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SUMMARY:Y a-t-il plus de fonctions différentiables que de fonctions polynomiales ?
DESCRIPTION:Olivier Benoist\n\n\n\n\nY a-t-il plus de fonctions différentiables que de fonctions polynomiales ?\n\n\n\n\n\n\n\n\nLa géométrie différentielle étudie les sous-ensembles de R^n\ndéfinis par des équations C^infty. La géométrie algébrique réelle\, elle\,\ns’intéresse aux sous-ensemble de R^n définis par des équations\npolynomiales. A quel point ces objets d’étude sont-ils différents ? Le\nbut de cet exposé est de présenter plusieurs questions ouvertes sur ce\nthème.\n\n\n\n\n\n\n 
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SUMMARY:Pourquoi raconter des maths aux ordinateurs ?
DESCRIPTION:Patrick Massot\nPourquoi raconter des maths aux ordinateurs ?\nDe plus en plus de mathématiciens s’amusent en expliquant des mathématiques aux ordinateurs via des logiciels appelés assistants de preuves. Dans cet exposé j’expliquerai à quoi ressemble ce processus\, dit de formalisation\, quel genre de choses il nous apprend et comment il pourrait même s’avérer utile (en notre sens habituel du mot « utile »).
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SUMMARY:Un piano parfait ou une introduction aux mots sturmiens
DESCRIPTION:Olga Paris-Romaskevich\nUn piano parfait ou une introduction aux mots sturmiens\nPrenez le clavier d’un piano et écrivez (mentalement !) sur chacune de ses touches les mois de l’année\, en commençant par le mois janvier sur la note fa. Fa dièse serait annotée comme février\, puis sol comme mars\, etc. Vous bouclerez sans surprise\, comme il y a 12 notes dans une octave. Mais vous vous apercevrez que les cinq mois courts de l’année se retrouveront tous sur les notes noires. Dans cet exposé\, nous allons voir que cela ne pourrait pas être autrement et comment la configuration « de ce type » est unique. \n\n\nCet exposé est une introduction aux mots sturmiens\, et leur interprétation géométrique\, dynamique et combinatoire. Tout cela\, en suivant Bernoulli\, Markov\, Morse\, Hedlund\, Kontsevich…\n\n\n\n\n 
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SUMMARY:Percolation de premier passage et sous-additivité
DESCRIPTION:Marie Théret\n\n\n\n\nPercolation de premier passage et sous-additivité\n\n\n\n\n\n\n\n\nConsidérons le graphe de sommets les points de Zd muni des arêtes reliant les sommets à distance euclidienne 1. Le modèle de percolation de premier passage sur Zd consiste à associer aux arêtes de ce graphe une famille de variables aléatoires indépendantes et de même loi\, à valeurs positives. La variable associée à une arête représente le temps nécessaire pour traverser l’arête\, ce qui permet de modéliser des phénomènes de propagation (propagation d’une information dans un réseau social\, d’une maladie au sein d’une population\, de l’eau à l’intérieur d’une roche poreuse). Nous présenterons une propriété qui joue un rôle central dans l’étude de ce modèle : la sous-additivité.\n\n\n\n\n\n\n 
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SUMMARY:Arithmétique et géométrie autour des nombres p-adiques
DESCRIPTION:Antoine Ducros\nArithmétique et géométrie autour des nombres p-adiques\nÀ tout nombre premier p est associé le corps Qp dit des nombres p-adiques\, qui est la complétion de Q pour une valeur absolue un peu inhabituelle qui vérifie l’inégalité |p|<1. Dans cet exposé\, je présenterai ce corps Qp et montrerai par quelques exemples son intérêt en arithmétique. Puis je parlerai un peu de géométrie analytique sur ce Qp en expliquant les raisons qui ont poussé à la développer\, les obstacles rencontrés et les grandes idées qui ont permis de les surmonter (sans entrer dans les détails techniques) ; et je dirai peut-être un mot des espaces perfectoïdes introduits il y a dix ans par Peter Scholze et qui ont profondément transformé le sujet.\n\n\n 
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SUMMARY:Complexité topologique des fonctions d’un grand nombre de variables
DESCRIPTION:Gérard Ben Arous\nComplexité topologique des fonctions d’un grand nombre de variables\n\n\nConsidérons une fonction très simple de N variables (disons un polynôme homogène pour être concret). Quand N est grand\, est-ce que cette fonction peut être topologiquement complexe ? Plus précisément\, que peut-on dire de la topologie des lignes de niveau\, du nombre de points critiques\, de minima locaux ? Que peut-on dire si l’on tire cette fonction au hasard ?\nJe vais essayer de répondre a ces questions\, et montrer le rôle surprenant de la théorie des matrices aléatoires dans ces questions. Je vais aussi illustrer le rôle de ces questions pour des problèmes importants de physique statistique des milieux désordonnés\, et en statistique en haute dimension.\n 
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SUMMARY:Équations intégrodifférentielles et EDP : utilisation en biologie théorique
DESCRIPTION:Laurent Desvillettes\nÉquations intégrodifférentielles et EDP : utilisation en biologie théorique\nOn montre comment certaines questions fondamentales de biologie peuvent parfois être formalisées par des équations et systèmes d’équations\, puis étudiées en utilisant des méthodes d’analyse (mesures\, analyse de Fourier). \n\n\n 
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SUMMARY:Comment utiliser une ressource naturelle: le cas de la pêche
DESCRIPTION:Ivar Ekeland\nComment utiliser une ressource naturelle : le cas de la pêche\nJe chercherai à montrer\, dans le cas de la pêche\, comment les interactions de l’humanité avec le vivant sont conditionnées par les structures sociales: ce n’est pas la même chose si les poissons sont considérés comme un bien commun\, ou s’ils sont exploités dans le cadre d’un marché ou d’un monopole. L’exposé s’appuiera sur un modèle mathématique simple (Gordon-Schaefer 1954) qui a l’avantage rare d’être couramment utilisé par les scientifiques\, l’industrie et les pouvoirs publics. \n\n\n 
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SUMMARY:Log-concavité combinatoire\, équation de Monge-Ampère tropicale et symétrie miroir
DESCRIPTION:En partant des questions autour du concept tendrement enfantin de coloriage de graphes\, j’expliquerai comment la description des phénomènes de log-concavité en combinatoire nous a amené au développement d’une théorie de Hodge tropicale et aux équations de Monge-Ampère en lien avec des phénomènes mathématiques prédits par la théorie des cordes. \nLe contenu de l’exposé est basé sur nos travaux en cours avec Matthieu Piquerez.
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SUMMARY:Vibrations propres et boules de billard
DESCRIPTION:On s’intéressera aux vibrations propres d’un domaine plan (une peau de tambour) dans la limite des hautes énergies (des grandes valeurs propres) et on se posera les questions suivantes : ces vibrations propres ont-elles tendance à s’équirépartir dans le domaine plan ? Ou au contraire\, peuvent-elles se concentrer dans un sous-domaine ? Comment ces propriétés sont-elles liées à la dynamique du billard associé et donc à la forme du tambour ?
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SUMMARY:Spectre de grandes matrices aléatoires
DESCRIPTION:Depuis les travaux de Wigner dans les années 50\, les matrices aléatoires ont connu un succès spectaculaire. Il est conjecturé que leurs valeurs propres décrivent de nombreux phénomènes physiques et mathématiques — la conjecture de Montgomery sur les zéros de la fonction zeta de Riemann est l’un des exemples les plus célèbres — même si quasiment rien n’est rigoureusement prouvé à l’heure actuelle. J’expliquerai dans cet exposé comment étudier le spectre de ces matrices en suivant l’approche « objective » préconisée par Aldous\, implémentée par Edelman et Sutton en 2006 et poursuivie notamment par Valko et Virag. Nous prouverons en passant la loi du demi cercle pour ces matrices (sans aucun calcul !).
URL:https://www.math.ens.psl.eu/evenement/spectre-de-grandes-matrices-aleatoires/
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SUMMARY:Surfaces hyperboliques et leurs systoles
DESCRIPTION:Dans cet exposé\, je vais expliquer comment on peut construire des surfaces hyperboliques à partir de morceaux de ce qu’on appelle le plan hyperbolique. Je parlerai de courbes sur ces surfaces et d’un problème ouvert à propos des courbes « très courtes ».
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SUMMARY:n! (30n)! / (6n)! (10n)! (15n)!
DESCRIPTION:Ces quotients de factorielles sont toujours des nombres entiers\, essayez de le prouver en calculant leur valuation p-adique ! Derrière cette propriété élémentaire se cache le fait qu’une certaine fonction hypergéométrique est algébrique\, comme l’a observé Rodríguez Villegas il y a quinze ans. Je prendrai son théorème — que j’aurais tant voulu démontrer moi-même — comme excuse pour parler de l’une des plus belles idées des maths\, la monodromie\, et de comment reconnaître les fonctions algébriques parmi les solutions d’équations différentielles linéaires.
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SUMMARY:La problématique de l’inférence statistique à travers les échelles
DESCRIPTION:Dans cet exposé relativement élémentaire\, nous poserons les jalons de la problématique de la reconstruction d’information à travers les échelles en modélisation mathématique et en statistique. Nous présenterons trois exemples issus d’applications différentes : (1) le rôle de la microstructure des marchés financiers dans la stabilité (ou l’instabilité !) des prix\, (2) les effets cohorte en démographie humaine (certaines générations semblent avoir une meilleure espérance de vie que d’autres à de très grandes échelles) et (3)\, si le temps le permet\,  l’effet de dégradation d’information dans les échelles intermédiaires dans des modèles de dispersion spatiale (utilisés en génétique des plantes ou en files d’attente). Ces exemples permettront de mettre en avant des liens fondamentaux entre l’analyse et la théorie des probabilités\, à travers des problèmes issus de la statistique.
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SUMMARY:L'émergence des quasi-probabilités
DESCRIPTION:La mécanique quantique\, entre autres bizarreries\, amène dans certains cas à considérer des quantités classiquement appelées probabilités qui peuvent prendre des valeurs négatives. Nous ferons un tour d’horizon de comment elles émergent de l’expérience\, de comment on peut les inférer à partir de lois de probabilité bien positives et de leur traitement dans l’espace des phases. Un résultat d’unicité permet de choisir parmi les constructions possibles celle qui est la plus fondamentale. \nPuis Constantin Vaillant-Tenzer nous jouera de la musique !
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SUMMARY:Mouvement par courbure anisotrope et dynamique de Glauber: une limite d'échelle continue et déterministe pour une dynamique aléatoire et discrète.
DESCRIPTION:Dans cet exposé nous nous étudierons une dynamique aléatoire en temps discret sur l’ensemble des configurations de spins $\Omega_L:= \left\{ \sigma : \{1\,\dots\, L\}^2 \to \{-1\,1\} \right\}$ régie par les règles suivantes : \n\nA chaque étape la valeur d’un spin pris au hasard est actualisé.\nL’actualisation de la valeur d’un spin est faite en regardant l’état des spins voisins\, et la nouvelle valeur adoptée est celle observée chez la majorité des voisins. Les cas d’égalité sont tranchés par des pile-ou-faces de paramètre 1/2.\n\nOn part d’une configuration initiale uniformément égale à -1 et une condition de frontière +1\, et on se pose la question du temps typique de disparition du dernier -1. Nous verrons au cours de l’exposé que la résolution de cette question doit nécessairement passer par une étude de l’évolution géométrique de l’ensemble des spins -1. \n(avec F. Simenhaus (Paris) et (F. Toninelli))\n \n 
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SUMMARY:Tresses et commutativité
DESCRIPTION:Considérons un espace muni d’une multiplication m : X x X -> X. On peut demander que m soit commutative\, c’est-à-dire m(x\,y) = m(y\,x)\, mais souvent en topologie\, c’est trop demander. Que se passe-t-il si on relaxe cette condition\, en demandant uniquement que (x\,y) -> m(x\,y) soit homotope à (x\,y) -> m(y\,x)\, c’est-à-dire qu’on peut déformer continument la première application en la seconde ? Peut-on prétendre que notre multiplication est commutative ? Cette question est à l’origine de beaucoup de développements modernes en théorie de l’homotopie\, et nous verrons qu’elle nous fait redécouvrir des vieux objets\, les tresses\, sous un nouveau point de vue.
URL:https://www.math.ens.psl.eu/evenement/tresses-et-commutativite/
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SUMMARY:Limites d’espaces complexes
DESCRIPTION:Considérons un espace donné par l’ensemble des solutions complexes d’un système d’équations polynomiales. En dézoomant de plus en plus\, on voit apparaître un espace d’apparence plus simple\, de nature essentiellement combinatoire. Cette propriété peut s’interpréter comme une instance d’un phénomène plus général de dégénérescence d’espaces complexes vers un espace d’une autre sorte\, dit espace ultramétrique. Nous expliquerons comment donner un sens précis à ces idées à l’aide de la théorie des espaces de Berkovich hybrides. Nous présenterons également quelques exemples d’applications.
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SUMMARY:Théorème central limite et projections de vecteurs en grande dimension
DESCRIPTION:Le théorème central limite est un des résultats fondamentaux de la théorie des probabilités\, qui indique que les sommes de variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées sont asymptotiquement gaussiennes. Dans cet exposé\, j’expliquerai comment ce résultat se place dans un contexte plus général : les projections de basses dimension de vecteurs en grande dimension sont souvent (mais pas toujours) proches de suivre un loi gaussienne.
URL:https://www.math.ens.psl.eu/evenement/theoreme-central-limite-et-projections-de-vecteurs-en-grande-dimension/
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SUMMARY:Définitions un peu loufoques de l'ensemble des éléments non nuls d'un anneau
DESCRIPTION:Soit A un anneau commutatif unitaire. Peut-on définir l’ensemble des éléments non nuls de A par une formule ne contenant que des conjonctions et disjonctions (mais pas de négations !) d’égalités polynomiales\, et seulement le quantificateur ∃ ?  \nMoret-Bailly a décrit de grandes classes d’anneaux pour lesquelles la réponse est positive\, et d’autres pour lesquelles elle est négative ; ces descriptions que je présenterai mettent en jeu de l’algèbre commutative et de la géométrie analytique complexe.
URL:https://www.math.ens.psl.eu/evenement/definitions-un-peu-loufoques-de-lensemble-des-elements-non-nuls-dun-anneau/
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SUMMARY:Discrétisations de dynamiques
DESCRIPTION:Dans cet exposé\, j’essaierai de relier les problèmes de discrétisation de dynamiques\, de rotations d’images numériques et de pavages par des cubes.
URL:https://www.math.ens.psl.eu/evenement/discretisations-de-dynamiques/
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SUMMARY:Irrationalité et transcendance
DESCRIPTION:Un nombre complexe est dit transcendent s’il ne vérifie aucune équation polynomiale (non triviale) à coefficients rationnels. Tandis que “pratiquement tous” les nombres complexes sont transcendants\, il est souvent difficile de décider si un certain nombre est transcendant. Pire\, c’est déjà non trivial d’en donner un seul exemple explicite ! Ce n’est qu’au XIXème siècle que les résultats arrivent : Liouville (1844) montre que le réel\n\[\n\sum_{n = 1}^\infty 10^{-n!} = 0.110001000000000000000001\dots\n\]\nest transcendant\, Hermite (1873) que $e$ est transcendant\, et Lindemann (1882) qu’étant donné un nombre complexe non nul $z$\, au plus un parmi les nombres $z$ et $e^z$ est algébrique–en particulier\, $\pi$ est transcendant\, ce qui clot le problème de la quadrature du cercle. \nDans cet exposé\, je passerai en revue ces résultats en en montrant quelques uns\, et je présenterai plein d’autres nombres qu’on voudrait savoir être transcendants\, en essayant d’expliquer pourquoi.
URL:https://www.math.ens.psl.eu/evenement/irrationalite-et-transcendance/
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SUMMARY:Réseaux unimodulaires pairs
DESCRIPTION:Un réseau « unimodulaire pair » est un réseau  L  de l’espace euclidien  R^n  qui possède d’une part un domaine fondamental de volume 1\, et d’autre part tel que  x.x  est un entier pair pour tout élément x de L. Le réseau  E_8  (n=8) et le réseau de Leech (n=24) en sont des exemples particulièrement fameux. \nLes réseaux unimodulaires pairs interviennent dans des domaines variés des mathématiques : problèmes d’empilements de sphères\, classification des formes quadratiques « sur Z »\, théorie des formes modulaires\, invariants des variétés\, classification des groupes simples finis sporadiques… et même plus récemment dans la théorie des représentations du groupe de Galois absolu de Q ! \nIls n’existent qu’en dimension n = 0 mod 8\, et en chaque telle dimension\, il n’y en a qu’un nombre fini à isométrie euclidienne près. Curieusement\, on ne sait les classifier que n<=24. Dans cet exposé\, j’expliquerai certains éléments de cette classification en suivant une approche due à M. Kneser.
URL:https://www.math.ens.psl.eu/evenement/tba-11/
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SUMMARY:Modulations: une jeune théorie quinquagénaire
DESCRIPTION: Si le terme modulation fait partie du langage courant\, notamment en ce qui concerne les ondes radio (AM/FM)\, la théorie des modulations telle qu’initiée par le mathématicien britannique Whitham dans les années 1960-1970 recèle encore bien des questions ouvertes\, malgré des avancées récentes. Il sera question dans cet exposé de modulations d’ondes modélisées par des équations aux dérivées partielles non-linéaires dispersives\, dont des archétypes sont les équations de Korteweg-de Vries et de Schrödinger non-linéaire\, omniprésentes en physique mathématique.
URL:https://www.math.ens.psl.eu/evenement/modulations-une-jeune-theorie-quinquagenaire/
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SUMMARY:Minimisation de fonctions à gradient lipschitzien
DESCRIPTION:  Imaginons qu’on ait besoin de calculer de manière approximative le minimum d’une fonction. Étant fixée une durée de calcul maximale\, quelle qualité d’approximation peut-on espérer ? Nous répondrons à cette question sous l’hypothèse que la fonction est à gradient lipschitzien\, d’abord dans le cas convexe puis dans le cas général.
URL:https://www.math.ens.psl.eu/evenement/minimisation-de-fonctions-a-gradient-lipschitzien/
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SUMMARY:Une introduction aux jeux à champ moyen
DESCRIPTION: Les jeux à champ moyen constituent un domaine de recherche nouveau et actif depuis les articles fondateurs de Lasry et Lions en 2007. Il s’ agit d’étudier le comportement asymptotique d’ équilibres de Nash quand le nombre de joueurs tend vers l’infini. Un joueur représentatif choisit alors sa stratégie en tenant compte d’une information globale sur les états ou les stratégies des autres joueurs. On insistera particulièrement sur les systèmes d’ équations aux dérivées partielles qu’on obtient dans les cas les plus simples\, et on s’ intéressera à des questions liées aux simulations numériques de ces modèles.
URL:https://www.math.ens.psl.eu/evenement/une-introduction-aux-jeux-a-champ-moyen/
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SUMMARY:Nombres premiers et lois de probabilités.
DESCRIPTION: Nous verrons qu’il est possible de faire des statistiques sur les nombres premiers\, et de prédire quelles lois de probabilités dictent leur répartition. En particulier je parlerai de progressions arithmétiques et de petits\, moyens et grands écarts.
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SUMMARY:Autour de l’Hamiltonien d’Anderson continu
DESCRIPTION: On s’intéressera à l’opérateur obtenu en perturbant le Laplacien par un bruit blanc. Cet opérateur peut être vu comme une limite d’échelle de l’Hamiltonien d’Anderson sur réseau. On présentera des résultats sur la construction de cet opérateur aléatoire à l’aide de la théorie des structures de régularité d’Hairer\, puis sur les propriétés de son spectre\, notamment sur la localisation de ses fonctions propres.
URL:https://www.math.ens.psl.eu/evenement/autour-de-lhamiltonien-danderson-continu/
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SUMMARY:Courbes algébriques réelles et patchwork combinatoire
DESCRIPTION: La première partie du 16-ème problème de Hilbert est consacrée\, en particulier\, à la topologie des courbes algébriques réelles planes. Les courbes algébriques réelles semblent être éloignées de la géométrie combinatoire. On parlera de propriétés topologiques de ces courbeset on montrera qu’il est possible de les construire de façon purement combinatoire :  certaines courbes algébriques réelles peuvent être obtenues en recollant des morceaux qui sont essentiellement des droites. Cette procédure s’appelle le patchwork combinatoire ;  elle est directement liée à la géométrie tropicale (une branche des mathématiques qui est apparue très récemment).
URL:https://www.math.ens.psl.eu/evenement/courbes-algebriques-reelles-et-patchwork-combinatoire/
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SUMMARY:Permutations et polymères aléatoires
DESCRIPTION: On s’intéressera dans l’exposé au problème suivant\, appelé problème d’Ulam: si on prend une permutation s de {1\,…\,n} au hasard\, uniformément parmi toutes les permutations possibles\, quelle est la longueur de la plus longue sous-suite croissante de s(1)\, s(2)\,…\, s(n) ?Ce problème d’apparence simple est en réalité très riche\, et on verra qu’il est relié à certaines modèles de physique statistique\, dont un modèle de polymère aléatoire.
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