In this talk, I will discuss how the question of uniqueness of solutions to the PDEs arising in hyperbolic conservation laws can be converted to a question of rank-one convex geometry.
On s’intéresse à la géométrie d’une surface S hyperbolique de genre g avec n pointes, uniformisée par le disque de Poincaré. La surface est munie d’une métrique hyperbolique à courbure négative, et on peut chercher à étudier les longueurs l(γ) des géodésiques fermées γ. On a alors un analogue à la fonction zêta de Riemann, appelée fonction zêta de Selberg, définie à partir des longueurs des géodésiques, qui est holomorphe sur un demi-plan {s|ℜ(s) > k}. Elle peut s’étendre analytiquement à tout le plan complexe et satisfait une équation fonctionnelle […]
On s’intéresse à la géométrie d’une surface S hyperbolique de genre g avec n pointes, uniformisée par le disque de Poincaré. La surface est munie d’une métrique hyperbolique à courbure négative, et on peut chercher à étudier les longueurs l(γ) des géodésiques fermées γ. On a alors un analogue à la fonction zêta de Riemann, appelée fonction zêta de Selberg, définie à partir des longueurs des géodésiques, qui est holomorphe sur un demi-plan {s|ℜ(s) > k}. Elle peut s’étendre analytiquement à tout le plan complexe et satisfait une équation fonctionnelle […]
La théorie des modules projectifs est souvent abordée sous l'angle de l'algèbre homologique, pour les buts de laquelle la connaissance de quelques propriétés formelles de ces objets est souvent suffisante pour travailler. Pourtant, ils ont également une interprétation géométrique : un module projectif (de type fini) sur un anneau consiste essentiellement en la donnée d'un fibré vectoriel sur l'objet géométrique que la géométrie algébrique associe à cet anneau. De ce point de vue, plusieurs questions naturelles, inspirées par la topologie, se manifestent : à quelle condition un module projectif a-t-il […]
Le modèle logit est un modèle relativement standard en statistiques, qui permet d’estimer le rôle que jouent des caractéristiques observables dans la réalisation d’une variable binaire (achat de biens, emploi/chômage …). Une variante de ce modèle intègre des effets fixes individuels, modélisant une propension individuelle aléatoire, plus ou moins forte, pour l’une ou l’autre des options possibles du choix binaire. En présence des ces effets fixes individuels, l’effet moyen d’une variable sur la réalisation de la variable d’intérêt binaire ne peut plus être parfaitement estimé. Dans cette présentation, nous verrons […]
Les cycles limites d'un champ de vecteurs planaire sont les lieux auxquels le champ de vecteur change de comportement topologique. Ainsi, le nombre de ces cycles limites peut être vu comme une mesure de la complexité topologique du champ de vecteurs en question. Étant donné une famille de champs de vecteurs, on peut alors se demander s'il existe une borne uniforme pour le nombre de leurs cycles limites. En particulier, la seconde partie du 16ème problème de Hilbert demande de traiter le cas des familles de champs de vecteurs polynomiaux […]
Les modèles d’arbres plans étiquetés (c’est à dire des arbres plans finis dont les sommets portent des étiquettes entières) et plus généralement les modèles de processus de branchement spatiaux sont aujourd’hui devenus incontournables en probabilité et en combinatoire (marche aléatoires branchantes, superprocessus, modèles de particules…). Un enjeu important pour étudier ces arbres étiquetés est de comprendre le profil vertical qui correspond au processus comptant pour chaque entier k le nombre de sommets d’étiquette k. Il correspond grosso modo à la mesure d’occupation du processus branchant encodé par l’arbre. Nous nous […]
En 2000, Mikhail Khovanov a initié ce que l’on appelle parfois la seconde révolution dans l’étude des invariants de nœuds, la première étant l’introduction du polynôme de Jones à la fin du dix-huitième siècle. Le but de cet exposé est d’introduire la théorie des nœuds : ce que signifie être un invariant de nœuds, pourquoi ces objets sont importants, et comment on peut les construire. Nous expliquerons ensuite le principe de la catégorification d’un invariant, en prenant comme exemple l’homologie de Khovanov, qui raffine le polynôme de Jones. Si le temps […]
