the Canonical Base Property
DESCRIPTION:The canonical base property (CBP) is a property of finite rank theories\, which was introduced by Pillay and whose formulation was motivated by results of Campana in complex geometry. The main feature of such a property is that it provides a dichotomy for types of rank one\, and in consequence one can reproduce Hrushovski’s proof of Mordell-Lang for function fields in characteristic zero with considerable simplifications.In this talk\, I will motivate (via Mordell-Lang) the statement of the CBP and describe some results around the CBP\, in particular on definable groups.
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SUMMARY:On the existential theory of equicharacteristic henselian valued fields
DESCRIPTION:The first order theory of a henselian valued field of residue characteristic zero is well-understood through the celebrated Ax-Kochen-Ershov principle\, which states that it is completely determined by the theory of the residue field and the theory of the value group. For henselian valued fields of positive residue characteristic\, no such general principle is known. I will report on joint work with Will Anscombe in which we study (parts of) the theory of equicharacteristic henselian valued fields and prove an Ax-Kochen-Ershov principle for existential (and slightly more general) sentences. I will also discuss applications to the definability of henselian valuation rings and to the existential decidability (Hilbert’s tenth problem) of the local field F_q((t))\, which was proven by Denef and Schoutens assuming resolution of singularities.
URL:https://www.math.ens.psl.eu/evenement/on-the-existential-theory-of-equicharacteristic-henselian-valued-fields/
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SUMMARY:Voisinages formels dans le schéma des arcs
DESCRIPTION:Je décrirai quelques investigations récentes autour du théorème deDrinfeld-Grinberg-Kahzdan sur le voisinage formel d’un arc nonsingulier. C’est un travail en commun avec Julien Sebag.
URL:https://www.math.ens.psl.eu/evenement/voisinages-formels-dans-le-schema-des-arcs/
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CATEGORIES:Séminaire Géométrie et théorie des modèles
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SUMMARY:Lebesgue measure and integration theory on arbitrary real closed fields
DESCRIPTION:We establish for the category of semialgebraic sets and functions on arbitrary real closed fields a full Lebesgue measure and integration theory such that the main results from the classical setting hold. The construction involves methods from model theory\, o-minimal geometry\, valuation theory and the theory of ordered abelian groups. We set up the construction in such a way that it is uniquely determined by data that can be formulated completely in terms of the given real closed field. We apply our integration theory to questions on semialgebraic geometry and analysis in the non-standard setting and also to questions on parameterized integrals on the reals.
URL:https://www.math.ens.psl.eu/evenement/lebesgue-measure-and-integration-theory-on-arbitrary-real-closed-fields/
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SUMMARY:Definable types in ACVF.
DESCRIPTION:Given a pair of models Kprec L of a first-order theory T\, the pair is said to be stable if the following property holds: all types over K which are realized in L are definable. Marker and Steinhorn characterized stable pairs of models of o-minimal theories as pairs K prec L where K is Dedekind complete in L. In this talk we provide a characterization of stable pairs of algebraically closed valued fields K prec L. To get a flavor of the topic\, different examples will be discussed and a brief introduction to some model-theoretic aspects of stable pairs will be given. This is a joint work with Françoise Delon.
URL:https://www.math.ens.psl.eu/evenement/definable-types-in-acvf/
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SUMMARY:Complex continuations of functions definable in R_{an\,exp} with a diophantine application.
DESCRIPTION:
URL:https://www.math.ens.psl.eu/evenement/complex-continuations-of-functions-definable-in-r_anexp-with-a-diophantine-application/
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SUMMARY:Geometric dualities and model theory
DESCRIPTION:Geometries can be given in a direct semantic way\, say as a complex or real manifold\, or more abstractly\, by their co-ordinate algebras and schemes. A duality of this kind becomes highly non-trivial in cases of schemes of arithmetic type and for non-commutative co-ordinate algebras. I will discuss these issues from model-theoretic perspective. A detailed analysis will be given to the canonical commutation relation(s) underlying quantum mechanics. Some applications will be presented.
URL:https://www.math.ens.psl.eu/evenement/geometric-dualities-and-model-theory/
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SUMMARY:Anneaux noethériens valués et corps valués.
DESCRIPTION:J’illustrerai\, dans le cas des valuations d’Abhyankar\, des méthodes d’étude des valuations utilisant la noetherianité des anneaux et conduisant à une preuve de l’uniformisation locale des valuations d’Abhyankar.
URL:https://www.math.ens.psl.eu/evenement/anneaux-noetheriens-values-et-corps-values/
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SUMMARY:Manin-Mumford dynamique pour les automorphismes du plan complexe.
DESCRIPTION:Soit f: A^2 –> A^2 un automorphisme polynomial du plan complexe. Le problème de Manin-Mumford dynamique consiste à décrire les courbes algébriques C contenant une infinité de points périodiques de f.Dans un travail en commun avec R. Dujardin nous avons montré que lorsque f était dissipative\, une telle courbe C n’existait jamais.
URL:https://www.math.ens.psl.eu/evenement/manin-mumford-dynamique-pour-les-automorphismes-du-plan-complexe/
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SUMMARY:Obtaining bi-Lipschitz stratifications using valued fields
DESCRIPTION:(Work in progress\, together with Yimu Yin)One tool to describe singularities of (e.g. algebraic or analytic) subsets X of R^n or C^n are stratifications: a partition of X into finitely many ?Roestrata?R such that any two points x\, y in X within the same stratum have the ?Roesame type of neighbourhood?R. The most classical stratifications are Whitney stratifications\, which classify neighbourhoods up to homeomorphism. The strongest known stratifications are Mostowski’s bi-Lipschitz stratifications\, which classify neighbourhoods up to a bi-Lipschitz map. I will present a new way of obtaining such bi-Lipschitz stratifications\, by working in a suitable valued field (a non-standard model of R or C). Up to recently\, the existence of bi-Lipschitz stratifications was only known for sub-analytic sets. Our method works for definable sets in arbitrary polyinomially bounded o-minimal expansions of R\, i.e. in particular for quasi-analytic sets. (A similar result has also been announced by Valette.)
URL:https://www.math.ens.psl.eu/evenement/obtaining-bi-lipschitz-stratifications-using-valued-fields/
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SUMMARY:Intersections singulières de sous-groupes et de sous-variétés.
DESCRIPTION:Motivés par des questions topologiques\, nous présentons plusieurs problèmes sur les intersections singulières de sous-groupes algébriques et de sous-variétés dans les tores multiplicatifs. Ces questions sont étroitement liées aux conjectures de Zilber-Pink. L’heuristique sous-jacente est que\, dans ces conjectures\, la singularité des intersections peut compenser une décrémentation de la codimension des sous-groupes considérés.Il s’agit d’un travail en commun avec J. Marché.
URL:https://www.math.ens.psl.eu/evenement/intersections-singulieres-de-sous-groupes-et-de-sous-varietes/
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SUMMARY:Une caractérisation topologique de la propriété d'indépendance.
DESCRIPTION:Une théorie est NIP si et seulement si certains espaces de types sont des `compacts de Rosenthal’ : des objets étudiés en topologie et théorie descriptive des ensembles. Grâce à cette observation\, on peut appliquer des résultats de topologie générale pour obtenir de nouveaux (et d’anciens) théorèmes sur les théories NIP. Je parlerai en particulier de conséquences concernant les types invariants.
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