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SUMMARY:Evolution  adaptive: un  point de vue populationnel
DESCRIPTION:Les systèmes vivants sont caractérisés par leur variabilité qui conduit à une constante évolution. Cela peut s’expliquer\, dans une vision très simplifiée\, par trois ingrédients:  (i) L’environnement fournit des resources partagées par tous les individus\, (ii) un ‘trait physiologique’ caractérise l’adaptation  des individus au milieu c’est-à-dire la capacité à utiliser un certain niveau de ressource\,(iii) des mutations permettent à de nouveaux types d’individus d’apparaitre\, peut-être mieux adaptés\, et qui vont ainsi se développer plus vite et changer l’environnement…etc \nPlusieurs théories mathématiques ont été proposées pour décrire la dynamique engendrée par l’interaction entre un environnement qui effectue une sélection des ‘traits’ et les mutations. Ces théories peuvent être de nature probabiliste au niveau des individus\, faire appel aux systèmes dynamiques ou à la  théorie des jeux en considérant les traits comme des stratégies. Du point de vue populationnel\, on représente la dynamique de la population grâce à des équations intégro-différentielles ou des équations aux dérivées partielles nonlocales. \nNous avons développé une approche asymptotique pour décrire l’évolution de la population (et de la quantifier) en supposant les mutations ‘petites’ et l’échelle de temps longue. Ceci fait apparaître un objet mathématique nouveau: l’équations de Hamilton-Jacobi sous contrainte.  \nLectures conseillées : \nB. Perthame\, Transport equations arising in biology\, Lecture Note’. Birkhauser (2007). \nG. Raoul. Thèse\, ENS Cachan\, 2010.   http://www.damtp.cam.ac.uk/user/gr322/
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SUMMARY:Fonctions itérées\, processus de croissance et phénomènes oscillatoires
DESCRIPTION:  \nSi on considère par exemple f(x)=1/4 +3x^2/4\, il est facile de voir que six>1 alors f_n(x)=f(f(…(f(x)))) forme une suite monotone croissante vers $+infty$ à vitesse super-exponentielle. Ce qui est moins évident est le fait que cette croissance cache un phénomène périodique surprenant\, mis en évidence (ou\, plutôt\, conjecturé) par T. Harris dans son travail fondamental sur les arbres de Galton-Watson [H].  Ces oscillations sont très petites : on peut les observer assez aisément avec les ordinateurs dont nous disposons aujourd’hui mais une compréhension mathématique satisfaisante manque.   Le même phénomène a fait surface plus tard\, et parfois de façon indépendante\,  dans plusieurs domaines des mathématiques.Les physiciens ont découvert (ou redécouvert) le même phénomène dans une variétéde contextes\, notamment  en essayant de trouver des modèles pour lesquels la transformation de renormalisation  pouvait se faire de façon explicite. \nLe but de mon exposé est de présenter ce phénomène pourle cas  de Galton-Watson et  pour un modèle hiérarchique de la mécanique statistique\,et de montrer le lien directe avec  à la géométrie de l’ensemble de Julia de $f$ (ce lien a été conjecturé  en physique [DIL]). \nSuggestions de lecture :La phénoménologie extrêmement vaste des ensembles de Julia rend la littérature difficile à aborder : une introduction assez élémentaire est dans la partie III de [D].Pour les arbres de Galton-Watson :fr.wikipedia.org/wiki/Processus_de_Galton-Watson \nPour le modèle hiérarchique de l’exposé il suffit de lire la page 1201 de \nwww.lps.ens.fr/~derrida/PAPIERS/1992/wetting.pdf \n[D] R. L. Devaney\, An introduction to chaotic dynamical systems\, Second edition\, Westview Press (2003). \n[DIL] B. Derrida\, C. Itzykson and J. M. Luck\, Oscillatory critical amplitudes in hierarchical models\, Commun. Math. Phys. 94 (1984)\, 115-132. \n[H] T. E. Harris\, Branching processes\, Ann. Math. Statist. 41 (1948)\, 474-494.
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