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SUMMARY:Irrationalité et transcendance
DESCRIPTION:Un nombre complexe est dit transcendent s’il ne vérifie aucune équation polynomiale (non triviale) à coefficients rationnels. Tandis que “pratiquement tous” les nombres complexes sont transcendants\, il est souvent difficile de décider si un certain nombre est transcendant. Pire\, c’est déjà non trivial d’en donner un seul exemple explicite ! Ce n’est qu’au XIXème siècle que les résultats arrivent : Liouville (1844) montre que le réel\n\[\n\sum_{n = 1}^\infty 10^{-n!} = 0.110001000000000000000001\dots\n\]\nest transcendant\, Hermite (1873) que $e$ est transcendant\, et Lindemann (1882) qu’étant donné un nombre complexe non nul $z$\, au plus un parmi les nombres $z$ et $e^z$ est algébrique–en particulier\, $\pi$ est transcendant\, ce qui clot le problème de la quadrature du cercle. \nDans cet exposé\, je passerai en revue ces résultats en en montrant quelques uns\, et je présenterai plein d’autres nombres qu’on voudrait savoir être transcendants\, en essayant d’expliquer pourquoi.
URL:https://www.math.ens.psl.eu/evenement/irrationalite-et-transcendance/
LOCATION:ENS (amphithéâtre Galois sous la bibliothèque de mathématique)
CATEGORIES:ANNÉE 2020-2021,Archives Séminaire « Des mathématiques »,Séminaire Des mathématiques
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