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SUMMARY:Groupe de classes des corps cyclotomiques et représentations de groupes
DESCRIPTION:Le groupe de classes d’un corps cyclotomique est un objet fascinant qui possède de très belles propriétés de nature arithmétique. Dans cet exposé\, je voudrais discuter un théorème de Ribet concernant ce groupe et expliquer comment la théorie des représentations galoisiennes intervient dans la preuve découverte par Ribet.
URL:https://www.math.ens.psl.eu/evenement/groupe-de-classes-des-corps-cyclotomiques-et-representations-de-groupes/
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SUMMARY:A l'écoute du bruit - L'imagerie par corrélations croisées
DESCRIPTION:Les techniques d’imagerie classiques utilisent des ondes pour sonder un milieu inconnu et sont employées pour des applications médicales (échographie) ou géophysiques (séismologie) par exemple. Ces ondes sont émises par des réseaux de sources et après propagation dans le milieu elles sont enregistrées par des réseaux de récepteurs. Ces techniques sont généralement mises en défaut lorsqu’on les utilise dans des milieux diffusants contenant des inhomogénéités aléatoires\, car les signaux cohérents venant des réflecteurs à imager et enregistrés par les réseaux de récepteurs sont souvent noyés par les signaux incohérents venant des diffuseurs. L’analyse stochastique et multi-échelles permet de comprendre la situation et de proposer des fonctions d’imagerie originales. On verra que ces nouvelles fonctions d’imagerie à base de corrélations croisées permettent d’exploiter des signaux traversant des milieux très complexes\, et aussi d’utiliser des signaux issus de sources de bruit ambiant. La possibilité d’utiliser des sources incontrôlées de bruit ambiant au lieu de sources actives contrôlées est évidemment très excitante d’un point de vue théorique\, car elle remet en cause la distinction habituelle signal/bruit\, et d’un point de vue pratique\, par exemple en séismologie\, où la rareté des sources (les séismes) et l’impossibilité de les contrôler a toujours été un facteur limitant.
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SUMMARY:Méthodes comparatives phylogénétiques: comment penser l'évolution sur un arbre?
DESCRIPTION:Dans cette présentation\, on essaiera de comparer deux traits (par exemple poids et taille) mesurés sur des  organismes apparentés. On expliquera pourquoi les comparaisons naïves sont vouées à l’échec avant de présenter le cadre mathématique des Méthodes Phylogénétiques Comparatives (ou PCM). On discutera les hypothèses et les outils sous-jacents à ces méthodes avant d’illustrer leur usage sur un exemple.
URL:https://www.math.ens.psl.eu/evenement/methodes-comparatives-phylogenetiques-comment-penser-levolution-sur-un-arbre/
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SUMMARY:Théorèmes de traces dans les réseaux résistifs
DESCRIPTION:Les  réseaux résistifs sont des graphes non orientés dont les arêtes sont munies de poids positifs (les résistances). Ce cadre a priori simpliste  permet de construire une théorie très  complète  qui est le pendant discret  des équations aux dérivées partielles (en particulier elliptiques) posées dans un domaine euclidien\, ou sur une variété. Nous verrons que\, si le cadre semble plus abordable que celui des EDP\, il est par certains aspects plus riche et  plus général. Nous nous intéresserons en particulier\, dans le cas de réseaux infinis\,  au problème de la définition de  traces\, dont l’enjeu est la construction d’espaces de fonctions définies sur l’espace des bouts\, qui permettent d’imposer des conditions aux limites « à l’infini ». Si le temps le permet\, nous illustrerons ces considérations par un modèle de ventilation\, basée sur  une version  infinie (en termes de nombre de générations) du poumon humain.
URL:https://www.math.ens.psl.eu/evenement/theoremes-de-traces-dans-les-reseaux-resistifs/
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SUMMARY:Fractals en algèbre
DESCRIPTION:Les fractals sont bien acceptés en géométrie\, en partie grâce aux efforts de Benoît Mandelbrot : une fougère est fractale car ses ramilles sont semblables à la fougère originale\, à plus petite échelle. Qu’en est-il en algèbre ? Qu’est-ce qu’un «groupe fractal»\, une «algèbre fractale» ? Je donnerai quelques exemples de tels objets\, ainsi que certaines de leurs propriétés les plus remarquables.
URL:https://www.math.ens.psl.eu/evenement/fractals-en-algebre/
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SUMMARY:Géométrie et transcendance
DESCRIPTION:Au delà de la preuve par Hermite et Lindemann de la transcendance des constantes e et $pi$\,Les nombres algébriques sont ceux qui sont solution d’une équation polynomiale (non triviale) à coefficients rationnels ;les autres sont appelés transcendants\, parmi lesquels $e$ (Hermite) et $pi$ (Lindemann). De même\, les fonctions algébriques (d’une variable $z$) sont celles qui sont solutiond’une équation polynomiale (non triviale) à coefficients polynomiaux ; les autres sont qualifiées de transcendantes\,par exemple la fonction exponentielle.La théorie des nombres transcendants s’attache à établir la transcendance de valeurs de fonctions méromorphes transcendantes\,ou\, plus généralement\, les relations algébriques possibles entre valeurs de telles fonctions ; elle est limitée\, bien sûr\,par les équations fonctionnelles auxquelles obéissent ces fonctions — par exemple\, l’équation fonctionnelle $exp(x+y)=exp(x)exp(y)$de la fonction exponentielle.  On verra ainsi sur l’exemple de la fonction exponentielle\, ainsi que sur celui de la fonction modulaire\,comment ces deux thèmes s’entrelacent dans la géométrie arithmétique contemporaine.
URL:https://www.math.ens.psl.eu/evenement/geometrie-et-transcendance/
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SUMMARY:Une introduction au chaos quantique.
DESCRIPTION:Il y a cent ans\, pendant la préhistoire de la mécanique quantique\, se posait la question de trouver des conditions de quantification pour décrire le spectre des atomes. Einstein en particulier s’est interrogé sur la quantification des systèmes qui ont la propriété d’ergodicité en mécanique classique. Nous ferons le point sur les principales conjectures liées à cette question\, et décrirons quelques résultats récents\, en insistant plus particulièrement sur la propriété appelée ergodicité quantique.
URL:https://www.math.ens.psl.eu/evenement/une-introduction-au-chaos-quantique/
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SUMMARY:Oumuamua\, the Gömböc and the Pebbles of Mars
DESCRIPTION:In this talk I will concentrate on two examples from planetary science which made the headlines in recent years to highlight the power and significance of nonlinear geometric partial differential equations (PDEs) explaining puzzles presented by Nature. One key link between PDE theory of shape evolution and natural phenomena is the Gömböc\, the first mono-monostatic object whose existence was first conjectured by V.I. Arnold in 1995. I will explain the connection and illustrate the process how mathematical models of Nature may be identified.
URL:https://www.math.ens.psl.eu/evenement/oumuamua-the-gomboc-and-the-pebbles-of-mars/
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SUMMARY:Algorithmes d'interaction fluide-structure dans les écoulements sanguins
DESCRIPTION:La prise en compte de phénomènes d’interaction fluide-structure est importante dans la modélisation mathématique du système cardiovasculaire\, que ce soit pour les écoulements dans les grosses artères ou autour des valves cardiaques. Je donnerai une idée des avancées réalisées au cours des dix dernières années. En particulier\, je montrerai comment l’analyse numérique de modèles simplifiés a permis de progresser.
URL:https://www.math.ens.psl.eu/evenement/algorithmes-dinteraction-fluide-structure-dans-les-ecoulements-sanguins/
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SUMMARY:Une question simple mais pas anodine: quel est l'espace des fréquences du groupe d'Heisenberg?
DESCRIPTION:Dans cet exposé\, nous commencerons par rappeler les propriétés classiques de la transformation de Fourier sur ${bf R}^n$. Puis nous présenterons le groupe d’Heisenberg que l’on peut voir comme le groupe non commutatif le plus proche de ${bf R}^n$.Nous définirons alors la famille des représentations de Schrödinger.  Ensuite\, nous présenterons la définition de la transformation de Fourier d’une fonction intégrable dans ce cadre; c’est une famille d’opérateurs bornés sur un espace de fonctions de carré intégrable.La question que nous aborderons alors est: peut-on identifier de telles familles à des fonctions continues nulles à l’infini sur un espace métrique complet.Une réponse à cette question a été obtenue récemment en se laissant guider par le cadre classique de l’espace ${bf R}^N$.
URL:https://www.math.ens.psl.eu/evenement/une-question-simple-mais-pas-anodine-quel-est-lespace-des-frequences-du-groupe-dheisenberg/
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SUMMARY:Difféomorphismes du disque et théorie géométrique des groupes
DESCRIPTION:Je propose(1) de montrer que le groupe des difféomorphismes du disque est contractile (c’est un théorème de Smale\, avec une jolie preuve)(2) d’expliquer le tout début de la théorie géométrique des groupes\, et\, si on a le temps\, de raconter des tentatives actuelles pour mélangerles deux sujets.
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SUMMARY:Processus déterminantaux
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SUMMARY:Les structures quasi-aléatoires et la combinatoire additive
DESCRIPTION:La combinatoire additive concerne les propriétés des sous-ensembles finis des groupes abéliens\, et en particulier des ensembles finis de nombres entiers. Il y a beaucoup de problèmes et de théorèmes interessants dans le domaine\, dont je vais présenter quelques uns. Une des idées centrales est celle d’une structure quasi-aléatoire\, qui est une structure qui ressemble à une structure qui a été choisie au hasard\, même si ce n’est pas forcément le cas.
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SUMMARY:Systèmes dynamiques en dimension 2
DESCRIPTION:La théorie des systèmes dynamiques s’attache historiquement à étudier les propriétés asymptotiques d’un système qui évolue au cours du temps. Il est bien connu qu’une telle évolution peut être selon les cas régulière ou chaotique. Ces comportements s’observent déjà sur des systèmes explicites très simples en petite dimension. Je vais essayer de décrire quelques uns de ces exemples\, et comment ils s’inscrivent dans le panorama (conjectural) des systèmes dynamiques en dimension 2.
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SUMMARY:Géométrie des sommes de carrés
DESCRIPTION:Artin a résolu le 17ème problème de Hilbert en démontrant qu’un polynôme en n variables à coefficients réels qui est positif est somme de carrés de fractions rationnelles. Pfister a spectaculairement amélioré cet énoncé en montrant qu’il est en fait somme d’au plus 2^n carrés de fractions rationnelles. Peut-on encore améliorer le théorème de Pfister ? Dans cet exposé\, nous survolerons ces questions\, et expliquerons des progrès récents et des problèmes ouverts\, en mettant l’accent sur l’influence de la géométrie.
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SUMMARY:Electrostatique\, théorie du potentiel et grandes déviations
DESCRIPTION:La théorie classique de l’électrostatique décrit l’énergie d’intéraction de N particules identiques négativement chargées se repoussant librement sur un condensateur (un compact de l’espace euclidien). Les configurations à l’équilibre\, qui minimisent cette énergie\, ne sont pas uniques en général\, mais un résultat remarquable montre que l’unicité est restaurée à la «limite thermodynamique»\, i.e. lorsque N tend vers l’infini. En d’autres termes\, les configurations à l’équilibre s’équirépartissent sur une uniquemesure de probabilité\, décrivant l’état à l’équilibre macroscopique du système. Le but de cet exposé est d’introduire les bases de la théorie du potentiel sur lesquelles repose cet énoncé d’équirépartition\, et d’en présenter une version probabiliste dans laquelle le principe deminimisation de l’énergie entre en compétition avec l’aléa à travers l’entropie.
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SUMMARY:Ce que la logique peut dire sur certains groupes
DESCRIPTION:On va étudier la relation entre groupes\, géométrie\, et logique dupremier ordre dans un cas simple.Les groupes qu’on considèrera seront des groupes d’isométries d’espaceshyperboliques\, mais n’ayant pas d’action intéressante sur des arbres.La théorie élémentaire d’un groupe est l’ensemble (infini) de tous lesenoncés qu’il satisfait (on parle de theorie elementare car on nequantifie que sur des éléments individuels du groupe\, par opposition àdes sous-ensembles\, sous-groupes\, morphismes…).On montrera que dans cette classe de groupes\, deux groupes ont lamême théorie élémentaire si et seulement si ils sont isomorphes. 
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SUMMARY:Combinatoire des polyèdres convexes
DESCRIPTION:Cet exposé est une invitation à réfléchir aux formes des polyèdres convexes et compacts de dimension finie quelconque. J’expliquerai que lorsque le polyèdre est générique du point de vue de ses faces de dimension maximale\, cette forme peut être reconstituée à partir du graphe formé par les sommets et les arêtes du polyèdre. Puis j’expliquerai que lorsque le polyèdre est générique du point de vue des sommets\, cela n’est plus possible. Enfin\, je parlerai de la caractérisation des suites de nombres de sommets des polyèdres génériques. La situation pour les polyèdres non-génériques reste ouverte.
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SUMMARY:Grothendieck et la géométrie algébrique dans les années soixante
DESCRIPTION:J’évoquerai des souvenirs\, et tenterai d’expliquer quelques unes des idées révolutionnaires que Grothendieck a introduites\, et des applications qui en ont découlé.
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SUMMARY:Homogénéisation de l'équation de la chaleur
DESCRIPTION:L’évolution de la température dans un matériau est régie par l’équation de la chaleur. On s’intéressera au cas où le matériau est inhomogène: c’est par exemple un matériau composite\, traversé par des fibres placées aléatoirement. Dans la limite des grandes échelles\, ces hétérogénéités se moyennisent\, et en première approximation\, tout se passe comme si la température évoluait dans un milieu homogène équivalent. Le premier but de l’exposé sera d’expliquer l’émergence de cette loi des grands nombres un peu particulière. On verra ensuite les progrès récents permettant de préciser ce phénomène\, via des estimées d’erreur et une forme de théorème limite central.
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SUMMARY:Interlocking structures
DESCRIPTION:Consider a set of  convex figures in R^2. It can be proven that one of these figures can be moved out of the set by translation without disturbing the others. Therefore\, any set of planar figures can be disassembled by moving all figures one by one. However\, attempts to generalize it to R^3 have been unsuccessful and finely quite unexpectedly interlocking structures of convex bodies were  found. These structures can be used in engineering. In a small grain there is no room for cracks\, and crack propagation should be arrested on the boundary of the grain. On the other hand\, grains keep each other. So it is possible to get materials without crack propagation and get new use of sparse materials\, say ceramics. Surprisingly\, such structures can be assembled with any type of platonic polyhedra\, and they have a geometric beauty.Some pictures of interlocking structures can be seen in http://arxiv.org/abs/0812.5089.
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SUMMARY:Le problème d'évolution en relativité générale
DESCRIPTION:Le but de l’exposé est de présenter le problème de Cauchy pour les équations principales de la relativité générale\, les équations d’Einstein. Nous commencerons par une introduction à la géométrie Lorentzienne et aux équations d’Einstein puis nous présenterons quelques résultats classiques sur le sujet. Nous terminerons l’exposé par l’énoncé de quelques conjectures importantes du domaine.
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SUMMARY:Comment l’ordre émerge du désordre :  des nuages de points browniens à la gravitation de Newton
DESCRIPTION:L’observation à un instant T du mouvement brownien d’un nuage de points indistinguables dont on connaît la position initiale conduit naturellement au problème de transport optimal de Monge\, comme on le comprend dorénavant bien à la suite d’un article de Schrödinger datant des années 30. En poussant un peu plus loin l’analyse\, à l’aide du principe de grandes déviations et de techniques de calcul des variations\, on arrive à un système dynamique de particules liée au groupe symétrique\, dont on peut ensuite dériver par analyse asymptotique le modèle de gravitation de Newton.
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SUMMARY:Chemins auto-évitants sur le réseau en nid d'abeille
DESCRIPTION: Dans cet exposé\, nous partirons à la découverte d’un modèle classique de physique statistique décrivant le comportement de polymères dans un solvant. Nous parlerons en particulier des liens profonds que ces modèles entretiennent avec la physique théorique et les autres branches des mathématiques.
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SUMMARY:Transition vitreuse et couches limites
DESCRIPTION:Nous présenterons les fluides vitreux mous et quelques caractéristiques comme transition vitreuse et vieillissement. Nous expliquerons comment ces phénomènes peuvent être apparentés a des couches limites mathématiques spatiales ou temporelles sur un modèle proposé  en physique.
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SUMMARY:Apprentissage statistique pour la médecine de précision
DESCRIPTION:Les technologies modernes de génomique permettent de caractériser chaque échantillon biologique au niveau moléculaire\, générant de grandes quantités de données. L’analyse statistique de ces données peut permettre de trouver des corrélations entre des caractéristiques biologiques des patients et\, par exemple\, la réponse à certains traitements\, ouvrant la voie à la médecine dite « de précision » qui optimiserait les choix thérapeutiques en fonction du génome et des particularités de chaque individu. La détection de corrélations prédictives pose cependant des problèmes mathématiques et informatiques\, puisqu’on a affaire à des données de très grandes dimensions\, avec des structures particulières\, et à un nombre souvent restreint d’échantillon pour l’inférence. Je présenterai certaines techniques que nous développons\, permettant de formuler le problème d’apprentissage statistique comme un problème d’optimisation intégrant des connaissances biologiques sous forme de contraintes\, et illustrerai leur application dans le cadre de l’étude de cancers.
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SUMMARY:Le flot géodésique
DESCRIPTION:Le flot géodésique\, sur une surface de l’espace par exemple\, c’est le mouvement d’une particule seulement assujettie à glisser sur la surface. L’étude du flot géodésique\, qui relève de la géométrie\, à donné ses plus belles pages à la théorie des systèmes dynamiques. Ça dure depuis un siècle\, et ça continue.
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SUMMARY:Mesure de Malher des polynômes à deux variables et théorie des noeuds
DESCRIPTION:La mesure de Mahler d’un polynôme est sa moyenne géométrique sur le cercle unité. Cette quantité intervient naturellement dans des problèmes asymptotiques en théorie des nombres et en topologie. A partir de deux variables elle est très difficile à calculer\, cependant j’expliquerai que le calcul est possible dans certains cas où le polynôme est associé à un noeud\, c’est à dire une courbe fermée plongée dans R^3. Avec un peu de chance\, cette mesure devient une quantité géométrique: le volume hyperbolique du noeud. 
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SUMMARY:Intelligence artificielle et raisonnement inductif : de la théorie de l'information aux réseaux de neurones
DESCRIPTION:Les problèmes de raisonnement inductif ou d’extrapolation comme deviner la suite d’une série de nombres\, ou plus généralement\, comprendre la structure cachée dans des observations\, sont fondamentaux si l’on veutun jour construire une intelligence artificielle. On a parfois l’impression que ces problèmes ne sont pas mathématiquement bien définis. Or il existe une théorie mathématique rigoureuse du raisonnement inductif et de l’extrapolation\, basée sur la théorie de l’information. Cettethéorie est très élégante\, mais difficile à appliquer.En pratique aujourd’hui\, ce sont les réseaux de neurones qui donnent les meilleurs résultats sur toute une série de problèmes concrets d’induction et d’apprentissage (vision\, reconnaissance de la parole\, récemment le jeude Go ou les voitures sans pilote…) Je ferai le point sur quelques-uns des principes mathématiques sous-jacents et sur leur lien avec la théorie de l’information. 
URL:https://www.math.ens.psl.eu/evenement/intelligence-artificielle-et-raisonnement-inductif-de-la-theorie-de-linformation-aux-reseaux-de-neurones/
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SUMMARY:Le groupe des normes d'une extension finie de Q
DESCRIPTION:Soit K un sous-corps de C\, que l’on suppose de dimension finie sur Q. La norme N(x) d’un élément de K est définie comme le déterminant de la multiplication par x dans le Q-espace vectoriel K. On s’intéresse dans cet exposé au sous-groupe N(K*) du groupe multiplicatif Q*. On expliquera comment dans certaines situations on peut détecter si un élément de Q* appartient à N(K*). On verra aussi que le quotient Q*/N(K*) est toujours infini\, mais que la preuve de ce résultat nécessite des outils sophistiqués aussi bien de théorie des nombres que de théorie des groupes.
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