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SUMMARY:Uniform analytic properties of representation zeta functions of groups
DESCRIPTION:Representation zeta functions of groups are Dirichlet-type generating functions enumerating the groups’ finite-dimensional irreducible complex representations\, possibly up to suitable equivalence relations. Under favourable conditions\, these zeta functions satisfy Euler products whose factors are indexed by the places of number fields. I will discuss how p-adic integrals can be used to study these Euler products and how this sometimes allows us to capture some key analytic properties of representation zeta functions of groups.
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SUMMARY:Théorie des modèles de variétés compactes complexes avec automorphisme
DESCRIPTION:On peut développer la théorie des modèles des variétés compactes complexes (CCM) avec automorphisme générique en analogie avec ce qui a été fait pour les corps aux différences existentiellement clos\, autrement dit pour la théorie ACFA\, dans des travaux importants de Chatzidakis et Hrushovski\, entre autres. La théorie (du premier ordre) correspondante CCMA est supersimple\, et on a la trichotomie de Zilber pour les types ?Roefini-dimensionnels?R de rang SU 1. Dans l’exposé\, je vais présenter quelques résultats dans CCMA qui relèvent de la simplicité géométrique\, et je vais discuter comment on peut traiter de systèmes dynamiques méromorphes dans ce cadre. Enfin\, j’indiquerai pourquoi CCMA n’élimine pas les imaginaires\, contrairement à ce qui se passe dans ACFA.
URL:https://www.math.ens.psl.eu/evenement/theorie-des-modeles-de-varietes-compactes-complexes-avec-automorphisme/
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SUMMARY:Densité locale motivique et p-adique uniforme
DESCRIPTION:Je présenterai un analogue motivique de la densité locale introduite par Kurdyka-Raby dans le cas réel et Cluckers-Comte-Loeser dans le cas p-adique. Celle-ci s’applique aux définissables dans une théorie de corps Henséliens modérée (au sens de Cluckers-Loeser)\, en caractéristique nulle et caractéristique résiduelle quelconque.Comme dans les cas sus-cités\, il existe un cône tangent distingué sur lequel on peut calculer la densité si on lui attache des multiplicités\, qu’on définit en décomposant l’ensemble définissable étudié en graphes de fonctions (localement) 1-Lipschitziennes. Cela implique en particulier une version uniforme du théorème de Cluckers-Comte-Loeser sur la densité p-adique.
URL:https://www.math.ens.psl.eu/evenement/densite-locale-motivique-et-p-adique-uniforme/
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SUMMARY:Cardinalities of definable sets in finite structures
DESCRIPTION:I will discuss model-theoretic developments stemming from a theorem of Chatzidakis\, van den Dries and Macintyre\, which states that given a formula &phi
URL:https://www.math.ens.psl.eu/evenement/cardinalities-of-definable-sets-in-finite-structures/
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SUMMARY:Orthogonalité et théorie des modèles des groupes de rang fini dans les preuves de Mordell-Lang pour les corps de fonctions
DESCRIPTION:Dans cet exposé\, nous essayerons d’expliquer l’utilisation de la théorie des modèles des groupes de rang fini et de la notion d’orthogonalité dans les preuves modèles théoriques de la conjecture de Mordell-Lang pour les corps de fonction\, à la fois dans la preuve originelle de Hrushovski et dans des travaux plus récents sur le sujet (en commun avec Franck Benoist et Anand Pillay). Nous parlerons en particulier de l’utilisation du &#147
URL:https://www.math.ens.psl.eu/evenement/orthogonalite-et-theorie-des-modeles-des-groupes-de-rang-fini-dans-les-preuves-de-mordell-lang-pour-les-corps-de-fonctions/
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SUMMARY:Perspectives sur le problème inverse de Galois
DESCRIPTION:Les résultats dont je parlerai sont motivés par le Problème Inverse de Galois Régulier (PIGR):montrer que tout groupe fini G est le groupe de Galois d’une extension galoisienne F/Q(T) avec Q algébriquement clos dans F.Je présenterai deux types de résultats. J’expliquerai d’abord que certaines variantes fortes liées aux notions d’extensions génériques\, d’extensions paramétriques et de type de ramification paramétriques ne sont pas vraies. Puis\, je montrerai une conséquence forte du PIGR liée à une conjecture de Malle sur le nombre d’extensions galoisiennes de Q de groupe donné et de discriminant borné.
URL:https://www.math.ens.psl.eu/evenement/perspectives-sur-le-probleme-inverse-de-galois/
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SUMMARY:Wave front sets of distributions in non-archimedean analysis
DESCRIPTION:In 1969\, Sato and Hörmander introduced the notion of wave front set of a distribution in the real context. This concept gives a better understanding of operations on distributions such as product or pullback and it plays an important role in the theory of partial differential equations. In 1981\, Howe introduced a notion of wave front set for some Lie group representations and in 1985\, Heifetz gave an analogous version in the p-adic context. In this talk\, in the t-adic context in characteristic zero\, using Cluckers-Loeser motivic integration we will present analogous constructions of test functions\, distributions and wave front sets. In particular\, we will explain how definability can be used as a substitute for topological compactness of the sphere in the real and p-adic contexts to obtain finiteness.This a joint work with R. Cluckers\, and F. Loeser.
URL:https://www.math.ens.psl.eu/evenement/wave-front-sets-of-distributions-in-non-archimedean-analysis/
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SUMMARY:Profinite NIP groups
DESCRIPTION:We consider profinite groups as 2-sorted first order structures\, with a group sort\, and a second sort which acts as an index set for a uniformly definable basis of neighbourhoods of the identity. It is shown that if the basis consists of all open subgroups\, then the first order theory of such a structure is NIP (that is\, does not have the independence property) precisely if the group has a normal subgroup of finite index which is a direct product of finitely many compact p-adic analytic groups\, for distinct primes p. In fact\, the condition NIP can here be weakened to NTP2.We also show that any NIP profinite group\, presented as a 2-sorted structure\, has an open prosoluble normal subgroup.(Joint work with Dugald Macpherson)
URL:https://www.math.ens.psl.eu/evenement/profinite-nip-groups/
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SUMMARY:Non-standard fewnomials
DESCRIPTION:Call non-standard fewnomial (or sparse/lacunary polynomial) a non-standard polynomial whose number of non-zero terms is finite. The non-standard translation of a conjecture of Rényi and Erdöt
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SUMMARY:La conjecture de Manin-Mumford dynamique pour les relevés du Frobenius.
DESCRIPTION:La conjecture de Manin-Mumford dynamique est un analogue dynamique de la conjecture de Manin-Mumford. Dans cet exposé\, on démontre une version de cette conjecture pour les endomorphismes d’espaces projectifs sur un corps p-adique dont la réduction modulo p est le Frobenius. Notre méthode est de transporter la dynamique p-adique à une dynamique sur un corps de caractéristique p par la théorie des espaces perfectoïdes de Peter Scholze.
URL:https://www.math.ens.psl.eu/evenement/la-conjecture-de-manin-mumford-dynamique-pour-les-releves-du-frobenius/
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SUMMARY:Réseaux euclidiens de rang fini et infini\, séries thêta et formalisme thermodynamique
DESCRIPTION:Un réseau euclidien est la donnée (E\, | . |) d’un Z-module E isomorphe à Z^r\, r in N\, et d’une norme euclidienne | . | sur le R-espace vectoriel E_R simeq R^r qui lui est associé.En géométrie arithmétique\, il s’avère naturel d’associer à un réseau euclidien un invariant dans R_+ défini au moyen d’une série thêta par la formule:h^0_?(E\, | . |) := log sum_{v in E} e^{-pi|v|^2}.Dans cet exposé\, je discuterai diverses propriétés\, classiques et moins classiques\, de cet invariant h^0_?. Notamment\, j’expliquerai comment certaines de ses propriétés se rattachent à la théorie des grandes déviations et au formalisme thermodynamique.Je présenterai aussi des généralisations de l’invariant h^0_? attachées à des avatars de rang infini des réseaux euclidiens.
URL:https://www.math.ens.psl.eu/evenement/reseaux-euclidiens-de-rang-fini-et-infini-series-theta-et-formalisme-thermodynamique/
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SUMMARY:Enveloppes définissable de sous groupe abélien\, nilpotent ou résoluble
DESCRIPTION:ï/ootant donné un groupe G\, un problème particulier qui nous intéresse est de trouver des enveloppes définissables de sous-groupes abéliens\, nilpotents ou résolubles de G qui ayant les mêmes propriétés algébriques.Au cours des dernières décennies\, il y a eu des progrès remarquables pour répondre a cette question pour des groupes qui satisfont certaines propriétés modèle-théoriques (théorie stable\, dépendante\, simple\, etc.)\, ainsi que pour des groupes dont les centralisateurs satisfont certaines conditions de chaîne sur des centralisateur.Je présente ces résultats et donne des applications.
URL:https://www.math.ens.psl.eu/evenement/enveloppes-definissable-de-sous-groupe-abelien-nilpotent-ou-resoluble/
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SUMMARY:Actions de SL(n\,Z) par transformations birationnelles
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SUMMARY:Etude dynamique de certaines transséries
DESCRIPTION:Des résultats classiques montrent comment\, étant donné un système dynamique holomorphe\, en déterminer une forme normale ou le plonger dans le flot d’un champ de vecteurs. Nous montrons comment étendre la version formelle de ces résultats à certaines transséries\, et donnons quelques motivations en lien avec l’analyse fractale.
URL:https://www.math.ens.psl.eu/evenement/etude-dynamique-de-certaines-transseries/
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SUMMARY:Groupes et corps colorés
DESCRIPTION:Le rang de Morley est une dimension combinatoire à valeurs ordinales sur la collection des ensembles définissables d’une théorie complète\, qui coïncide avec la dimension de Zariski pour la théorie des corps algébriquement clos de caractéristique fixée.Le théorème d’interprétation du corps de Zilber permet de retrouver de façon définissable un corps algébriquement clos à partir d’un groupe abélien agissant par permutations sur un groupe abélien\, le tout de rang de Morley fini. Or\, une certaine configuration `interdite’ risque d’apparaître\, ce que l’on appelle un mauvais corps : un corps algébriquement clos de rang de Morley fini muni d’un sous-groupe multiplicatif propre définissable et divisible. En caractéristique positive\, un tel objet n’existe probablement pas. En caractéristique nulle\, un mauvais corps de rang de Morley 2 fut construit\, à partir du corps verts de Poizat par une technique d’amalgamation et collapse\, introduite par Hrushovski.Nous allons continuer l’étude des groupes définissables dans certaines expansions de corps algébriquement clos\, présentée dans l’exposé de Thomas Blossier lors de la séance précédente\, pour considérer les groupes définissables à l’intérieur du mauvais corps vert. En particulier\, on montrera que tout groupe définissable simple non-abélien est algébrique. Pour cela\, une notion d’ampleur relative au corps algébriquement clos sous-jacent jouera un rôle fondamental.
URL:https://www.math.ens.psl.eu/evenement/groupes-et-corps-colores/
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SUMMARY:Fibres de Milnor réelles et séries de Puiseux.
DESCRIPTION:Je parlerai d’une description des fibres de Milnor d’une fonction polynomiale réelle qui passe par l’étude d’un ensemble de séries de Puiseux. On calcule l’homologie semialgébrique de cet ensemble\, que l’on compare avec les fibres de Milnor topologiques.Il s’agit d’un travail en commun avec Masahiro Shiota\, de Nagoya.
URL:https://www.math.ens.psl.eu/evenement/fibres-de-milnor-reelles-et-series-de-puiseux/
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SUMMARY:Corps et géométries relatives
DESCRIPTION:Tout groupe constructible est algébrique (Weil – Van den Dries – Hrushovski). Pillay en 1997\, puis Kowalski et Pillay en 2001\, ont montré que la composante connexe de tout groupe constructible dans un corps différentiellement clos ou dans un corps avec un automorphisme générique\, se plonge (à noyau fini près dans le second cas) dans un groupe algébrique. Ces démonstrations consistent à obtenir une configuration de groupe dans le pur corps algébriquement clos à partir de celle dans le corps enrichi. Pour les groupes définissables dans les corps colorés\, corps algébriquement clos enrichi avec un prédicat pour un sous-groupe additif ou multiplicatif infini propre\, le passage à des relations purement algébriques s’avère plus complexe dans le cas collapsé. Dans un travail commun avec Amador Martin-Pizarro et Frank Wagner\, nous avons isolé des propriétés géométriques relatives à la structure de pur corps afin d’entamer une étude des groupes dans un corps enrichi. Ces propriétés nous ont en particulier permis de montrer que tout groupe simple définissable dans un corps coloré est définissablement isomorphe à un groupe algébrique.Dans cet exposé\, je présenterai les outils et propriétés utilisées pour construire un groupe algébrique à partir d’un groupe définissable dans un corps enrichi. J’introduirai ensuite des notions de géométries relatives permettant de faire un lien entre le groupe donné et le groupe algébrique construit. J’expliciterai en particulier comment on retrouve ainsi les résultats de Pillay et de Kowalski-Pillay. Dans un prochain exposé (GTM du 18 mars)\, Amador Martin-Pizarro présentera d’autres applications.
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SUMMARY:Pseudo-exponential maps of algebraic groups
DESCRIPTION:Zilber conjectured that the complex exponential field (C
URL:https://www.math.ens.psl.eu/evenement/pseudo-exponential-maps-of-algebraic-groups/
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SUMMARY:Dégénérescences de variétés de Calabi-Yau et géométrie non-archimédienne
DESCRIPTION:Je vais présenter un travail en commun avec Mattias Jonsson\, dans lequel nous utilisons une variante d’une construction de Berkovich pour étudier la convergence au sens de la théorie de la mesure d’une famille de variétés de Calabi-Yau vers son `squelette essentiel’ au sens de Kontsevich et Soibelman.
URL:https://www.math.ens.psl.eu/evenement/degenerescences-de-varietes-de-calabi-yau-et-geometrie-non-archimedienne/
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SUMMARY:On approximability of extremal tropical currents
DESCRIPTION:I will briefly explain complex tropical currents\, and willaddress their extremality\, intersection theory\, and approximationproblems. I will discuss how in joint work with June Huh\, we constructedan example of a non-approximable tropical current\, which\, in turn\,refutes a strong version of the Hodge conjecture for positive currents.
URL:https://www.math.ens.psl.eu/evenement/on-approximability-of-extremal-tropical-currents/
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SUMMARY:La définissabilité des types\, par l'analyse fonctionnelle
DESCRIPTION:Comme demandé par les organisateurs\, je parlerai des liens entre la stabilité en théorie des modèles et certains résultats d’analyse fonctionnelle\, notamment la caractérisation par Grothendieck des ensembles faiblement précompacts dans  C(X) .En effet\, nous retrouvons dans le critère de Grothendieck la définition de formule stable\, (re)donnée 20 ans plus tard par Shelah\, et pouvons en déduire le théorème de Shelah sur la définissabilité des types dans une théorie stable\, ainsi que la forme de la formule défninissante.
URL:https://www.math.ens.psl.eu/evenement/la-definissabilite-des-types-par-lanalyse-fonctionnelle/
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SUMMARY:Corps définissables dans le groupe libre
DESCRIPTION:La théorie du groupe libre est stable\, donc elle admet une ?Roebonne?R notion d’indépendance (comme l’indépendance algébrique dans un corps algébriquement clos). Cette notion est appelée déviation et on peut calculer sa complexité au sens de l’ampleur. La déviation est la plus simple dans une espace vectoriel et la plus complexe dans un corps algébriquement clos. Dans la théorie du groupe libre la déviation est la plus complexe\, mais il a été conjecturé qu’aucun corps infini n’est définissable dans un groupe libre. Nous allons exposer une preuve de cette conjecture. C’est un travail en commun avec Ayala Byron.
URL:https://www.math.ens.psl.eu/evenement/corps-definissables-dans-le-groupe-libre/
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CATEGORIES:Séminaire Géométrie et théorie des modèles
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SUMMARY:Généricité différentielle des fonctions spéciales et théories de Galois à paramètres
DESCRIPTION:En théorie de la transcendance\, on cherche à cerner les relations algébriques entre des nombres. Un problème plus simple consiste à se poser la même question sur les fonctions qui s’évaluent en ces nombres en espérant des théorèmes de transfert. D’après des résultats de Nishioka et Philippon\, c’est le cas des fonctions de Mahler\, qui satisfont des équations fonctionnelles discrètes en un opérateur de type Frobenius. En effet\, les relations algébriques entre les valeurs de ces fonctions en des points algébriques se relèvent en des relations entre les fonctions elles-mêmes. La classe des fonctions de Mahler est stable par dérivation. On peut ainsi se poser la question de la dépendance algébrique entre une fonction de Mahler et ses dérivées. Depuis quelques années\, des théories de Galois à paramètres (Cassidy-Singer\, H.-Singer ) ont fourni un cadre formel et systématique pour attaquer ces questions de dépendances différentielles algébriques fonctionnelles. Nous essaierons dans cet exposé d’introduire ces théories dans les grandes lignes. Nous conclurons en montrant comment elles permettent de déterminer non seulement l’existence mais aussi la forme des relations différentielles algébriques satisfaites par les fonctions de Mahler et en particulier par les séries génératrices de suites p-automatiques de rang 2. Ces derniers résultats sont issus d’une collaboration avec T. Dreyfus (Institut Camille Jordan\, Lyon) et J. Roques (Institut Fourier\, Grenoble)
URL:https://www.math.ens.psl.eu/evenement/genericite-differentielle-des-fonctions-speciales-et-theories-de-galois-a-parametres/
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SUMMARY:Cohomologie des disques de Berkovich sur Z
DESCRIPTION:Bien que les espaces de Berkovich apparaissent souvent dans un contexte ultramétrique\, leur définition la plus générale s’applique en réalité en prenant pour base un anneau de Banach arbitraire\, par exemple Z muni de la valeur absolue usuelle. Dans ce dernier cas\, les espaces obtenus se présentent naturellement comme des fibrations contenant à la fois des fibres complexes et p-adiques\, pour tout nombre premier p. Nous rappellerons les propriétés connues de ces espaces puis esquisserons la démonstration du fait que la cohomologie cohérente des disques de dimension arbitraire sur Z s’annule. Nous expliquerons que ce résultat entraîne un analogue global du théorème classique d’acyclicité de Tate. Il permet également d’obtenir des résultats de noethérianité pour des anneaux de séries convergentes à coefficients entiers.
URL:https://www.math.ens.psl.eu/evenement/cohomologie-des-disques-de-berkovich-sur-z/
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SUMMARY:Counting points vs. counting extensions
DESCRIPTION:In this talk\, I will explain how to relate the two counting problems in the title by generalizing the McKay correspondence to number-theoretic base fields\, that is\, local fields and number fields. Over local fields\, generalizing the McKay correspondence by Batyrev and Denef-Loeser\, one can relate stringy invariants of quotient varieties to mass formulas of extensions of local fields. Over number fields\, using the local result and a heuristic argument\, one can (less tightly than in the local case) relate Manin’s conjecture on rational points of Fano varieties to Malle’s conjecture on extensions of number fields.
URL:https://www.math.ens.psl.eu/evenement/counting-points-vs-counting-extensions/
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SUMMARY:The p-adic analog of Artin-Schreier Theorem - revisited (II)
DESCRIPTION:A famous Theorem by Artin and Schreier characterizes the real closed fields as being those fields which have a finite non-trivial absolute Galois group. Instances of p-adic analogs of this Theorem are known (Neukirch\, Pop\, Koenigsmann\, Efrat)\, but there is much more to this story. Namely I will give a ‘minimalistic’ p-adic analog\, which as in the Artin-Schreier Theorem\, invoves only finite groups. This aspect of the story relates to the birational p-adic section conjecture\, etc.
URL:https://www.math.ens.psl.eu/evenement/the-p-adic-analog-of-artin-schreier-theorem-revisited-ii/
LOCATION:Sophie Germain salle 1021
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SUMMARY:Nonarchimedean globally valued fields
DESCRIPTION:In a joint research project with Itay Ben Yaacov\, we study a class of fields enriched with a global structure tying together their various valuations by a product formula. This is an elementary class in the sense of continuous logic
URL:https://www.math.ens.psl.eu/evenement/nonarchimedean-globally-valued-fields/
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SUMMARY:Comptage en théorie des groupes et imaginaires p-adiques
DESCRIPTION:Travail en commun avec Ehud Hrushovski et Ben Martin.Sous certaines hypothèses sur un groupe G\, on peut montrer que le nombre de sous-groupes de G d’indice p^n (que l’on note a_n) est fini. Pour étudier la croissance des a_n\, on s’intéresse à la série ?_{p\,G}(s) = sum_n a_n t^n dont la rationalité a été démontrée par Grunewald\, Segal et Smith (1988). Leur preuve consiste à réécrire cette somme comme une intégrale p-adique à paramètres et à utiliser un résultat de Denef (1984) sur la rationalité des telles intégrales. On peut aussi démontrer que de tels résultats de rationalité sont uniformes en p.Le but de cet exposé sera d’expliquer une méthode générale pour démontrer de tels résultats de comptage (uniformes en p) qui permet de retrouver les résultats connus en en simplifiant la preuve et de prouver de nouveaux résultats (par exemple sur le comptage des représentations). Cette méthode générale utilise toujours le résultat de rationalité de Denef et un nouvel ingrédient modèle théorique: l’élimination (uniforme) des imaginaires p-adiques.
URL:https://www.math.ens.psl.eu/evenement/comptage-en-theorie-des-groupes-et-imaginaires-p-adiques/
LOCATION:Batiment Sophie Germain salle 2015 (angle avenue de France et rue Alice Domon 75013 Paris)
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SUMMARY:Diagonales\, congruences `à la Lucas' et indépendance algébrique
DESCRIPTION:Les diagonales de fractions rationnelles forment une classe de fonctions analytiques se situant au confluent de plusieurs grands thèmes : la combinatoire énumérative\, la théorie des équations différentielles\, l’arithmétique\, la géométrie algébrique et l’informatique théorique. Lorsque leurs coefficients sont des nombres rationnels\, ces séries ont la propriété remarquable d’être algébriques modulo presque tout nombre premier p. La façon dont leur degré d’algébricité varie en fonction de p est source de nombreuses questions. En particulier\, des exemples de diagonales de fractions rationnelles ayant un `grand degré modulo p’ peuvent être mis en évidence à l’aide de séries vérifiant certaines congruences introduites par Lucas. J’expliquerai comment ces congruences conduisent à des résultats d’indépendance algébrique pour certaines classes de G-fonctions. Il s’agit de travaux communs avec J. Bell et E. Delaygue.
URL:https://www.math.ens.psl.eu/evenement/diagonales-congruences-a-la-lucas-et-independance-algebrique/
LOCATION:Batiment Sophie Germain salle 2015 (angle avenue de France et rue Alice Domon 75013 Paris)
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SUMMARY:Décomposition de types dans les théories NIP
DESCRIPTION:La classe des théories NIP — définie par Shelah dans les années 70 — contient celles des théories stables et des théories o-minimales. On pense souvent à NIP comme étant une combinaison de stabilité et de o-minimalité. Dans cet exposé\, je présenterai des résultats qui tendent à rendre cette intuition explicite. Je montrerai comment on peut décomposer certains types en une partie stable et un quotient ayant des propriétés typiques des ordres linéaires. Le résultat général pour tous les types est encore conjecturel.
URL:https://www.math.ens.psl.eu/evenement/decomposition-de-types-dans-les-theories-nip/
LOCATION:Batiment Sophie Germain salle 2015 (angle avenue de France et rue Alice Domon 75013 Paris)
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