GT : Géométrie spectrale et ergodicité quantique

Introduite au début du XXème siècle, la mécanique quantique décrit les propriétés d’un système physique à partir du spectre et des fonctions propres d’opérateurs qui le décrivent.

Il est cependant naturel de se demander dans quel mesure la mécanique classique est une approximation de la mécanique quantique: ceci est observable dans l’approximation des hautes fréquences ou encore dans la limite où la constante de Planck tend vers zéro.

Historiquement les systèmes classiques complétement intégrables se sont le mieux prêtés à cette analyse, tandis que les systèmes chaotiques ont davantage résisté aux mathématiciens.
Ce groupe de travail propose ainsi une introduction à la géométrie spectrale, c’est-à-dire l’étude des liens entre géométrie d’un objet et spectre d’opérateurs, en se concentrant sur le chaos quantique. En particulier nous présenterons des outils de la géométrie symplectique, des systèmes dynamiques et de l’analyse semi-classique. L’objectif sera de démontrer le théorème de Schnirelman portant sur la délocalisation de la plupart des fonctions propres associées à un système hamiltonien ergodique.

Ce groupe de travail pourra servir d’introduction aux cours de Nalini Anantharaman au collège de France, traitant de nombreux problèmes ouverts autour de ces questions.

Référence

– Maciej Zworski, “Semi-classical analysis”
– Steve Zelditch, “Eigenfunctions of the Laplacian on a riemannian manifold”