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SUMMARY:Transition vitreuse et couches limites
DESCRIPTION:Nous présenterons les fluides vitreux mous et quelques caractéristiques comme transition vitreuse et vieillissement. Nous expliquerons comment ces phénomènes peuvent être apparentés a des couches limites mathématiques spatiales ou temporelles sur un modèle proposé  en physique.
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SUMMARY:Apprentissage statistique pour la médecine de précision
DESCRIPTION:Les technologies modernes de génomique permettent de caractériser chaque échantillon biologique au niveau moléculaire\, générant de grandes quantités de données. L’analyse statistique de ces données peut permettre de trouver des corrélations entre des caractéristiques biologiques des patients et\, par exemple\, la réponse à certains traitements\, ouvrant la voie à la médecine dite « de précision » qui optimiserait les choix thérapeutiques en fonction du génome et des particularités de chaque individu. La détection de corrélations prédictives pose cependant des problèmes mathématiques et informatiques\, puisqu’on a affaire à des données de très grandes dimensions\, avec des structures particulières\, et à un nombre souvent restreint d’échantillon pour l’inférence. Je présenterai certaines techniques que nous développons\, permettant de formuler le problème d’apprentissage statistique comme un problème d’optimisation intégrant des connaissances biologiques sous forme de contraintes\, et illustrerai leur application dans le cadre de l’étude de cancers.
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SUMMARY:Le flot géodésique
DESCRIPTION:Le flot géodésique\, sur une surface de l’espace par exemple\, c’est le mouvement d’une particule seulement assujettie à glisser sur la surface. L’étude du flot géodésique\, qui relève de la géométrie\, à donné ses plus belles pages à la théorie des systèmes dynamiques. Ça dure depuis un siècle\, et ça continue.
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SUMMARY:Mesure de Malher des polynômes à deux variables et théorie des noeuds
DESCRIPTION:La mesure de Mahler d’un polynôme est sa moyenne géométrique sur le cercle unité. Cette quantité intervient naturellement dans des problèmes asymptotiques en théorie des nombres et en topologie. A partir de deux variables elle est très difficile à calculer\, cependant j’expliquerai que le calcul est possible dans certains cas où le polynôme est associé à un noeud\, c’est à dire une courbe fermée plongée dans R^3. Avec un peu de chance\, cette mesure devient une quantité géométrique: le volume hyperbolique du noeud. 
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SUMMARY:Intelligence artificielle et raisonnement inductif : de la théorie de l'information aux réseaux de neurones
DESCRIPTION:Les problèmes de raisonnement inductif ou d’extrapolation comme deviner la suite d’une série de nombres\, ou plus généralement\, comprendre la structure cachée dans des observations\, sont fondamentaux si l’on veutun jour construire une intelligence artificielle. On a parfois l’impression que ces problèmes ne sont pas mathématiquement bien définis. Or il existe une théorie mathématique rigoureuse du raisonnement inductif et de l’extrapolation\, basée sur la théorie de l’information. Cettethéorie est très élégante\, mais difficile à appliquer.En pratique aujourd’hui\, ce sont les réseaux de neurones qui donnent les meilleurs résultats sur toute une série de problèmes concrets d’induction et d’apprentissage (vision\, reconnaissance de la parole\, récemment le jeude Go ou les voitures sans pilote…) Je ferai le point sur quelques-uns des principes mathématiques sous-jacents et sur leur lien avec la théorie de l’information. 
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SUMMARY:Le groupe des normes d'une extension finie de Q
DESCRIPTION:Soit K un sous-corps de C\, que l’on suppose de dimension finie sur Q. La norme N(x) d’un élément de K est définie comme le déterminant de la multiplication par x dans le Q-espace vectoriel K. On s’intéresse dans cet exposé au sous-groupe N(K*) du groupe multiplicatif Q*. On expliquera comment dans certaines situations on peut détecter si un élément de Q* appartient à N(K*). On verra aussi que le quotient Q*/N(K*) est toujours infini\, mais que la preuve de ce résultat nécessite des outils sophistiqués aussi bien de théorie des nombres que de théorie des groupes.
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SUMMARY:Calcul de plus courts chemins: des outils arithmétiques aux applications à l'imagerie médicale
DESCRIPTION:Le fast marching est un algorithme efficace pour la résolution de l’équation eikonale\, qui permet de calculer le plus court chemin entre deux points d’un domaine de R^d. Ses applications sont nombreuses\, et vont de la planification de mouvement à la segmentation d’images médicales. L’unité de longueur\, pour la mesure du chemin\, peut varier dans le domaine. Motivés par certaines applications\, nous généralisons l’algorithme au cas où l’unité de longueur dépend également de la direction\, voire de l’orientation du chemin. Un conflit apparait entre cette géométrie anisotrope et la grille cartésienne utilisée pour la discrétisation. Son étude fait intervenir des outils de nature arithmétique\, élégants et peu communs en analyse des EDP\, allant de la classification des réseaux euclidiens à l’arbre de Stern-Brocot (qui répartit les nombres rationnels aux noeuds d’un arbre binaire complet infini).
URL:https://www.math.ens.psl.eu/evenement/calcul-de-plus-courts-chemins-des-outils-arithmetiques-aux-applications-a-limagerie-medicale/
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SUMMARY:Flots de gradient\, EDP et transport optimal
DESCRIPTION:J’expliquerai d’abord comment discrétiser l’équation ordinaire x'(t)=-DF(x(t)) (dite flot de gradient) en exploitant sa structure gradient\, et comment cela peut permettre d’étudier cette équation dans le cas où x(t) vit dans un espace métrique (et pas dans R^n) et/ou F n’est pas différentiable (ou sa différentiabilité n’a pas de sens). Ensuite\, j’analyserai le cas d’un espace métrique particulier\, l’espace des mesures de probabilité sur un domaine donné\, muni de la distance induite par le transport optimal. Les équations d’évolutions dans cet espace deviennent des EDP sur une densité dépendant de x et d t\, et plusieurs équations plus ou moins connues (dont l’équation de la chaleur) peuvent s’écrire comme des flots de gradient.
URL:https://www.math.ens.psl.eu/evenement/flots-de-gradient-edp-et-transport-optimal/
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SUMMARY:Transformations\, degrés et itérations
DESCRIPTION:Lorsque l’on compose deux polynômes d’une variable\, le degré du polynôme obtenu est égal au produit des degrés des deux polynômes initiaux. Considérons maintenant un problème qui fait intervenir plusieurs variables. On se donne une transformation f de l’espace affine de dimension n dans lui même qui est définie par des formules polynomiales. Par compositions successives\, nous obtenons une suite de transformations polynomiales : f\, f^2=f circ f\, f^3=f circ f circ f\, …\, f^k. Que dire du degré des formules qui définissent f^k lorsque k varie ? Nous verrons que derrière cette question simple se cachent des  systèmes dynamiques\,  de la théorie des groupes\, et de la géométrie algébrique. 
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SUMMARY:Tout est sous contrôle: les mathématiques optimisent le quotidien
DESCRIPTION:De façon empirique\, nous parvenons à faire beaucoup de choses avec plus ou moins d’efficacité et de réussite. Quand il s’agit de faire un créneau\, les conséquences peuvent parfois être risibles… Mais quand il s’agit de propulser une fusée ou de planifier des missions interplanétaires\, il vaut mieux ne pas rater son coup.La théorie du contrôle est une branche des mathématiques qui permet de contrôler\, d’optimiser et de guider des systèmes sur lesquels on a une action\, comme par exemple une voiture\, un robot\, une navette spatiale\, une réaction chimique\, une population de cellules en interactions\, un marché financier\, ou de manière générale un quelconque procédé que l’on tente de mener vers un certain état final désiré.Emmanuel Trélat donnera un aperçu des champs d’application de cette théorie à travers différents exemples\, parfois cocasses\, mais aussi historiques.Sur le plan mathématique\, la théorie du contrôle optimal généralise le calcul des variations\, et Emmanuel Trélat en développera les aspects saillants\, en montrant comment cette théorie\, combinée avec des aspects profonds de théorie des systèmes dynamiques et de géométrie différentielle\, permettent de concevoir des missions spatiales interplanétaires quasi-gratuites en termes de consommation.
URL:https://www.math.ens.psl.eu/evenement/tout-est-sous-controle-les-mathematiques-optimisent-le-quotidien/
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SUMMARY:Énumération de courbes réelles et complexes
DESCRIPTION:La géométrie énumérative est la branche des mathématiques dont l’objectif est de répondre à des questions du type: Combien de droites passent par 2 points dans le plan (facile)? Combien de coniques passent par 5 points dans le plan (facile)? Combien de cubiques avec un point double passent par 8 points dans le plan (moins facile)?Si l’on compte les courbes définies sur le corps C\, alors ce nombre de courbes ne dépend pas de la configuration de points choisie\, tout comme le nombre de racines complexes d’un polynôme en une variable à coefficients complexes est toujours égal à son degré. En revanche\, si l’on compte les courbes définies sur le corps R\, alors ce nombre dépend fortement des points choisis\, ce qui complique quelque peu le problème… Le but de cet exposé sera de fournir une introduction à la géométrie énumérative\, domaine qui a connu de grandes avancées ces dernières années.
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SUMMARY:La «sphère» de Poincaré
DESCRIPTION: La «sphère» de Poincaré est un espace à trois dimensions qui n’est pas une hypersphère (ou sphère de dimension 3) mais qui partage avec celle-ci beaucoup de propriétés «topologiques». C’est un objet fascinant. Certains physiciens pensent même qu’elle prêterait sa forme à l’univers 🙂 J’essaierai de vous en dévoiler quelques mystères. Il y aura beaucoup d’images et de films de Jos Leys. 
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SUMMARY:Théorèmes de points fixes et théorie KAM faible
DESCRIPTION: On commencera par évoquer quelques théorèmes de points fixes. Malgré leur simplicité\, ils s’avèrent très utiles dans des domaines modernes de la recherche mathématiques comme la théorie KAM faible. On expliquera leur utilité et quelques conséquences dans cette théorie.
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SUMMARY:Peut-on décider de l'irréductibilité d'un polynôme d'après la taille de ses coefficients?
DESCRIPTION: La réponse à cette question est négative si l’on utilise les notions naïves de coefficient et de taille. L’exposé consistera à expliquer comment construire des notions plus complexes qui permettent de donner une réponse positive. Le polygone de Newton est le personnage le plus important de cette histoire.
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SUMMARY:Le théorème de la baguette magique de Eskin-Mirzakhani-Mohammadi
DESCRIPTION: En utilisant un billard dans un plan avec des obstacles polygonaux périodiques comme exemple\, je vais essayer de raconter le contexte et le contenu de la récente avancée majeure dans la dynamique dans les espaces de modules.
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SUMMARY:A l'écoute du bruit. Le rôle des probabilités en imagerie.
DESCRIPTION: Les techniques d’imagerie classiques utilisent des ondes pour sonder un milieu inconnu. Ces ondes sont émises par des réseaux de sources et après propagation dans le milieu elles sont enregistrées par des réseaux de récepteurs. On peut mettre en place différentes modalités d’émission et réception d’ondes suivant les applications : contrôle non-destructif\, imagerie médicale (échographie ultrasonore\, etc)\, séismologie. Récemment\, la possibilité d’utiliser des sources incontrôlées de bruit ambiant au lieu de sources actives contrôlées a attiré l’attention des chercheurs\, en mathématiques pour des raisons théoriques profondes car l’idée qu’on puisse utiliser le bruit remettait en cause la distinction habituelle signal/bruit\, et en séismologie\, pour des raisons pratiques évidentes dues à la rareté des sources (les séismes)\, et l’impossibilité de les contrôler. Cet exposé a pour but de décrire comment l’idée d’exploiter le bruit ambiant pour des problèmes d’imagerie a pris forme\, en quoi les mathématiques et les probabilités en particulier sont utiles pour comprendre les mécanismes sous-jacents et les conditions sous lesquelles on peut effectivement extraire de l’information sur le milieu à partir des corrélations croisées de signaux émis par des sources de bruit.
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SUMMARY:Deux arbres et une racine carrée\, ou l'action du groupe de Galois sur les dessins d'enfant
DESCRIPTION: Étant donné un arbre plan dont les sommets sont coloriés en deux couleurs il existe un (presque) unique polynôme  P  tel que cet arbre soit l’antécédent par  P  du segment  [0\,1].  Les coeffcients de ce polynôme sont des nombres algébriques\, ce qui permet de définir une action du groupe de Galois de  Qbar/Q  sur les arbres. Nous parlerons de cette action\, de ses orbites et de ses invariants.
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SUMMARY:Mouvements de bactéries en bande organisée : modélisation et analyse multi-échelles
DESCRIPTION: Cet exposé abordera la formalisation mathématique de la notion d’auto-organisation en biologie à travers un problème ancien : la propagation d’ondes de concentration de bactéries Escherichia coli en milieu liquide [J. Adler\, Science 1966]. Je présenterai différents niveaux de modélisation au moyen d’équations aux dérivées partielles\, et les problèmes mathématiques associés. Je ferai l’esquisse de résultats mathématiques aux différentes échelles\, qui font appel à des théories mathématiques récentes et variées.
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SUMMARY:Gravité de Liouville 2d
DESCRIPTION:La gravité de Liouville 2d est une théorie continue des surfaces aléatoires introduite par le physicien Polyakov en 1981. Cette théorie peut être vue comme l’analogue bidimensionnel de l’intégrale de chemin (unidimensionnelle) de Feynman introduite dans le cadre de la mécanique quantique. Récemment cette théorie a connu un développement important dans le cadre de la théorie des probabilités et j’essaierai d’expliquer dans cet exposé les enjeux associés: lien conjecturel entre cette théorie et les grandes cartes planaires (gravité discrète)\, lien entre la théorie et l’uniformisation classique des surfaces de Riemann (limite semi-classique)\, etc.
URL:https://www.math.ens.psl.eu/evenement/gravite-de-liouville-2d/
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SUMMARY:Indépendance: tests et modèles pour comprendre la connectivité fonctionnelle en neuroscience
DESCRIPTION:En neuroscience\, une des questions fondamentales est de comprendre dans quelle mesure les neurones se comportent de manière indépendante ou non. En effet\, dans cette dépendance et dans la forme de cette dépendance se cache potentiellement selon certains biologistes une partie du code neural\, c’est-à-dire la manière dont sont encodés les stimulus extérieurs\, la reconnaissance\, etc.  Je présenterai sur plusieurs exemples concrets quelles sont les méthodes statistiques possibles de détection/estimation de la dépendance et dans quelle mesure nous sommes proches de la notion biologique de connectivité fonctionnelle. Les modèles sous-jacents sont les processus ponctuels et les outils proviennent de l’inférence non-paramétrique (Lasso\, goodness-of-fit tests\, independance tests\, etc).
URL:https://www.math.ens.psl.eu/evenement/independance-tests-et-modeles-pour-comprendre-la-connectivite-fonctionnelle-en-neuroscience/
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SUMMARY:Approximations diophantiennes de constantes classiques
DESCRIPTION:Il existe de nombreuses constructions explicites de suites de nombres rationnels qui convergent plus ou moins vite vers l’une ou l’autre des constantes classiques en mathématiques\, telles que pi\, exp(1)\, les valeurs de la fonctions zêta de Riemann aux entiers\, la constante d’Euler ou les valeurs de la fonction Gamma d’Euler. Il s’avère beaucoup plus difficile de construire des suites d’approximations diophantiennes\, c’est-à-dire des suites de nombres rationnels qui permettent de démontrer l’irrationalité de ces nombres. Je présenterai quelques méthodes permettant de le faire pour certains d’entre eux.
URL:https://www.math.ens.psl.eu/evenement/approximations-diophantiennes-de-constantes-classiques/
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SUMMARY:De la topologie aux corps finis: autour des conjectures de Weil
DESCRIPTION:Les conjectures de Weil\, énoncées à la fin des années 1940\, constituèrent l’une des motivations principales pour le travail de Grothendieck en géométrie algébrique dans les années 1950 et 1960.  Ces conjectures relient des objets mathématiques vivant dans des mondes a priori très lointains: d’un côté\, les nombres de solutions d’équations polynomiales dans les corps finis\, et de l’autre\, les invariants topologiques associés à certains objets géométriques (courbes\, surfaces\, variétés topologiques). Cet exposé visera à introduire les concepts en jeu et à expliquer la formulation des conjectures de Weil.
URL:https://www.math.ens.psl.eu/evenement/de-la-topologie-aux-corps-finis-autour-des-conjectures-de-weil/
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SUMMARY:Théorie des systèmes dynamiques et stabilité dans des équations aux dérivées partielles
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URL:https://www.math.ens.psl.eu/evenement/theorie-des-systemes-dynamiques-et-stabilite-dans-des-equations-aux-derivees-partielles/
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SUMMARY:Théorie de Ramsey et dynamique topologique
DESCRIPTION:Le théorème de Ramsey affirme que si on colorie toutes les parties de taille k d’un ensemble dénombrable en un nombre fini de couleurs il y aura toujours un ensemble infini dont toutes les parties de taille k ont la même couleur. Ce théorème a inspiré toute une série de résultats du même genre — si on coupe un gros objet en un nombre fini de morceaux il y aura toujours une grosse partie où on trouve de la structure — qui ont trouvé des applications dans plusieurs domaines des mathématiques.Je vais expliquer quelques résultats de Ramsey classiques sur le groupe additif des entiers et une approche à les démontrer qui passe par la dynamique topologique — l’étude du comportement des auto-homéomorphismes d’espaces compacts.
URL:https://www.math.ens.psl.eu/evenement/theorie-de-ramsey-et-dynamique-topologique/
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SUMMARY:La combinatoire intégrable
DESCRIPTION:L’intégrabilité est une propriété des systèmes physiques avec un nombre suffisant de symétries\, qui implique l’existence de lois de conservation\, et permet souvent des solutions exactes et élégantes\, avec des relations profondes à l’algèbre et la géométrie. Les problèmes posés peuvent se reformuler en termes purement combinatoires ou probabilistes\, car liés à l’énumération pondérée de configurations explicites.Nous proposons ici une promenade dans le monde de cette combinatoire intégrable\, offrant un point de vue sur les multiples facettes de l’intégrabilité: énumération des triangulations Lorentziennes\, des cartes planaires\, des matrices à signe alternant et des partitions planes\, pour finir par les solutions du T-système dans le cadre des algèbres amassées.
URL:https://www.math.ens.psl.eu/evenement/la-combinatoire-integrable/
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SUMMARY:Compter des cartes planaires (colorées)
DESCRIPTION:On illustrera quelques principes et approches de combinatoire énumérative\, en se concentrant sur les objets classiques que sont les cartes planaires. On les rencontre aussi bien en informatique (géométrie algorithmique) qu’en mathématiques (probabilités ; algèbre) et en physique théorique (gravitation quantique).On verra passer de belles formules d’énumération\, des dévissages récursifs\, des bijections\, des séries formelles\, et quelques cartes aléatoires.
URL:https://www.math.ens.psl.eu/evenement/compter-des-cartes-planaires-colorees/
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SUMMARY:Estimations de résolvante: une promenade de l'analyse classique vers le contrôle des EDP
DESCRIPTION:Il est bien connu que pour un opérateur auto-adjoint $P$\, sur un Hilbert $H$\, la résolvante\, $(P-tau)^{-1}$ est bornée en norme sur $H$ par l’inverse de la distance du paramètre spectral $tau$ au spectre\, $d( tau\, sigma(P)) ^{-1} $. Cette estimation devient fausse dès que l’opérateur n’est plus auto-adjoint. L’objet de l’exposé sera de présenter quelques exemples naturels de tels opérateurs et de montrer comment des méthodes classiques d’analyse (estimations de propagation ou de Carleman en particulier) permettent de prouver des estimations de résolvantes pour de tels opérateurs. Enfin\, on montrera comment ces estimations peuvent être utilisées pour décrire le comportement asymptotique des semi-groupes d’évolution.
URL:https://www.math.ens.psl.eu/evenement/estimations-de-resolvante-une-promenade-de-lanalyse-classique-vers-le-controle-des-edp/
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SUMMARY:Un dictionnaire inattendu : formes quadratiques entières et codes correcteurs d'erreurs\, fonctions thêta et polynômes des poids
DESCRIPTION: Les codes linéaires correcteurs d’erreurs sont des outils mathématiques utilisés dans l’industrie numérique pour corriger les erreurs de transmission. À un code est naturellement associé un élément de Z[X\,Y]\, appelé polynôme des poids. À une forme quadratique entière est associée sa fonction thêta\, fonction spéciale définie sur le demi-plan de Poincaré. Si la forme quadratique est unimodulaire et paire\, sa fonction thêta est une forme modulaire.  Après avoir présenté les codes et leurs polynômes (il s’agit de mathématiques relativement récentes mais élémentaires)\, puis les formes quadratiques et leurs fonctions thêta (il s’agit de mathématiques au coeur de la tradition de la théorie des nombres — non élémentaires)\, on présentera de surprenantes analogies entre les deux mondes\, et quelques ponts pour passer de l’un de ces mondes à l’autre.
URL:https://www.math.ens.psl.eu/evenement/un-dictionnaire-inattendu-formes-quadratiques-entieres-et-codes-correcteurs-derreurs-fonctions-theta-et-polynomes-des-poids/
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SUMMARY:Le génie mathématique\, du théorème de quatre couleurs à la classification des groupes
DESCRIPTION:Il y a trente ans les ordinateurs faisaient irruption dans les mathématiques avec la célèbre preuve du théorème des quatre couleurs par Appel et Haken. Au départ limité au simple calcul\, leur rôle s’élargit maintenant à des raisonnements dont la complexité dépasse les capacités de la plupart des humains\, comme la preuve de la classification des groupes simples finis. Nous venons d’en formaliser la première étape importante\, le théorème de Feit-Thompson\, à l’aide d’un éventail de méthodes et techniques qui vont de la logique formelle au génie logiciel.
URL:https://www.math.ens.psl.eu/evenement/le-genie-mathematique-du-theoreme-de-quatre-couleurs-a-la-classification-des-groupes/
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SUMMARY:René Gateaux (1889-1914). Vie\, mort et trajectoire mathématique
DESCRIPTION:En octobre 1914\, le jeune mathématicien René Gateaux est tué à la tête d’une section de mitrailleuses en Artois. Il avait 25 ans et n’avait laissé que quelques esquisses de ce qui devait devenir sa thèse. Il eut cependant la chance posthume d’avoir été pendant sa brève vie scientifique proche de mathématiciens importants de son temps tels Jacques Hadamard et surtout Vito Volterra. Pour honorer sa mémoire\, ces derniers conseillèrent à Paul Lévy en 1919 de regarder de près ce que René Gateaux avait fait en analyse fonctionnelle. Ce fait devait constituer le début d’une période intense de création pour Paul Lévy\, passant de l’analyse aux probabilités dont il devint une des figures majeures dans les années 1930. Dans cette conférence\, je chercherai à présenter le contexte de ce moment mathématique étonnant et de mettre en perspective l’attachante figure de René Gateaux.Cet exposé est donné en ouverture de l’exposition Itinéraire d’une jeunesse engloutie à la bibliothèque de mathématiques et informatique.
URL:https://www.math.ens.psl.eu/evenement/rene-gateaux-1889-1914-vie-mort-et-trajectoire-mathematique/
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