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SUMMARY:Méthode de la platitude pour la contrôlabilité de système couplé d'équations de la chaleur
DESCRIPTION:Orateur : Takéo Takahashi \n\n\n\nTitre : Méthode de la platitude pour la contrôlabilité de système couplé d’équations de la chaleur \n\n\n\nRésumé :  \n\n\n\nDans un première partie\, je rappellerai quelques notions et propriétés classiques de contrôlabilité pour les systèmes de dimensions finies ou infinies. Je montrerai notamment comment utiliser la platitude pour résoudre certains problèmes de contrôle en dimension finie ou pour l’équation de la chaleur. Ce dernier cas correspond à un article de Martin\, Rosier et Rouchon de 2014. Dans la seconde partie\, je présenterai des travaux obtenus avec Blaise Colle et Jérôme Lohéac pour utiliser cette méthode basée sur la platitude pour obtenir la contrôlabilité à zéro de systèmes couplés d’équations de la chaleur. On retrouvera en particulier le fait que selon la relation entre les coefficients de diffusion des équations de la chaleur\, le système est contrôlable à zéro pour tout $T>T_0$\, avec $T_0\in [0\, \infty ]$. Je finirai par quelques résultats que nous avons obtenus pour le contrôle du système de Stefan qui modélise l’évolution d’un système à deux phases.
URL:https://www.math.ens.psl.eu/evenement/takeo-takahashi/
LOCATION:Jussieu —  salle 15-16-309\, 4 Place Jussieu\, Paris\, 75005\, France
CATEGORIES:Séminaire Analyse non linéaire et EDP
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SUMMARY:Nonlocal Aggregation-Diffusion Equations: fast diffusion and partial concentration
DESCRIPTION:ATTENTION : exceptionnellement un LUNDI \n\n\n\nSpeaker: José A. Carrillo \n\n\n\nTitle: Nonlocal Aggregation-Diffusion Equations: fast diffusion and partial concentration \n\n\n\nAbstract: \n\n\n\nIn the first part I will give an overview of nonlocal aggregation-diffusion equations and the state of the art on results for homogeneous kernels and nonlinear diffusions in the degenerate case. I will explain part of the qualitative behavior of the solutions\, numerical explorations and ideas on the proofs of some results. I will also discuss the applications they have in mathematical biology and their connections. \n\n\n\nThe seminar part will be devoted to discuss the less explored case of fast diffusion with homogeneous kernels with positive powers. We will first concentrate in the case of stationary solutions by looking at minimisers of the associated free energy showing that the minimiser must consist of a regular smooth solution with singularity at the origin plus possibly a partial concentration of the mass at the origin. We will give necessary conditions for this partial mass concentration to and not to happen. We will then look at the related evolution problem and show that for a given confinement potential this concentration happens in infinite time under certain conditions. We will briefly discuss the latest developments when we introduce the aggregation term. This part of the talk is based on a series of works in collaboration with M. Delgadino\, J. Dolbeault\, A. Fernandez\, R. Frank\, D. Gomez-Castro\, F. Hoffmann\, M. Lewin\, and J. L\, Vazquez.
URL:https://www.math.ens.psl.eu/evenement/jose-a-carrillo/
LOCATION:ENS – salle W\, 45 rue d'Ulm\, Paris\, 75005\, France
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SUMMARY:Existence globale pour l'équation de Schrödinger non linéaire avec dérivée
DESCRIPTION:Cet exposé sera consacré au problème d’existence globale pour l’équation de Schrödinger non linéaire avec dérivée (DNLS). Tandis qu’une théorie satisfaisante d’existence locale pour cette équation est connue depuis un certain temps\, l’existence globale pour des données grandes a résisté jusqu’à très récemment\, et cela malgré le fait que l’équation soit complètement intégrable et par conséquent\, admette une infinité de lois de conservation. Dans la première partie de l’exposé je présenterai le modèle\, la problématique et j’introduirai des outils spectraux liés à la structure intégrable de l’équation. Dans la deuxième partie\, en me basant sur des travaux récents en collaboration avec Hajer Bahouri\, j’expliquerai comment ces outils spectraux étant combinés avec la technique de décomposition en profils permettent de montrer que DNLS est globalement bien posée dans les espaces de Sobolev Hs(R) avec s ≥ 1/2. Je parlerai également du cas périodique où les résultats sont moins complets.
URL:https://www.math.ens.psl.eu/evenement/galina-perelman/
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SUMMARY:Instability and Non-uniqueness in Incompressible Flows
DESCRIPTION:Over the past two decades\, mathematical fluid dynamics has seen remarkable progress in an unexpected direction: non-uniqueness of solutions to the fundamental PDEs of incompressible flow\, namely\, the Euler and Navier-Stokes equations. I will explain the state-of-the-art in this direction\, with a particular focus on the relationship between instability and non-uniqueness\, including our proof with E. Brue and M. Colombo that Leray-Hopf solutions to the forced Navier-Stokes equations are not unique.
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SUMMARY:Cluster expansions pour la dynamique des sphères dures
DESCRIPTION:Un gaz parfait peut être décrit de façon simplifiée comme un grand système de sphères dures de faible densité. Dans le scaling de Boltzmann-Grad\, on s’attend à ce que chaque particule ait en moyenne une collision par unité de temps\, et donc à ce que les corrélations restent petites si le système était initialement chaotique. Le théorème de Lanford montre qu’on a effectivement propagation du chaos et que la mesure empirique est bien approchée par l’équation de Boltzmann sur un temps court. Le cours présentera une preuve de ce résultat reposant sur l’analyse des clusters dynamiques. Dans l’exposé qui suivra\, on verra que ces techniques de clusters permettent aussi d’étudier les fluctuations du système.
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LOCATION:ENS — amphi Galois\, 45 rue d'Ulm\, Paris\, France
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SUMMARY:Systèmes paraboliques à diffusion croisée
DESCRIPTION:Résumé du cours : Le système SKT est un système parabolique non linéaire introduit en dynamique des populations à la fin des années ’70. Dans cette première partie je présenterai une construction des solutions faibles globales à ce système en me reposant sur la structure d’entropie découverte par Chen et Jüngel en 2006\, sa généralisation par Desvillettes et. al. en 2015 et la persistance entropique offerte par certains schémas d’approximation\, suivant un travail en collaboration avec Helge Dietert (2022). Nous commencerons par résoudre\, à l’aide d’une estimée de dualité\, le problème de Cauchy pour une équation parabolique (de type Kolmogorov) à très faible niveau de régularité avant de suivre une méthode standard de point fixe pour le système complet.\n \nRésumé du séminaire : Durant le séminaire\, je parlerai brièvement de la construction de solutions régulières (locales) suivant les travaux d’Amann et de mes récentes collaborations avec Laurent Desvillettes (2024) et Isabelle Gallagher (2024). Je traiterai plus en détail un résultat d’unicité fort-faible reliant les deux types de solutions et j’expliquerai comment ce dernier peut permettre de finaliser un programmation de dérivation stochastique initié par Daus\, Desvillettes et Dietert (2019) permettant de récupérer le système SKT comme une limite de marches aléatoires sur un réseau discret. Ces derniers travaux sont issus de ma collaboration avec V. Bansaye et F.  Muñoz Hernández.
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SUMMARY:CANCELED - Pierre-Emannuel Jabin - CANCELED
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SUMMARY:CANCELED - Camillo De Lellis - CANCELED
DESCRIPTION:Mini-course: Flows of nonsmooth vector fields \nConsider a vector field v on the Euclidean space. The classical Cauchy-Lipschitz (also named Picard-Lindelöf) Theorem states that\, if the vector field is Lipschitz in space\, for every initial datum x there is a unique trajectory γ starting at x at time 0 and solving the ODE γ'(t) = v(t\, γ(t)). The theorem looses its validity as soon as v is slightly less regular. However\, if we bundle all trajectories into a global map allowing x to vary\, a celebrated theory started by DiPerna and Lions in the 80es shows that there is a unique such flow under very reasonable conditions and for much less regular vector fields. This has a lot of repercussions to several important partial differential equations where the idea of « following the trajectories of particles » plays a fundamental role. In this lecture I will review the fundamental ideas of the original theory\, an alternative approach due to Gianluca Crippa and myself\, and review a series of natural questions. Some of these questions will be answered in the second part. \nLecture: Transport equations and anomalous dissipation \nAfter mentioning the fundamental theorems of DiPerna-Lions and Ambrosio on flows of Sobolev vector fields we will explore a number of sharpness questions related to them (a more detailed and elementary overiew of the theorems and of the sharpness questions will already have been given in the previous lecture\, but anyway this seminar will be arranged so that it can be followed independently from the latter). Many of these questions have been at least partially answered in the last few years and I will first survey what is the overall understanding which we have gained on them. I will then focus on a particular one and highlight its link with a phenomenon which is poorly understood at the rigorous mathematical level: the occurrence of the so-called anomalous dissipation in incompressible fluid dynamics.
URL:https://www.math.ens.psl.eu/evenement/camillo-de-lellis/
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SUMMARY:A critical drift-diffusion equation: intermittent behavior
DESCRIPTION:This talk is about a simple but rich model problem at the cross section of stochastic homogenization and singular stochastic PDE: We consider a drift-diffusion process with a time-independent and divergence-free random drift that is of white-noise character. As already realized in the physics literature\, the critical case of two space dimensions is most interesting: The elliptic generator requires a small-scale cut-off for well- posedness\, and one expects marginally super-diffusive behavior on large scales. I will explain the criticality of the two-dimensional case in the introductory course by scaling arguments. \nIn the presence of an (artificial) large-scale cut-off at scale L\, as a consequence of standard stochastic homogenization theory and its notion of a corrector\, there exist harmonic coordinates with a stationary gradient F ; the merit of these coordinates being that under their lens\, the drift-diffusion process turns into a martingale. I will revisit (qualitative) stochastic homogenization theory\nin the introductory course. \nIt has recently been established that the second moments diverge as 𝔼 |F|² ~ √ln L as L ↑ ∞. We show that in this limit\, |F|²/𝔼 |F|² is not equi-integrable\, while |det F |/𝔼 |F|² converges to zero (in probability). This suggests that any limit\, if it exists\, will not admit a simple characterization. \nWe establish this asymptotic behavior by characterizing a proxy F̃  introduced in previous work as the solution of an Itô SDE w. r. t. the variable L\, and which implements the concept of a scale-by-scale homogenization. For this proxy\, we establish 𝔼|F̃ |⁴ ≫ (𝔼|F̃ |²)² and 𝔼(det F̃ )² ≲ 1. In view of the former property\, we assimilate this phenomenon to intermittency. I will try to elucidate the idea of scale-by-scale homogenization in the introductory course. \nThis is joint work with G. Chatzigeorgiou\, P. Morfe\, L. Wang\, and with C. Wagner.
URL:https://www.math.ens.psl.eu/evenement/felix-otto/
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SUMMARY:Systèmes de particules et limites hydrodynamiques
DESCRIPTION:L’évolution d’un gaz peut être décrite par différents modèles en fonction de l’échelle d’observation (échelle microscopique ou macroscopique notamment). Une question naturelle\, soulevée par Hilbert dans son sixième problème\, est de savoir si ces modèles fournissent des prédictions cohérentes. Dans le cas d’un gaz dilué dans lequel les particules microscopiques obéissent aux lois de la mécanique classique de Newton\, Lanford a montré en 1974 que l’équation de Boltzmann apparaît à une échelle intermédiaire\, dite mésoscopique. Au niveau macroscopique on utilise habituellement des équations de type Euler ou Navier-Stokes\, qui sont connues depuis les années 1990-2000\, dans certains régimes\, pour être des modèles asymptotiques de l’équation de Boltzmann. Dans la première partie de l’exposé on présentera ces différents modèles et les façons de passer de l’un à l’autre par un passage à la limite (la question du passage du microscopique au macroscopique étant encore ouverte aujourd’hui). La seconde partie sera dévolue à la présentation de travaux en collaboration avec Kleber Carrapatoso et Isabelle Tristani sur le passage de Boltzmann à Navier-Stokes.
URL:https://www.math.ens.psl.eu/evenement/isabelle-gallagher/
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SUMMARY:Optimal Transport for PDEs and Machine Learning
DESCRIPTION:Optimal transport (OT) has recently gained significant interest in statistics and machine learning. It serves as a natural tool for comparing probability distributions in a geometrically faithful manner. However\, OT faces challenges due to the curse of dimensionality\, as it may require a sample size that grows exponentially with the dimension. This seminar will be divided into two parts: \n\nA tutorial on optimal transport\, where I will review the Monge and Kantorovich formulations\, and their connection to gradient flow PDEs via the minimizing movement scheme.\nA more advanced discussion on entropic regularization and the Schrödinger problem\, which improves both the numerical complexity of computing OT and the ability to approximate OT with better sample complexity in high dimensions.\n\nFor more information and references\, please visit the website of our book ‘Computational Optimal Transport’ at https://optimaltransport.github.io/.
URL:https://www.math.ens.psl.eu/evenement/gabriel-peyre/
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SUMMARY:Symétrie des solutions des systèmes de type Ginzburg-Landau
DESCRIPTION:Pour les systèmes elliptiques\, la symétrie des solutions est une question largement ouverte. Le but de l’exposé est de présenter deux systèmes de type Ginzburg-Landau où la symétrie (radiale ou unidimensionnelle) des solutions a lieu. D’abord\, il s’agit d’un modèle variationnel pour des champs vecteurs N-dimensionnels à divergence nulle définis sur la bande RxT où T est le tore en dimension N-1. Dans ce système\, nous montrons la symétrie unidimensionnelle des solutions minimisantes ; ceci est basée sur la théorie des calibrations\, appelées aussi entropies en dimension N=2 (par leur lien avec les lois de conservation scalaire). Ensuite\, nous focalisons sur le système (standard) de Ginzburg-Landau où les champs vecteurs sont définies sur la boule unité. Pour la donnée au bord correspondant à un vortex de degré 1\, la conjecture est de montrer la symétrie radiale de la solution minimisante du système. Nous montrons cette symétrie en dimension N≥7 et ensuite\, en dimension N=4\,5\,6 si les champs vecteurs sont à rotationnel nul.
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SUMMARY:Classification des ondes non-linéaires radiales en dehors d'une boule
DESCRIPTION:Ce séminaire concerne les solutions radiales de l’équation des ondes non-linéaires focalisante en dehors d’une boule\, en dimension 3 d’espace\, avec conditions de Dirichlet au bord. Lorsque l’exposant dans la nonlinéarité est supérieur à 7\, l’ensemble des solutions stationnaires radiales de l’équation est une suite\, indexée par le nombre de zéro de la solution. Nous montrerons que toute solution radiale globale de l’équation s’écrit asymptotiquement comme la somme d’une de ces solutions stationnaires et d’une solution de l’équation des ondes linéaires\, et que l’ensemble des données initiales conduisant à une solution stationnaire donnée est une sous-variété de codimension finie. \nLors du mini-cours\, j’expliquerai l’historique de l’équation\, et donnerai des résultats préliminaires sur le problème de Cauchy\, l’équation linéaire et le problème elliptique. J’esquisserai dans l’exposé proprement dit la démonstration des résultats principaux. \nCe séminaire concerne des travaux avec Jianwei Yang (et dans une moindre mesure avec David Lafontaine).
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SUMMARY:Global axisymmetric Euler flows with rotation
DESCRIPTION:We discuss the construction of a class of global\, dynamical solutions to the 3d Euler equations near the stationary state given by uniform « rigid body » rotation. These solutions are axisymmetric\, of Sobolev regularity and have non-vanishing swirl. \nAt the heart of this result is a dispersive effect due to rotation\, which we discuss with some context. In our approach\, it is captured in a « method of partial symmetries »\, which is adapted to maximally exploit the symmetries of this anisotropic problem\, both for the linear and nonlinear analysis\, and allows to globally propagate sharp decay estimates. \nThis is joint work with Y. Guo and B. Pausader (Brown University).
URL:https://www.math.ens.psl.eu/evenement/klaus-widmayer/
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SUMMARY:De Boltzmann vers Navier-Stokes incompressible
DESCRIPTION:Mini-cours: Nous nous intéressons au lien entre l’équation de Boltzmann (élastique) et l’équation de Navier-Stokes incompressible. Nous ne traiterons que le cas de collisions de type sphères dures dans le tore. Dans un premier temps\, nous présenterons l’équation de Boltzmann et ses principales caractéristiques. Nous donnerons également des estimations d’énergie sur l’équation de Boltzmann remise à l’échelle. Grâce à ces estimations\, nous pourrons ensuite dériver l’équation de Navier-Stokes incompressible à partir de l’équation de Boltzmann (et prouver un résultat de convergence faible). \nExposé: Dans la première partie de l’exposé\, nous présenterons un résultat de convergence forte de solutions de l’équation de Boltzmann présentée précédemment vers celles de Navier-Stokes incompressible\, résultat obtenu en collaboration avec I. Gallagher. Nous prouvons également que l’équation de Boltzmann remise à l’échelle admet une solution tant que celle de Navier-Stokes en a une.\nDans un deuxième temps\, nous présenterons une équation de Boltzmann inélastique (une perte d’énergie a lieu lors des collisions) pour laquelle nous pouvons prouver un résultat de limite hydrodynamique faible vers une équation de Navier-Stokes incompressible modifiée dans un régime de faible inélasticité. Il s’agit d’un travail en collaboration avec R. Alonso et B. Lods\, nous présenterons pour terminer quelles sont les difficultés pour obtenir un résultat de convergence forte comme celui prouvé dans le cas élastique.
URL:https://www.math.ens.psl.eu/evenement/expose-du-20-juin/
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CATEGORIES:Séminaire Analyse non linéaire et EDP
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SUMMARY:Inégalités de Strichartz et phénomènes de scattering pour les équations de Schrödinger et de Gross-Pitaevskii / Stabilité d'états stationnaire pour des équations de Hartree et de Schrödinger pour un nombre infini de particules
DESCRIPTION:Inégalités de Strichartz et phénomènes de scattering pour les équations de Schrödinger et de Gross-Pitaevskii: \nDans ce mini-cours\, on commencera par discuter des phénomènes de dispersion pour le laplacien. On expliquera la décroissance locale et ponctuelle des solutions de l’équation de Schrödinger linéaire avant d’expliciter la forme sous laquelle on exploite la dispersion dans les problèmes semi-linéaires\, à savoir\, les estimées de Strichartz. On montrera alors la stabilité asymptotique de la solution nulle par des méthodes de scattering pour l’équation de Schrödinger cubique ou quadratique pour des petites données initiales. On discutera le cas des grandes données initiales. On introduira par la suite le problème de la stabilité asymptotique de solutions stationnaires non-localisées pour l’équation de Schrödinger cubique et le système dit de Hartree-Fock. On discutera de la nécessité d’introduire de nouvelles estimées de dispersion pour résoudre des problèmes de scattering dans ces contextes. \nStabilité d’états stationnaire pour des équations de Hartree et de Schrödinger pour un nombre infini de particules: \nDans cet exposé\, on discutera d’un résultat de scattering au voisinage de certains états stationnaires pour l’équation de Hartree pour un champ aléatoire. Cette équation décrit l’évolution d’un système à un nombre infini de particules. Il s’agit d’une formulation analogue à l’équation de Hartree pour les matrices de densité. On présentera cette équation\, la classe d’états stationnaires non-localisés que l’on considère\, et l’articulation de la preuve\, inscrite dans la théorie plus générale du scattering pour l’équation de Schrödinger semi-linéaire.
URL:https://www.math.ens.psl.eu/evenement/expose-du-16-mai/
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CATEGORIES:Séminaire Analyse non linéaire et EDP
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SUMMARY:Systèmes de diffusion croisée pour le chimiotactisme
DESCRIPTION:Le chimiotactisme est un processus qui régit la motilité cellulaire\, et qui plus généralement est omniprésent en biologie. Nous présentons une classe de systèmes d’équations aux dérivées partielles paraboliques provenant de la modélisation du chimiotactisme cellulaire avec détection locale\, c’est-à-dire lorsque les cellules répondent à la concentration d’un signal chimique perçu localement (par opposition à la détection gradient\, lorsque les cellules sont capables de percevoir un gradient de concentration). Nous présentons des outils de dualité et d’entropie pour analyser cette classe de système. En découlent des résultats sur leur caractère bien posé et leur comportement en temps long.
URL:https://www.math.ens.psl.eu/evenement/expose-du-18-avril/
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CATEGORIES:Séminaire Analyse non linéaire et EDP
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SUMMARY:Autour de la résolution en solitons pour l'équation des ondes critique en six dimensions
DESCRIPTION:Cet exposé portera sur un travail en collaboration avec T. Duyckaerts\, C. Kenig\, et F. Merle sur l’équation des ondes semi-linéaire. La première partie expliquera comment les solutions de l’équation des ondes linéaire se concentrent en temps grand autour du cône d’onde\, prenant alors une forme particulière dite auto-similaire. Cela nous amènera au concept de solutions non radiatives – celles qui concentrent leur énergie uniquement à l’intérieur d’un cône d’onde. Nous établirons alors l’existence et la classification de toutes ces solutions non-radiatives pour le problème non linéaire\, en fonction de leur comportement à l’infini. \nDans la seconde partie\, nous nous concentrerons sur l’équation des ondes quadratique en six dimensions\, pour laquelle le problème est critique pour l’énergie. Dans le cas radial\, il existe un unique état stationnaire à invariance d’échelle près. Nous expliquerons comment toute solution à symétrie radiale bornée dans la norme d’énergie se décompose asymptotiquement en temps grand en la somme d’états stationnaires modulés et d’une radiation. L’analyse présentée dans la première partie de l’exposé sera alors une des clés principales de la preuve\, permettant d’établir des estimations et d’obtenir de la rigidité pour certaines solutions.
URL:https://www.math.ens.psl.eu/evenement/expose-du-14-mars/
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CATEGORIES:Séminaire Analyse non linéaire et EDP
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SUMMARY:Solutions tores et splits du modèle Landau-de Gennes pour les cristaux liquides nématiques
DESCRIPTION:Dans cet exposé\, je présenterai le modèle tensoriel de Landau de Gennes pour les cristaux liquides nématiques dans le régime dit de Lyutsyukov faisant intervenir des applications à valeurs dans la sphère S4. Ce modèle décrit les configurations stables de cristaux liquides comme étant les minimiseurs d’une énergie de type Ginzburg-Landau dont le puit de potentiel est le plan projectif réel. Lorsque le domaine (3D) est une boule et la donnée de Dirichlet est à symétrie radiale (équivariante)\, on pourrait s’attendre à ce qu’un minimiseur soit également à symétrie radiale. Certaines simulations numériques suggèrent que ce n’est pas le cas\, et une certaine structure en tore apparaît. Lorsque qu’une symétrie axiale (équivariante) est imposée\, des solutions singulières peuvent apparaître\, appelées solutions « splits ». A l’aide de résultats de régularité sur ce modèle\, j’essayerai d’expliquer l’existence et la géométrie de ces solutions tores et splits\, ainsi que la dépendance du type de solutions par rapport à la condition de Dirichlet et à la géométrie du domaine. Dans une première partie de l’exposé\, je présenterai la théorie de régularité pour ce modèle\, pouvant être vu comme perturbation du système des applications harmoniques à valeurs dans une variété\, en suivant en partie une approche élémentaire due à A. Chang\, L. Wang\, et P. Yang. Cet exposé est basé sur une série de travaux en collaboration avec Federico Dipasquale et Adriano Pisante.
URL:https://www.math.ens.psl.eu/evenement/expose-du-14-fevrier/
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CATEGORIES:Séminaire Analyse non linéaire et EDP
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SUMMARY:Stable solutions to semilinear elliptic equations are smooth up to dimension 9
DESCRIPTION:The regularity of stable solutions to semilinear elliptic PDEs has been studied since the 1970’s. It was initiated by a work of Crandall and Rabinowitz\, motivated by the Gelfand problem in combustion theory. The theory experienced a revival in the mid-nineties after new progress made by Brezis and collaborators. I will present these developments\, as well as a recent work\, in collaboration with Figalli\, Ros-Oton\, and Serra\, which finally establishes the regularity of stable solutions up to the optimal dimension 9. I will also describe a more recent paper of mine which provides full quantitative proofs of the regularity results.
URL:https://www.math.ens.psl.eu/evenement/expose-du-17-janvier/
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CATEGORIES:Séminaire Analyse non linéaire et EDP
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SUMMARY:Un petit aperçu mathématique pour écoulements compressibles à faible régularité
DESCRIPTION:Lors de cet exposé\, nous essaierons de faire le point sur des résultats mathématiques connus autour de fluides compressibles dans un cadre à faible régularité. Nous essaierons de parcourir un large spectre de systèmes issus de problématiques concrètes où lois de pression et tenseur des contraintes sont par exemple au centre des débats.
URL:https://www.math.ens.psl.eu/evenement/expose-du-6-decembre/
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SUMMARY:Contrôle des fluides incompressibles
DESCRIPTION:J’évoquerai la question de la contrôlabilité des équations de la mécanique des fluides incompressibles\, notamment des équations d’Euler et de Navier-Stokes. Cette question consiste essentiellement à prouver la possibilité de modifier la dynamique du fluide\, selon un objectif prescrit\, par une action à distance. Une attention particulière sera portée aux rôles des nonlinéarités et des comportements multi-échelles\, ainsi qu’à l’évaluation du coût du contrôle. Nous verrons les difficultés propres aux points de vue eulérien et lagrangien\, celles associées aux couches limites\, et comment des outils comme l’analyse micro-locale ou les théorèmes de type Cauchy-Kowaleskaya peuvent intervenir.
URL:https://www.math.ens.psl.eu/evenement/expose-de-franck-sueur/
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SUMMARY:Point vortex pour les équations des lacs
DESCRIPTION:Durant la première partie\, je parlerai des tourbillons concentrés pour les équations d’Euler 2D. J’exposerai les arguments principaux pour montrer la persistance de la concentration vers des points vérifiant le système des points vortex. Je finirai cette première partie par un calcul formel illustrant la principale différence pour les filaments en dimension 3 : le flot par courbure binormale. Dans la seconde partie\, je présenterai les équations des lacs qui peuvent se voir comme une généralisation d’Euler 3D axisymétrique sans swirl. Je montrerai que les points vortex se déplacent selon une loi de type « courbure binormale ». Ce travail est en collaboration avec Lars Eric Hientzsch et Evelyne Miot.
URL:https://www.math.ens.psl.eu/evenement/expose-du-18-octobre/
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CATEGORIES:Séminaire Analyse non linéaire et EDP
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SUMMARY:Ginzburg-Landau: anciens et nouveaux résultats
DESCRIPTION:Cet exposé a pour but de donner un panorama de résultats sur les vortex dans le modèle de Ginzburg-Landau de la supraconductivité\, des années 90 à nos jours. L’exposé introductif présentera les outils principaux utilisés pour analyser ces vortex.
URL:https://www.math.ens.psl.eu/evenement/expose-20-septembre/
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SUMMARY:Stability and predictability of discontinuous patterns in inviscid fluid mechanics
DESCRIPTION:The weak/strong uniqueness principle of Dafermos and Di Perna shows that Lipschitz solutions to Euler equations are stable and unique among weak entropic solutions. We provide generalizations of this principle for the stability or predictability of discontinuous patterns\, such as shocks for the compressible Euler or shear flows for the incompressible Euler. For this study\, we show that the notion of weak inviscid limit of Navier-Stokes solutions is better suited than the notion of weak solutions to Euler. Convex Integration shows that shear flows at the boundary for incompressible Euler are not unique among the weak solutions of Euler\, a phenomenon called layer separation. In this case\, we can show that the layer separation predicted by the Convex Integration is the largest separation possible.
URL:https://www.math.ens.psl.eu/evenement/expose-dalexis-vasseur/
LOCATION:ENS (amphithéâtre Galois sous la bibliothèque de mathématique)
CATEGORIES:Séminaire Analyse non linéaire et EDP
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SUMMARY:L'équation de Schrödinger non linéaire en présence d'un potentiel bruit blanc
DESCRIPTION:Dans la première partie\, nous allons rappeler la théorie de Cauchy pour l’équation de Schrödinger non linéaire sur des surfaces compactes développée par Bourgain et par Burq\, Gérard et l’orateur. Ensuite\, nous allons essayer de comprendre si cette théorie survie en présence d’un potentiel aléatoire de type bruit blanc. En utilisant une approche due à Hairer-Labbé\, nous allons montrer que si la donnée initiale est bien préparée alors nous avons la régularité globale pour une non linéarité polynomiale arbitraire. Il s’agit d’un travail avec Nicola Visciglia.
URL:https://www.math.ens.psl.eu/evenement/expose-de-nikolay-tzvetkov/
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CATEGORIES:Séminaire Analyse non linéaire et EDP
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SUMMARY:Formes normales et EDPs hamiltoniennes
DESCRIPTION:Les solutions de petites amplitudes d’équations aux dérivées partielle nonlinéaires dispersives sur un compact sans bord (par exemple un tore ou une sphère) sont soumises à deux effets concurrents : \n\nla dispersion des ondes\, conséquence du fait que les ondes planes solutions de la partie linéaire de l’équation voyagent avec des vitesses différentes (les ondes s’éloignent les unes des autres)\nla compacité du domaine qui incite à l’interaction via la non-linéarité (les ondes sont amenées à se revoir souvent !).\n\nQui gagne ? La dynamique en temps long va-t-elle vers la stabilité ou la turbulence ? Nous essaierons de répondre (partiellement) à ces questions à travers des méthodes de formes normales dans le cadre des EDPs Hamiltoniennes. \nDans la première partie\, je donnerai un aperçu du théorème de forme normale de Birkhoff en dimension finie qui permet d’établir\, sous certaines conditions de non résonances\, la stabilité sur des temps longs d’un point d’équilibre elliptique. J’expliquerai comment le passage d’un tel résultat en dimension infinie conduit à des résultats de stabilité pour des EDPs hamiltoniennes\, en particulier l’équation de Schrödinger non linéaire. \nDans la seconde partie\, je donnerai les résultats récents obtenus avec Joackim Bernier concernant la stabilité en faible régularité.
URL:https://www.math.ens.psl.eu/evenement/formes-normales-et-edps-hamiltoniennes/
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SUMMARY:Euler equations via sparseness and local approximations
DESCRIPTION:We study Euler solutions via novel function spaces constructed using sparseness and local approximations. In particular\, we incorporate Tadmor’s scale of regularity spaces (2001) to our framework and applying interpolation/extrapolation methods we give a new approach to convergence of approximate Euler solutions. This is joint work with Mario Milman.
URL:https://www.math.ens.psl.eu/evenement/euler-equations-via-sparseness-and-local-approximations/
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SUMMARY:Exposé de Frank Sueur : reporté !
DESCRIPTION:L’exposé est reporté à l’année prochaine.
URL:https://www.math.ens.psl.eu/evenement/a-preciser-12/
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SUMMARY:Zoologie des équations de Vlasov
DESCRIPTION:On discutera le caractère localement bien posé pour une classe d’équations de Vlasov dégénérées (présentant une perte de dérivée au niveau du terme de force).\nOn étudiera en particulier l’équation de Vlasov-Benney pour des données initiales vérifiant une condition de stabilité optimale.
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