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SUMMARY:Séries linéaires limites et applications
DESCRIPTION:Je présente un formalisme combinatoire pour l’étude des dégénérescences des séries linéaires dans une famille de courbes algébriques. J’en déduis quelques applications dont notamment l’équirépartition selon la mesure admissible de Zhang des points de ramification des fibrés en droite sur les courbes de Berkovich\, un analogue non-archimédien du théorème de Mumford-Neeman. Je discuterai aussi la question de la convergence de la mesure d’Arakelov vers la mesure de Zhang dans une famille de surfaces de Riemann.
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SUMMARY:Triangulation des ensembles semi-algébriques p-adiques
DESCRIPTION:On sait que les ensembles semi-algébriques p-adiques admettent une décomposition cellulaire semblable à celle des semi-algébriques réels (Denef 1984). On sait aussi les classifier à bijection semi-algébrique près (Cluckers 2001)\, mais pas à homéomorphismes semi-algébriques près. En introduisant une notion appropriée de simplexe sur les corps p-adiquement clos\, on peut montrer que tout ensemble semi-algébrique p-adique est semi-algébriquement homéomorphe à un complexe simplicial p-adique\, exactement comme dans le cas réel clos. C’est ce résultat récent de `triangulation p-adique’ que je tâcherai de présenter\, avec ses applications les plus directes (existence de découpages avec contraintes aux bords\, existence de rétractions\, etc).
URL:https://www.math.ens.psl.eu/evenement/triangulation-des-ensembles-semi-algebriques-p-adiques/
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SUMMARY:Un théorème d'Ax-Lindemann non-archimédien
DESCRIPTION:On présentera un résultat de type Ax-Lindemann pour les produits de courbes de Mumford sur un corps p-adique. Notre preuve reprend en l’adaptant les grandes lignes de l’approche de Pila dans le cas archimédien. En particulier nous utilisons un théorème de Pila-Wilkie p-adique obtenu avec R. Cluckers et G. Comte. Il s’agit d’un travail en commun avec A. Chambert-Loir.
URL:https://www.math.ens.psl.eu/evenement/un-theoreme-dax-lindemann-non-archimedien/
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SUMMARY:Satellites of spherical subgroups and Poincaré polynomials
DESCRIPTION:Let G be a connected reductive group over C. One can associate with every spherical homogeneous space G/H its lattice of weights X^*(G/H) and a subset S of M of linearly independent primitive lattice vectors which are called the spherical roots. For any subset I of S we define\, up to conjugation\, a spherical subgroup H_I in G such that dim H_I = dim H and X^*(G/H_I) = X^*(G/H). We call the subgroups H_I the satellites of the spherical subgroup H. Our interest in satellites H_I is motivated by the space of arcs of the spherical homogeneous space G/H.We show a close relation between the Poincaré polynomials of the two spherical homogeneous spaces G/H and G/H_I.All of this is useful for the computation of the stringy E-function of Q-Gorenstein spherical embeddings.The talk is based on joint works with Victor Batyrev.
URL:https://www.math.ens.psl.eu/evenement/satellites-of-spherical-subgroups-and-poincare-polynomials/
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SUMMARY:Quasianalytic Ilyashenko algebras
DESCRIPTION:In 1923\, Dulac published a proof of the claim that every real analytic vector field on the plane has only finitely many limit cycles (now known as Dulac’s Problem). In the mid-1990s\, Ilyashenko completed Dulac’s proof
URL:https://www.math.ens.psl.eu/evenement/quasianalytic-ilyashenko-algebras/
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SUMMARY:Rational points on families of curves
DESCRIPTION:The TAC (torsion anomalous conjecture) states that for an irreducible variety V embedded transversaly in an abelian variety A there are only finitely many maximal V-torsion anomalous varieties. It is well know that the TAC implies the Mordell-Lang conjecture. S. Checcole\, F. Veneziano and myself were trying to prove some new cases of the TAC. In this process we realised that some methods could be made not only effective but even explicit. So we analysed the implication of this explicit methods on the Mordell Conjeture. Namely: can we make the Mordell Conjecture explicit for some new families of curves and so determine all the rational points on these curves? Of course we started with the easiest situation\, that is curves in ExE for E an elliptic curve. We eventually could give some new families of curves of growing genus for which we can determine all the rational points. I will explain the difficulties and the ingredients of this result. I will then discuss the generalisations of the method and also its limits.
URL:https://www.math.ens.psl.eu/evenement/rational-points-on-families-of-curves/
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SUMMARY:Cell Decomposition for P-minimal structures: a story
DESCRIPTION:P-minimality is a concept that was developed by Haskell and Macpherson as a p-adic equivalent for o-minimality. For o-minimality\, the cell decomposition theorem is probably one of the most powerful tools\, so it is quite a natural question to ask for a p-adic equivalent of this.In this talk I would like to give an overview of the development of cell decomposition in the p-adic context\, with an emphasis on how questions regarding the existence of definable skolem functions have complicated things. The idea of p-adic cell decomposition was first developed by Denef\, for p-adic semi-algebraic structures\, as a tool to answer certain questions regarding quantifier elimination\, rationality and p-adic integration. This first version eventually resulted in a cell decomposition theorem for P-minimal structures. This theorem\, proven by Mourgues\, was however dependent on the existence of definable Skolem functions. The second part of the talk will focus a bit more on Skolem functions\, and sketch a generalized version of the Denef-Mourgues theorem that does not rely on the existence of such functions\, by introducing a notion of clustered cells. We will explain the notion\, give an informal sketch of the proof\, and compare with other versions of cell decomposition.
URL:https://www.math.ens.psl.eu/evenement/cell-decomposition-for-p-minimal-structures-a-story/
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SUMMARY:Determining finite simple images of finitely presented groups
DESCRIPTION:I will discuss joint work with Martin Bridson and Martin Liebeck which addresses the question: for which collections of finite simple groups does there exist an algorithm that determines the images of an arbitrary finitely presented group that lie in the collection? We prove both positive and negative results. For a collection of finite simple groups that contains infinitely many alternating groups\, or contains classical groups of unbounded dimensions\, we prove that there is no such algorithm. On the other hand\, for a collection of simple groups of fixed Lie type we obtain positive results by using the model theory of finite fields.
URL:https://www.math.ens.psl.eu/evenement/determining-finite-simple-images-of-finitely-presented-groups/
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SUMMARY:Geometric invariants that are encoded in the Newton polygon
DESCRIPTION:Let k be a field and let P be a lattice polygon\, i.e. the convex hull in R^2 of finitely many non-collinear points of Z^2. Let C/k be the algebraic curve defined by a sufficiently generic Laurent polynomial that is supported on P. A result due to Khovanskii states that the geometric genus of C equals the number of Z^2-valued points that are contained in the interior of P. In this talk we will give an overview of various other curve invariants that can be told by looking at the combinatorics of P\, such as the gonality\, the Clifford index\, the Clifford dimension\, the scrollar invariants associated to a gonality pencil\, and in some special cases the canonical graded Betti numbers. This will cover joint work with Filip Cools\, Jeroen Demeyer and Alexander Lemmens.
URL:https://www.math.ens.psl.eu/evenement/geometric-invariants-that-are-encoded-in-the-newton-polygon/
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SUMMARY:Imaginaires dans les corps valués avec opérateurs
DESCRIPTION:Au début des années 2000\, Haskell\, Hrushovski and Macpherson ont décrit les ensembles interprétables dans un corps valué algébriquement clos à l’aide d’équivalents en plus grande dimension des boules. Plus précisément\, ils ont prouvé l’élimination des imaginaires dans le language géométrique. Pendant la même période\, l’intérêt des théoriciens des modèles pour les corps valués avec opérateurs s’est grandement développé. Les questions résolues pour ces structures tournent\, pour la plupart\, autour de l’élimination des quantificateurs et de la modération. Mais\, au vu des résultats de Haskell\, Hrushovski and Macpherson\, il est tentant de vouloir aussi classifier les ensembles interprétables.Dans cet exposé\, je traiterai des deux exemples les mieux compris: la modèle complétion de Scanlon des corps valués munis d’une dérivation contractive et les corps valués séparablement clos de degré d’imperfection fini. En particulier\, je montrerai comment l’élimination des imaginaires dans ces structures est liée à l’existence d’une base canonique pour les types définissables et comment la propriété d’indépendance (ou plutôt son absence) peut aider à contrôler ces bases canoniques.
URL:https://www.math.ens.psl.eu/evenement/imaginaires-dans-les-corps-values-avec-operateurs/
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SUMMARY:Some Zilber-Pink-type problems
DESCRIPTION:I will discuss some problems which are analogous to\, but formally not comprehended within\, the Zilber-Pink conjecture\, involving collections of `special subvarieties’ connected with uniformization maps of suitable domains.
URL:https://www.math.ens.psl.eu/evenement/some-zilber-pink-type-problems/
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SUMMARY:Wilkie's conjecture for restricted elementary functions
DESCRIPTION:Let X be a set definable in some o-minimal structure. The Pila-Wilkie theorem (in its basic form) states that the number of rational points in the transcendental part of X grows sub-polynomially with the height of the points. The Wilkie conjecture stipulates that for sets definable in R_exp\, one can sharpen this asymptotic to polylogarithmic.I will describe a complex-analytic approach to the proof of the Pila-Wilkie theorem for subanalytic sets. I will then discuss how this approach leads to a proof of the `restricted Wilkie conjecture’\, where we replace R_exp by the structure generated by the restrictions of exp and sin to the unit interval (both parts are joint work with Dmitry Novikov). If time permits I will discuss possible generalizations and applications.
URL:https://www.math.ens.psl.eu/evenement/wilkies-conjecture-for-restricted-elementary-functions/
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SUMMARY:Uniform analytic properties of representation zeta functions of groups
DESCRIPTION:Representation zeta functions of groups are Dirichlet-type generating functions enumerating the groups’ finite-dimensional irreducible complex representations\, possibly up to suitable equivalence relations. Under favourable conditions\, these zeta functions satisfy Euler products whose factors are indexed by the places of number fields. I will discuss how p-adic integrals can be used to study these Euler products and how this sometimes allows us to capture some key analytic properties of representation zeta functions of groups.
URL:https://www.math.ens.psl.eu/evenement/uniform-analytic-properties-of-representation-zeta-functions-of-groups/
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SUMMARY:Théorie des modèles de variétés compactes complexes avec automorphisme
DESCRIPTION:On peut développer la théorie des modèles des variétés compactes complexes (CCM) avec automorphisme générique en analogie avec ce qui a été fait pour les corps aux différences existentiellement clos\, autrement dit pour la théorie ACFA\, dans des travaux importants de Chatzidakis et Hrushovski\, entre autres. La théorie (du premier ordre) correspondante CCMA est supersimple\, et on a la trichotomie de Zilber pour les types ?Roefini-dimensionnels?R de rang SU 1. Dans l’exposé\, je vais présenter quelques résultats dans CCMA qui relèvent de la simplicité géométrique\, et je vais discuter comment on peut traiter de systèmes dynamiques méromorphes dans ce cadre. Enfin\, j’indiquerai pourquoi CCMA n’élimine pas les imaginaires\, contrairement à ce qui se passe dans ACFA.
URL:https://www.math.ens.psl.eu/evenement/theorie-des-modeles-de-varietes-compactes-complexes-avec-automorphisme/
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SUMMARY:Densité locale motivique et p-adique uniforme
DESCRIPTION:Je présenterai un analogue motivique de la densité locale introduite par Kurdyka-Raby dans le cas réel et Cluckers-Comte-Loeser dans le cas p-adique. Celle-ci s’applique aux définissables dans une théorie de corps Henséliens modérée (au sens de Cluckers-Loeser)\, en caractéristique nulle et caractéristique résiduelle quelconque.Comme dans les cas sus-cités\, il existe un cône tangent distingué sur lequel on peut calculer la densité si on lui attache des multiplicités\, qu’on définit en décomposant l’ensemble définissable étudié en graphes de fonctions (localement) 1-Lipschitziennes. Cela implique en particulier une version uniforme du théorème de Cluckers-Comte-Loeser sur la densité p-adique.
URL:https://www.math.ens.psl.eu/evenement/densite-locale-motivique-et-p-adique-uniforme/
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SUMMARY:Cardinalities of definable sets in finite structures
DESCRIPTION:I will discuss model-theoretic developments stemming from a theorem of Chatzidakis\, van den Dries and Macintyre\, which states that given a formula &phi
URL:https://www.math.ens.psl.eu/evenement/cardinalities-of-definable-sets-in-finite-structures/
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SUMMARY:Orthogonalité et théorie des modèles des groupes de rang fini dans les preuves de Mordell-Lang pour les corps de fonctions
DESCRIPTION:Dans cet exposé\, nous essayerons d’expliquer l’utilisation de la théorie des modèles des groupes de rang fini et de la notion d’orthogonalité dans les preuves modèles théoriques de la conjecture de Mordell-Lang pour les corps de fonction\, à la fois dans la preuve originelle de Hrushovski et dans des travaux plus récents sur le sujet (en commun avec Franck Benoist et Anand Pillay). Nous parlerons en particulier de l’utilisation du &#147
URL:https://www.math.ens.psl.eu/evenement/orthogonalite-et-theorie-des-modeles-des-groupes-de-rang-fini-dans-les-preuves-de-mordell-lang-pour-les-corps-de-fonctions/
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SUMMARY:Perspectives sur le problème inverse de Galois
DESCRIPTION:Les résultats dont je parlerai sont motivés par le Problème Inverse de Galois Régulier (PIGR):montrer que tout groupe fini G est le groupe de Galois d’une extension galoisienne F/Q(T) avec Q algébriquement clos dans F.Je présenterai deux types de résultats. J’expliquerai d’abord que certaines variantes fortes liées aux notions d’extensions génériques\, d’extensions paramétriques et de type de ramification paramétriques ne sont pas vraies. Puis\, je montrerai une conséquence forte du PIGR liée à une conjecture de Malle sur le nombre d’extensions galoisiennes de Q de groupe donné et de discriminant borné.
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SUMMARY:Wave front sets of distributions in non-archimedean analysis
DESCRIPTION:In 1969\, Sato and Hörmander introduced the notion of wave front set of a distribution in the real context. This concept gives a better understanding of operations on distributions such as product or pullback and it plays an important role in the theory of partial differential equations. In 1981\, Howe introduced a notion of wave front set for some Lie group representations and in 1985\, Heifetz gave an analogous version in the p-adic context. In this talk\, in the t-adic context in characteristic zero\, using Cluckers-Loeser motivic integration we will present analogous constructions of test functions\, distributions and wave front sets. In particular\, we will explain how definability can be used as a substitute for topological compactness of the sphere in the real and p-adic contexts to obtain finiteness.This a joint work with R. Cluckers\, and F. Loeser.
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SUMMARY:Profinite NIP groups
DESCRIPTION:We consider profinite groups as 2-sorted first order structures\, with a group sort\, and a second sort which acts as an index set for a uniformly definable basis of neighbourhoods of the identity. It is shown that if the basis consists of all open subgroups\, then the first order theory of such a structure is NIP (that is\, does not have the independence property) precisely if the group has a normal subgroup of finite index which is a direct product of finitely many compact p-adic analytic groups\, for distinct primes p. In fact\, the condition NIP can here be weakened to NTP2.We also show that any NIP profinite group\, presented as a 2-sorted structure\, has an open prosoluble normal subgroup.(Joint work with Dugald Macpherson)
URL:https://www.math.ens.psl.eu/evenement/profinite-nip-groups/
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SUMMARY:Non-standard fewnomials
DESCRIPTION:Call non-standard fewnomial (or sparse/lacunary polynomial) a non-standard polynomial whose number of non-zero terms is finite. The non-standard translation of a conjecture of Rényi and Erdöt
URL:https://www.math.ens.psl.eu/evenement/non-standard-fewnomials/
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SUMMARY:Enveloppes définissable de sous groupe abélien\, nilpotent ou résoluble
DESCRIPTION:ï/ootant donné un groupe G\, un problème particulier qui nous intéresse est de trouver des enveloppes définissables de sous-groupes abéliens\, nilpotents ou résolubles de G qui ayant les mêmes propriétés algébriques.Au cours des dernières décennies\, il y a eu des progrès remarquables pour répondre a cette question pour des groupes qui satisfont certaines propriétés modèle-théoriques (théorie stable\, dépendante\, simple\, etc.)\, ainsi que pour des groupes dont les centralisateurs satisfont certaines conditions de chaîne sur des centralisateur.Je présente ces résultats et donne des applications.
URL:https://www.math.ens.psl.eu/evenement/enveloppes-definissable-de-sous-groupe-abelien-nilpotent-ou-resoluble/
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SUMMARY:La conjecture de Manin-Mumford dynamique pour les relevés du Frobenius.
DESCRIPTION:La conjecture de Manin-Mumford dynamique est un analogue dynamique de la conjecture de Manin-Mumford. Dans cet exposé\, on démontre une version de cette conjecture pour les endomorphismes d’espaces projectifs sur un corps p-adique dont la réduction modulo p est le Frobenius. Notre méthode est de transporter la dynamique p-adique à une dynamique sur un corps de caractéristique p par la théorie des espaces perfectoïdes de Peter Scholze.
URL:https://www.math.ens.psl.eu/evenement/la-conjecture-de-manin-mumford-dynamique-pour-les-releves-du-frobenius/
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SUMMARY:Réseaux euclidiens de rang fini et infini\, séries thêta et formalisme thermodynamique
DESCRIPTION:Un réseau euclidien est la donnée (E\, | . |) d’un Z-module E isomorphe à Z^r\, r in N\, et d’une norme euclidienne | . | sur le R-espace vectoriel E_R simeq R^r qui lui est associé.En géométrie arithmétique\, il s’avère naturel d’associer à un réseau euclidien un invariant dans R_+ défini au moyen d’une série thêta par la formule:h^0_?(E\, | . |) := log sum_{v in E} e^{-pi|v|^2}.Dans cet exposé\, je discuterai diverses propriétés\, classiques et moins classiques\, de cet invariant h^0_?. Notamment\, j’expliquerai comment certaines de ses propriétés se rattachent à la théorie des grandes déviations et au formalisme thermodynamique.Je présenterai aussi des généralisations de l’invariant h^0_? attachées à des avatars de rang infini des réseaux euclidiens.
URL:https://www.math.ens.psl.eu/evenement/reseaux-euclidiens-de-rang-fini-et-infini-series-theta-et-formalisme-thermodynamique/
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SUMMARY:Actions de SL(n\,Z) par transformations birationnelles
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SUMMARY:Etude dynamique de certaines transséries
DESCRIPTION:Des résultats classiques montrent comment\, étant donné un système dynamique holomorphe\, en déterminer une forme normale ou le plonger dans le flot d’un champ de vecteurs. Nous montrons comment étendre la version formelle de ces résultats à certaines transséries\, et donnons quelques motivations en lien avec l’analyse fractale.
URL:https://www.math.ens.psl.eu/evenement/etude-dynamique-de-certaines-transseries/
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SUMMARY:Groupes et corps colorés
DESCRIPTION:Le rang de Morley est une dimension combinatoire à valeurs ordinales sur la collection des ensembles définissables d’une théorie complète\, qui coïncide avec la dimension de Zariski pour la théorie des corps algébriquement clos de caractéristique fixée.Le théorème d’interprétation du corps de Zilber permet de retrouver de façon définissable un corps algébriquement clos à partir d’un groupe abélien agissant par permutations sur un groupe abélien\, le tout de rang de Morley fini. Or\, une certaine configuration `interdite’ risque d’apparaître\, ce que l’on appelle un mauvais corps : un corps algébriquement clos de rang de Morley fini muni d’un sous-groupe multiplicatif propre définissable et divisible. En caractéristique positive\, un tel objet n’existe probablement pas. En caractéristique nulle\, un mauvais corps de rang de Morley 2 fut construit\, à partir du corps verts de Poizat par une technique d’amalgamation et collapse\, introduite par Hrushovski.Nous allons continuer l’étude des groupes définissables dans certaines expansions de corps algébriquement clos\, présentée dans l’exposé de Thomas Blossier lors de la séance précédente\, pour considérer les groupes définissables à l’intérieur du mauvais corps vert. En particulier\, on montrera que tout groupe définissable simple non-abélien est algébrique. Pour cela\, une notion d’ampleur relative au corps algébriquement clos sous-jacent jouera un rôle fondamental.
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SUMMARY:Fibres de Milnor réelles et séries de Puiseux.
DESCRIPTION:Je parlerai d’une description des fibres de Milnor d’une fonction polynomiale réelle qui passe par l’étude d’un ensemble de séries de Puiseux. On calcule l’homologie semialgébrique de cet ensemble\, que l’on compare avec les fibres de Milnor topologiques.Il s’agit d’un travail en commun avec Masahiro Shiota\, de Nagoya.
URL:https://www.math.ens.psl.eu/evenement/fibres-de-milnor-reelles-et-series-de-puiseux/
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SUMMARY:Corps et géométries relatives
DESCRIPTION:Tout groupe constructible est algébrique (Weil – Van den Dries – Hrushovski). Pillay en 1997\, puis Kowalski et Pillay en 2001\, ont montré que la composante connexe de tout groupe constructible dans un corps différentiellement clos ou dans un corps avec un automorphisme générique\, se plonge (à noyau fini près dans le second cas) dans un groupe algébrique. Ces démonstrations consistent à obtenir une configuration de groupe dans le pur corps algébriquement clos à partir de celle dans le corps enrichi. Pour les groupes définissables dans les corps colorés\, corps algébriquement clos enrichi avec un prédicat pour un sous-groupe additif ou multiplicatif infini propre\, le passage à des relations purement algébriques s’avère plus complexe dans le cas collapsé. Dans un travail commun avec Amador Martin-Pizarro et Frank Wagner\, nous avons isolé des propriétés géométriques relatives à la structure de pur corps afin d’entamer une étude des groupes dans un corps enrichi. Ces propriétés nous ont en particulier permis de montrer que tout groupe simple définissable dans un corps coloré est définissablement isomorphe à un groupe algébrique.Dans cet exposé\, je présenterai les outils et propriétés utilisées pour construire un groupe algébrique à partir d’un groupe définissable dans un corps enrichi. J’introduirai ensuite des notions de géométries relatives permettant de faire un lien entre le groupe donné et le groupe algébrique construit. J’expliciterai en particulier comment on retrouve ainsi les résultats de Pillay et de Kowalski-Pillay. Dans un prochain exposé (GTM du 18 mars)\, Amador Martin-Pizarro présentera d’autres applications.
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SUMMARY:Pseudo-exponential maps of algebraic groups
DESCRIPTION:Zilber conjectured that the complex exponential field (C
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