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SUMMARY:Vibrations propres et boules de billard
DESCRIPTION:On s’intéressera aux vibrations propres d’un domaine plan (une peau de tambour) dans la limite des hautes énergies (des grandes valeurs propres) et on se posera les questions suivantes : ces vibrations propres ont-elles tendance à s’équirépartir dans le domaine plan ? Ou au contraire\, peuvent-elles se concentrer dans un sous-domaine ? Comment ces propriétés sont-elles liées à la dynamique du billard associé et donc à la forme du tambour ?
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SUMMARY:Spectre de grandes matrices aléatoires
DESCRIPTION:Depuis les travaux de Wigner dans les années 50\, les matrices aléatoires ont connu un succès spectaculaire. Il est conjecturé que leurs valeurs propres décrivent de nombreux phénomènes physiques et mathématiques — la conjecture de Montgomery sur les zéros de la fonction zeta de Riemann est l’un des exemples les plus célèbres — même si quasiment rien n’est rigoureusement prouvé à l’heure actuelle. J’expliquerai dans cet exposé comment étudier le spectre de ces matrices en suivant l’approche « objective » préconisée par Aldous\, implémentée par Edelman et Sutton en 2006 et poursuivie notamment par Valko et Virag. Nous prouverons en passant la loi du demi cercle pour ces matrices (sans aucun calcul !).
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SUMMARY:Surfaces hyperboliques et leurs systoles
DESCRIPTION:Dans cet exposé\, je vais expliquer comment on peut construire des surfaces hyperboliques à partir de morceaux de ce qu’on appelle le plan hyperbolique. Je parlerai de courbes sur ces surfaces et d’un problème ouvert à propos des courbes « très courtes ».
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SUMMARY:n! (30n)! / (6n)! (10n)! (15n)!
DESCRIPTION:Ces quotients de factorielles sont toujours des nombres entiers\, essayez de le prouver en calculant leur valuation p-adique ! Derrière cette propriété élémentaire se cache le fait qu’une certaine fonction hypergéométrique est algébrique\, comme l’a observé Rodríguez Villegas il y a quinze ans. Je prendrai son théorème — que j’aurais tant voulu démontrer moi-même — comme excuse pour parler de l’une des plus belles idées des maths\, la monodromie\, et de comment reconnaître les fonctions algébriques parmi les solutions d’équations différentielles linéaires.
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SUMMARY:La problématique de l’inférence statistique à travers les échelles
DESCRIPTION:Dans cet exposé relativement élémentaire\, nous poserons les jalons de la problématique de la reconstruction d’information à travers les échelles en modélisation mathématique et en statistique. Nous présenterons trois exemples issus d’applications différentes : (1) le rôle de la microstructure des marchés financiers dans la stabilité (ou l’instabilité !) des prix\, (2) les effets cohorte en démographie humaine (certaines générations semblent avoir une meilleure espérance de vie que d’autres à de très grandes échelles) et (3)\, si le temps le permet\,  l’effet de dégradation d’information dans les échelles intermédiaires dans des modèles de dispersion spatiale (utilisés en génétique des plantes ou en files d’attente). Ces exemples permettront de mettre en avant des liens fondamentaux entre l’analyse et la théorie des probabilités\, à travers des problèmes issus de la statistique.
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SUMMARY:L'émergence des quasi-probabilités
DESCRIPTION:La mécanique quantique\, entre autres bizarreries\, amène dans certains cas à considérer des quantités classiquement appelées probabilités qui peuvent prendre des valeurs négatives. Nous ferons un tour d’horizon de comment elles émergent de l’expérience\, de comment on peut les inférer à partir de lois de probabilité bien positives et de leur traitement dans l’espace des phases. Un résultat d’unicité permet de choisir parmi les constructions possibles celle qui est la plus fondamentale. \nPuis Constantin Vaillant-Tenzer nous jouera de la musique !
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SUMMARY:Mouvement par courbure anisotrope et dynamique de Glauber: une limite d'échelle continue et déterministe pour une dynamique aléatoire et discrète.
DESCRIPTION:Dans cet exposé nous nous étudierons une dynamique aléatoire en temps discret sur l’ensemble des configurations de spins $\Omega_L:= \left\{ \sigma : \{1\,\dots\, L\}^2 \to \{-1\,1\} \right\}$ régie par les règles suivantes : \n\nA chaque étape la valeur d’un spin pris au hasard est actualisé.\nL’actualisation de la valeur d’un spin est faite en regardant l’état des spins voisins\, et la nouvelle valeur adoptée est celle observée chez la majorité des voisins. Les cas d’égalité sont tranchés par des pile-ou-faces de paramètre 1/2.\n\nOn part d’une configuration initiale uniformément égale à -1 et une condition de frontière +1\, et on se pose la question du temps typique de disparition du dernier -1. Nous verrons au cours de l’exposé que la résolution de cette question doit nécessairement passer par une étude de l’évolution géométrique de l’ensemble des spins -1. \n(avec F. Simenhaus (Paris) et (F. Toninelli))\n \n 
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SUMMARY:Tresses et commutativité
DESCRIPTION:Considérons un espace muni d’une multiplication m : X x X -> X. On peut demander que m soit commutative\, c’est-à-dire m(x\,y) = m(y\,x)\, mais souvent en topologie\, c’est trop demander. Que se passe-t-il si on relaxe cette condition\, en demandant uniquement que (x\,y) -> m(x\,y) soit homotope à (x\,y) -> m(y\,x)\, c’est-à-dire qu’on peut déformer continument la première application en la seconde ? Peut-on prétendre que notre multiplication est commutative ? Cette question est à l’origine de beaucoup de développements modernes en théorie de l’homotopie\, et nous verrons qu’elle nous fait redécouvrir des vieux objets\, les tresses\, sous un nouveau point de vue.
URL:https://www.math.ens.psl.eu/evenement/tresses-et-commutativite/
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SUMMARY:Limites d’espaces complexes
DESCRIPTION:Considérons un espace donné par l’ensemble des solutions complexes d’un système d’équations polynomiales. En dézoomant de plus en plus\, on voit apparaître un espace d’apparence plus simple\, de nature essentiellement combinatoire. Cette propriété peut s’interpréter comme une instance d’un phénomène plus général de dégénérescence d’espaces complexes vers un espace d’une autre sorte\, dit espace ultramétrique. Nous expliquerons comment donner un sens précis à ces idées à l’aide de la théorie des espaces de Berkovich hybrides. Nous présenterons également quelques exemples d’applications.
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SUMMARY:Théorème central limite et projections de vecteurs en grande dimension
DESCRIPTION:Le théorème central limite est un des résultats fondamentaux de la théorie des probabilités\, qui indique que les sommes de variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées sont asymptotiquement gaussiennes. Dans cet exposé\, j’expliquerai comment ce résultat se place dans un contexte plus général : les projections de basses dimension de vecteurs en grande dimension sont souvent (mais pas toujours) proches de suivre un loi gaussienne.
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SUMMARY:Définitions un peu loufoques de l'ensemble des éléments non nuls d'un anneau
DESCRIPTION:Soit A un anneau commutatif unitaire. Peut-on définir l’ensemble des éléments non nuls de A par une formule ne contenant que des conjonctions et disjonctions (mais pas de négations !) d’égalités polynomiales\, et seulement le quantificateur ∃ ?  \nMoret-Bailly a décrit de grandes classes d’anneaux pour lesquelles la réponse est positive\, et d’autres pour lesquelles elle est négative ; ces descriptions que je présenterai mettent en jeu de l’algèbre commutative et de la géométrie analytique complexe.
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SUMMARY:Discrétisations de dynamiques
DESCRIPTION:Dans cet exposé\, j’essaierai de relier les problèmes de discrétisation de dynamiques\, de rotations d’images numériques et de pavages par des cubes.
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SUMMARY:Irrationalité et transcendance
DESCRIPTION:Un nombre complexe est dit transcendent s’il ne vérifie aucune équation polynomiale (non triviale) à coefficients rationnels. Tandis que “pratiquement tous” les nombres complexes sont transcendants\, il est souvent difficile de décider si un certain nombre est transcendant. Pire\, c’est déjà non trivial d’en donner un seul exemple explicite ! Ce n’est qu’au XIXème siècle que les résultats arrivent : Liouville (1844) montre que le réel\n\[\n\sum_{n = 1}^\infty 10^{-n!} = 0.110001000000000000000001\dots\n\]\nest transcendant\, Hermite (1873) que $e$ est transcendant\, et Lindemann (1882) qu’étant donné un nombre complexe non nul $z$\, au plus un parmi les nombres $z$ et $e^z$ est algébrique–en particulier\, $\pi$ est transcendant\, ce qui clot le problème de la quadrature du cercle. \nDans cet exposé\, je passerai en revue ces résultats en en montrant quelques uns\, et je présenterai plein d’autres nombres qu’on voudrait savoir être transcendants\, en essayant d’expliquer pourquoi.
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SUMMARY:Réseaux unimodulaires pairs
DESCRIPTION:Un réseau « unimodulaire pair » est un réseau  L  de l’espace euclidien  R^n  qui possède d’une part un domaine fondamental de volume 1\, et d’autre part tel que  x.x  est un entier pair pour tout élément x de L. Le réseau  E_8  (n=8) et le réseau de Leech (n=24) en sont des exemples particulièrement fameux. \nLes réseaux unimodulaires pairs interviennent dans des domaines variés des mathématiques : problèmes d’empilements de sphères\, classification des formes quadratiques « sur Z »\, théorie des formes modulaires\, invariants des variétés\, classification des groupes simples finis sporadiques… et même plus récemment dans la théorie des représentations du groupe de Galois absolu de Q ! \nIls n’existent qu’en dimension n = 0 mod 8\, et en chaque telle dimension\, il n’y en a qu’un nombre fini à isométrie euclidienne près. Curieusement\, on ne sait les classifier que n<=24. Dans cet exposé\, j’expliquerai certains éléments de cette classification en suivant une approche due à M. Kneser.
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SUMMARY:Modulations: une jeune théorie quinquagénaire
DESCRIPTION: Si le terme modulation fait partie du langage courant\, notamment en ce qui concerne les ondes radio (AM/FM)\, la théorie des modulations telle qu’initiée par le mathématicien britannique Whitham dans les années 1960-1970 recèle encore bien des questions ouvertes\, malgré des avancées récentes. Il sera question dans cet exposé de modulations d’ondes modélisées par des équations aux dérivées partielles non-linéaires dispersives\, dont des archétypes sont les équations de Korteweg-de Vries et de Schrödinger non-linéaire\, omniprésentes en physique mathématique.
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SUMMARY:Minimisation de fonctions à gradient lipschitzien
DESCRIPTION:  Imaginons qu’on ait besoin de calculer de manière approximative le minimum d’une fonction. Étant fixée une durée de calcul maximale\, quelle qualité d’approximation peut-on espérer ? Nous répondrons à cette question sous l’hypothèse que la fonction est à gradient lipschitzien\, d’abord dans le cas convexe puis dans le cas général.
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SUMMARY:Une introduction aux jeux à champ moyen
DESCRIPTION: Les jeux à champ moyen constituent un domaine de recherche nouveau et actif depuis les articles fondateurs de Lasry et Lions en 2007. Il s’ agit d’étudier le comportement asymptotique d’ équilibres de Nash quand le nombre de joueurs tend vers l’infini. Un joueur représentatif choisit alors sa stratégie en tenant compte d’une information globale sur les états ou les stratégies des autres joueurs. On insistera particulièrement sur les systèmes d’ équations aux dérivées partielles qu’on obtient dans les cas les plus simples\, et on s’ intéressera à des questions liées aux simulations numériques de ces modèles.
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SUMMARY:Nombres premiers et lois de probabilités.
DESCRIPTION: Nous verrons qu’il est possible de faire des statistiques sur les nombres premiers\, et de prédire quelles lois de probabilités dictent leur répartition. En particulier je parlerai de progressions arithmétiques et de petits\, moyens et grands écarts.
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SUMMARY:Autour de l’Hamiltonien d’Anderson continu
DESCRIPTION: On s’intéressera à l’opérateur obtenu en perturbant le Laplacien par un bruit blanc. Cet opérateur peut être vu comme une limite d’échelle de l’Hamiltonien d’Anderson sur réseau. On présentera des résultats sur la construction de cet opérateur aléatoire à l’aide de la théorie des structures de régularité d’Hairer\, puis sur les propriétés de son spectre\, notamment sur la localisation de ses fonctions propres.
URL:https://www.math.ens.psl.eu/evenement/autour-de-lhamiltonien-danderson-continu/
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SUMMARY:Courbes algébriques réelles et patchwork combinatoire
DESCRIPTION: La première partie du 16-ème problème de Hilbert est consacrée\, en particulier\, à la topologie des courbes algébriques réelles planes. Les courbes algébriques réelles semblent être éloignées de la géométrie combinatoire. On parlera de propriétés topologiques de ces courbeset on montrera qu’il est possible de les construire de façon purement combinatoire :  certaines courbes algébriques réelles peuvent être obtenues en recollant des morceaux qui sont essentiellement des droites. Cette procédure s’appelle le patchwork combinatoire ;  elle est directement liée à la géométrie tropicale (une branche des mathématiques qui est apparue très récemment).
URL:https://www.math.ens.psl.eu/evenement/courbes-algebriques-reelles-et-patchwork-combinatoire/
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SUMMARY:Permutations et polymères aléatoires
DESCRIPTION: On s’intéressera dans l’exposé au problème suivant\, appelé problème d’Ulam: si on prend une permutation s de {1\,…\,n} au hasard\, uniformément parmi toutes les permutations possibles\, quelle est la longueur de la plus longue sous-suite croissante de s(1)\, s(2)\,…\, s(n) ?Ce problème d’apparence simple est en réalité très riche\, et on verra qu’il est relié à certaines modèles de physique statistique\, dont un modèle de polymère aléatoire.
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SUMMARY:Inégalités fonctionnelles et problème de comportement en temps grand
DESCRIPTION:Dans cet exposé\, nous verrons que certaines inégalités fonctionnelles jouent un rôle crucial dans l’étude du comportement en temps grand de solutions de certaines EDP. Plus précisément\, nous utiliserons des méthodes dites de dissipation d’entropie (dont le but est t’établir des versions quantitatives du mécanisme de décroissance de l’entropie) dans le cas de l’équation de Fokker-Planck. Nous étudierons ensuite le cas plus complexe de l’équation de Boltzmann (homogène en espace) et verrons que ces méthodes fournissent également des résultats sur le comportement en temps grand des solutions de l’équation. Néanmoins\, il est parfois utile de combiner ces résultats avec une étude précise du linéarisé pour obtenir de meilleurs taux de décroissance.
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SUMMARY:Nombres p-adiques et espaces de Berkovich
DESCRIPTION:Étant donné un nombre premier p\, nous expliquerons tout d’abord comment construire une valeur absolue sur Q\, dite p-adique\, puis un complété\, de la même façon que l’on construit R à partir de Q. Ce complété\, le corps des nombres p-adiques\, possède des propriétés arithmétiques intéressantes\, mais présente de nombreuses pathologies topologiques. Nous expliquerons comment y remédier en le plongeant dans un espace plus grand\, un espace de Berkovich\, et exposerons quelques applications.
URL:https://www.math.ens.psl.eu/evenement/nombres-p-adiques-et-espaces-de-berkovich/
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SUMMARY:Coloriages de graphes\, nombre d'or et topologie quantique
DESCRIPTION:En partant d’objets simples comme les polynômes chromatiques\, liés au fameux théorème des 4 couleurs\, on va explorer quelques invariants – dans lesquels le nombre d’or est omniprésent – associés à des graphes noués dans l’espace. Ce sera l’occasion d’introduire les idées et les problèmes de la topologie dite quantique.
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SUMMARY:La conjecture de cristallisation
DESCRIPTION:Dans cet exposé je discuterai de la conjecture de cristallisation\, qui consiste à prouver que des points se mettent automatiquement sur un réseau périodique\, dans certaines situations. Je parlerai principalement du cas particulier des gaz de Riesz et de Coulomb qui sont omniprésents dans de nombreuses branches des mathématiques. Ils décrivent par exemple la répartition des zéros de solutions d’équations aux dérivées partielles\, la statistique des valeurs propres des matrices aléatoires\, le placement optimal de points de discrétisation sur des surfaces\, et sont reliés à la fonction Zeta de Epstein.
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SUMMARY:Compter les surfaces
DESCRIPTION:http://www.math.ens.fr/~mourrat/desmaths_eynard.pdf
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SUMMARY:Le livre aux sept sceaux : pour une histoire des Disquisitiones arithmeticae de C.-F. Gauss
DESCRIPTION:Publié en 1801\, ce traité de mathématiques  a été traduit en plus de dix langues\, qualifié de « monument impérissable à la gloire de l’esprit humain » et a inspiré des développements aussi variés que la théorie de Galois\, la théorie algébrique des nombres de Kummer à Hilbert\, les tests de primalité de Lucas-Lehmer ou l’hypothèse de Riemann sur les corps finis\, et bien d’autres mathématiques sur plus de deux siècles. L’exposé présentera l’ouvrage et son auteur\, quelques-unes des mathématiques auquel les Disquisitiones ont donné lieu et ce faisant discutera ce que veut dire « lire un livre de mathématiques » et en faire l’histoire.
URL:https://www.math.ens.psl.eu/evenement/le-livre-aux-sept-sceaux-pour-une-histoire-des-disquisitiones-arithmeticae-de-c-f-gauss/
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SUMMARY:Groupe de classes des corps cyclotomiques et représentations de groupes
DESCRIPTION:Le groupe de classes d’un corps cyclotomique est un objet fascinant qui possède de très belles propriétés de nature arithmétique. Dans cet exposé\, je voudrais discuter un théorème de Ribet concernant ce groupe et expliquer comment la théorie des représentations galoisiennes intervient dans la preuve découverte par Ribet.
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SUMMARY:A l'écoute du bruit - L'imagerie par corrélations croisées
DESCRIPTION:Les techniques d’imagerie classiques utilisent des ondes pour sonder un milieu inconnu et sont employées pour des applications médicales (échographie) ou géophysiques (séismologie) par exemple. Ces ondes sont émises par des réseaux de sources et après propagation dans le milieu elles sont enregistrées par des réseaux de récepteurs. Ces techniques sont généralement mises en défaut lorsqu’on les utilise dans des milieux diffusants contenant des inhomogénéités aléatoires\, car les signaux cohérents venant des réflecteurs à imager et enregistrés par les réseaux de récepteurs sont souvent noyés par les signaux incohérents venant des diffuseurs. L’analyse stochastique et multi-échelles permet de comprendre la situation et de proposer des fonctions d’imagerie originales. On verra que ces nouvelles fonctions d’imagerie à base de corrélations croisées permettent d’exploiter des signaux traversant des milieux très complexes\, et aussi d’utiliser des signaux issus de sources de bruit ambiant. La possibilité d’utiliser des sources incontrôlées de bruit ambiant au lieu de sources actives contrôlées est évidemment très excitante d’un point de vue théorique\, car elle remet en cause la distinction habituelle signal/bruit\, et d’un point de vue pratique\, par exemple en séismologie\, où la rareté des sources (les séismes) et l’impossibilité de les contrôler a toujours été un facteur limitant.
URL:https://www.math.ens.psl.eu/evenement/a-lecoute-du-bruit-limagerie-par-correlations-croisees/
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SUMMARY:Méthodes comparatives phylogénétiques: comment penser l'évolution sur un arbre?
DESCRIPTION:Dans cette présentation\, on essaiera de comparer deux traits (par exemple poids et taille) mesurés sur des  organismes apparentés. On expliquera pourquoi les comparaisons naïves sont vouées à l’échec avant de présenter le cadre mathématique des Méthodes Phylogénétiques Comparatives (ou PCM). On discutera les hypothèses et les outils sous-jacents à ces méthodes avant d’illustrer leur usage sur un exemple.
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