\documentclass[11pt,a4paper]{article} \usepackage{ifpdf} \usepackage[francais]{babel} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage{graphicx} \usepackage{color} \usepackage{textcomp} \usepackage{amsmath} \usepackage{amssymb} \usepackage{amsthm} \usepackage{geometry} \usepackage[all]{xy} \usepackage[usenames,dvipsnames]{pstricks} \usepackage{epsfig} \usepackage{pst-grad} % For gradients \usepackage{pst-plot} % For axes \geometry{ hmargin=3cm, vmargin=3cm } \usepackage{fancyhdr} \usepackage{bbm} \usepackage{stmaryrd} \pagestyle{fancy} \frenchspacing \lhead{} \rhead{} \lfoot{Cécile Huneau} \rfoot{DMA 2014/2015} \renewcommand{\footrulewidth}{.4pt} \renewcommand{\headrulewidth}{0pt} \ifpdf \pdfinfo {} \fi \newcounter{exo} \newcounter{question}[exo] \newenvironment{exo}[1]{\noindent\stepcounter{exo}{\bf Exercice \arabic{exo}.} \quad {\it #1} \par}{\bigskip\par\centering{$\star$}\par\bigskip} \def\QQ{\par\smallskip\par\stepcounter{question}\arabic{question}. } \def\QQdure{\par\smallskip\par\stepcounter{question}\arabic{question}.* } \newcounter{solquestion} \newenvironment{solution}{\setcounter{solquestion}{0}\noindent{\it Solution.} \par}{\hfill$\square$\bigskip\par\centering{$\star$}\par\bigskip} \newcounter{solution} \def\rq{\par\smallskip\noindent{\it Remarque : }} \def\ind{\par\smallskip\noindent{\it Indication : }} \newcommand{\m}[1]{\mathbbm{#1}} \newcommand{\g}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\q}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\e}{\varepsilon} \newcommand{\isom}{\stackrel{\sim}{\longrightarrow}} \newcommand{\limit}[2]{\xrightarrow{\: #1 \to #2 \:}} \newcommand{\tend}{\longrightarrow} \newcommand{\tendf}{\rightharpoonup} \newcommand{\imp}{\Rightarrow} \newcommand{\tens}{\otimes} \newcommand{\inj}{\hookrightarrow} \newcommand{\li}{\llbracket} \newcommand{\ri}{\rrbracket} \DeclareMathOperator{\Ker}{\mathrm{Ker}} \DeclareMathOperator{\Vect}{\mathrm{Vect}} \DeclareMathOperator{\Supp}{\mathrm{Supp}} \DeclareMathOperator{\vp}{\mathrm{vp}} \makeatletter \def\blfootnote{\xdef\@thefnmark{}\@footnotetext} \makeatother \newtheorem{defi}{Définition} \newtheorem{thm}{Théorème} \newtheorem{prop}{Propriété} \begin{document} \begin{center} {\bf \Large Td n$^\circ$ 11 d'Analyse fonctionnelle} \\ \bigskip {\Large \textsc{Espaces de Sobolev}} \\ \bigskip \bigskip \large Séance du 15 Mai 2015 \end{center} \vspace{1cm} \begin{exo}{Quelques questions sur les espaces de Sobolev $H^s(\m R^d)$} \QQ Vérifier que $\delta_0 \in H^s$ pour $s<-d/2$. Montrer que pour $s>d/2$, $H^s$ s'injecte continument dans $\mathcal{C}_0(\mathbb{R}^d)$ \QQ Montrer que $\mathcal{E}'(\mathbb{R}^d) \subset \cup_s H^s$. \QQ Montrer que l'injection de $H^{s_1}$ dans $H^{s_2}$ pour $s_1 \geq s_2$ est continue. \QQ On suppose maintenant que $s \in ]d/2, d/2+1[$. Montrer que pour tout $\alpha \in [0,1]$ et $x, y, \xi$: \[ |e^{ix \xi} - e^{iy \xi}| \le 2 |x-y|^{\alpha} |\xi|^{\alpha}. \] En d\'eduire que pour tout $\alpha \in ]0,s-d/2[$, il existe $C(\alpha)$ tel que : \[ \forall x,y \in \m R^d, \quad \frac{|u(x) - u(y)|}{|x-y|^\alpha} \le C(\alpha) \| u \|_{H^s}. \] Conclure que $H^s( \m R^d)$ s'injecte contin\^{u}ment dans $C^{\alpha}( \m R^d)$, ensemble des fonctions $\alpha$-Holderiennes born\'ees. \end{exo} \begin{exo}{Fonctions $W^{1,p}$} Soit $1
0} \nabla u$. \QQ Montrer de plus que si $u\in W^{1,p}_0$, alors $f(u)\in W^{1,p}_0$ et $u^{+}\in W^{1,p}_0$. \end{exo} \begin{exo}{Principe du maximum} Soit $\Omega$ un ouvert régulier de $\m R^d$. Soit $c \in L^\infty$, $c \geq 0$, $a_{ij}\in L^\infty$ vérifiant la condition d'ellipticité $$\sum_{1\leq i,j\leq d} a_{ij}\xi_i \xi_j \geq \alpha |\xi|^2.$$ Soit $f\in H^{-1}(\Omega)$ et $u\in H^1(\Omega)$ solution faible de $$-\sum_{1\leq i,j\leq d} \partial_i(a_{ij}\partial_j u) +c u = f.$$ Montrer que si $f\geq 0$ et si $u|_{\partial \Omega} \geq 0$ alors $u \geq 0$ sur $\Omega$. \ind On pourra prendre comme fonction test $u^- = \min\{u,0\}$. \end{exo} \begin{exo}{Régularité elliptique} Soit $\Omega$ un domaine de $\m R^d$. Soit $f\in L^2(\Omega)$ et $u\in H^1_0(\Omega)$ solution faible de $$-\Delta u + u = f.$$ \QQ On se place dans le cas $\Omega = \m R^d$. Pour $h\in \m R^d$ et $v\in H^1$ on pose $$D_h v = \frac{ \tau_h v -v}{h}.$$ En prenant comme fonction test $D_{-h}(D_h u)$ montrer que $$\|D_h \nabla u \|_{L^2} \leq C\|f\|_{L^2}.$$ \QQ En déduire que $\nabla u \in H^1$ et $$\|u\|_{H^2} \leq C\|f\|_{L^2}.$$ \QQ Etendre ce résultat au cas où $\Omega = \mathbb{R}^{+} \times \m R^{d-1}$. \QQ Etendre ce résultat au cas où $u\in H^1_0(\Omega)$ est solution faible de $$-\sum_{1\leq i,j\leq d} \partial_i(a_{ij}\partial_j u) + u = f,$$ avec $a_{ij}\in W^{1,\infty}$ satisfaisant la condition d'ellipticité. \rq En prenant des cartes locales, on peut montrer que ce résultat est aussi vrai pour $\Omega$ ouvert régulier borné. De plus, si $f\in H^m(\Omega)$, alors $$\|u\|_{H^{m+2}} \leq C\|f\|_{H^m}.$$ \end{exo} \end{document}