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SUMMARY:Le modèle de dimères en mécanique statistique
DESCRIPTION:Le modèle de dimères représente la répartition de molécules di-atomiques sur la surface d’un cristal. Il appartient à la grande famille des modèles de mécanique statistique définis sur les graphes\, dont d’autres représentant célèbres sont le modèle d’Ising et la percolation.  \n  \nAprès une introduction générale\, nous nous intéresserons aux résultats fondateurs du modèle de dimères lorsque le graphe sous-jacent est fini\, en particulier au théorème de Kasteleyn qui prouve une formule close pour le nombre de configurations de dimères.
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SUMMARY:CANCELED - Simulation de la propagation d’ondes en milieu non borné
DESCRIPTION:La propagation des ondes est un des phénomènes physiques les plus communs dans le monde qui nous entoure : le son\, les vibrations\, les ondes à la surface de l’eau\, les télécommunications\, les radars\,… L’étude des équations qui découlent de la modélisation de ces phénomènes et leur simulation est un champ de recherche très large et actif. Dans beaucoup d’applications\, il est question de propagation d’ondes en régime harmonique\, c’est à dire qu’elles ont une dépendance harmonique en temps\, dans des milieux qui sont très grands devant la longueur d’onde et qu’on suppose en général non bornés. Je souhaite vous expliquer les difficultés théoriques et numériques auxquelles nous sommes confrontées dans ces situations et vous montrer un certain nombre de solutions apportées qui sont très connues dans le cas où le milieu est homogène (l’air\, l’eau\,…) et qui sont en cours de developpement dans le cas où les milieux ont une structure plus compliquée (les cristaux photoniques\, les matériaux composites\,…).
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SUMMARY:Random plane geometry - a gentle introduction
DESCRIPTION:Consider Z^2\, and assign a random length of 1 or 2 to each edge based on independent fair coin tosses. The resulting random geometry\, first passage percolation\, is conjectured to have a scaling limit. Most random plane geometric models (including hidden geometries) should behave the same. I will explain the basics of the limiting geometry\, the « directed landscape »\, and its relation to traffic jams\, tetris\, coffee stains and random matrices.
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SUMMARY:Invariants topologique et structures de groupes sur les sphères
DESCRIPTION:Le but de l’exposé sera de présenter un théorème d’Adams énonçant quelles sphères peuvent êtres munies d’une structure de groupe topologique\, prétexte à introduire l’idée d’invariant-et de leur structure-topologiques (en l’occurrence la K-théorie).
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SUMMARY:Ensembles de Cantor invariants des dynamiques conservatives
DESCRIPTION:Un système dynamique est un système qui évolue au cours du temps\, souvent modélisé par l’itération d’une application d’un ensemble X dans lui-même. Beaucoup de systèmes dynamiques naturels sont modélisés par une dynamique dite conservative\, les plus simples de ces dynamiques étant les difféomorphismes des surfaces qui préservent l’aire. \n\nLes premiers ensembles invariants étudiés pour ces dynamiques sont en général les orbites périodiques\, mais nous allons nous intéresser à des ensembles invariants un peu plus complexes qui sont des ensembles de Cantor. Nous en décrirons de deux types\, et expliquerons comment ils apparaissent de manière indissociable des orbites périodiques.
URL:https://www.math.ens.psl.eu/evenement/ensembles-de-cantor-invariants-des-dynamiques-conservatives/
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SUMMARY:Rencontres du tième type
DESCRIPTION:Le « problème des rencontres »  est le calcul de la probabilité qu’une permutation prise au hasard dans le groupe symétrique ait un nombre donné de points fixes. Via le théorème de Cebotarev\, cette quantité apparaît en arithmétique comme la proportion de nombres premiers pour lesquels la réduction modulo p d’un polynôme à coefficients entiers génériques a un nombre donné de racines. J’expliquerai une démonstration exotique du problème de rencontres\, basée sur les représentations du « groupe symétrique » S_t en un nombre complexe t d’éléments\, et j’énoncerai une conjecture sur les zéros de pseudo-polynômes dans l’esprit du théorème de Cebotarev.  \nIl s’agit d’un travail en collaboration avec Arthur Forey et Emmanuel Kowalski.
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SUMMARY:d'Euler à Monge: les fluides et le transport optimal
DESCRIPTION:Il y a 266 ans\, Euler introduit la première description mathématique cohérente des fluides et 25 ans plus tard\, Monge initie la théorie du transport optimal.\nCes sujets n’ont rien perdu de leur actualité et je voudrais expliquer leur lien via l’optimisation combinatoire.
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SUMMARY:Simplicité
DESCRIPTION:Les « assistants de preuve » sont des logiciels qui permettent d’entrer un énoncé de théorème et sa démonstration comme un programme\, la compilation dudit programme garantissant que la démonstration proposée prouve effectivement l’énoncé donné. Initiés dans les années 60\, ils font l’objet d’une grande activité scientifique depuis une trentaine d’années et ont permis de vérifier la correction d’énoncés tout à fait non triviaux.  \nIntéressé par ces développements\, je me suis appliqué à démontrer la simplicité du groupe alterné au sein du logiciel Lean et de sa librairie mathématique mathlib. \nCe travail aurait pu n’être qu’un exercice de quelques semaines ; je raconterai la longue excursion mathématique qu’il m’a conduit à entreprendre\, notablement accompagnés par Iwasawa et Jordan.
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SUMMARY:Les mathématiques de la stabilisation\, et l'IA pour les mathématiques
DESCRIPTION:Dans cet exposé nous aborderons deux sujets: la théorie de la stabilisation et l’IA pour les mathématiques. La stabilisation est une branche de la théorie du contrôle qui consiste à se demander: « si je peux agir sur un système\, que puis-je lui faire faire ? » Cette théorie a la particularité de mêler des aspects très théoriques et très divers ainsi que des aspects très appliqués.  \nNous parlerons ensuite d’IA pour les mathématiques et nous nous demanderons s’il est possible d’apprendre des mathématiques à une IA. En particulier\, est-ce qu’une IA peut apprendre à avoir une intuition mathématique encore meilleure que les humains ? Et est-ce qu’une IA peut être entrainée à prouver des théorèmes par elle-même ?
URL:https://www.math.ens.psl.eu/evenement/ia-pour-les-mathematiques/
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SUMMARY:Une invitation à la logique continue (et affine)
DESCRIPTION:On discutera la motivation et les bases de la logique continue et de la théorie des modèles des structures métriques. Si le temps le permet\, je mentionnerai quelques applications de celle-ci à la dynamique des groupes polonais. Enfin\, je présenterai la logique affine\, un fragment distingué de la logique continue\, et j’expliquerai pourquoi celui-ci est remarquablement bien adapté pour une approche modèle-théorique de la théorie ergodique.
URL:https://www.math.ens.psl.eu/evenement/invitation-a-la-logique-continue/
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SUMMARY:Théorèmes de Paley-Zygmund
DESCRIPTION:Sur un compact\, l’inégalité de Hölder montre que si une fonction est $L^p$ pour $p \geq 2$\, alors elle est aussi dans $L^2$. Dans cet exposé\, on verra que si on choisit « aléatoirement » une fonction dans $L^2$\, alors elle est aussi dans $L^p$ pour tout $p < \infty$. Nous montrerons aussi qu’avec des hypothèses supplémentaires faibles\, cette fonction est continue !
URL:https://www.math.ens.psl.eu/evenement/theoreme-de-paley-zygmund/
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SUMMARY:Les groupes de Cremona
DESCRIPTION:Une transformation birationnelle du plan est une « application » dont les coordonnées sont des fractions rationnelles et qui possèdent un inverse de la même forme. Par exemple (x\,y)–>(1/x\, 1/y) ou (x\,y)–> (x\,y+p(x)).\nCe groupe est très large\, mais il possède quand même un ensemble des générateurs assez agréable. Par contre\, pour le groupe analogue en dimension trois et plus on ne connait pas d’ensemble des générateurs agréable (bon\, le groupe entier\, mais ce n’est pas ce que j’appelle agréable). Dans cet exposé on va découvrir ces groupes fascinants\, qui sont étudiés depuis 150 années et qui nous posent toujours des questions ouvertes aujourd’hui.
URL:https://www.math.ens.psl.eu/evenement/les-groupes-de-cremona/
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SUMMARY:Quatre manières de prouver une identité combinatoire
DESCRIPTION:Dans la théorie des représentations automorphes (et probablement beaucoup d’autres branches des mathématiques)\, une fois que l’on a réussi à enlever tout le formalisme compliqué qui entoure un problème\, on se retrouve souvent avec une identité combinatoire à prouver\, et on se rend que l’identité combinatoire était plus compliquée que le formalisme. Je présenterai une telle identité venant de mon propre travail\, et mes efforts pour la prouver de manière naturelle avec l’aide de collègues plus compétents. Aucune connaissance des représentations automorphes ne sera nécessaire pour comprendre cet exposé.
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SUMMARY:Calcul avec ruban\, trombones\, élastiques
DESCRIPTION:Ce séminaire est une introduction à la série de cours Maths appli à travers des jouets. \nIl s’agit d’une série de conférences agrémentées de maintes manips\, sur divers thèmes. « Jouet » ici porte un sens spécial : une chose de la vie quotidienne que tout le monde peut trouver\, et qui pourtant\, si on manie avec imagination\, révèle un comportement surprenant les physiciens/mathématiciens. (Ne pas confondre avec « jeu ».) Avez-vous observé un enfant quand on lui offre un jouet au sens usuel ? Souvent\, il n’accorde nulle attention à ce cadeau préfabriqué\, tandis qu’il s’amuse\, tout content\, avec le papier et la boîte d’emballage…  Les grandes personnes ont tendance à accorder leur attention seulement aux parties de la science déjà étiquetées comme intéressantes. Mais une alternative fraîche serait-elle possible ? Je propose que nous redécouvrions les yeux d’enfant — nous intéresser à des choses qui engagent nos expériences personnelles\, plutôt qu’à des choses auxquelles nous avons été amenés à croire que nous devrions nous intéresser. Les domaines de recherche bien développés le sont pour de bonnes raisons. Pourtant\, à côté de ces sciences fleuries\, il existe des sciences en germe. La série vous invite à explorer ces germes\, à travers des jouets simples néanmoins surprenants. \n  \nPlus d’informations ici : https://www.math.ens.psl.eu/mise_en_avant/cours-tadashi-tokieda/
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SUMMARY:A quoi servent les structures supérieures ?
DESCRIPTION:Au cours des 50 dernières années\, des structures algébriques supérieures sont apparues graduellement en algèbre\, géométrie\, topologie et physique mathématique. Elles ont permis de mieux comprendre la nature profonde de nombreuses notions et elles sont au coeur de démonstrations de conjectures ouvertes. Les structures algébriques classiques comme les algèbres associatives\, commutatives ou de Lie souvent souvent définies par une seule opération\, ces structures supérieures (algèbres homotopiques\, catégories supérieures) sont faites de séries infinies d’opérations cohérentes. Il ne faut pas se laisser effrayer par un tel phénomène car il existe maintenant des théories conceptuelles (opérades) qui permettent de les gérer efficacement. \nCet exposé offrira une introduction non technique à ce genre d’idées en partant d’exemples accessibles à tout le monde pour aboutir à de nouveaux résultats fondamentaux. Les structures supérieures ont déjà démontré leur universalité en pénétrant un grand nombre de domaines des mathématiques et de l’informatique. On s’attend donc à ce qu’elles continuent à jouer un rôle clef à l’avenir.
URL:https://www.math.ens.psl.eu/evenement/a-quoi-servent-les-structures-superieures/
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SUMMARY:Métriques sur la sphère de Riemann
DESCRIPTION:Dans cette exposé on va s’intéresser à comment mesurer la distance entre deux points sur la sphère dans R^3. Cela se fait à l’aide de métriques. On va donc étudier l’espace de toute les métriques avec l’espoir d’en trouver une plus spéciale que les autres.  Mais attention ! Cet espace est de dimension infinie…
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SUMMARY:Le Xème problème de Hilbert - un problème pour le XXème et le XXIème siècle
DESCRIPTION:Le dixième problème de Hilbert (H10)\, énoncé en 1900\, pose la question de l’existence d’un algorithme qui décide si un polynôme donné (à plusieurs variables sur Z) a une solution dans Z. Les travaux de Davis\, Matiyasevich\, Putnam\, et Robinson aboutirent en 1970 à la conclusion qu’un tel algorithme ne peut pas exister — une solution négative à H10. Depuis\, un ensemble de travaux ont posé la question analogue dans de nombreux autres anneaux et corps\, en cherchant des solutions dans un anneau R mais parfois aussi parfois en considérant des équations à coefficients dans R. \nDans cet exposé\, j’introduirai H10\, discuterai brièvement la solution négative pour Z\, puis me concentrerai sur les développements récents\, à la fois dans le monde « global » des corps finiment engendrés (en particulier le cas important de R = Q) et de leurs sous-anneaux\, ainsi que dans le monde plus « local » des corps valués henséliens et de leurs anneaux de valuation.
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SUMMARY:Phénomènes critiques à travers le prisme du modèle d'Ising
DESCRIPTION:Hugo Duminil-Copin\n\n\n\n\nPhénomènes critiques à travers le prisme du modèle d’Ising\n\n\n\n\n\n\nLe modèle d’Ising est l’un des modèles sur réseau les plus classiques de la physique statistique ayant une transition de phase. Initialement imaginé comme un modèle pour le ferromagnétisme\, il s’est révélé être un objet mathématique très riche et un outil théorique puissant pour comprendre les phénomènes coopératifs. En cent ans d’histoire\, une profonde compréhension de sa phase critique a été obtenue. Dans cet exposé\, nous présenterons les progrès récents basés sur une interprétation probabiliste du modèle d’Ising en le reliant à des modèles de percolation.
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SUMMARY:L'univers Brownien
DESCRIPTION:Igor Kortchemski\n\n\n\n\nL’univers Brownien\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\nLe premier soir je me suis donc endormi sur le sable à mille milles de toute terre habitée. J’étais bien plus isolé qu’un naufragé sur un radeau au milieu de l’océan. Alors vous imaginez ma surprise\, au lever du jour\, quand une drôle de petite voix m’a réveillé. Elle disait :\n– S’il vous plaît… fabrique-moi une surface au hasard !
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CATEGORIES:ANNÉE 2022-2023,Séminaire Des mathématiques
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SUMMARY:Quelques histoires d'équations de réaction-diffusion\, sans bruit et avec bruit
DESCRIPTION:Nils Berglund\nLes équations de réaction-diffusion modélisent des phénomènes naturels aussi divers que les réactions chimiques\, l’évolution de populations dans l’espace et le temps\, et la formation des taches sur le pelage des léopards (un exemple de morphogenèse). Ce dernier point a été particulièrement souligné par Alan Turing\, dans un article célèbre intitulé « The Chemical Basis of Morphogenesis« . Comme leur nom indique\, les équations de réaction-diffusion font intervenir deux termes : un terme de diffusion\, qui provient de l’équation de la chaleur\, et un terme de réaction\, qui provient en général d’une équation différentielle ordinaire. \nCet exposé mentionnera tout d’abord quelques propriétés de base de l’équation de la chaleur. Nous verrons ensuite plusieurs exemples d’équations de réaction-diffusion au comportement intéressant (équation d’Allen-Cahn\, équations pierre-papier-ciseaux\, et pierre-papier-ciseaux-lézard-Spock\, équations de FitzHugh-Nagumo)\, illustrés par des simulations numériques. Nous terminerons l’exposé avec des exemples d’équations aux dérivées partielles stochastiques\, dans lesquelles des termes aléatoires produisent des effets nouveaux. \nLes simulations présentées dans cet exposés seront une petite sélection de celles que l’on trouve sur la chaîne YouTube\nhttps://www.youtube.com/@NilsBerglund
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SUMMARY:Autour des gaz de Coulomb
DESCRIPTION:Sylvia Serfaty\nLes gaz de Coulomb apparaissent comme modèles de physique statistique et quantique\, en théorie des matrices aléatoires\, matière condensée et théorie de l’approximation. On décrira les problématiques associées (transitions de phase\, cristallisation\, processus ponctuels\, grandes déviations…) qui font intervenir des probabilités\, de l’analyse\, et même un peu de théorie des nombres.
URL:https://www.math.ens.psl.eu/evenement/sylvia-serfaty/
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SUMMARY:Simuler la matière à partir des lois fondamentales de la physique
DESCRIPTION:Éric Cancès\n\n\n\n\nSimuler la matière à partir des lois fondamentales de la physique\n\n\n\n\n\n\n\n\n\nDans un article fondateur de 1929\, P.A.M. Dirac écrivait «  les lois physiques sous-jacentes nécessaires à une théorie mathématique d’une grande partie de la physique et de la totalité de la chimie sont ainsi complètement connues\, et la difficulté est seulement que l’application exacte de ces lois conduit à des équations beaucoup trop compliquées pour être résolues. Il est donc souhaitable que soient développées des méthodes d’approximation des modèles de la mécanique quantique\, qui permettraient d’expliquer les propriétés de systèmes atomiques complexes sans faire trop de calculs ». \n\n\n\n\n\n\n\n\nNous verrons comment\, grâce aux efforts conjoints des physiciens\, des chimistes\, des mathématiciens et des informaticiens\, la simulation numérique de la matière à partir des lois fondamentales de la physique est devenue aujourd’hui un outil essentiel dans de très nombreux domaines des sciences appliquées : astrophysique\, physique de la matière condensée\, science des matériaux\, chimie\, biologie moléculaire\, nanotechnologies… \n\n\n\n\n\n\n\n\nNous verrons aussi que malgré l’arrivée sur le marché d’ordinateurs exaflopiques\, capables de réaliser un millard de milliards d’opérations à la seconde\, de nombreux défis restent à relever pour pouvoir simuler par ces méthodes des systèmes moléculaires aussi complexes qu’une protéine par exemple. En cause\, la malédiction de la dimension et la multiplicité des échelles. \n\n\n\n\n\n\n 
URL:https://www.math.ens.psl.eu/evenement/simuler_la_matiere/
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SUMMARY:Espaces de normes et courbure négative
DESCRIPTION:Sébastien Boucksom\n\n\n\n\nEspaces de normes et courbure négative\n\n\n\n\n\n\n\n\nL’espace des normes hermitiennes sur C^n est un exemple important d’espace riemannien symétrique de courbure négative\, dont la géométrie peut être décrite de façon élémentaire et explicite en s’appuyant sur la diagonalisation des matrices. Cet exposé a notamment pour but d’illustrer en quoi cet espace métrique est de courbure négative\, et de décrire sa « géométrie à l’infini » à l’aide de normes non-archimédiennes.\n\n\n\n\n\n\n 
URL:https://www.math.ens.psl.eu/evenement/espaces-de-normes-et-courbure-negative/
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SUMMARY:Fonctions zeta dynamiques
DESCRIPTION:Nalini Anantharaman\n\n\n\n\nFonctions zeta dynamiques\n\n\n\n\n\n\n\n\nLes fonctions zeta dynamiques sont des sortes de séries de Dirichlet\, dans lesquelles les trajectoires périodiques d’un système dynamique remplacent les nombres entiers. Je présenterai des résultats classiques et récents concernant le prolongement méromorphes de ces fonctions\, que des résultats de Dyatlov-Zworski et Dang-Rivière sur leur valeur en 0\, ainsi que des conjectures concernant le lieu des zéros.\n\n\n\n\n\n\n 
URL:https://www.math.ens.psl.eu/evenement/fonctions_zeta_dynamiques/
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SUMMARY:Y a-t-il plus de fonctions différentiables que de fonctions polynomiales ?
DESCRIPTION:Olivier Benoist\n\n\n\n\nY a-t-il plus de fonctions différentiables que de fonctions polynomiales ?\n\n\n\n\n\n\n\n\nLa géométrie différentielle étudie les sous-ensembles de R^n\ndéfinis par des équations C^infty. La géométrie algébrique réelle\, elle\,\ns’intéresse aux sous-ensemble de R^n définis par des équations\npolynomiales. A quel point ces objets d’étude sont-ils différents ? Le\nbut de cet exposé est de présenter plusieurs questions ouvertes sur ce\nthème.\n\n\n\n\n\n\n 
URL:https://www.math.ens.psl.eu/evenement/y-a-t-il-plus-de-fonctions-differentiables-que-de-fonctions-polynomiales/
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SUMMARY:Pourquoi raconter des maths aux ordinateurs ?
DESCRIPTION:Patrick Massot\nPourquoi raconter des maths aux ordinateurs ?\nDe plus en plus de mathématiciens s’amusent en expliquant des mathématiques aux ordinateurs via des logiciels appelés assistants de preuves. Dans cet exposé j’expliquerai à quoi ressemble ce processus\, dit de formalisation\, quel genre de choses il nous apprend et comment il pourrait même s’avérer utile (en notre sens habituel du mot « utile »).
URL:https://www.math.ens.psl.eu/evenement/expose-de-patrick-massot/
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SUMMARY:Un piano parfait ou une introduction aux mots sturmiens
DESCRIPTION:Olga Paris-Romaskevich\nUn piano parfait ou une introduction aux mots sturmiens\nPrenez le clavier d’un piano et écrivez (mentalement !) sur chacune de ses touches les mois de l’année\, en commençant par le mois janvier sur la note fa. Fa dièse serait annotée comme février\, puis sol comme mars\, etc. Vous bouclerez sans surprise\, comme il y a 12 notes dans une octave. Mais vous vous apercevrez que les cinq mois courts de l’année se retrouveront tous sur les notes noires. Dans cet exposé\, nous allons voir que cela ne pourrait pas être autrement et comment la configuration « de ce type » est unique. \n\n\nCet exposé est une introduction aux mots sturmiens\, et leur interprétation géométrique\, dynamique et combinatoire. Tout cela\, en suivant Bernoulli\, Markov\, Morse\, Hedlund\, Kontsevich…\n\n\n\n\n 
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SUMMARY:Percolation de premier passage et sous-additivité
DESCRIPTION:Marie Théret\n\n\n\n\nPercolation de premier passage et sous-additivité\n\n\n\n\n\n\n\n\nConsidérons le graphe de sommets les points de Zd muni des arêtes reliant les sommets à distance euclidienne 1. Le modèle de percolation de premier passage sur Zd consiste à associer aux arêtes de ce graphe une famille de variables aléatoires indépendantes et de même loi\, à valeurs positives. La variable associée à une arête représente le temps nécessaire pour traverser l’arête\, ce qui permet de modéliser des phénomènes de propagation (propagation d’une information dans un réseau social\, d’une maladie au sein d’une population\, de l’eau à l’intérieur d’une roche poreuse). Nous présenterons une propriété qui joue un rôle central dans l’étude de ce modèle : la sous-additivité.\n\n\n\n\n\n\n 
URL:https://www.math.ens.psl.eu/evenement/expose-de-marie-theret/
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SUMMARY:Arithmétique et géométrie autour des nombres p-adiques
DESCRIPTION:Antoine Ducros\nArithmétique et géométrie autour des nombres p-adiques\nÀ tout nombre premier p est associé le corps Qp dit des nombres p-adiques\, qui est la complétion de Q pour une valeur absolue un peu inhabituelle qui vérifie l’inégalité |p|<1. Dans cet exposé\, je présenterai ce corps Qp et montrerai par quelques exemples son intérêt en arithmétique. Puis je parlerai un peu de géométrie analytique sur ce Qp en expliquant les raisons qui ont poussé à la développer\, les obstacles rencontrés et les grandes idées qui ont permis de les surmonter (sans entrer dans les détails techniques) ; et je dirai peut-être un mot des espaces perfectoïdes introduits il y a dix ans par Peter Scholze et qui ont profondément transformé le sujet.\n\n\n 
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SUMMARY:Complexité topologique des fonctions d’un grand nombre de variables
DESCRIPTION:Gérard Ben Arous\nComplexité topologique des fonctions d’un grand nombre de variables\n\n\nConsidérons une fonction très simple de N variables (disons un polynôme homogène pour être concret). Quand N est grand\, est-ce que cette fonction peut être topologiquement complexe ? Plus précisément\, que peut-on dire de la topologie des lignes de niveau\, du nombre de points critiques\, de minima locaux ? Que peut-on dire si l’on tire cette fonction au hasard ?\nJe vais essayer de répondre a ces questions\, et montrer le rôle surprenant de la théorie des matrices aléatoires dans ces questions. Je vais aussi illustrer le rôle de ces questions pour des problèmes importants de physique statistique des milieux désordonnés\, et en statistique en haute dimension.\n 
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