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SUMMARY:Les structures quasi-aléatoires et la combinatoire additive
DESCRIPTION:La combinatoire additive concerne les propriétés des sous-ensembles finis des groupes abéliens\, et en particulier des ensembles finis de nombres entiers. Il y a beaucoup de problèmes et de théorèmes interessants dans le domaine\, dont je vais présenter quelques uns. Une des idées centrales est celle d’une structure quasi-aléatoire\, qui est une structure qui ressemble à une structure qui a été choisie au hasard\, même si ce n’est pas forcément le cas.
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SUMMARY:Systèmes dynamiques en dimension 2
DESCRIPTION:La théorie des systèmes dynamiques s’attache historiquement à étudier les propriétés asymptotiques d’un système qui évolue au cours du temps. Il est bien connu qu’une telle évolution peut être selon les cas régulière ou chaotique. Ces comportements s’observent déjà sur des systèmes explicites très simples en petite dimension. Je vais essayer de décrire quelques uns de ces exemples\, et comment ils s’inscrivent dans le panorama (conjectural) des systèmes dynamiques en dimension 2.
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SUMMARY:Géométrie des sommes de carrés
DESCRIPTION:Artin a résolu le 17ème problème de Hilbert en démontrant qu’un polynôme en n variables à coefficients réels qui est positif est somme de carrés de fractions rationnelles. Pfister a spectaculairement amélioré cet énoncé en montrant qu’il est en fait somme d’au plus 2^n carrés de fractions rationnelles. Peut-on encore améliorer le théorème de Pfister ? Dans cet exposé\, nous survolerons ces questions\, et expliquerons des progrès récents et des problèmes ouverts\, en mettant l’accent sur l’influence de la géométrie.
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SUMMARY:Electrostatique\, théorie du potentiel et grandes déviations
DESCRIPTION:La théorie classique de l’électrostatique décrit l’énergie d’intéraction de N particules identiques négativement chargées se repoussant librement sur un condensateur (un compact de l’espace euclidien). Les configurations à l’équilibre\, qui minimisent cette énergie\, ne sont pas uniques en général\, mais un résultat remarquable montre que l’unicité est restaurée à la «limite thermodynamique»\, i.e. lorsque N tend vers l’infini. En d’autres termes\, les configurations à l’équilibre s’équirépartissent sur une uniquemesure de probabilité\, décrivant l’état à l’équilibre macroscopique du système. Le but de cet exposé est d’introduire les bases de la théorie du potentiel sur lesquelles repose cet énoncé d’équirépartition\, et d’en présenter une version probabiliste dans laquelle le principe deminimisation de l’énergie entre en compétition avec l’aléa à travers l’entropie.
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SUMMARY:Ce que la logique peut dire sur certains groupes
DESCRIPTION:On va étudier la relation entre groupes\, géométrie\, et logique dupremier ordre dans un cas simple.Les groupes qu’on considèrera seront des groupes d’isométries d’espaceshyperboliques\, mais n’ayant pas d’action intéressante sur des arbres.La théorie élémentaire d’un groupe est l’ensemble (infini) de tous lesenoncés qu’il satisfait (on parle de theorie elementare car on nequantifie que sur des éléments individuels du groupe\, par opposition àdes sous-ensembles\, sous-groupes\, morphismes…).On montrera que dans cette classe de groupes\, deux groupes ont lamême théorie élémentaire si et seulement si ils sont isomorphes. 
URL:https://www.math.ens.psl.eu/evenement/ce-que-la-logique-peut-dire-sur-certains-groupes/
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SUMMARY:Combinatoire des polyèdres convexes
DESCRIPTION:Cet exposé est une invitation à réfléchir aux formes des polyèdres convexes et compacts de dimension finie quelconque. J’expliquerai que lorsque le polyèdre est générique du point de vue de ses faces de dimension maximale\, cette forme peut être reconstituée à partir du graphe formé par les sommets et les arêtes du polyèdre. Puis j’expliquerai que lorsque le polyèdre est générique du point de vue des sommets\, cela n’est plus possible. Enfin\, je parlerai de la caractérisation des suites de nombres de sommets des polyèdres génériques. La situation pour les polyèdres non-génériques reste ouverte.
URL:https://www.math.ens.psl.eu/evenement/combinatoire-des-polyedres-convexes/
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SUMMARY:Grothendieck et la géométrie algébrique dans les années soixante
DESCRIPTION:J’évoquerai des souvenirs\, et tenterai d’expliquer quelques unes des idées révolutionnaires que Grothendieck a introduites\, et des applications qui en ont découlé.
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SUMMARY:Homogénéisation de l'équation de la chaleur
DESCRIPTION:L’évolution de la température dans un matériau est régie par l’équation de la chaleur. On s’intéressera au cas où le matériau est inhomogène: c’est par exemple un matériau composite\, traversé par des fibres placées aléatoirement. Dans la limite des grandes échelles\, ces hétérogénéités se moyennisent\, et en première approximation\, tout se passe comme si la température évoluait dans un milieu homogène équivalent. Le premier but de l’exposé sera d’expliquer l’émergence de cette loi des grands nombres un peu particulière. On verra ensuite les progrès récents permettant de préciser ce phénomène\, via des estimées d’erreur et une forme de théorème limite central.
URL:https://www.math.ens.psl.eu/evenement/homogeneisation-de-lequation-de-la-chaleur/
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SUMMARY:Interlocking structures
DESCRIPTION:Consider a set of  convex figures in R^2. It can be proven that one of these figures can be moved out of the set by translation without disturbing the others. Therefore\, any set of planar figures can be disassembled by moving all figures one by one. However\, attempts to generalize it to R^3 have been unsuccessful and finely quite unexpectedly interlocking structures of convex bodies were  found. These structures can be used in engineering. In a small grain there is no room for cracks\, and crack propagation should be arrested on the boundary of the grain. On the other hand\, grains keep each other. So it is possible to get materials without crack propagation and get new use of sparse materials\, say ceramics. Surprisingly\, such structures can be assembled with any type of platonic polyhedra\, and they have a geometric beauty.Some pictures of interlocking structures can be seen in http://arxiv.org/abs/0812.5089.
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SUMMARY:Le problème d'évolution en relativité générale
DESCRIPTION:Le but de l’exposé est de présenter le problème de Cauchy pour les équations principales de la relativité générale\, les équations d’Einstein. Nous commencerons par une introduction à la géométrie Lorentzienne et aux équations d’Einstein puis nous présenterons quelques résultats classiques sur le sujet. Nous terminerons l’exposé par l’énoncé de quelques conjectures importantes du domaine.
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SUMMARY:Comment l’ordre émerge du désordre :  des nuages de points browniens à la gravitation de Newton
DESCRIPTION:L’observation à un instant T du mouvement brownien d’un nuage de points indistinguables dont on connaît la position initiale conduit naturellement au problème de transport optimal de Monge\, comme on le comprend dorénavant bien à la suite d’un article de Schrödinger datant des années 30. En poussant un peu plus loin l’analyse\, à l’aide du principe de grandes déviations et de techniques de calcul des variations\, on arrive à un système dynamique de particules liée au groupe symétrique\, dont on peut ensuite dériver par analyse asymptotique le modèle de gravitation de Newton.
URL:https://www.math.ens.psl.eu/evenement/comment-lordre-emerge-du-desordre-des-nuages-de-points-browniens-a-la-gravitation-de-newton/
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SUMMARY:Chemins auto-évitants sur le réseau en nid d'abeille
DESCRIPTION: Dans cet exposé\, nous partirons à la découverte d’un modèle classique de physique statistique décrivant le comportement de polymères dans un solvant. Nous parlerons en particulier des liens profonds que ces modèles entretiennent avec la physique théorique et les autres branches des mathématiques.
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SUMMARY:Transition vitreuse et couches limites
DESCRIPTION:Nous présenterons les fluides vitreux mous et quelques caractéristiques comme transition vitreuse et vieillissement. Nous expliquerons comment ces phénomènes peuvent être apparentés a des couches limites mathématiques spatiales ou temporelles sur un modèle proposé  en physique.
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SUMMARY:Apprentissage statistique pour la médecine de précision
DESCRIPTION:Les technologies modernes de génomique permettent de caractériser chaque échantillon biologique au niveau moléculaire\, générant de grandes quantités de données. L’analyse statistique de ces données peut permettre de trouver des corrélations entre des caractéristiques biologiques des patients et\, par exemple\, la réponse à certains traitements\, ouvrant la voie à la médecine dite « de précision » qui optimiserait les choix thérapeutiques en fonction du génome et des particularités de chaque individu. La détection de corrélations prédictives pose cependant des problèmes mathématiques et informatiques\, puisqu’on a affaire à des données de très grandes dimensions\, avec des structures particulières\, et à un nombre souvent restreint d’échantillon pour l’inférence. Je présenterai certaines techniques que nous développons\, permettant de formuler le problème d’apprentissage statistique comme un problème d’optimisation intégrant des connaissances biologiques sous forme de contraintes\, et illustrerai leur application dans le cadre de l’étude de cancers.
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SUMMARY:Le flot géodésique
DESCRIPTION:Le flot géodésique\, sur une surface de l’espace par exemple\, c’est le mouvement d’une particule seulement assujettie à glisser sur la surface. L’étude du flot géodésique\, qui relève de la géométrie\, à donné ses plus belles pages à la théorie des systèmes dynamiques. Ça dure depuis un siècle\, et ça continue.
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SUMMARY:Mesure de Malher des polynômes à deux variables et théorie des noeuds
DESCRIPTION:La mesure de Mahler d’un polynôme est sa moyenne géométrique sur le cercle unité. Cette quantité intervient naturellement dans des problèmes asymptotiques en théorie des nombres et en topologie. A partir de deux variables elle est très difficile à calculer\, cependant j’expliquerai que le calcul est possible dans certains cas où le polynôme est associé à un noeud\, c’est à dire une courbe fermée plongée dans R^3. Avec un peu de chance\, cette mesure devient une quantité géométrique: le volume hyperbolique du noeud. 
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SUMMARY:Intelligence artificielle et raisonnement inductif : de la théorie de l'information aux réseaux de neurones
DESCRIPTION:Les problèmes de raisonnement inductif ou d’extrapolation comme deviner la suite d’une série de nombres\, ou plus généralement\, comprendre la structure cachée dans des observations\, sont fondamentaux si l’on veutun jour construire une intelligence artificielle. On a parfois l’impression que ces problèmes ne sont pas mathématiquement bien définis. Or il existe une théorie mathématique rigoureuse du raisonnement inductif et de l’extrapolation\, basée sur la théorie de l’information. Cettethéorie est très élégante\, mais difficile à appliquer.En pratique aujourd’hui\, ce sont les réseaux de neurones qui donnent les meilleurs résultats sur toute une série de problèmes concrets d’induction et d’apprentissage (vision\, reconnaissance de la parole\, récemment le jeude Go ou les voitures sans pilote…) Je ferai le point sur quelques-uns des principes mathématiques sous-jacents et sur leur lien avec la théorie de l’information. 
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SUMMARY:Le groupe des normes d'une extension finie de Q
DESCRIPTION:Soit K un sous-corps de C\, que l’on suppose de dimension finie sur Q. La norme N(x) d’un élément de K est définie comme le déterminant de la multiplication par x dans le Q-espace vectoriel K. On s’intéresse dans cet exposé au sous-groupe N(K*) du groupe multiplicatif Q*. On expliquera comment dans certaines situations on peut détecter si un élément de Q* appartient à N(K*). On verra aussi que le quotient Q*/N(K*) est toujours infini\, mais que la preuve de ce résultat nécessite des outils sophistiqués aussi bien de théorie des nombres que de théorie des groupes.
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SUMMARY:Calcul de plus courts chemins: des outils arithmétiques aux applications à l'imagerie médicale
DESCRIPTION:Le fast marching est un algorithme efficace pour la résolution de l’équation eikonale\, qui permet de calculer le plus court chemin entre deux points d’un domaine de R^d. Ses applications sont nombreuses\, et vont de la planification de mouvement à la segmentation d’images médicales. L’unité de longueur\, pour la mesure du chemin\, peut varier dans le domaine. Motivés par certaines applications\, nous généralisons l’algorithme au cas où l’unité de longueur dépend également de la direction\, voire de l’orientation du chemin. Un conflit apparait entre cette géométrie anisotrope et la grille cartésienne utilisée pour la discrétisation. Son étude fait intervenir des outils de nature arithmétique\, élégants et peu communs en analyse des EDP\, allant de la classification des réseaux euclidiens à l’arbre de Stern-Brocot (qui répartit les nombres rationnels aux noeuds d’un arbre binaire complet infini).
URL:https://www.math.ens.psl.eu/evenement/calcul-de-plus-courts-chemins-des-outils-arithmetiques-aux-applications-a-limagerie-medicale/
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SUMMARY:Flots de gradient\, EDP et transport optimal
DESCRIPTION:J’expliquerai d’abord comment discrétiser l’équation ordinaire x'(t)=-DF(x(t)) (dite flot de gradient) en exploitant sa structure gradient\, et comment cela peut permettre d’étudier cette équation dans le cas où x(t) vit dans un espace métrique (et pas dans R^n) et/ou F n’est pas différentiable (ou sa différentiabilité n’a pas de sens). Ensuite\, j’analyserai le cas d’un espace métrique particulier\, l’espace des mesures de probabilité sur un domaine donné\, muni de la distance induite par le transport optimal. Les équations d’évolutions dans cet espace deviennent des EDP sur une densité dépendant de x et d t\, et plusieurs équations plus ou moins connues (dont l’équation de la chaleur) peuvent s’écrire comme des flots de gradient.
URL:https://www.math.ens.psl.eu/evenement/flots-de-gradient-edp-et-transport-optimal/
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SUMMARY:Transformations\, degrés et itérations
DESCRIPTION:Lorsque l’on compose deux polynômes d’une variable\, le degré du polynôme obtenu est égal au produit des degrés des deux polynômes initiaux. Considérons maintenant un problème qui fait intervenir plusieurs variables. On se donne une transformation f de l’espace affine de dimension n dans lui même qui est définie par des formules polynomiales. Par compositions successives\, nous obtenons une suite de transformations polynomiales : f\, f^2=f circ f\, f^3=f circ f circ f\, …\, f^k. Que dire du degré des formules qui définissent f^k lorsque k varie ? Nous verrons que derrière cette question simple se cachent des  systèmes dynamiques\,  de la théorie des groupes\, et de la géométrie algébrique. 
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SUMMARY:Tout est sous contrôle: les mathématiques optimisent le quotidien
DESCRIPTION:De façon empirique\, nous parvenons à faire beaucoup de choses avec plus ou moins d’efficacité et de réussite. Quand il s’agit de faire un créneau\, les conséquences peuvent parfois être risibles… Mais quand il s’agit de propulser une fusée ou de planifier des missions interplanétaires\, il vaut mieux ne pas rater son coup.La théorie du contrôle est une branche des mathématiques qui permet de contrôler\, d’optimiser et de guider des systèmes sur lesquels on a une action\, comme par exemple une voiture\, un robot\, une navette spatiale\, une réaction chimique\, une population de cellules en interactions\, un marché financier\, ou de manière générale un quelconque procédé que l’on tente de mener vers un certain état final désiré.Emmanuel Trélat donnera un aperçu des champs d’application de cette théorie à travers différents exemples\, parfois cocasses\, mais aussi historiques.Sur le plan mathématique\, la théorie du contrôle optimal généralise le calcul des variations\, et Emmanuel Trélat en développera les aspects saillants\, en montrant comment cette théorie\, combinée avec des aspects profonds de théorie des systèmes dynamiques et de géométrie différentielle\, permettent de concevoir des missions spatiales interplanétaires quasi-gratuites en termes de consommation.
URL:https://www.math.ens.psl.eu/evenement/tout-est-sous-controle-les-mathematiques-optimisent-le-quotidien/
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SUMMARY:Énumération de courbes réelles et complexes
DESCRIPTION:La géométrie énumérative est la branche des mathématiques dont l’objectif est de répondre à des questions du type: Combien de droites passent par 2 points dans le plan (facile)? Combien de coniques passent par 5 points dans le plan (facile)? Combien de cubiques avec un point double passent par 8 points dans le plan (moins facile)?Si l’on compte les courbes définies sur le corps C\, alors ce nombre de courbes ne dépend pas de la configuration de points choisie\, tout comme le nombre de racines complexes d’un polynôme en une variable à coefficients complexes est toujours égal à son degré. En revanche\, si l’on compte les courbes définies sur le corps R\, alors ce nombre dépend fortement des points choisis\, ce qui complique quelque peu le problème… Le but de cet exposé sera de fournir une introduction à la géométrie énumérative\, domaine qui a connu de grandes avancées ces dernières années.
URL:https://www.math.ens.psl.eu/evenement/enumeration-de-courbes-reelles-et-complexes/
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SUMMARY:La «sphère» de Poincaré
DESCRIPTION: La «sphère» de Poincaré est un espace à trois dimensions qui n’est pas une hypersphère (ou sphère de dimension 3) mais qui partage avec celle-ci beaucoup de propriétés «topologiques». C’est un objet fascinant. Certains physiciens pensent même qu’elle prêterait sa forme à l’univers 🙂 J’essaierai de vous en dévoiler quelques mystères. Il y aura beaucoup d’images et de films de Jos Leys. 
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SUMMARY:Théorèmes de points fixes et théorie KAM faible
DESCRIPTION: On commencera par évoquer quelques théorèmes de points fixes. Malgré leur simplicité\, ils s’avèrent très utiles dans des domaines modernes de la recherche mathématiques comme la théorie KAM faible. On expliquera leur utilité et quelques conséquences dans cette théorie.
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SUMMARY:Peut-on décider de l'irréductibilité d'un polynôme d'après la taille de ses coefficients?
DESCRIPTION: La réponse à cette question est négative si l’on utilise les notions naïves de coefficient et de taille. L’exposé consistera à expliquer comment construire des notions plus complexes qui permettent de donner une réponse positive. Le polygone de Newton est le personnage le plus important de cette histoire.
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SUMMARY:Le théorème de la baguette magique de Eskin-Mirzakhani-Mohammadi
DESCRIPTION: En utilisant un billard dans un plan avec des obstacles polygonaux périodiques comme exemple\, je vais essayer de raconter le contexte et le contenu de la récente avancée majeure dans la dynamique dans les espaces de modules.
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SUMMARY:A l'écoute du bruit. Le rôle des probabilités en imagerie.
DESCRIPTION: Les techniques d’imagerie classiques utilisent des ondes pour sonder un milieu inconnu. Ces ondes sont émises par des réseaux de sources et après propagation dans le milieu elles sont enregistrées par des réseaux de récepteurs. On peut mettre en place différentes modalités d’émission et réception d’ondes suivant les applications : contrôle non-destructif\, imagerie médicale (échographie ultrasonore\, etc)\, séismologie. Récemment\, la possibilité d’utiliser des sources incontrôlées de bruit ambiant au lieu de sources actives contrôlées a attiré l’attention des chercheurs\, en mathématiques pour des raisons théoriques profondes car l’idée qu’on puisse utiliser le bruit remettait en cause la distinction habituelle signal/bruit\, et en séismologie\, pour des raisons pratiques évidentes dues à la rareté des sources (les séismes)\, et l’impossibilité de les contrôler. Cet exposé a pour but de décrire comment l’idée d’exploiter le bruit ambiant pour des problèmes d’imagerie a pris forme\, en quoi les mathématiques et les probabilités en particulier sont utiles pour comprendre les mécanismes sous-jacents et les conditions sous lesquelles on peut effectivement extraire de l’information sur le milieu à partir des corrélations croisées de signaux émis par des sources de bruit.
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SUMMARY:Deux arbres et une racine carrée\, ou l'action du groupe de Galois sur les dessins d'enfant
DESCRIPTION: Étant donné un arbre plan dont les sommets sont coloriés en deux couleurs il existe un (presque) unique polynôme  P  tel que cet arbre soit l’antécédent par  P  du segment  [0\,1].  Les coeffcients de ce polynôme sont des nombres algébriques\, ce qui permet de définir une action du groupe de Galois de  Qbar/Q  sur les arbres. Nous parlerons de cette action\, de ses orbites et de ses invariants.
URL:https://www.math.ens.psl.eu/evenement/deux-arbres-et-une-racine-carree-ou-laction-du-groupe-de-galois-sur-les-dessins-denfant/
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SUMMARY:Mouvements de bactéries en bande organisée : modélisation et analyse multi-échelles
DESCRIPTION: Cet exposé abordera la formalisation mathématique de la notion d’auto-organisation en biologie à travers un problème ancien : la propagation d’ondes de concentration de bactéries Escherichia coli en milieu liquide [J. Adler\, Science 1966]. Je présenterai différents niveaux de modélisation au moyen d’équations aux dérivées partielles\, et les problèmes mathématiques associés. Je ferai l’esquisse de résultats mathématiques aux différentes échelles\, qui font appel à des théories mathématiques récentes et variées.
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