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SUMMARY:Aspects mathématiques des théories de jauge
DESCRIPTION:Les théories de jauge forment le cadre dans lequel les physiciens théoriciens d’aujourd’hui parviennent à décrire et à prédire le comportement de la matière à l’échelle de l’infiniment petit. Ce que les physiciens observent dans le Large Hadron Collider (LHC\, Grand collisionneur de hadrons) par exemple\, permet entre autres de vérifier et d’affiner le Modèle Standard\, qui est une théorie de jauge particulièrement sophistiquée.Les théories de jauge ne sont pas des théories récentes : les premières ont commencé à être élaborées presque en même temps que la mécanique quantique\, dans les années 1920. Néanmoins\, malgré des décennies d’efforts et de progrès substantiels\, elles ne sont toujours pas rigoureusement fondées mathématiquement.Par exemple\, une des meilleures prédictions théoriques de toute la physique\, celle de la valeur du moment magnétique anomal de l’électron\, dont l’écart relatif à la valeur expérimentale est de l’ordre du milliardième\, est obtenue comme somme des quatre premiers termes d’une série divergente\, sans que cette troncature à l’ordre quatre soit réellement choisie par les physiciens\, puisque les quatre premiers termes de cette série sont en fait les seuls que l’on soit parvenu à calculer jusqu’à maintenant.La qualité prédictive inouïe des théories de jauge\, comparée à la grande complexité et au manque de rigueur de leur formulation actuelle\, laisse penser qu’elles n’ont pas encore trouvé le cadre naturel de leur expression mathématique\, comme l’est par exemple la géométrie symplectique pour la mécanique classique.Dans cet exposé de mathématiques\, je présenterai certains des objets qui constituent le paysage des théories de jauge : espaces fibrés\, connexions\, courbure\, transport parallèle\, et je montrerai comment\, dans certaines situations suffisamment simples\, les objets et les quantités considérés par les physiciens peuvent donner lieu à des constructions et à des énoncés mathématiques rigoureux.
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SUMMARY:Codes identifiants dans les graphes
DESCRIPTION:La notion de code identifiant a été introduite par Karpovsky et al. en 1998 afin de modéliser les problèmes de détection et localisation de pannes dans les réseaux multi-processeurs. On peut imaginer un code identifiant comme un ensemble de capteurs placés sur un graphe permettant de détecter et localiser un intrus se cachant sur un sommet\, l’idée étant de placer le moins de capteurs possibles pour réaliser cette tâche.Plus précisément\, un code identifiant C dans un graphe non-orienté est un ensemble couvrant (dominating set) qui permet de plus l’identification des sommets par la trace de leur voisinage sur C. Cette notion se généralise afin de permettre l’identification d’ensembles d’au plus k sommets à une distance r.Nous présenterons les codes identifiants ainsi des résultats s’y rapportant (taille minimale\, maximale\, complexité algorithmique)\, ainsi que quelques notions connexes\, comme la classe des graphes sans-jumeaux\, qui sont les graphes admettant des codes identifiants.
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SUMMARY:Matrices aléatoires
DESCRIPTION:Dans cet exposé\, on montrera comment des considérations deprobabilités et d’algèbre se confrontent dans l’étude des matricesaléatoires. On commencera par expliquer comment on détermine la loides valeurs propres et vecteurs propres d’une matrice dont descoefficients sont des variables aléatoires gaussiennes indépendantes.On verra alors que les valeurs propres d’une telle matrice peuventêtre comprises comme des particules soumises à deux forcesantinomiques : un potentiel qui les confine au voisinage de l’origineet  des interactions répulsives qui les poussent à s’écarter les unesdes autres. On fera alors tendre la dimension des matrices versl’infini et il apparaîtra que ces deux tendances peuvent s’équilibrer: l’histogramme de ces valeurs propres s’approche d’une forme limitequi est la densité de la loi dite du demi-cercle.
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SUMMARY:Une introduction à la topologie quantique
DESCRIPTION:La topologie quantique est une branche de la topologie en petite dimension née il y a 30 ans environs avec la découverte du polynôme de Jones\, probablement l’invariant de noeuds dans l’espace le plus fameux aujourd’hui. Les techniques et les idées qui sont à la base de cette théorie se situent au milieu de plusieurs sujet : la physique (par la théorie des champs)\, l’algèbre (par la théorie des représentations des groupes quantiques)\, la géométrie (par l’étude des espaces des représentations des groupes de surfaces) et bien évidemment la topologie. Le but de cet exposé est de donner une petite introduction à ce sujet en choisissant une approche élémentaire et combinatoire due à Louis Kauffman. Après avoir rappelé ce qu’est un noeud dans l’espace et quels sont les outils principaux qui permettent d’étudier ces objets on donnera une définition du polynôme de Jones (avec exemples) et de ses généralisations (polynômes de Jones coloriés). Cela nous permettra d’énoncer deux importantes conjectures ouvertes sur ces objets. Puis si le temps le permettra nous étendrons la définition des polynômes de Jones au cas des graphes et nous définirons les « réseaux de spin quantiques ; au dépit du nom décourageant\, nous verrons que ces objets admettent une définition élémentaire et nous motiverons leur étude par des questions classiques posées par les physiciens il y a désormais 50 ans.
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SUMMARY:Introduction à la correspondance de Langlands p-adique locale
DESCRIPTION:Soit K un corps. La correspondance de Langlands est une bijection entre deux types d’objets mathématiques : des représentations du groupe Gln(K) des matrices inversibles de dimension n à coefficients dans K et des représentations\, dites galoisiennes\, qui décrivent l’arithmétique du corps K. Dans cet exposé\, nous présentons la version p-adique de cette correspondance\, version qui n’existe que pour n=2 et K le corps des nombres p-adiques. De multiples stratégies sont développées pour traiter les autres cas. C’est l’objet du programme de Langlands p-adique.
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SUMMARY:Transport optimal\, de l'économie à la physique à la géométrie
DESCRIPTION:Transport optimal\, de l’économie à la physique à la géométrie
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SUMMARY:La musique des variétés hyperboliques arithmétiques
DESCRIPTION:Je commencerai par rappeler un vieux problème\, dit des boeufs et attribué à Archimède. Sa résolution\, essentiellement équivalente à celle de l’équation de Pell-Fermat\, conduit naturellement à la construction de certaines variétés (hyperboliques réelles) associées à des formes quadratiques. Après une brève introduction à la géométrie hyperbolique\, j’expliquerai en quoi ces variétés ont une musique particulière en détaillant en particulier un problème ouvert important : la conjecture de Selberg.
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SUMMARY:Autour du Théorème de Perron-Frobenius : Historique\, applications\, avec un détour dans le complexe
DESCRIPTION:Le célèbre théorème de Perron-Frobenius vient de fêter ses 100 ans. Des démonstrations (parfois simples) et des généralisations voient le jour régulièrement. Je vais sélectionner quelques éléments importants dans l’histoire de cette évolution\, à travers des exemples en mécaniques statistiques\, systèmes dynamiques et probabilités. Une des plus grandes contributions vient de G. Birkhoff qui introduisit en 1957 un principe de contraction uniforme pour des cônes (réels). Ceci a été ma source d’inspiration pour développer un principe de contraction uniforme pour des `cônes complexes’ et ainsi obtenir des théorèmes de type Perron-Frobenius pour les matrices complexes.
URL:https://www.math.ens.psl.eu/evenement/autour-du-theoreme-de-perron-frobenius-historique-applications-avec-un-detour-dans-le-complexe/
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SUMMARY:Pentes des réseaux euclidiens
DESCRIPTION:Un réseau euclidien est la donnée d’un espace vectoriel euclidien de dimension finie V et d’un sous-groupe Gamma de V\, constitué des points de V dont les coordonnées\, dans une certaine base de V\, sont des nombres entiers. Les réseaux euclidiens interviennent dans de nombreux domaines des mathématiques\, allant de la théorie des nombres à la géométrie riemannienne\, ainsi qu’en physique du solide\, en cryptographie\, etc… En dépit de la simplicité de leur définition et de leur ubiquité\, ces objets restent aujourd’hui bien mystérieux. Dans cet exposé\, on évoquera plusieurs des problèmes ouverts les concernants\, ainsi que les propriétés d’invariants remarquables des réseaux euclidiens\, leurs pentes\, introduites par U. Stuhler à la fin des années soixante-dix.
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SUMMARY:Equilibre\, optimisation et EDP dans la congestion du trafic
DESCRIPTION:Supposons que deux routes mènent d’une même ville à une autre\, que l’une soit une autoroute toute droite\, et l’autre un chemin campagnard plus long ; si tout le monde choisit la première\, elle sera bientôt congestionnée et donc moins efficace que l’autre ; au lendemain\, tout le monde changera d’avis et empruntera l’autre… et ça sera encore pire ! Y a-t-il un équilibre ? Est-ce que l’équilibre garantit le moindre temps de parcours pour tout le monde ?Je présenterai les ingrédients pour formaliser ce problème sur un réseau fini (avec plusieurs villes et plusieurs routes)\, en faisant intervenir de l’optimisation et de la théorie des jeux (simple)\, et je démontrerai que la condition d’équilibre est équivalente à une condition d’optimalité. Ensuite je donnerai des idées pour voir comment en faire un modèle continu\, avec une densité de voyageurs\, leurs points de départ et d’arrivée (non concentrés en un nombre fini de points)\, et le réseau étant remplacé par l’ensemble de toutes les courbes possibles dans un domaine donné. Ceci fera apparaître une équation aux dérivées partielles (EDP) régissant l’intensité de trafic à l’équilibre.
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SUMMARY:Battage de jeux de cartes et transitions de phases
DESCRIPTION:On se donne un jeu de 52 cartes. Chacun sait que si on mélange ce paquet suffisamment de fois\, l’ordre des cartes finira par être aléatoire (uniforme). Mais combien de fois faut-il vraiment mélanger le paquet ?Cette question simple nous mènera vers une théorie mathématique très riche\, qui mêle tout a la fois des probabilités\, de la théorie de la représentation\, ainsi que de l’analyse et de la géométrie. En particulier nous introduirons le phénomène de cutoff\, découvert par Aldous et Diaconis dans les années 80\, qui décrit une transition brutale entre une phase ou le système est loin d’être aléatoire et une phase ou le système est complètement aléatoire.
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DESCRIPTION:Titre à préciser
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SUMMARY:Matrices à signes alternants
DESCRIPTION:Matrices à signes alternants
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SUMMARY:The P vs NP problem : Internet security\, efficient computations and the limit of human knowledge
DESCRIPTION:The P vs NP problem : Internet security\, efficient computations and the limit of human knowledge
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SUMMARY:Algèbre extérieure\, algèbre symétrique et théorème de l'indice.
DESCRIPTION:Algèbre extérieure\, algèbre symétrique et théorème de l’indice.
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SUMMARY:Théorie du contrôle optimal et applications en aéronautique
DESCRIPTION:Théorie du contrôle optimal et applications en aéronautique
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DESCRIPTION:Déformations de structures
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SUMMARY:Le groupe libre
DESCRIPTION:Le groupe libre
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SUMMARY:Sur l'équation x^2-dy^2 =-1
DESCRIPTION:Sur l’équation x^2-dy^2 =-1
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SUMMARY:Les symétries du problème des N corps
DESCRIPTION:Bien que pouvant être réduit à une équation ¨x = ?U(x) fort peu impressionnante\, le probl`eme newtonien des N corps est d’une surprenante richesse et son étude est à l’origine de pans entiers des math´ematiques. Seules solutions explicites (et encore !)\, les mouvements homographiques\, dans lesquels la configuration des corps reste semblable à une configuration fixée (les tr`es remarquables configurations centrales)\, se ramènent au cas N = 2 ou\, ce qui est ´equivalent\, au Problème de Kepler de l’attraction newtonienne
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SUMMARY:Equations de Navier-Stokes
DESCRIPTION:Equations de Navier-Stokes
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SUMMARY:Grandes matrices aléatoires
DESCRIPTION:L’exposé présentera un petit panorama autour de l’asymptotique de matrices aléatoires dont la taille croît vers l’infini\, à la fois au niveau de la mesure spectrale et du comportement individuel des valeurs propres (valeurs propres extrêmes\, espacements…). Les théorèmes récents d’universalité au bord et à l’intérieur du spectre seront évoqués.
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SUMMARY:Difféomorphismes du cercle\, de Poincaré à aujourd'hui
DESCRIPTION:Difféomorphismes du cercle\, de Poincaré à aujourd’hui
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SUMMARY:The Ramanujan Delta function and Galois representations
DESCRIPTION:The Ramanujan Delta function and Galois representations
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SUMMARY:Analyse de l'algorithme de Metropolis
DESCRIPTION:Analyse de l’algorithme de Metropolis
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SUMMARY:Statistique des données de grandes dimensions : sparsité
DESCRIPTION:Statistique des données de grandes dimensions : sparsité
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SUMMARY:Soyons positifs !
DESCRIPTION:Après une brève présentation\, s’inspirant de la pensée de Dieudonné\, des différentes branches de la Logique mathématique\, nous insisterons sur la specificité de la Théorie des modèles.Puis\, pour ce qui est du contenu proprement mathématique de l’exposé\, nous montrerons combien il est avantageux de se passer de la négation pour exposer ses fondements\, en particulier pour le Théorème de compacité\, qui sera demontré.Cet exposé ne suppose aucune connaissance préalable en Logique.Référence : Itai Ben Yaacov et Bruno Poizat\, Fondements de la Logique positive\, the Journal of Symbolic Logic\, 2007 .Mots-clefs : limites inductives\, structures existentiellement closes\, morleyisation\, compacité de la Logique du premier ordre.
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