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SUMMARY:Compacité et incompacité en théorie des ensembles
DESCRIPTION:En mathématiques\, la compacité est une propriété très forte : elle permet d’étudier un objet donné en examinant simplement des sous-objets de taille inférieure. On peut étudier de grands objets finis en examinant certains de leurs sous-ensembles plus petits\, ou on peut essayer de comprendre un objet infini en examinant des morceaux finis. En poussant plus loin\, on peut étudier des objets qui ne sont pas dénombrables à l’aide d’approximations dénombrables. Dans cet exposé\, nous examinerons un exemple spécifique\, les limites inverses supérieures\, et comment\, dans ce cas\, un phénomène  de compacité peut dépendre des axiomes en jeu.
URL:https://www.math.ens.psl.eu/evenement/18973/
LOCATION:ENS — amphi Galois\, 45 rue d'Ulm\, Paris\, France
CATEGORIES:ANNÉE 2024-2025
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SUMMARY:Aksel Bergfeldt : Analyse harmonique sur le groupe de Heisenberg
DESCRIPTION:The Heisenberg group is one of the most simple non-Abelian Lie groups. The Lie algebra components (vector fields) X\, Y\, Z satisfy [X\,Y] = Z. We recognise this relation from quantum mechanics\, where the position and momentum operators satisfy this relation\, or from signal processing\, where it is satisfied by the operations of translating in frequency and translating in time. I have studied the Schrödinger equation formulated on the Heisenberg group\, with the help of non-Abelian harmonic analysis. I will give some insight about how this differs from its Euclidean counterpart\, and about some of the key techniques and ideas.
URL:https://www.math.ens.psl.eu/evenement/aksel-bergfeldt-analyse-harmonique-sur-le-groupe-de-heisenberg/
LOCATION:Salle W
CATEGORIES:Colloquium doctorant
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SUMMARY:Antoine Jégo : Invariance conforme et géométrie fractale aléatoire
DESCRIPTION:Les projections aléatoires constituent une technique de réduction de dimension simple et efficace en apprentissage automatique non supervisé. Elles reposent sur l’existence de quasi-immersions pour un ensemble de points d’un espace euclidien de haute dimension vers un espace de dimension inférieure. Nous proposerons une présentation du lemme de Johnson-Lindenstrauss centrée sur la notion de variable sous-gaussienne\, puis nous discuterons de la meilleure manière de construire des projections simples\, et en particulier creuses.
URL:https://www.math.ens.psl.eu/evenement/antoine-jego-titre-a-preciser/
LOCATION:DMA Salle W
CATEGORIES:Séminaire informel de probabilités
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SUMMARY:Systèmes de particules en interaction
DESCRIPTION:Speaker: Nathalie Ayi (Sorbonne Université) \n\n\n\nPremière partie: Limite en grande population de systèmes de particules non échangeables en interaction \n\n\n\nLes interactions sociales ont le pouvoir d’influencer les opinions des individus sur un large spectre de sujets. Une façon de modéliser cela est d’avoir recours à des modèles de systèmes de particules en interaction pour lesquels on observe l’émergence de comportements collectifs globaux\, malgré l’absence d’une intelligence centralisée. Dans un contexte impliquant souvent de nombreux agents\, une question naturelle est de chercher à décrire ces modèles lorsque le nombre d’agents N tend vers l’infini. Après avoir introduit l’approche classique\, dite limite de champ moyen et mis en avant sa principale limitation\, nous verrons comment la théorie des graphes se révèle particulièrement utile et pertinente pour étendre les résultats existants au cas de particules non échangeables. Cette extension permet ainsi de traiter des situations où l’identité des agents joue un rôle\, ce qui s’avère particulièrement adéquat pour des applications à l’étude de dynamique d’opinions. Nous établirons ensemble l’une de ces deux limites en grande population\, appelée limite de graphe et ferons la connexion avec la seconde\, la limite de champ moyen non échangeable.  \n\n\n\nSeconde partie: Graph limit et limite de champ moyen de systèmes de particules en interaction sur des graphes à poids déterministes et aléatoires \n\n\n\nLorsque l’on s’intéresse à des systèmes de particules en interaction\, deux catégories distinctes émergent : les systèmes indistinguables\, dans lesquels l’identité des particules n’influence pas la dynamique du système\, et les systèmes non échangeables\, dans lesquels l’identité des particules joue un rôle important. Une façon de conceptualiser ces seconds systèmes est de les considérer comme des systèmes de particules posés sur des graphes à poids. Dans cet exposé\, nous nous concentrons sur cette dernière catégorie. De récents développements dans la théorie des graphes ont suscité un regain d’intérêt pour la compréhension de limites en grande population de ces systèmes. Deux approches principales ont émergé : les limites de graphes et les limites de champ moyen. Alors que les limites de champ moyen ont traditionnellement été introduites pour des particules indistinguables\, elles ont récemment été étendues au cas des particules non échangeables. Dans cette présentation\, nous introduisons plusieurs modèles\, principalement issus du domaine de la dynamique d’opinions\, pour lesquels des résultats de convergence rigoureux lorsque N tend vers l’infini ont été obtenus. Nous clarifions également le lien entre l’approche de limite de graphe et celle de limite de champ moyen. Les travaux discutés sont issus de plusieurs articles\, co-écrits entre autres avec Nastassia Pouradier Duteil et David Poyato.
URL:https://www.math.ens.psl.eu/evenement/nathalie-ayi/
LOCATION:ENS – salle W\, 45 rue d'Ulm\, Paris\, 75005\, France
CATEGORIES:Séminaire Analyse non linéaire et EDP
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SUMMARY:Paul Wang\, raconte-moi la trichotomie de Zilber pour les structures o-minimales !
DESCRIPTION:L’o-minimalité est une notion mise en évidence dans les années 80 (principalement par van den Dries\, Pillay\, et Steinhorn)\, qui représente un cadre possible pour la « géométrie (réelle) modérée ». Il s’agit\, afin d’exclure les comportements pathologiques de fonctions réelles\, de restreindre l’étude à des classes simples de fonctions\, via une condition de définissabilité. Il est intéressant de noter que cette notion est aujourd’hui utilisée dans des domaines aussi divers que la géométrie arithmétique\, l’optimisation\, ou l’étude de réseaux de neurones. La trichotomie de Zilber\, dont la formulation modèle-théorique remonte également aux années 80\, est un principe important pour la théorie géométrique des modèles\, une branche de la théorie des modèles moderne. L’idée est de relier le comportement géométrique d’une structure (par exemple\, l’existence de familles de courbes ayant certaines propriétés) à la présence de structures algébriques définissables (groupes\, corps). Ce principe a eu plusieurs incarnations\, la plus célèbre étant peut-être la preuve par Hrushovski de la conjecture de Mordell-Lang pour les corps de fonctions en toute caractéristique. Dans mon exposé\, je présenterai un résultat de Peterzil et Starchenko (1997)\, qui est une instance de ce principe de trichotomie dans le contexte des structures o-minimales.
URL:https://www.math.ens.psl.eu/evenement/paul-wang-raconte-moi-la-trichotomie-de-zilber-pour-les-structures-o-minimales/
LOCATION:DMA Salle W
CATEGORIES:Algèbre et géométrie,Séminaire Raconte-moi
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SUMMARY:Computer-assisted mathematics
DESCRIPTION:Depuis plus d’un demi-siècle\, les ordinateurs ont acquis le statut d’instruments de recherche incontournables dans de nombreuses branches de mathématiques fondamentales. Leur puissance de calcul est mise au service de l’experimentation\, de la visualisation\, de l’aide a la conjecture\,… Mais aussi de la démonstration. Peut-on aller jusqu’à dire que les ordinateurs d’aujourd’hui font des mathématiques?
URL:https://www.math.ens.psl.eu/evenement/18976/
LOCATION:ENS — amphi Galois\, 45 rue d'Ulm\, Paris\, France
CATEGORIES:ANNÉE 2024-2025,Séminaire Des mathématiques
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SUMMARY:Eddie Aamari\, raconte-moi l'estimation minimax de variétés !
DESCRIPTION:Certains jeux de données présentent des caractéristiques géométriques et topologiques non-triviales qu’il peut être intéressant d’inférer. Dans cet exposé\, j’aborderai quelques questions associées à l’estimation optimale du support d’une loi de probabilité inconnue\, à partir d’échantillons aléatoires de celle-ci. Je débuterai par le cas simple des supports convexes\, pour ensuite aborder celui des sous-variétés de l’espace euclidien\, puis des sous-variétés à bord. Dans ces trois cas\, je discuterai de la régularité quantitative induite par le « reach » (H. Federer\, 1959)\, une quantité centrale dans cette théorie. Si le temps le permet\, je présenterai des arguments de théorie de l’information permettant de démontrer l’inexistence d’estimateurs réalisant des vitesses d’estimation arbitrairement rapides lorsque la taille de l’échantillon grandit.
URL:https://www.math.ens.psl.eu/evenement/eddie-aamari-raconte-moi-lestimation-minimax-de-varietes/
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SUMMARY:Brune Massoulié : Systèmes de particules et fonctions de hauteur
DESCRIPTION:Les systèmes de particules en interaction sont des modèles pour des phénomènes physiques où des particules évoluent selon certaines règles\, en faisant un choix aléatoire à chaque pas de temps (il s’agit d’une chaîne de Markov). Dans certains cas\, le système converge vers un équilibre (appelé mesure invariante) en temps long\, et on appelle temps de mélange le temps nécessaire pour devenir « proche » de cet équilibre. Dans cet exposé\, nous étudierons certains systèmes de particules\, et une méthode pour majorer le temps de mélange\, qui consiste à construire un couplage avec la mesure invariante\, c’est-à-dire faire évoluer conjointement le système partant d’une condition initiale quelconque et le système partant de l’équilibre pour contrôler quand ils se rejoignent. Nous verrons en particulier comment des nouvelles représentations du système permettent de construire de tels couplages\, avec l’exemple des fonctions de hauteur.
URL:https://www.math.ens.psl.eu/evenement/brune-massoulie-systemes-de-particules-et-fonctions-de-hauteur/
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