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SUMMARY:Manipulation d'images et seuils de détection
DESCRIPTION:Comment changer la largeur d’une image en transformant le moins possible son contenu ? Ce problème\, appelé retargeting dans la littérature scientifique\, est crucial pour de nombreuses applications d’imagerie. Je présenterai l’algorithme dit de « seam carving »\, simple et élégant\, et je montrerai comment il donne naissance à des questions mathématiques naturelles (pas encore résolues) en théorie de la percolation et en théorie de l’information. Une bonne partie de l’exposé sera consacré à illustrer la place parfois trompeuse des mathématiques dans l’ingénierie moderne\, et dans les startups en particulier.
URL:https://www.math.ens.psl.eu/evenement/manipulation-dimages-et-seuils-de-detection/
LOCATION:ENS — amphi Galois\, 45 rue d'Ulm\, Paris\, France
CATEGORIES:ANNÉE 2025-2026,Séminaire Des mathématiques
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SUMMARY:Computer-assisted mathematics
DESCRIPTION:Depuis plus d’un demi-siècle\, les ordinateurs ont acquis le statut d’instruments de recherche incontournables dans de nombreuses branches de mathématiques fondamentales. Leur puissance de calcul est mise au service de l’experimentation\, de la visualisation\, de l’aide a la conjecture\,… Mais aussi de la démonstration. Peut-on aller jusqu’à dire que les ordinateurs d’aujourd’hui font des mathématiques?
URL:https://www.math.ens.psl.eu/evenement/18976/
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CATEGORIES:ANNÉE 2024-2025,Séminaire Des mathématiques
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SUMMARY:Compacité et incompacité en théorie des ensembles
DESCRIPTION:En mathématiques\, la compacité est une propriété très forte : elle permet d’étudier un objet donné en examinant simplement des sous-objets de taille inférieure. On peut étudier de grands objets finis en examinant certains de leurs sous-ensembles plus petits\, ou on peut essayer de comprendre un objet infini en examinant des morceaux finis. En poussant plus loin\, on peut étudier des objets qui ne sont pas dénombrables à l’aide d’approximations dénombrables. Dans cet exposé\, nous examinerons un exemple spécifique\, les limites inverses supérieures\, et comment\, dans ce cas\, un phénomène  de compacité peut dépendre des axiomes en jeu.
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SUMMARY:Géométrie aléatoire sur la sphère
DESCRIPTION:Si l’on considère un (grand) graphe dessiné sur la sphère\, on obtient un espace métrique en munissant l’ensemble des sommets de la distance de graphe\, la distance entre deux sommets étant le nombre minimal d’arêtes sur un chemin les reliant. Si l’on choisit le graphe au hasard\, et si on fait tendre sa taille vers l’infini\, on montre que l’espace métrique associé converge\, en un sens que l’on précisera\, vers un espace métrique aléatoire appelé la sphère brownienne. On donnera quelques idées de la preuve de ce résultat.
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SUMMARY:Arithmétique des équations en un grand nombre de variables
DESCRIPTION:Intuitivement\, étant donnée une équation polynomiale à coefficients dans un corps K\, on s’attend à ce qu’elle ait plus de chances d’avoir des solutions si elle fait intervenir un grand nombre de variables et si elle a un petit degré. Ce sont Artin et Lang qui\, dans les années 50\, ont formalisé cette idée. Je présenterai un certain nombre de résultats et de problèmes ouverts dans ce domaine où les questions ont tendance à être élémentaires à formuler mais difficiles à résoudre.
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SUMMARY:Théorie des jeux\, économie et point-fixe
DESCRIPTION:La théorie des jeux est la théorie mathématique des interactions stratégiques. La notion d’équilibre de Nash y joue un rôle central\, souvent utilisé comme outil prédictif dans de nombreux modèles économiques récents (par exemple\, Jean Tirole\, prix « Nobel » d’économie\, utilise l’équilibre de Nash dans un article de 2023 sur la « moralité des marchés »).Cette théorie se caractérise par la diversité des outils mathématiques utilisés (logiques\, topologiques\, algébriques\, probabilistes\, etc.)\, et ses nombreuses interactions avec d’autres disciplines (psychologie\, biologie\, informatique\, logique\, économie\, sciences sociales\, sciences comportementales\, etc.). Nous donnerons quelques exemplesde problèmes et de recherches récentes qui utilisent plutôt des méthodes de géométrie différentielle ou algébrique réelle. L’exposé se veut accessible sans connaissance particulière en théorie des jeux.
URL:https://www.math.ens.psl.eu/evenement/theorie-des-jeux-economie-et-point-fixe/
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SUMMARY:L’anneau de Grothendieck des variétés 
DESCRIPTION:Dans une lettre à Jean-Pierre Serre datée du 16 août 1964\, Alexandre Grothendieck\, en spéculant sur la possibilité d’une théorie des motifs\, définissait un objet qu’on appelle aujourd’hui l’anneau de Grothendieck des variétés\, qui a joué un rôle de plus en plus important en géométrie algébrique dans les trente dernières années. Cet anneau est engendré par les variétés algébriques (c’est-à-dire\, des objets géométriques donnés par les lieux de zéros communs de systèmes polynomiaux)\, regardées à isomorphisme et découpage près. Après une introduction générale de l’anneau de Grothendieck des variétés et de ses propriétés (aucune familiarité avec la géométrie algébrique n’étant supposée)\, nous allons voir comment il donne un cadre naturel pour étudier certains objets algébriques ou géométriques d’un point de vue statistique: pour illustrer notre propos\, nous allons nous intéresser à la question concrète (mais vague) suivante: quelle est la « probabilité » qu’un polynôme en plusieurs variables soit non-singulier ?
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SUMMARY:La dynamique du tas de sable abélien
DESCRIPTION:
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SUMMARY:De l'ordre dans les tresses
DESCRIPTION:Les tresses sont des objets que l’on rencontre dans la vie quotidienne : des entrelacements formés de plusieurs fils\, brins\, cheveux… Dans cet exposé\, nous aborderons la théorie des groupes de tresses\, qui sont fondamentaux en topologie de basse dimension. Après une introduction à leur définition et à leurs propriétés de base\, nous explorerons un résultat clé : le théorème de Dehornoy\, qui établit que les groupes de tresses sont ordonnables à gauche. Nous verrons pourquoi cette propriété est importante\, notamment en lien avec les anneaux de groupes. Pour conclure\, nous examinerons brièvement un outil central dans la démonstration : l’algorithme de réduction des poignées\, qui illustre de manière concrète les techniques utilisées pour étudier ces objets. \n\n\n\nPour aller plus loin : \n\n\n\n1.      P. Dehornoy. Le calcul des tresses. Une introduction\, et au-delà. Nano 104. Paris : Calvage et Mounet\, 2019. ISBN : 978-2-9163-5279-4. \n\n\n\n2.      P. Dehornoy\, I. Dynnikov\, D. Rolfsen et B. Wiest. Why are braids orderable ? Panor. Synth. 14. Paris : Soc. Math. Fr.\, 2002. ISBN : 2-85629-135-X. \n\n\n\n3.      C. Kassel. “The Dehornoy order on braids.” In : Séminaire Bourbaki. Volume 1999/2000. Exposés 865–879 Paris : Soc. Math. Fr.\, 2002\, p. 7-28.
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SUMMARY:Dynamique des tourbillons plans
DESCRIPTION:L’étude de la mécanique des fluides se simplifie considérablementlorsqu’on suppose que les écoulements sont plans\, ce qui est uneapproximation raisonnable dans certaines situations. La dynamiqueainsi obtenue demeure toutefois très intéressante. On présentedans cet exposé un certain nombre de résultats\, anciens ouplus récents\, concernant l’interaction des tourbillons en dimensiondeux. Dans le cas particulier des tourbillons ponctuels\, onse ramène à un système d’équations différentielles ordinairespossédant une structure hamiltonienne et présentant quelquessimilitudes avec les équations de la mécanique céleste. Lesliens entre ce système réduit et les équations fondamentalesde la mécanique des fluides ont fait l’objet de plusieurstravaux récents\, mais des nombreuses questions naturellesrestent ouvertes.
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SUMMARY:Empilements de sphères\, tores et systoles
DESCRIPTION:Un empilement de sphères est une collection de boules de rayon 1 disjointes dans un espace Euclidien. Un exemple d’une question classique que l’on peut se poser est : quelle est la proportion maximale possible de l’espace que l’on peut remplir avec ces boules ? Il existe très peu de dimensions dans lesquelles la réponse à cette question naïve est connue. Dans cet exposé je vais parler de la théorie générale des empilements de sphères\, sa connections avec d’autres domaines de mathématiques (comme la géométrie systolique) et les méthodes qui ont été utilisés dans des progrès récents spectaculaires.
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SUMMARY:Géométrie et sciences sociales
DESCRIPTION:Nous présenterons certaines questions  mathématiques suscitées  par la démarche de modélisation en sciences sociales\, et détaillerons l’utilisation de certains concepts de géométrie différentielles dans l’élaboration de modèles dans ce contexte. Nous parlerons en particulier de propagation d’opinion sur les réseaux sociaux\, et plus précisément de la prise en compte de la confiance que les personnes ont en  leur propre opinion\, qui conduit à la fois bizarrement  et naturellement au demi-plan de Poincaré. Nous évoquerons également la notion de courbure de Ricci discrète sur un graphe (introduite il y a une quinzaine d’année par Y. Ollivier)\, qui livre un regard  très éclairant sur les liens sociaux au sein d’un réseau.
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SUMMARY:Le modèle de dimères en mécanique statistique
DESCRIPTION:Le modèle de dimères représente la répartition de molécules di-atomiques sur la surface d’un cristal. Il appartient à la grande famille des modèles de mécanique statistique définis sur les graphes\, dont d’autres représentant célèbres sont le modèle d’Ising et la percolation.  \n  \nAprès une introduction générale\, nous nous intéresserons aux résultats fondateurs du modèle de dimères lorsque le graphe sous-jacent est fini\, en particulier au théorème de Kasteleyn qui prouve une formule close pour le nombre de configurations de dimères.
URL:https://www.math.ens.psl.eu/evenement/modele-dimeres-mecanique-statistique/
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SUMMARY:CANCELED - Simulation de la propagation d’ondes en milieu non borné
DESCRIPTION:La propagation des ondes est un des phénomènes physiques les plus communs dans le monde qui nous entoure : le son\, les vibrations\, les ondes à la surface de l’eau\, les télécommunications\, les radars\,… L’étude des équations qui découlent de la modélisation de ces phénomènes et leur simulation est un champ de recherche très large et actif. Dans beaucoup d’applications\, il est question de propagation d’ondes en régime harmonique\, c’est à dire qu’elles ont une dépendance harmonique en temps\, dans des milieux qui sont très grands devant la longueur d’onde et qu’on suppose en général non bornés. Je souhaite vous expliquer les difficultés théoriques et numériques auxquelles nous sommes confrontées dans ces situations et vous montrer un certain nombre de solutions apportées qui sont très connues dans le cas où le milieu est homogène (l’air\, l’eau\,…) et qui sont en cours de developpement dans le cas où les milieux ont une structure plus compliquée (les cristaux photoniques\, les matériaux composites\,…).
URL:https://www.math.ens.psl.eu/evenement/simulation-de-la-propagation-d-ondes/
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SUMMARY:Random plane geometry - a gentle introduction
DESCRIPTION:Consider Z^2\, and assign a random length of 1 or 2 to each edge based on independent fair coin tosses. The resulting random geometry\, first passage percolation\, is conjectured to have a scaling limit. Most random plane geometric models (including hidden geometries) should behave the same. I will explain the basics of the limiting geometry\, the « directed landscape »\, and its relation to traffic jams\, tetris\, coffee stains and random matrices.
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SUMMARY:Invariants topologique et structures de groupes sur les sphères
DESCRIPTION:Le but de l’exposé sera de présenter un théorème d’Adams énonçant quelles sphères peuvent êtres munies d’une structure de groupe topologique\, prétexte à introduire l’idée d’invariant-et de leur structure-topologiques (en l’occurrence la K-théorie).
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SUMMARY:Ensembles de Cantor invariants des dynamiques conservatives
DESCRIPTION:Un système dynamique est un système qui évolue au cours du temps\, souvent modélisé par l’itération d’une application d’un ensemble X dans lui-même. Beaucoup de systèmes dynamiques naturels sont modélisés par une dynamique dite conservative\, les plus simples de ces dynamiques étant les difféomorphismes des surfaces qui préservent l’aire. \n\nLes premiers ensembles invariants étudiés pour ces dynamiques sont en général les orbites périodiques\, mais nous allons nous intéresser à des ensembles invariants un peu plus complexes qui sont des ensembles de Cantor. Nous en décrirons de deux types\, et expliquerons comment ils apparaissent de manière indissociable des orbites périodiques.
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SUMMARY:Rencontres du tième type
DESCRIPTION:Le « problème des rencontres »  est le calcul de la probabilité qu’une permutation prise au hasard dans le groupe symétrique ait un nombre donné de points fixes. Via le théorème de Cebotarev\, cette quantité apparaît en arithmétique comme la proportion de nombres premiers pour lesquels la réduction modulo p d’un polynôme à coefficients entiers génériques a un nombre donné de racines. J’expliquerai une démonstration exotique du problème de rencontres\, basée sur les représentations du « groupe symétrique » S_t en un nombre complexe t d’éléments\, et j’énoncerai une conjecture sur les zéros de pseudo-polynômes dans l’esprit du théorème de Cebotarev.  \nIl s’agit d’un travail en collaboration avec Arthur Forey et Emmanuel Kowalski.
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SUMMARY:d'Euler à Monge: les fluides et le transport optimal
DESCRIPTION:Il y a 266 ans\, Euler introduit la première description mathématique cohérente des fluides et 25 ans plus tard\, Monge initie la théorie du transport optimal.\nCes sujets n’ont rien perdu de leur actualité et je voudrais expliquer leur lien via l’optimisation combinatoire.
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SUMMARY:Simplicité
DESCRIPTION:Les « assistants de preuve » sont des logiciels qui permettent d’entrer un énoncé de théorème et sa démonstration comme un programme\, la compilation dudit programme garantissant que la démonstration proposée prouve effectivement l’énoncé donné. Initiés dans les années 60\, ils font l’objet d’une grande activité scientifique depuis une trentaine d’années et ont permis de vérifier la correction d’énoncés tout à fait non triviaux.  \nIntéressé par ces développements\, je me suis appliqué à démontrer la simplicité du groupe alterné au sein du logiciel Lean et de sa librairie mathématique mathlib. \nCe travail aurait pu n’être qu’un exercice de quelques semaines ; je raconterai la longue excursion mathématique qu’il m’a conduit à entreprendre\, notablement accompagnés par Iwasawa et Jordan.
URL:https://www.math.ens.psl.eu/evenement/simplicite/
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SUMMARY:Les mathématiques de la stabilisation\, et l'IA pour les mathématiques
DESCRIPTION:Dans cet exposé nous aborderons deux sujets: la théorie de la stabilisation et l’IA pour les mathématiques. La stabilisation est une branche de la théorie du contrôle qui consiste à se demander: « si je peux agir sur un système\, que puis-je lui faire faire ? » Cette théorie a la particularité de mêler des aspects très théoriques et très divers ainsi que des aspects très appliqués.  \nNous parlerons ensuite d’IA pour les mathématiques et nous nous demanderons s’il est possible d’apprendre des mathématiques à une IA. En particulier\, est-ce qu’une IA peut apprendre à avoir une intuition mathématique encore meilleure que les humains ? Et est-ce qu’une IA peut être entrainée à prouver des théorèmes par elle-même ?
URL:https://www.math.ens.psl.eu/evenement/ia-pour-les-mathematiques/
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SUMMARY:Une invitation à la logique continue (et affine)
DESCRIPTION:On discutera la motivation et les bases de la logique continue et de la théorie des modèles des structures métriques. Si le temps le permet\, je mentionnerai quelques applications de celle-ci à la dynamique des groupes polonais. Enfin\, je présenterai la logique affine\, un fragment distingué de la logique continue\, et j’expliquerai pourquoi celui-ci est remarquablement bien adapté pour une approche modèle-théorique de la théorie ergodique.
URL:https://www.math.ens.psl.eu/evenement/invitation-a-la-logique-continue/
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SUMMARY:Théorèmes de Paley-Zygmund
DESCRIPTION:Sur un compact\, l’inégalité de Hölder montre que si une fonction est $L^p$ pour $p \geq 2$\, alors elle est aussi dans $L^2$. Dans cet exposé\, on verra que si on choisit « aléatoirement » une fonction dans $L^2$\, alors elle est aussi dans $L^p$ pour tout $p < \infty$. Nous montrerons aussi qu’avec des hypothèses supplémentaires faibles\, cette fonction est continue !
URL:https://www.math.ens.psl.eu/evenement/theoreme-de-paley-zygmund/
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SUMMARY:Les groupes de Cremona
DESCRIPTION:Une transformation birationnelle du plan est une « application » dont les coordonnées sont des fractions rationnelles et qui possèdent un inverse de la même forme. Par exemple (x\,y)–>(1/x\, 1/y) ou (x\,y)–> (x\,y+p(x)).\nCe groupe est très large\, mais il possède quand même un ensemble des générateurs assez agréable. Par contre\, pour le groupe analogue en dimension trois et plus on ne connait pas d’ensemble des générateurs agréable (bon\, le groupe entier\, mais ce n’est pas ce que j’appelle agréable). Dans cet exposé on va découvrir ces groupes fascinants\, qui sont étudiés depuis 150 années et qui nous posent toujours des questions ouvertes aujourd’hui.
URL:https://www.math.ens.psl.eu/evenement/les-groupes-de-cremona/
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SUMMARY:Quatre manières de prouver une identité combinatoire
DESCRIPTION:Dans la théorie des représentations automorphes (et probablement beaucoup d’autres branches des mathématiques)\, une fois que l’on a réussi à enlever tout le formalisme compliqué qui entoure un problème\, on se retrouve souvent avec une identité combinatoire à prouver\, et on se rend que l’identité combinatoire était plus compliquée que le formalisme. Je présenterai une telle identité venant de mon propre travail\, et mes efforts pour la prouver de manière naturelle avec l’aide de collègues plus compétents. Aucune connaissance des représentations automorphes ne sera nécessaire pour comprendre cet exposé.
URL:https://www.math.ens.psl.eu/evenement/quatre-manieres-de-prouver-une-identite-combinatoire/
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SUMMARY:Calcul avec ruban\, trombones\, élastiques
DESCRIPTION:Ce séminaire est une introduction à la série de cours Maths appli à travers des jouets. \nIl s’agit d’une série de conférences agrémentées de maintes manips\, sur divers thèmes. « Jouet » ici porte un sens spécial : une chose de la vie quotidienne que tout le monde peut trouver\, et qui pourtant\, si on manie avec imagination\, révèle un comportement surprenant les physiciens/mathématiciens. (Ne pas confondre avec « jeu ».) Avez-vous observé un enfant quand on lui offre un jouet au sens usuel ? Souvent\, il n’accorde nulle attention à ce cadeau préfabriqué\, tandis qu’il s’amuse\, tout content\, avec le papier et la boîte d’emballage…  Les grandes personnes ont tendance à accorder leur attention seulement aux parties de la science déjà étiquetées comme intéressantes. Mais une alternative fraîche serait-elle possible ? Je propose que nous redécouvrions les yeux d’enfant — nous intéresser à des choses qui engagent nos expériences personnelles\, plutôt qu’à des choses auxquelles nous avons été amenés à croire que nous devrions nous intéresser. Les domaines de recherche bien développés le sont pour de bonnes raisons. Pourtant\, à côté de ces sciences fleuries\, il existe des sciences en germe. La série vous invite à explorer ces germes\, à travers des jouets simples néanmoins surprenants. \n  \nPlus d’informations ici : https://www.math.ens.psl.eu/mise_en_avant/cours-tadashi-tokieda/
URL:https://www.math.ens.psl.eu/evenement/calcul-avec-ruban-trombones-elastiques/
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SUMMARY:A quoi servent les structures supérieures ?
DESCRIPTION:Au cours des 50 dernières années\, des structures algébriques supérieures sont apparues graduellement en algèbre\, géométrie\, topologie et physique mathématique. Elles ont permis de mieux comprendre la nature profonde de nombreuses notions et elles sont au coeur de démonstrations de conjectures ouvertes. Les structures algébriques classiques comme les algèbres associatives\, commutatives ou de Lie souvent souvent définies par une seule opération\, ces structures supérieures (algèbres homotopiques\, catégories supérieures) sont faites de séries infinies d’opérations cohérentes. Il ne faut pas se laisser effrayer par un tel phénomène car il existe maintenant des théories conceptuelles (opérades) qui permettent de les gérer efficacement. \nCet exposé offrira une introduction non technique à ce genre d’idées en partant d’exemples accessibles à tout le monde pour aboutir à de nouveaux résultats fondamentaux. Les structures supérieures ont déjà démontré leur universalité en pénétrant un grand nombre de domaines des mathématiques et de l’informatique. On s’attend donc à ce qu’elles continuent à jouer un rôle clef à l’avenir.
URL:https://www.math.ens.psl.eu/evenement/a-quoi-servent-les-structures-superieures/
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SUMMARY:Métriques sur la sphère de Riemann
DESCRIPTION:Dans cette exposé on va s’intéresser à comment mesurer la distance entre deux points sur la sphère dans R^3. Cela se fait à l’aide de métriques. On va donc étudier l’espace de toute les métriques avec l’espoir d’en trouver une plus spéciale que les autres.  Mais attention ! Cet espace est de dimension infinie…
URL:https://www.math.ens.psl.eu/evenement/metriques-sur-la-sphere-de-riemann/
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SUMMARY:Le Xème problème de Hilbert - un problème pour le XXème et le XXIème siècle
DESCRIPTION:Le dixième problème de Hilbert (H10)\, énoncé en 1900\, pose la question de l’existence d’un algorithme qui décide si un polynôme donné (à plusieurs variables sur Z) a une solution dans Z. Les travaux de Davis\, Matiyasevich\, Putnam\, et Robinson aboutirent en 1970 à la conclusion qu’un tel algorithme ne peut pas exister — une solution négative à H10. Depuis\, un ensemble de travaux ont posé la question analogue dans de nombreux autres anneaux et corps\, en cherchant des solutions dans un anneau R mais parfois aussi parfois en considérant des équations à coefficients dans R. \nDans cet exposé\, j’introduirai H10\, discuterai brièvement la solution négative pour Z\, puis me concentrerai sur les développements récents\, à la fois dans le monde « global » des corps finiment engendrés (en particulier le cas important de R = Q) et de leurs sous-anneaux\, ainsi que dans le monde plus « local » des corps valués henséliens et de leurs anneaux de valuation.
URL:https://www.math.ens.psl.eu/evenement/le-xeme-probleme-de-hilbert-un-probleme-pour-le-xxeme-et-le-xxieme-siecle/
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SUMMARY:Phénomènes critiques à travers le prisme du modèle d'Ising
DESCRIPTION:Hugo Duminil-Copin\n\n\n\n\nPhénomènes critiques à travers le prisme du modèle d’Ising\n\n\n\n\n\n\nLe modèle d’Ising est l’un des modèles sur réseau les plus classiques de la physique statistique ayant une transition de phase. Initialement imaginé comme un modèle pour le ferromagnétisme\, il s’est révélé être un objet mathématique très riche et un outil théorique puissant pour comprendre les phénomènes coopératifs. En cent ans d’histoire\, une profonde compréhension de sa phase critique a été obtenue. Dans cet exposé\, nous présenterons les progrès récents basés sur une interprétation probabiliste du modèle d’Ising en le reliant à des modèles de percolation.
URL:https://www.math.ens.psl.eu/evenement/phenomene-critique-ising/
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CATEGORIES:ANNÉE 2022-2023,Séminaire Des mathématiques
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