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SUMMARY:Cristina Toninelli: Le modèle Est ou sur les surprises que l’on a quand on regarde seulement à droite..
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SUMMARY:Guillaume Dubach: Calcul de Weingarten.
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SUMMARY:Quentin Berger: Influence du désordre dans des systèmes physiques.
DESCRIPTION:Je discuterai de la question de l’influence du désordre sur les transitions de phase de systèmes physiques\, en particulier à travers l’exemple de certains modèles de polymères aléatoires.
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SUMMARY:Carlo Mariconda: Le problème classique du calcul des variations: nouveaux résultats sur les conditions nécessaires\, la régularité des minima et des suites minimisantes.
DESCRIPTION:
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LOCATION:ENS – salle W\, 45 rue d'Ulm\, Paris\, 75005\, France
CATEGORIES:Séminaire informel de probabilités
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SUMMARY:Daniel Perez : Introduction à l'homologie persistante et à ses applications.
DESCRIPTION:L’homologie persistante est un invariant provenant de la topologie algébrique associé à un couple (X\,f) où X est un espace topologique et f:X→R est une fonction (continue). Ces invariants sont souvent utilisés en analyse topologique de données (TDA pour topological data analysis) et constituent un outil novateur dans l’appretissage statistique et dans l’analyse des données classique. Dans cet exposé\, nous donnerons une introduction à l’homologie persistante\, discuterons de ses applications et explorerons quelques conséquences de cette théorie sur l’étude des processus stochastiques sur des variétés Riemanniennes compactes.
URL:https://www.math.ens.psl.eu/evenement/daniel-perez-introduction-a-lhomologie-persistante-et-a-ses-applications/
LOCATION:ENS salle Bourbaki
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SUMMARY:Sur l’effet du désordre en mécanique statistique
DESCRIPTION:L’effet du désordre sur les modèles de la mécanique statistique est souvent surprenant (et\, en tout cas\, peu compris). J’approcherai ce problème avec le point de vue du « critère de (A. B.) Harris » et le but serait d’arriver à présenter les idées de base et de donner un panorama de ce qu’on (ne) sait (pas) faire.
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SUMMARY:Mesure de Schur\, matrices aléatoires et systèmes de particules en interaction
DESCRIPTION:Les fonctions de Schur sont une base orthonormale de polynômes symétriques en plusieurs variables\, qui possèdent de nombreuses propriétés combinatoires remarquables. L’une de ces propriétés\, la formule sommatoire de Cauchy\, permet de définir de manière très naturelle des mesures de probabilités sur les partitions d’entiers. Le but de l’exposé est d’expliquer une conséquence probabiliste de ces propriétés combinatoires\, et son importance dans l’étude des processus de croissance d’interfaces\, les systèmes de particules\, ou encore les permutations aléatoires (d’après Baik-Deift-Johansson 1999\, Johansson 2000\, Okounkov 2001). Nous verrons au passage des liens surprenants avec la théorie des matrices aléatoires\, et je conclurai en dressant un panorama des directions dans lesquelles ces résultats ont été généralisés pendant les 20 dernières années.
URL:https://www.math.ens.psl.eu/evenement/mesure-de-schur-matrices-aleatoires-et-systemes-de-particules-en-interaction/
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CATEGORIES:Séminaire informel de probabilités
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SUMMARY:Planar bipartite dimer model : discrete holomorphicity and Gaussian Free Field
DESCRIPTION:A classical theorem due to Kasteleyn says that the partition function of a planar dimer model equals to the Pfaffian of a properly signed adjacency matrix of the graph. In 2000\, Kenyon proved that the fluctuations of the associated height function in special (so-called Temperleyan) discrete approximations to a given planar domain on refining square grids converge to the Gaussian Free Field. The starting point of Kenyon’s argument is an interpretation of the Kasteleyn matrix as a discrete Cauchy-Riemann operator; one of the observations that brought discrete holomorphic functions to the focus of research on critical 2d lattice models during the following decade. However\, the dimer model is known to be very sensitive to boundary conditions and such a straightforward interpretation fails for other types of discrete domains. One of the most classical examples of a more complicated behavior are the so-called Aztec diamonds: in this case\, frozen/liquid zones appear and the height fluctuations in the liquid zone converge to a Gaussian field but the two-point function is not the standard Green function. The goal of this talk is to briefly review these classical results and – at the very end – to indicate recent developments on generalizations of the discrete complex analysis philosophy beyond “standard” setups.
URL:https://www.math.ens.psl.eu/evenement/planar-bipartite-dimer-model-discrete-holomorphicity-and-gaussian-free-field/
LOCATION:ENS – salle W\, 45 rue d'Ulm\, Paris\, 75005\, France
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SUMMARY:Aperçu de la théorie conforme de Liouville.
DESCRIPTION:La théorie conforme de Liouville a été introduite de manière non rigoureuse par Polyakov dans un papier fondamental de 1981. C’est une théorie quantique des champs (quantum field theory) en deux dimensions qui a une propriété supplémentaire d’invariance conforme\, ce qui en fait une théorie conforme des champs. Je vais essayer de donner un aperçu de la construction rigoureuse de cette théorie donnée dans un papier tout aussi fondamental de David\, Kupiainen\, Rhodes et Vargas en 2015. Cette construction repose sur une version judicieusement choisie du champ libre Gaussien et sur son chaos multiplicatif Gaussien associé. J’essayerai également de montrer par un calcul simple en quoi cette théorie est « intégrable »\, c’est-à-dire qu’on peut espérer calculer de manière exacte un certain nombre d’observables. (Cette intégrabilité a notamment conduit Kupiainen\, Rhodes et Vargas vers une preuve rigoureuse de la célèbre formule DOZZ).
URL:https://www.math.ens.psl.eu/evenement/apercu-de-la-theorie-conforme-de-liouville/
LOCATION:DMA Salle W
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SUMMARY:Géométrie des grandes partitions non croisées aléatoires
DESCRIPTION:(en collaboration avec Igor Kortchemski)Une partition de l?RTMensemble des entiers de 1 à n peut sereprésenter dans le disque unité du plan complexe : les entiers sontplacés sur les racines n-ièmes de l?RTMunité et chaque ensemble de lapartition est représenté dans le disque par le polygone convexe dont lessommets sont ses éléments. La partition est dite non croisée si cespolygones ne s?RTMintersectent pas. Dans ce cas\, on s?RTMintéresse à l?RTMensemblefermé du disque formé par la réunion des arêtes des polygones. Jeprésenterai des théorèmes limites pour de tels ensembles lorsque n tendvers l’infini\, pour la topologie de Hausdorff\, lorsque la partition estchoisie aléatoirement\, selon un tirage « à la Boltzmann ».
URL:https://www.math.ens.psl.eu/evenement/geometrie-des-grandes-partitions-non-croisees-aleatoires/
LOCATION:DMA – Salle R3\, 45 rue d'Ulm\, Paris\, 75005\, France
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SUMMARY:Self-sustained oscillations in some dissipative mean field interacting particle systems
DESCRIPTION:We consider various mean field interacting particle systems\, whose dynamics are subject to a sort of dissipation. We show that\, in the infinite volume limit\, even if neither the particles have intrinsic periodicity nor a periodic force is applied\, appearence of limit cycles may occur.
URL:https://www.math.ens.psl.eu/evenement/self-sustained-oscillations-in-some-dissipative-mean-field-interacting-particle-systems/
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SUMMARY:Le modèle de copolymère (et sa limite de faible couplage)
DESCRIPTION:Je présenterai le modèle de copolymère\, utilisé pour décrire un polymère (composé dedifférents types de monomères) à l?RTMinterface entre deux solvants. Lorsque latempérature varie\, on observe une transition de phase: à basse température\, lepolymère reste proche de l?RTMinterface\, alors qu?RTMà haute température\, il fluctue dansun des deux solvants.On se concentrera sur la courbe critique\, qui sépare les deux régimes\, et enparticulier sa limite de faible couplage\, dont on sait qu?RTMelle est universelle. Lavaleur de cette limite a cependant été l?RTMobjet de débats\, avec des conjecturescontradictoires. Le résultat que je présenterai est le calcul de cette valeur\, dansle cas où le temps de retour possède une loi à queue lourde\, de moyenne finie\, quece soit pour un désordre IID ou bien corrélé.
URL:https://www.math.ens.psl.eu/evenement/le-modele-de-copolymere-et-sa-limite-de-faible-couplage/
LOCATION:Salle W DMA
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SUMMARY:Choices and Intervals
DESCRIPTION:Je présenterai un travail avec Elliot Paquette (WeizmannInstitute) sur un processus de divisions successives d’intervalles avecdépendance entre les différentes intervalles\, généralisant plusieursprocessus étudiés dans la littérature. Je montrerai que la mesure empiriquedes longueurs d’intervalles convenablement renormalisées converge vers uneloi déterministe caractérisée par une équation intégro-différentielle etj’étudierai les propriétés de cette loi pour quelques exemples. La preuvede la convergence repose sur une adaptation d’une méthode de convergenced’algorithmes stochastiques\, dite la méthode de Kushner-Clark\, dans uncadre infini-dimensionnel. Celle-ci pourrait également être utile dansd’autres situations.
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SUMMARY:Percolation de premier passage avec temps de passage infinis : constante de temps\, théorème de forme et continuité
DESCRIPTION:Ce travail a été réalisé en collaboration avec Raphaël Cerf (DMA\,ENS)\, Olivier Garet et Régine Marchand (IECL\, Univ. Lorraine).Considérons le modèle de percolation de premier passage standard sur legraphe Z^d : aux arêtes e du graphe sont associées des variables (t(e))i.i.d. positives. La variable t(e) est appelée le temps de passage de e\,c?RTMest le temps nécessaire pour traverser l?RTMarête e. Il en découle unepseudo-métrique aléatoire T sur le graphe : T(x\,y) est le temps minimalnécessaire pour aller d?RTMun site x à un site y. Cette pseudo-métrique a étélargement étudiée. On peut montrer entre autres que- quelque soit le site x considéré\,la limite quand n tend vers l?RTMinfini deT(0\,nx)/n existe en un certain sens : on l?RTMappelle la constante de tempset on la note m(x)\,- cette convergence a lieu uniformément en la direction de x : c?RTMest lethéorème de forme asymptotique\,- la constante m(x) dépend continûment de la loi des temps de passage.Que se passe-t-il si au lieu de considérer le modèle classique\, onautorise les temps de passage des arêtes à être infinis ? Il fauts?RTMassurer que les arêtes de temps de passage fini percolent\, i.e.\, onsuppose que l?RTMatome de la loi des temps de passage en l?RTMinfini estinférieur strictement à 1-p_c(d)\, le paramètre critique pour lapercolation de Bernoulli par arêtes dans Z^d. Cela revient à faire unepercolation de Bernoulli sur-critique sur Z^d\, puis à associerindépendamment des temps de passage finis à chaque arête restante. Nousverrons comment généraliser les résultats précédents à ce type de lois destemps de passage.
URL:https://www.math.ens.psl.eu/evenement/percolation-de-premier-passage-avec-temps-de-passage-infinis-constante-de-temps-theoreme-de-forme-et-continuite/
CATEGORIES:Séminaire informel de probabilités
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SUMMARY:Criticalité auto-organisée pour des modèles de coagulation-gélation
DESCRIPTION:–
URL:https://www.math.ens.psl.eu/evenement/criticalite-auto-organisee-pour-des-modeles-de-coagulation-gelation/
CATEGORIES:Séminaire informel de probabilités
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SUMMARY:Algorithme génétique et Quasi-espèce
DESCRIPTION:Nous présenterons l’algorithme génétique classique.En utilisant des idées provenant du modèle de quasi-espèce\,nous proposons un contrôle des paramètres quidevrait améliorer l’efficacité de l’algorithme(enfin nous l’espérons).
URL:https://www.math.ens.psl.eu/evenement/algorithme-genetique-et-quasi-espece/
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SUMMARY:La distribution de la quasi-espèce
DESCRIPTION:En 1971\, Eigen propose un modèle déterministe pour modéliser l?RTMévolution aucours du temps d?RTMune population in?nie de macromolécules avec mutation etsélection. Deux phénomènes importants apparaissent : le seuil d?RTMerreur et laquasi?Respèce. A?n d?RTMobtenir une version de ces résultats pour une population?nie\, nous étudions un modèle de Moran avec mutation et sélection\, et nousrécupérons\, dans un certain régime asymptotique\, les phénomènes de seuild?RTMerreur et quasi?Respèce. Nous trouvons de plus une formule explicite pourla distribution de la quasi?Respèce.L?RTMexposé sera introductif et non technique.
URL:https://www.math.ens.psl.eu/evenement/la-distribution-de-la-quasi-espece/
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SUMMARY:Percolation spectrale moyenne
DESCRIPTION:On s’intéressera au spectre des matrices d’adjacence de graphes aléatoireset plus particulièrement à la masse totale de la partie continue de lamesure spectrale ou densité d’état. On verra notamment que la mesurespectrale de la percolation par arêtes sur Z^2 contient une partie continuenon triviale dans le régime surcritique. Le même résultat est vrai pour lamesure spectrale limite d’un graphe d’Erdös-Rényi surcritique et pour lamesure spectrale d’arbres aléatoires unimodulaires avec au moins deux finstopologiques. C’est un travail en collaboration avec Arnab Sen et BalintVirag disponible sur le lien http://arxiv.org/abs/1308.3755
URL:https://www.math.ens.psl.eu/evenement/percolation-spectrale-moyenne/
LOCATION:Salle Henri Cartan
CATEGORIES:Séminaire informel de probabilités
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SUMMARY:Analysis of a one-sided limit order book model
DESCRIPTION:A limit order book is a financial trading mechanism that keeps track of orders made by traders\, and allows to execute them in the future. In this talk I will present a simple model of a one-sided limit order book\, which is modeled as a point process evolving over time.I will discuss two aspects of this model: the asymptotic behavior of the so-called price process (the extremal point) and the scaling limit of the entire measure-valued process. The proofs rely on a coupling with a branching random walk with a barrier\, and on a characterization of regenerative real trees due to Weill [Ann. Probab. 2007].
URL:https://www.math.ens.psl.eu/evenement/analysis-of-a-one-sided-limit-order-book-model/
LOCATION:Salle U/V
CATEGORIES:Séminaire informel de probabilités
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SUMMARY:Marche aléatoire indexée par un arbre et son nombre de points visités
DESCRIPTION:Considérons une marche aléatoire simple dans Z^d indexée par un arbrealéatoire choisi uniformément au hasard dans l’ensemble des arbres planairesde n sommets\, et soit R(n) le nombre de points visités par cette marche.On montre que\, si d>4\, R(n)/n converge vers une constante strictementpositive\, alors que si d=4\, (log n)*R(n)/n converge vers  (Pi^2)/2. Enpetites dimensions d
URL:https://www.math.ens.psl.eu/evenement/marche-aleatoire-indexee-par-un-arbre-et-son-nombre-de-points-visites/
LOCATION:Salle Henri Cartan
CATEGORIES:Séminaire informel de probabilités
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SUMMARY:Marche renforcée par arêtes\, Processus de saut renforcé par site et identité de Ray-Knight généralisée.
DESCRIPTION:Dans cet exposé je présenterai une nouvelle preuve de  l’identité de Ray-Knight généralisée basée sur un argument de martingale. Cette martingale apparaît en lien  avec le processus de saut renforcé par sites (VRJP) qui est un processus avec mémoire  étroitement relié à la marche renforcée par arêtes (en collaboration  avec P. Tarrès).
URL:https://www.math.ens.psl.eu/evenement/marche-renforcee-par-aretes-processus-de-saut-renforce-par-site-et-identite-de-ray-knight-generalisee/
LOCATION:Salle Henri Cartan
CATEGORIES:Séminaire informel de probabilités
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SUMMARY:The scaling limit of the minimum spanning tree of the complete graph
DESCRIPTION:Consider the complete graph on n vertices with independent andidentically distributed edge-weights having some absolutely continuousdistribution. The minimum spanning tree (MST) is simply the spanningsubtree of smallest weight.  It is straightforward to construct theMST using one of several natural algorithms. Kruskal’s algorithmbuilds the tree edge by edge starting from the globally lowest-weightedge and then adding other edges one by one in increasing order ofweight\, as long as they do not create any cycles. At each step of thisprocess\, the algorithm has generated a forest\, which becomes connectedon the final step. In this talk\, I will explain how it is possible toexploit a connection between the forest generated by Kruskal’salgorithm and the Erdös-Rényi random graph in order to prove that M_n\,the MST of the complete graph\, possesses a scaling limit as n tends toinfinity.  In particular\, if we think of M_n as a metric space (usingthe graph distance)\, rescale edge-lengths by n^{-1/3}\, and endow thevertices with the uniform measure\, then M_n converges in distributionin the sense of the Gromov-Hausdorff-Prokhorov distance to a certainrandom measured real tree.This is joint work with Louigi Addario-Berry (McGill)\, Nicolas Broutin(INRIA Paris-Rocquencourt) and Grégory Miermont (ENS Lyon).
URL:https://www.math.ens.psl.eu/evenement/the-scaling-limit-of-the-minimum-spanning-tree-of-the-complete-graph/
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SUMMARY:Alien versus prédateur
DESCRIPTION:On s’intéressera à un modèle proie-prédateur sur des graphes\, où les sommets peuvent être de trois types : occupés par une proie ou un prédateur\, ou bien vacants. Les proies se reproduisent à taux fixe et se propagent uniquement vers des sommets vacants voisins\, alors que les prédateurs se reproduisent à un autre taux fixe et se propagent uniquement vers des sommets voisins occupés par une proie. On se demande alors ce qu’il se passe si on commence avec une proie et un prédateur : comment le système évolue-t-il ? Les proies peuvent-elle survivre indéfiniment ? Quel est l’état final du système ?
URL:https://www.math.ens.psl.eu/evenement/alien-versus-predateur/
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CATEGORIES:Séminaire informel de probabilités
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SUMMARY:Limites d'échelle de suites  croissantes d'arbres k-aires
DESCRIPTION:Resume : Pour chaque entier $k geq 2$\, on considère une suite d’arbres aléatoires construite récursivement : on part de l’arbre  à une arête et deux noeuds (la racine et une feuille)\, puis on choisit à chaque étape une arête uniformément au hasard dans l’arbre pré-existant et on plante au milieu de l’arête sélectionnée $k-1$ nouvelles arêtes. Lorsque $k=2$\, il s’agit de l’algorithme de Rémy\, qui génère ainsi une suite d’arbres binaires\, dont le $n$-ième terme est uniformément distribué dans l’ensemble des arbres binaires enracinés à $n$ feuilles numérotées. Il est bien connu que les arbres de Rémy\, munis de la distance de graphe\, convergent à la vitesse $sqrt n$ vers l’arbre brownien d’Aldous\, et ce dans un sens presque-sûr. L’objectif de cet exposé est d’étudier plus généralement la limite d’échelle de la suite d’arbres $k$-aires\, pour tout $k geq 2$. Il s’agit d’un travail en collaboration avec Robin Stephenson.
URL:https://www.math.ens.psl.eu/evenement/limites-dechelle-de-suites-croissantes-darbres-k-aires/
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CATEGORIES:Séminaire informel de probabilités
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SUMMARY:Distances dans les cartes planaires aléatoires et intégrabilité discrète
DESCRIPTION:Les propriétés métriques des cartes (graphes plongés dans des surfaces)aléatoires ont été beaucoup étudiées ces dernières années. Dans cetexposé\, je présenterai une approche combinatoire à ces questions\,exploitant des bijections entre les cartes et certains arbres étiquetés.Grâce à un phénomène inattendu d’intégrabilité discrète\, il estpossible de compter exactement les cartes ayant deux ou trois pointsmarqués à distances prescrites\, et plus encore. Je parlerai ensuite desapplications probabilistes à l’étude de la carte brownienne (obtenuecomme limite d’échelle des cartes planaires aléatoires) et des cartesplanaires uniformes infinies (obtenues comme limites locales). Si letemps le permet\, j’expliquerai également l’origine combinatoire del’intégrabilité discrète\, liée au développement en fraction continue dela résolvante du modèle à une matrice. L’exposé repose sur des travauxen communs avec E. Guitter et P. Di Francesco.
URL:https://www.math.ens.psl.eu/evenement/distances-dans-les-cartes-planaires-aleatoires-et-integrabilite-discrete/
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CATEGORIES:Séminaire informel de probabilités
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SUMMARY:Activated Random Walks and Stochastic Sandpiles
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SUMMARY:Arbres de Lévy
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URL:https://www.math.ens.psl.eu/evenement/arbres-de-levy/
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SUMMARY:Un modèle de Curie-Weiss de Criticalité Auto-Organisée
DESCRIPTION:Dans leur célèbre article de 1987\, les physiciens Per Bak\,Chao Tang et Kurt Wiesenfeld ont montré que certains systèmes complexes\,composés d’un nombre important d’éléments en interaction dynamique\,évoluent vers un état critique\, sans intervention extérieure. Cephénomène\, appelé criticalité auto-organisée (self-organized criticalityen anglais)\, peut être observé empiriquement ou simulé par ordinateur pourde nombreux modèles. Cependant leur analyse mathématique est très ardue.Même des modèles dont la définition est apparemment simple\, comme lesmodèles décrivant la dynamique d’un tas de sable\, ne sont pas bien comprismathématiquement. J’introduirai plus longuement cette notion dans la première partie de monexposé. Dans un deuxième temps\, je présenterai un modèle probabiliste departicules en interaction présentant un état critique : le modèle d’IsingCurie-Weiss. Dans une dernière partie\, je m’inspirerai de ce modèle pourconstruire un modèle ‘simple’ présentant de la criticalité auto-organisée.J’appuierai cette construction par des théorèmes limites et je donneraiquelques heuristiques et techniques de preuve.
URL:https://www.math.ens.psl.eu/evenement/un-modele-de-curie-weiss-de-criticalite-auto-organisee/
LOCATION:Salle Henri Cartan
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SUMMARY:Marches aléatoires\, entrelacs\, et champ libre gaussien (3/3)
DESCRIPTION:Les entrelacs aléatoires constituent un modèle microscopique pour la tracelaissée à des échelles de temps appropriées par des marches aléatoires surdes gros graphes qui sont localement transients. Les propriétéspercolatives des entrelacs ont été activement étudiées ces dernièresannées\, et ont été utiles dans l’étude de phénomènes de déconnexion et defragmentation par des marches aléatoires.Les entrelacs aléatoires sont par ailleurs étroitement reliés à d’autresmodèles\, tels le champ libre gaussien ou les boucles markoviennes\, et lesméthodes développées dans l’étude de la percolation pour les entrelacs sesont aussi montrées pertinentes dans l’étude de la percolation pour lesensembles de niveau du champs libre gaussien.Dans ce mini-cours\, on essayera de donner un aperçu des résultats et dedécrire certaines des méthodes qui ont été développées.
URL:https://www.math.ens.psl.eu/evenement/marches-aleatoires-entrelacs-et-champ-libre-gaussien-3-3/
LOCATION:Salle W
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SUMMARY:Marches aléatoires\, entrelacs\, et champ libre gaussien (2/3)
DESCRIPTION:Les entrelacs aléatoires constituent un modèle microscopique pour la tracelaissée à des échelles de temps appropriées par des marches aléatoires surdes gros graphes qui sont localement transients. Les propriétéspercolatives des entrelacs ont été activement étudiées ces dernièresannées\, et ont été utiles dans l’étude de phénomènes de déconnexion et defragmentation par des marches aléatoires.Les entrelacs aléatoires sont par ailleurs étroitement reliés à d’autresmodèles\, tels le champ libre gaussien ou les boucles markoviennes\, et lesméthodes développées dans l’étude de la percolation pour les entrelacs sesont aussi montrées pertinentes dans l’étude de la percolation pour lesensembles de niveau du champs libre gaussien.Dans ce mini-cours\, on essayera de donner un aperçu des résultats et dedécrire certaines des méthodes qui ont été développées.
URL:https://www.math.ens.psl.eu/evenement/marches-aleatoires-entrelacs-et-champ-libre-gaussien-2-3/
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