EDP: de la modélisation à la résolution

Isabelle Gallagher & Emmanuel Dormy

(2021-2022)

Liens et documents :

Poly d'Analyse Fonctionnelle (Isabelle Gallagher)

Formulaire d'Analyse vectorielle

Partiel (Oct. 2021)

Corrigé du partiel (Oct. 2021)

Exercices sur les Sobolev (TD d'analyse fonctionnelle 11 de 2020)

Exercices sur les Sobolev (TD d'analyse fonctionnelle 12 de 2020)

Cours :

• Cours 1 : Rappels et outils
  
  - Classification des EDP et exemples
  - Théorème de Cauchy-Lipschitz
  - Séries et transformée de Fourier
  - Distributions, solutions fondamentales
  - Espaces de Sobolev, injections de Sobolev
  
  
  
• Cours 2 : Equations elliptiques et paraboliques
  
  - Espaces de Sobolev en domaine borné, théorème de Rellich, lemme d'Aubin-Lions
  - Equations elliptiques : résolution par le théorème de La-Milgram ; régularité elliptique
  - Equations paraboliques : résolution par la méthode de Galerkin
  
  
  
• Cours 3 : Problèmes elliptiques et applications
  
  - Retour sur la classification des EDPs
  - Deux équations prototypiques et leur origine
  - Technique de résolution de ces équations (séparation des variables, solutions fondamentales, approximation numérique)
  - Ecoulements fluides modélisés par des équations elliptiques (dérivation des équations d'Euler, écoulements irrotationels, écoulement autour d'un cylindre infini)
  
  
  
• Cours 4 : Autres problèmes elliptiques pour les fluides
  
  - Ecoulements irrotationels et analyse complexe
  - Ecoulements topologiques dans les domaines non-bornés et contraintes topologiques
  - Dérivation des équations de Navier-Stokes
  - Exemple d'analyse dimensionnelle
  - Limite de Stokes.
  
  
  
• Cours 5 : Équations d'ordre 1 - Équations de transport
  
  - Résolution d'équations d'ordre 1 par la méthode des caractéristiques (cas linéaire, semi-linéaire, quasi-linéaire, complètement non linéaire).
  - Équations de transport : résolution pour des solutions régulières par la méthode des caractéristiques, dans un domaine à bords.
  
  
  
• Cours 6 : Problèmes paraboliques et hyperboliques
  
  PARABOLIQUE :
  - Couches limites contre une plaque en translation et contre une plaque oscillante.
  - Solution fondamentale pour l'éuation de la chaleur.
  HYPERBOLIQUE :
  - Équations hyperboliques et caractéristiques.
  - Burgers et la formation de chocs.
  - Méthode de Godunov et problèmes de Riemann.
  
  
• Cours 7 : Équations des ondes
  
  - Résolution de l'équation des ondes linéaires dans S'(R x R^d)
  - Propriétés qualitatives (vitesse finie de propagation, domaine de dépendance).
  
  
  
• Cours 8 : Ondes et vagues
  
  - Ondes sonores
  - Ondes sur une surface libre
  - Conditions aux limites, domaines ouverts et invariants de Riemann
  - Paquet d'ondes et NLS
  - Notion de solitons
  - Déferlement et singularité.
  Bibliographie
  
  
  
• Cours 9 : Tourbillons, vorticité et topologie
  
  - Equation de vorticité
  - Filaments de vorticité
  - Anneaux de vorticité
  - Introduction aux noeuds/invariants topologiques/singularités
  - Invariants pour Euler (Energie, Hélicité)
  - Notions de Magnétohydrodynamique (MHD)
  
  
  
• Cours 10 : Equations de Navier-Stokes
  
  - Introduction historique
  - Existence globale de solutions turbulentes (le théorème de Leray)
  - Existence et unicité globale en dimension deux
  
  
  
• Cours 11 : Equations de Navier-Stokes (2)
  
  - Résolution des équations de Navier-Stokes dans L³ (R³) (théorème de Kato)
  
  
  
• Cours 12 : Equations de Navier-Stokes (3)
  
  - Equation de Ricatti, Lois de conservation EDO puis EDP, NLS quintique et concentration, Navier-Stokes (évoqués : Tao 2015, Beale, Kato & Majda 1984, Moffatt & Kimura 2019).
  Bibliographie
  
  
  
• Cours 13 : Fluides en rotation
  
  Force de Coriolis, Théorème de Proudman-Taylor, couches limites d'Ekman, écoulements secondaires.
  Bibliographie
  
  
  

TDs :

• TD 1 : Rappels et outils
  Sujet
  Corrigé
  
  
  
• TD 2 : EDP Elliptiques et paraboliques
  Sujet
  Corrigé
  
  
  
• TD 3 : Ecoulement d'Euler irrotationnel autour d'une sphère
  
  
  
• TD 4 : Ecoulement de Stokes autour d'une sphère
  Corrigé
  
  
  
• TD 5 : EDP du premier ordre
  Sujet
  Corrigé
  
  
  
• TD 6 : N/A
  (pas de TD au 6e cours)
  
  
• TD 7 : Équations des ondes
  Sujet
  Corrigé
  
  
  
• TD 8 : Ondes et vagues
  Corrigé
  Article original de Kelvin
  Article récent sur les limites de validité du sillage de Kelvin
  
  
  
• TD 9 : Tourbillons et vorticité
  TD9
  TD9, correction
  
  
  
• TD 10 : N/A
  N/A
  
  
  
• TD 10-11 : Equation de Navier-Stokes
  Sujet
  Corrigé
  
  
  
• TD 12 : Navier-Stokes (suite)
  TD12
  TD12 (correction)
  
  
  
• TD 13 : Fluides en rotation
  TD13
  
  
  
• TD 14 : Fluides en rotation (2)
  TD14