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SUMMARY:Imaginaries in valued fields
DESCRIPTION:It is now well-known what sorts have to be added to a valued field in order to achieve elimination of imaginaries. It is also known that these sorts do not suffice to eliminate imaginaries when the field is enhanced by restricted analytic functions\, despite the fact that the theories still have quantifier elimination. In this talk\, I will attempt to convey the intuition about the definable sets in a valued field that underlies all of these results (while explaining the model-theoretic terminology in the above).
URL:https://www.math.ens.psl.eu/evenement/imaginaries-in-valued-fields/
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SUMMARY:Sheaves on subanalytic sites
DESCRIPTION:Sheaf theory is not well suited to study objects which are not defined by local properties. It is the case\, for example\, of functional spaces with growth conditions\, as tempered distributions. Since the study of the solutions of a system of PDE in these spaces is of great importance (solutions of irregular D-modules\, Laplace transform\, etc.)\, many ways have been explored by the specialists to overcome this problem. For this purpose Kashiwara and Schapira introduced the subanalytic site and proved that some of these spaces can be realized as sheaves on a subanalytic site. In this talk we will recall the theory of subanalytic sheaves and give an overview of some recent developments and applications.
URL:https://www.math.ens.psl.eu/evenement/sheaves-on-subanalytic-sites/
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SUMMARY:Ensembles sous-analytiques surconvergents dans les espaces de Berkovich
DESCRIPTION:Si X est un espace k-affinoïde (k étant un corps non-archimédien)\, un sous-ensemble S de X est dit sous-analytique surconvergent si on peut ?Roeessentiellement?R l’écrire S=f(Y) où f est un morphisme surconvergent d’espaces affinoïdes.Nous expliquerons d’abord comment décrire ces ensembles en n’utilisant que des fonctions de X\, i.e. sans avoir recours à une projection. Il s’agit d’une version géométrique d’un résultat de H. Schoutens qui utilise l’élimination des quantificateurs dans ACVF.Nous montrerons ensuite que les ensembles sous-analytiques surconvergents peuvent être définis localement pour la topologie de Berkovich\, mais pas pour la G-topologie.
URL:https://www.math.ens.psl.eu/evenement/ensembles-sous-analytiques-surconvergents-dans-les-espaces-de-berkovich/
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SUMMARY:Motivic Lipschitz continuity
DESCRIPTION:In a general set-up for non-archimedean geometry\, we show how local Lipschitz continuity implies piecewise Lipschitz continuity (globally on the whole piece) for definable functions. This is joint work with G. Comte and F. Loeser which generalizes previous work by the same three authors for a fixed p-adic field in [GAFA\, 2010] and which fits in a broader program at the interplay of arithmetic and non-archimedean geometry.
URL:https://www.math.ens.psl.eu/evenement/motivic-lipschitz-continuity/
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SUMMARY:Generalizations of stability and NTP2
DESCRIPTION:
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SUMMARY:Fibres de Milnor motiviques en géométrie semi-algébrique réelle
DESCRIPTION:J’expliquerai un travail en commun avec Goulwen Fichou\, qui consiste à mettre en place un anneau de Grothendieck K_0(BSA_R) des formules semi-algébriques grâce auquel on peut définir\, sur le modèle complexe\, des fonctions zêta motiviques de singularités réelles. On montre que ces fonctions zêtas sont rationnelles et que leur expression rationnelle définit des fibres de Milnor motiviques des singularités réelles. Il s’agit d’éléments de l’anneau K_0(BSA_R)otimes Z[1/2] dont on montre qu’ils se réalisent\, via le morphisme caractéristique d’Euler\, sur la caractéristique d’Euler des fibres de Milnor ensemblistes correspondantes.
URL:https://www.math.ens.psl.eu/evenement/fibres-de-milnor-motiviques-en-geometrie-semi-algebrique-reelle/
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SUMMARY:Algebre differentielle et geometrie des orbites. Une nouvelle correpondance galoisienne.
DESCRIPTION:La théorie classique de Picard-Vessiot fournit une correspondance galoisienne pour les extensions de corps différentiels. Nous présenterons une correspondance plus fine\, sous forme d’une anti-équivalence de catégories entre algèbres de solutions associées à une équation différentielle linéaire (algèbres différentielles engendrées par un nombre fini de polynômes en les solutions fondamentales de l’équation) et variétés affines quasi-homogènes sous l’action du groupe de Galois différentiel. Une telle correspondance joue aussi dans le contexte plus général des connexions (intégrables ou non). Nous évoquerons le parti que cette correspondance permet de tirer\, en algèbre différentielle\, de la riche théorie des variétés quasi-homogènes.
URL:https://www.math.ens.psl.eu/evenement/algebre-differentielle-et-geometrie-des-orbites-une-nouvelle-correpondance-galoisienne/
LOCATION:amphithéâtre Rataud
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SUMMARY:Inverse problems in the Parameterized Picard-Vessiot Theory
DESCRIPTION:The parameterized Picard-Vessiot theory aims at studying the differential behavior of solutions of parameterized linear differential equations. It associates to such an equation a linear differential algebraic group (LDAG)\, that is\, a group of matrices whose entries are functions satisfying a fixed set of differential equations. After giving an introduction to this theory\, I will show that not all LDAGs can occur as Galois groups over k(x)\, the field of rational functions in x whose coefficients are functions of a parameter t and characterize those LDAGs that do occur.
URL:https://www.math.ens.psl.eu/evenement/inverse-problems-in-the-parameterized-picard-vessiot-theory/
LOCATION:amphithéâtre Rataud
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SUMMARY:Theoreme de Szemeredi et structures pseudofinies
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SUMMARY:Les nombres surréels comme corps de transséries - séries exp-log.
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SUMMARY:Introduction a l'homologie tropicale
DESCRIPTION:Dans cet exposé\, on présentera plusieurs notions fondamentales de la géométrie tropicale et on s’intéressera tout particulièrement aux groupes d’homologie dans le cadre tropical. Sous certaines conditions\, une variété tropicale peut être approximée par une famille à un paramètre de variétés complexes\, et des caractéristiques importantes des variétés de cette famille peuvent être exprimées en termes des groupes d’homologie tropicaux de la variété tropicale considérée (travail en commun avec L. Katzarkov\, G. Mikhalkin et I. Zharkov).
URL:https://www.math.ens.psl.eu/evenement/introduction-a-lhomologie-tropicale/
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SUMMARY:Restrained structures
DESCRIPTION:We study first-order expansions of the real field that are restrained\, i.e. that do not define the set of natural numbers. Being restrained is equivalent to several other notions of tameness.In particular: in a restrained structure\, all reasonable notions of dimension (topological\, Hausdorff\, Minkowski\, …) coincide for unary closed definable sets (we also have partial results for non-unary sets)
URL:https://www.math.ens.psl.eu/evenement/restrained-structures/
LOCATION:amphithéâtre Rataud
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SUMMARY:Soficité des groupes de Cremona
DESCRIPTION:Le groupe de Cremona Crn(C) est le groupe des transformations birationnelles de Cn. Au contraire des groupes de matrices\, on ne sait pas\, si n?oo2\, s’il possède des sous-groupes de type fini non résiduellement finis. Je montrerai une version faible dans cette direction: il est sofique\, c’est-à-dire approximable\, en un sens convenable\, par des groupes finis (notion introduite par M. Gromov et B. Weiss). J’introduirai en détail toutes les notions utilisées.
URL:https://www.math.ens.psl.eu/evenement/soficite-des-groupes-de-cremona/
LOCATION:ENS Salle W
CATEGORIES:Séminaire Géométrie et théorie des modèles
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SUMMARY:Topology of definable groups in tame structures
DESCRIPTION:I will survey some results on definable groups in o-minimal structures\, some old\, some new\, emphasizing the interplay between algebra\, logic\, and topology. In particular I will show how a combination of techniques from model theory and algebraic topology lead to the determination of the definable homeomorphism type of definable abelian groups in dimension not equal to 4 (joint work with E. Baro). If time permits\, I will consider the problem of finding a tame definable context\, larger than o-minimality\, which is suitable for the study of universal covers (work in progress with M. Mamino).
URL:https://www.math.ens.psl.eu/evenement/topology-of-definable-groups-in-tame-structures/
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SUMMARY:Hilbert's fifth problem and applications
DESCRIPTION:Hilbert’s fifth problem asks whether every locally euclidean group G can be equipped with a real analytic structure (compatible with the topology) so that the group operations become real analytic
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SUMMARY:Chai's conjecture and Fubini properties of motivic integrals.
DESCRIPTION:Let K be a discretely valued field with perfect residue field k. Let G be a semi-abelian variety over K\, i.e.\, an extension of an abelian K-variety A by a K-torus T. The Néron lft-model of G is the minimal extension of G to a smooth group scheme over the value ring of K. We say that G has semi-abelian reduction if the identity component of the special fiber of the Néron lft-model of G is a semi-abelian k-variety. By Grothendieck’s Semi-Stable Reduction Theorem\, G acquires semi-abelian reduction over some finite separable extension K’ of K. Chai’s base change conductor c(G) is a positive rational number that measures the defect of semi-abelian reduction of G over K. Chai conjectured that c(G)=c(A)+c(T)\, and he proved this property if k is finite and also if K has characteristic zero. The proof of the finite residue field case uses Fubini’s theorem for integrals with respect to the Haar measure on the completion of K. The proof of the case where K has characteristic zero uses completely different methods. In this talk\, we will first give a general introduction to Néron lft-models and the base change conductor. Then we’ll show how one can use Loeser and Sebag’s motivic integration on rigid varieties to reformulate Chai’s conjecture as a Fubini property for motivic integrals\, and how one can use Cluckers and Loeser’s motivic integration on definable sets to prove this Fubini property if K has characteristic zero. This is joint work with Raf Cluckers and François Loeser.
URL:https://www.math.ens.psl.eu/evenement/chais-conjecture-and-fubini-properties-of-motivic-integrals/
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SUMMARY:Théorie des modèles des corps munis d'une dérivation de Hasse
DESCRIPTION:Je commencerai par présenter les résultats basiques de la théorie des modèles des corps ?Roedifférentiellement clos?Roe au sens des dérivations de Hasse en toute caractéristique.Ensuite j’introduirai les notions de D-prolongations et de D-structures sur une variété\, pour D une dérivation de Hasse\, et expliquerai les liens avec des théorèmes de descente sur le corps des constantes. Ce contexte nous permettra de ?Roerevisiter?R avec un point de vue différent certaines des notions que j’avais introduites lors de mon exposé du 19 novembre à ce même séminaire ou qui avaient été évoquées dans l’exposé du 17 décembre de Anand Pillay. Il ne sera pas nécessaire d’avoir suivi l’un ou l’autre de ces exposés précédents pour suivre celui-ci.
URL:https://www.math.ens.psl.eu/evenement/theorie-des-modeles-des-corps-munis-dune-derivation-de-hasse/
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SUMMARY:Sur le type d'homotopie des espaces de Berkovich.
DESCRIPTION:J’expliquerai comment on peut aborder les résultats récents de E. Hrushovski et F. Loeser sur la topologie des variétés algébriques sur un corps non archimédien en reprenant le point de vue de Berkovich\, fondé sur des théorèmes de désingularisation.
URL:https://www.math.ens.psl.eu/evenement/sur-le-type-dhomotopie-des-espaces-de-berkovich/
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SUMMARY:Théorème de préparation quasianalytique et élimination des quantificateurs
DESCRIPTION:Le ?Roethéorème de préparation?R de L. van den Dries et P. Speissegger affirme que les fonctions définissables dans les structures o-minimales polynomialement bornées admettent une forme factorisée. Dans le cas des structures engendrées par des algèbres quasianalytiques de fonctions réelles\, nous montrons que cette factorisation admet une écriture explicite. Nous en déduisons un théorème d’élimination des quantificateurs dans ce cadre\, dans l’esprit du théorème d’élimination démontré par J. Denef et L. van den Dries dans le cadre analytique.
URL:https://www.math.ens.psl.eu/evenement/theoreme-de-preparation-quasianalytique-et-elimination-des-quantificateurs/
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SUMMARY:Arithmetic jet spaces: an overview.
DESCRIPTION:Arithmetic jet spaces are analogues of arc spaces in which derivation operators are replaced by Fermat quotient operators. The talk is an overview of some of the main concepts\, results\, applications\, and open questions pertaining to this topic.
URL:https://www.math.ens.psl.eu/evenement/arithmetic-jet-spaces-an-overview/
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SUMMARY:Les theoremes de Hrushovski et leurs versions quantitatives.
DESCRIPTION:La notion de sous-groups approximatif\, introduite récemment par T. Tao\, permet de comprendre les parties finies A d’un groupe dont la taille de l’ensemble des produits AA est beaucoup plus petite que |A|^2. Cette notion et les méthodes combinatoires utilisées pour l’étudier ont été couronnées de succès par le rôle qu’elles jouent dans la théorie spectrale des graphes (graphes expanseurs) d’une part et pour les applications arithmétiques qui en découlent (crible de Bourgain-Gamburd-Sarnak). Récemment\, en connection avec la théorie des modèles et la stabilité\, Hrushovski s’est intéressé au problème de la classification des groupes approximatifs et a réussi à obtenir plusieurs résultats remarquables dans cette direction. Entre autres\, une classification des sous-groupes approximatifs des groupes linéaires\, ainsi qu’une version améliorée du fameux théorème de Gromov sur les groupes à croissance polynomiale. Dans cet exposé je présenterai ces travaux ainsi qu’une autre approche (travail en commun avec Ben Green et Terence Tao) qui permet de retrouver certains de ces résultats et d’en donner des bornes précises\, lesquelles sont souvent cruciales pour les applications.
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SUMMARY:Homogeneous structures\, automorphism groups\, and free amalgamation
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SUMMARY:Around pseudo-reductive groups
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SUMMARY:Un theoreme de Montel non-archimedien
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SUMMARY:Diametre geodesique d'ensembles definis par un petit nombre d'equations et inegalites quadratiques
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SUMMARY:Around Manin-Mumford and Mordell-Lang
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SUMMARY:Ultraproduits de groupes de cohomologie modulo l et majoration uniforme des nombres de Betti de varietes algebriques
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SUMMARY:Varietes semi-abeliennes sur un corps separablement clos non parfait: derivations de Hasse\,  sous groupes divisibles maximaux\,  suites exactes\,  rangs au sens de la theorie des modeles
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SUMMARY:Homogeneite du groupe libre
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SUMMARY:Le lemme algebrique de Yomdin-Gromov
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