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SUMMARY:Rémi Guénet : Cycles limites et géométrie o-minimale
DESCRIPTION:Les cycles limites d’un champ de vecteurs planaire sont les lieux auxquels le champ de vecteur change de comportement topologique. Ainsi\, le nombre de ces cycles limites peut être vu comme une mesure de la complexité topologique du champ de vecteurs en question. Étant donné une famille de champs de vecteurs\, on peut alors se demander s’il existe une borne uniforme pour le nombre de leurs cycles limites. En particulier\, la seconde partie du 16ème problème de Hilbert demande de traiter le cas des familles de champs de vecteurs polynomiaux de degré borné. Dans cet exposé\, on s’intéressera au lien entre ce type de questions et la géométrie o-minimale\, qui peut être pensé comme une généralisation de la géométrie analytique réelle.
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SUMMARY:Alexis Metz-Donnadieu : Probabilité et combinatoire du profil vertical des arbres étiquetés
DESCRIPTION:Les modèles d’arbres plans étiquetés (c’est à dire des arbres plans finis dont les sommets portent des étiquettes entières) et plus généralement les modèles de processus de branchement spatiaux sont aujourd’hui devenus incontournables en probabilité et en combinatoire (marche aléatoires branchantes\, superprocessus\, modèles de particules…). Un enjeu important pour étudier ces arbres étiquetés est de comprendre le profil vertical qui correspond au processus comptant pour chaque entier k le nombre de sommets d’étiquette k. Il correspond grosso modo à la mesure d’occupation du processus branchant encodé par l’arbre. Nous nous proposons de faire un petit tour d’horizon non exhaustif de résultats anciens et nouveaux concernant les propriétés probabilistes du profil vertical (limite d’échelle\, propriété de Markov\, dénombrement…).
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