GT : Autour de la théorie spectrale du Laplacien

On considère une membrane attachée aux bords d’un cadre de forme quelconque telle la peau d’un tambour. Comment comprendre les vibrations de cette membrane ? Revenons à un problème plus simple : la corde vibrante. Il est bien connu que celle-ci possède une fréquence fondamentale dont les multiples sont les harmoniques, bien connues des musiciens. Pour un tambour de forme quelconque, l’étude se complique. S’il est possible de définir ces fréquences propres, il n’est en général pas possible de les exprimer analytiquement.

La première tâche de ce groupe de travail sera de définir rigoureusement ces fréquences propres, et donc de présenter la théorie spectrale du Laplacien sur un ouvert borné. La suite du programme sera discutée avec les étudiants. Parmi les thématiques que l’on pourra aborder pour pousser l’étude spectrale du Laplacien :

• La loi de Weyl (comptage des valeurs propres)
• Les harmoniques sphériques (les fonctions propres du Laplacien sur la sphère)
• Détermination numérique des valeurs propres
• Le comportement haute-fréquence des fonctions propres (comprendre notamment la conjecture d’unique ergodicité quantique)
• Le Laplacien en dehors d’obstacles et la notion de résonances
• Le Laplacien sur les surfaces hyperboliques
• etc. !