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SUMMARY:Owen Sabatin. Fonction zêta de Selberg et théorie spectrale du laplacien
DESCRIPTION:On s’intéresse à la géométrie d’une surface S hyperbolique de genre g avec n pointes\, uniformisée par le disque de Poincaré. La surface est munie d’une métrique hyperbolique à courbure négative\, et on peut chercher à étudier les longueurs l(γ) des géodésiques fermées γ. On a alors un analogue à la fonction zêta de Riemann\, appelée fonction zêta de Selberg\, définie à partir des longueurs des géodésiques\, qui est holomorphe sur un demi-plan {s|ℜ(s) > k}. Elle peut s’étendre analytiquement à tout le plan complexe et satisfait une équation fonctionnelle similaire à celle de Riemann. La fonction de Selberg est reliée à la théorie spectrale du Laplacien hyperbolique de S. On s’intéressera au comportement de cette fonction lorsque que l’on déforme S en tant que surface de Riemann. Lorsque la déformation dégénère\, i.e. lorsque que l’on créer un ou plusieurs points ordinaires doubles\, le comportement spectral du Laplacien de S pour les petites valeur propres peut alors être relié à la combinatoire de la dégénérescence de S. L’étude de la valeur spécifique ζ′S (1) est assez singulière et intervient notamment en théorie des cordes\, en générale celle-ci n’est pas calculable. On peut en fait essayer de la calculer lorsque S est muni d’une structure arithmétique supplémentaire\, par exemple pour une courbe modulaire.
URL:https://www.math.ens.psl.eu/evenement/owen-sabatin-fonction-zeta-de-selberg-et-theorie-spectrale-du-laplacien/
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SUMMARY:Sam G.Krupa : Hyperbolic conservation laws and connections to geometry/algebra/computer-assisted proof
DESCRIPTION:In this talk\, I will discuss how the question of uniqueness of solutions to the PDEs arising in hyperbolic conservation laws can be converted to a question of rank-one convex geometry.
URL:https://www.math.ens.psl.eu/evenement/sam-g-krupa-hyperbolic-conservation-laws-and-connections-to-geometry-algebra-computer-assisted-proof/
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SUMMARY:Brune Massoulié : Systèmes de particules et fonctions de hauteur
DESCRIPTION:Les systèmes de particules en interaction sont des modèles pour des phénomènes physiques où des particules évoluent selon certaines règles\, en faisant un choix aléatoire à chaque pas de temps (il s’agit d’une chaîne de Markov). Dans certains cas\, le système converge vers un équilibre (appelé mesure invariante) en temps long\, et on appelle temps de mélange le temps nécessaire pour devenir « proche » de cet équilibre. Dans cet exposé\, nous étudierons certains systèmes de particules\, et une méthode pour majorer le temps de mélange\, qui consiste à construire un couplage avec la mesure invariante\, c’est-à-dire faire évoluer conjointement le système partant d’une condition initiale quelconque et le système partant de l’équilibre pour contrôler quand ils se rejoignent. Nous verrons en particulier comment des nouvelles représentations du système permettent de construire de tels couplages\, avec l’exemple des fonctions de hauteur.
URL:https://www.math.ens.psl.eu/evenement/brune-massoulie-systemes-de-particules-et-fonctions-de-hauteur/
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CATEGORIES:Colloquium doctorant
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SUMMARY:Aksel Bergfeldt : Analyse harmonique sur le groupe de Heisenberg
DESCRIPTION:The Heisenberg group is one of the most simple non-Abelian Lie groups. The Lie algebra components (vector fields) X\, Y\, Z satisfy [X\,Y] = Z. We recognise this relation from quantum mechanics\, where the position and momentum operators satisfy this relation\, or from signal processing\, where it is satisfied by the operations of translating in frequency and translating in time. I have studied the Schrödinger equation formulated on the Heisenberg group\, with the help of non-Abelian harmonic analysis. I will give some insight about how this differs from its Euclidean counterpart\, and about some of the key techniques and ideas.
URL:https://www.math.ens.psl.eu/evenement/aksel-bergfeldt-analyse-harmonique-sur-le-groupe-de-heisenberg/
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SUMMARY:Tony Salvi : Dynamique des systèmes quantiques à la limite semi-classique
DESCRIPTION:Dans cet exposé\, je montrerai comment la mécanique quantique est bien approximée par la physique classique lorsque la constante de Planck est considérée comme étant très petite\, c’est-à-dire à la limite semi-classique. En particulier\, nous passerons en revue les concepts de base de la mécanique quantique ainsi que quelques résultats mathématiques standards sur les limites semi-classiques et j’en donnerai des interprétations.
URL:https://www.math.ens.psl.eu/evenement/tony-salvi-dynamique-des-systemes-quantiques-a-la-limite-semi-classique/
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SUMMARY:Alexis Metz-Donnadieu : Une introduction à la géométrie brownienne
DESCRIPTION:Considérons une marche aléatoire (S_n)_n sur R dont les incréments sont des variables indépendantes de loi mu centrée\, de variance finie. Indépendamment du choix de mu\, les trajectoires de S convergent systématiquement lorsqu’on les renormalise vers la même trajectoire aléatoire : le mouvement brownien (c’est l’objet du fameux théorème de Donsker). En ce sens\, le mouvement brownien est donc une limite d’échelle universelle d’une très large classe de modèles discrets de trajectoires aléatoires. De manière remarquable\, un phénomène analogue existe pour d’autres classes de modèles discrets. Par exemple\, de nombreux arbres plans aléatoires convergent après renormalisation (dans un sens que l’on précisera) vers le même arbre aléatoire « continu »: l’arbre brownien. \nLa géométrie brownienne est le domaine des probabilités étudiant ces limites d’échelles « universelles » de modèles géométriques aléatoires discrets. Notre objectif dans cet exposé est de donner une introduction accessible à ce champ d’étude. Nous y présenterons en particulier deux objets emblématiques de ce domaine : l’arbre brownien et les surfaces browniennes. Ce sont deux modèles d’espaces métriques aléatoires\, respectivement limites de modèles d’arbres plans aléatoires et de graphes planaires aléatoires.
URL:https://www.math.ens.psl.eu/evenement/alexis-metz-donnadieu-une-introduction-a-la-geometrie-brownienne/
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SUMMARY:Thomas Serafini : Mondromie et équations différentielles
DESCRIPTION:La monodromie d’une famille d’espaces topologique est un objet qui donne des informations sur la déformation des fibres de la famille à homotopie près. J’expliquerai comment elle est\, de manière relativement surprenante\, reliée de près aux équations différentielles linéaires homogènes à coefficients holomorphes.
URL:https://www.math.ens.psl.eu/evenement/thomas-serafini-mondromie-et-equations-differentielles/
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SUMMARY:Paul Wang : Théorie catégorique des systèmes
DESCRIPTION:Qu’est-ce qu’un système ? Dans quelle mesure est-il possible d’étudier un système en le décomposant en sous-systèmes ? La théorie catégorique des systèmes\, que j’illustrerai (sans utiliser de notions techniques !) avec l’exemple des systèmes déterministes à temps discret\, vise à fournir des réponses à ces questions.
URL:https://www.math.ens.psl.eu/evenement/paul-wang-theorie-categorique-des-systemes/
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SUMMARY:Un exemple de turbulence faible dans l'équation de Schrödinger
DESCRIPTION:Dans cet exposé\, j’introduirai une EDP bien connue\, l’équation de Schrödinger en présence d’un potentiel $$i \partial_t u = -\Delta u +V(t) u$$ où $\Delta$ est le laplacien usuel\, $V(t)$ est un potentiel réel lisse en temps et en espace et le domaine est le tore 2D. J’expliquerai ensuite comment cette équation permet d’exhiber un exemple élémentaire du phénomène de \textit{turbulence faible}\, à savoir l’existence de solutions lisses dont les normes $H^s\,\ s>0$ explosent à l’infini\, bien que toutes les solutions soient globales et voient leur norme $L^2$ conservée. J’en profiterai pour revenir sur l’importance du phénomène et la difficulté particulière d’en donner des illustrations intéressantes. Ce phénomène résulte d’ordinaire d’interactions non-linéaires entre modes de Fourier\,ainsi je montrerai comment j’adapte des méthodes issues des EDP non-linéaires afin de produire une \textit{cascade d’énergie vers les hautes fréquences} dans un contexte linéaire.
URL:https://www.math.ens.psl.eu/evenement/un-exemple-de-turbulence-faible-dans-lequation-de-schrodinger/
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SUMMARY:Méthodes de continuité pour des systèmes champ-moyen : limites et fluctuations
DESCRIPTION:Les systèmes de particules en interaction sont utilisés pour modéliser de nombreux phénomènes\, allant de la physique statistique à la macro-économie. Pour des systèmes de particules en interaction champ-moyen\, la limite d’échelle est connue depuis Boltzmann sous le nom de « propagation du chaos ».Pour de tels systèmes à coefficients réguliers\, je présenterai une méthode particulièrement simple permettant de passer à la limite. Cette méthode (qui remonte à Tanaka\, 1984) permet une représentation intuitive de ces systèmes en grande dimension\, qui repose sur une analogie avec les équations différentielles ordinaires. Elle permet également d’accéder aux fluctuations autour de la limite\, qu’elles soient de faible amplitude (théorème central limite) ou arbitrairement grandes (grandes déviations).
URL:https://www.math.ens.psl.eu/evenement/methodes-de-continuite-pour-des-systemes-champ-moyen-limites-et-fluctuations/
CATEGORIES:Colloquium doctorant
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