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SUMMARY:Percolation de premier passage avec temps de passage infinis : constante de temps\, théorème de forme et continuité
DESCRIPTION:Ce travail a été réalisé en collaboration avec Raphaël Cerf (DMA\,ENS)\, Olivier Garet et Régine Marchand (IECL\, Univ. Lorraine).Considérons le modèle de percolation de premier passage standard sur legraphe Z^d : aux arêtes e du graphe sont associées des variables (t(e))i.i.d. positives. La variable t(e) est appelée le temps de passage de e\,c?RTMest le temps nécessaire pour traverser l?RTMarête e. Il en découle unepseudo-métrique aléatoire T sur le graphe : T(x\,y) est le temps minimalnécessaire pour aller d?RTMun site x à un site y. Cette pseudo-métrique a étélargement étudiée. On peut montrer entre autres que- quelque soit le site x considéré\,la limite quand n tend vers l?RTMinfini deT(0\,nx)/n existe en un certain sens : on l?RTMappelle la constante de tempset on la note m(x)\,- cette convergence a lieu uniformément en la direction de x : c?RTMest lethéorème de forme asymptotique\,- la constante m(x) dépend continûment de la loi des temps de passage.Que se passe-t-il si au lieu de considérer le modèle classique\, onautorise les temps de passage des arêtes à être infinis ? Il fauts?RTMassurer que les arêtes de temps de passage fini percolent\, i.e.\, onsuppose que l?RTMatome de la loi des temps de passage en l?RTMinfini estinférieur strictement à 1-p_c(d)\, le paramètre critique pour lapercolation de Bernoulli par arêtes dans Z^d. Cela revient à faire unepercolation de Bernoulli sur-critique sur Z^d\, puis à associerindépendamment des temps de passage finis à chaque arête restante. Nousverrons comment généraliser les résultats précédents à ce type de lois destemps de passage.
URL:https://www.math.ens.psl.eu/evenement/percolation-de-premier-passage-avec-temps-de-passage-infinis-constante-de-temps-theoreme-de-forme-et-continuite/
CATEGORIES:Séminaire informel de probabilités
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SUMMARY:Choices and Intervals
DESCRIPTION:Je présenterai un travail avec Elliot Paquette (WeizmannInstitute) sur un processus de divisions successives d’intervalles avecdépendance entre les différentes intervalles\, généralisant plusieursprocessus étudiés dans la littérature. Je montrerai que la mesure empiriquedes longueurs d’intervalles convenablement renormalisées converge vers uneloi déterministe caractérisée par une équation intégro-différentielle etj’étudierai les propriétés de cette loi pour quelques exemples. La preuvede la convergence repose sur une adaptation d’une méthode de convergenced’algorithmes stochastiques\, dite la méthode de Kushner-Clark\, dans uncadre infini-dimensionnel. Celle-ci pourrait également être utile dansd’autres situations.
URL:https://www.math.ens.psl.eu/evenement/choices-and-intervals/
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CATEGORIES:Séminaire informel de probabilités
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