GT : Topologie modérée et structures O-minimales

« […] La “topologie générale” a été développée (dans les années trente et quarante) par des analystes et pour les besoins de l’analyse, non pour les besoins de la topologie proprement dite, c’est-à-dire l’étude des propriétés topologiques de formes géométriques diverses. Ce caractère inadéquat des fondements de la topologie se manifeste dès les débuts, par des “faux problèmes” (au point de vue au moins de l’intuition topologique des formes) comme celle de “l’invariance du domaine” […].

Aujourd’hui encore, comme aux temps héroïques où on voyait pour la première fois et avec inquiétude des courbes remplir allègrement des carrés et des cubes, quand on se propose de faire de la géométrie topologique dans le contexte technique des espaces topologiques, on se heurte à chaque pas à des difficultés parasites tenant aux phénomènes sauvages. » – Alexander Grothendieck [2]

Au cours de ce groupe de travail, nous découvrirons la topologie modérée développée tout au long du XXème siècle via l’axiomatisation introduite par Lou van den Dries en 1984 sous le nom de structures O-minimales. Nous suivrons principalement le livre de van den Dries [1] lui-même. Ceci nous permettra de découvrir en détail plusieurs exemples de telles structures (les semilinéaires, les semialgébriques) ainsi que les nombreux théorèmes que cette puissante axiomatique permet de déduire : le théorème de décomposition cellulaire, de triangulation, de trivialisation, et d’autres.

Selon le temps et les affinités des élèves, nous pourrons également aborder une très jolie application — que l’on pourrait nommer « rayons X topologiques » — de cette théorie au travers d’un théorème de Pierre Schapira [3] qui répond positivement à la question suivante : la connaissance de la caractéristique d’Euler de l’intersection d’une forme géométrique modérée avec chaque hyperplan affine d’un espace Euclidien suffit-elle à reconstruire la forme ?

Références :
[1] van den Dries (1998) Tame topology and O-minimal structures (Vol. 248). Cambridge University Press.
[2] Grothendieck (1984) Esquisse d’un programme.
[3] Schapira (1995) Tomography of constructible functions. In International Symposium on Applied Algebra, Algebraic Algorithms, and Error-Correcting Codes (pp. 427-435). Springer, Berlin, Heidelberg.