\documentclass[11pt,a4paper]{article}
\usepackage{ifpdf}
\usepackage[francais]{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{color}
\usepackage{textcomp}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsthm}
\usepackage{geometry}
\usepackage[all]{xy}
\usepackage[usenames,dvipsnames]{pstricks}
\usepackage{epsfig}
\usepackage{pst-grad} % For gradients
\usepackage{pst-plot} % For axes
\geometry{ hmargin=3cm, vmargin=3cm }

\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{bbm}
\usepackage{stmaryrd}

\pagestyle{fancy}
\frenchspacing

\lhead{}
\rhead{}
\lfoot{Cécile Huneau}
\rfoot{DMA 2014/2015}
\renewcommand{\footrulewidth}{.4pt}
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}



\ifpdf
\pdfinfo {}
\fi


\newcounter{exo}
\newcounter{question}[exo]
\newenvironment{exo}[1]{\noindent\stepcounter{exo}{\bf
Exercice \arabic{exo}.} \quad {\it #1} \par}{\bigskip\par\centering{$\star$}\par\bigskip}
\def\QQ{\par\smallskip\par\stepcounter{question}\arabic{question}. }
\def\QQdure{\par\smallskip\par\stepcounter{question}\arabic{question}.* }
\newcounter{solquestion}
\newenvironment{solution}{\setcounter{solquestion}{0}\noindent{\it Solution.}
\par}{\hfill$\square$\bigskip\par\centering{$\star$}\par\bigskip}
\newcounter{solution}

\def\rq{\par\smallskip\noindent{\it Remarque : }}

\def\ind{\par\smallskip\noindent{\it Indication : }}

\newcommand{\m}[1]{\mathbbm{#1}}
\newcommand{\g}[1]{\mathfrak{#1}}
\newcommand{\q}[1]{\mathcal{#1}}


\newcommand{\e}{\varepsilon}
\newcommand{\isom}{\stackrel{\sim}{\longrightarrow}}
\newcommand{\limit}[2]{\xrightarrow{\: #1 \to #2 \:}}
\newcommand{\tend}{\longrightarrow}
\newcommand{\tendf}{\rightharpoonup}
\newcommand{\imp}{\Rightarrow}
\newcommand{\tens}{\otimes}
\newcommand{\inj}{\hookrightarrow}
\newcommand{\li}{\llbracket}
\newcommand{\ri}{\rrbracket}

\DeclareMathOperator{\Ker}{\mathrm{Ker}}
\DeclareMathOperator{\Vect}{\mathrm{Vect}}
\DeclareMathOperator{\Supp}{\mathrm{Supp}}
\DeclareMathOperator{\vp}{\mathrm{vp}}

\makeatletter
\def\blfootnote{\xdef\@thefnmark{}\@footnotetext}
\makeatother

\newtheorem{defi}{Définition}
\newtheorem{thm}{Théorème}
\newtheorem{prop}{Propriété}
\begin{document}


\begin{center}
{\bf \Large Td n$^\circ$ 11 d'Analyse fonctionnelle} \\
\bigskip 
{\Large \textsc{Espaces de Sobolev}} \\
\bigskip
\bigskip
\large Séance du 15 Mai 2015
\end{center}

\vspace{1cm}


\begin{exo}{Quelques questions sur les espaces de Sobolev $H^s(\m R^d)$}


\QQ Vérifier que $\delta_0 \in H^s$ pour $s<-d/2$. Montrer que pour $s>d/2$, $H^s$ s'injecte continument dans $\mathcal{C}_0(\mathbb{R}^d)$
\QQ Montrer que $\mathcal{E}'(\mathbb{R}^d) \subset \cup_s H^s$. 
\QQ Montrer que l'injection de $H^{s_1}$ dans $H^{s_2}$ pour $s_1 \geq s_2$ est continue.
 

\QQ On suppose maintenant que $s \in ]d/2, d/2+1[$. Montrer que pour tout
$\alpha \in [0,1]$ et $x, y, \xi$:
\[ |e^{ix \xi} - e^{iy \xi}| \le 2 |x-y|^{\alpha} |\xi|^{\alpha}. \]
En d\'eduire que pour tout $\alpha \in ]0,s-d/2[$, il existe $C(\alpha)$ tel
que :
\[ \forall x,y  \in  \m R^d, \quad \frac{|u(x) - u(y)|}{|x-y|^\alpha} \le
C(\alpha) \| u \|_{H^s}. \]
Conclure que $H^s( \m R^d)$ s'injecte contin\^{u}ment  dans $C^{\alpha}( \m R^d)$, ensemble des
fonctions
$\alpha$-Holderiennes born\'ees. 

\end{exo}
\begin{exo}{Fonctions $W^{1,p}$}
Soit $1<p\leq \infty$
\QQ Soit $u\in L^p$. Montrer que les assertions suivantes sont équivalentes
\begin{itemize}
\item $u\in W^{1,p}$,
\item Il existe $C$ telle que pour tout $\phi \in C^1_c(\Omega)$
$$\left|\int_{\Omega} u\partial_i \phi\right|\leq C\|\phi\|_{L^{p'}},$$
\item Il existe $C$ telle que pour tout ouvert $\omega \subset\subset \Omega$ et tout $h\in \m R^d$ tel que $|h|\leq d(\omega, \m R^d \setminus \Omega)$,
$$\|\tau_h u -u\|_{L^p}\leq C|h|.$$ 
\end{itemize}

Soit $u \in  W^{1,p}(\Omega)$.
\QQ Soit $f : \m R \to \m R$ une fonction $C^1$ telle que $f(0) = 0$ et $f'$ soit
bornée. Montrer que $f(u) \in W^{1,p}(\Omega)$ et que $\nabla f(u) = f'(u)
\nabla u$.
\QQ Montrer que $u^+ = \max\{u,0\} \in W^{1,p}$ et que $\nabla u^+ = \mathbbm{1}_{u > 0} \nabla u$.
\QQ Montrer de plus que si $u\in W^{1,p}_0$, alors $f(u)\in W^{1,p}_0$ et $u^{+}\in W^{1,p}_0$.
\end{exo}

\begin{exo}{Principe du maximum}
Soit $\Omega$ un ouvert régulier de $\m R^d$. Soit $c \in L^\infty$, $c \geq 0$, $a_{ij}\in L^\infty$ vérifiant la condition d'ellipticité
$$\sum_{1\leq i,j\leq d} a_{ij}\xi_i \xi_j \geq \alpha |\xi|^2.$$
Soit $f\in H^{-1}(\Omega)$ et $u\in H^1(\Omega)$ solution faible de
$$-\sum_{1\leq i,j\leq d} \partial_i(a_{ij}\partial_j u) +c u = f.$$
Montrer que si $f\geq 0$ et si $u|_{\partial \Omega} \geq 0$ alors $u \geq 0$ sur $\Omega$.
\ind On pourra prendre comme fonction test $u^- = \min\{u,0\}$.
\end{exo}



\begin{exo}{Régularité elliptique}
 Soit $\Omega$ un domaine de $\m R^d$. Soit 
$f\in L^2(\Omega)$ et $u\in H^1_0(\Omega)$ solution faible de
$$-\Delta u + u = f.$$

\QQ On se place dans le cas $\Omega = \m R^d$. Pour $h\in \m R^d$ et $v\in H^1$ on pose
$$D_h v = \frac{ \tau_h v -v}{h}.$$
En prenant comme fonction test $D_{-h}(D_h u)$ montrer que 
$$\|D_h \nabla u \|_{L^2} \leq C\|f\|_{L^2}.$$
\QQ En déduire que $\nabla u \in H^1$ et 
$$\|u\|_{H^2} \leq C\|f\|_{L^2}.$$

\QQ Etendre ce résultat au cas où $\Omega = \mathbb{R}^{+} \times \m R^{d-1}$.

\QQ Etendre ce résultat au cas où $u\in H^1_0(\Omega)$ est solution faible de
$$-\sum_{1\leq i,j\leq d} \partial_i(a_{ij}\partial_j u) + u = f,$$
avec $a_{ij}\in W^{1,\infty}$ satisfaisant la condition d'ellipticité.

\rq En prenant des cartes locales, on peut montrer que ce résultat est aussi vrai pour $\Omega$ ouvert régulier borné. De plus, si $f\in H^m(\Omega)$, alors
$$\|u\|_{H^{m+2}} \leq C\|f\|_{H^m}.$$ 

\end{exo}

\end{document}