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SUMMARY:Autour de la localisation des racines d’un polynôme après dérivation
DESCRIPTION:Dans cet exposé nous étudierons plusieurs questions autour du problème de la localisation des racines d’un polynôme dérivé par rapport aux racines de ce polynôme. \n\n\n\nTout d’abord nous rappellerons quelques résultats déterministes classiques autour de ce problème. Puis nous étudierons ce problème sous un angle probabiliste en nous demandant où se situent les racines du polynôme dérivé lorsque les racines du polynôme initial ont été tirées de manière indépendante et identiquement distribuée dans le plan complexe. Pour finir\, nous étudierons ce problème sous un angle d’analyse en expliquant comment ce dernier peut mener à l’étude d’une équation aux dérivées partielles non linéaire et non locale obtenue après passage à une limite champ moyen \n\n\n\n.
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SUMMARY:Équations diophantiennes et cohomologie galoisienne
DESCRIPTION:Le point de départ de cet exposé est d’expliquer comment classifier les surcorps non-commutatifs d’un corps K (par exemple\, R a un surcorps non-commutatif donné par le corps des quaternions H\, qui est de dimension 4 sur R). \n\n\n\nL’idée clé derrière cette classification est la notion de « descente galoisienne » : informellement\, elle consiste à dire que les objets définis sur un corps K viennent d’objets définis sur la clôture algébrique de K qui sont munis d’une action d’un certain groupe qu’on appelle le groupe de Galois absolu de K. \n\n\n\nLa classification de tels objets fait naturellement intervenir des groupes de cohomologie associés à ce groupe de Galois absolu\, appelés groupes de cohomologie galoisienne. Ces groupes sont intimement liés aux propriétés diophantiennes du corps K : si certaines équations homogènes sur K avec beaucoup de variables ont des solutions\, alors ces groupes de cohomologie ont tendance à s’annuler à partir d’un certain degré. \n\n\n\nPour rendre compte de ce phénomène\, Lang a introduit la notion de corps C_i et a conjecturé que les corps C_i avaient une cohomologie triviale en degré > i. Cette conjecture est ouverte pour i>2 et on sait que sa réciproque est fausse. Si le temps le permet\, je parlerai des conjectures de Kato et Kuzumaki qui raffinent la propriété C_i pour tenter d’avoir une condition diophantienne qui caractérise l’annulation de la cohomologie du corps en degré >i.
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