Enseignement
Plan du cours M1 ANALYSE RÉELLE 2009-2010
LUNDI 14 SEPTEMBRE
Espaces métriques complets
Suite de Cauchy, espace et sous-espace complet
Espaces métriques compacts.
Définition
Précompacité (début de la démonstration de l'équivalence compacité/complétude+précompacité)
LUNDI 21 SEPTEMBRE
Espaces métriques compacts.
Précompacité (fin de la démonstration de l'équivalence compacité/complétude+précompacité)
Exemples
Cas de la dimension finie
Espaces de Banach
Définition et premiers exemples
Exemples d'espaces de Banach de fonctions
LUNDI 28 SEPTEMBRE
Espaces de Banach (suite).
Séries dans les espaces de Banach.
Compacité et espaces de Banach : théorème de Riesz ; cube de Hilbert.
LUNDI 5 OCTOBRE
Espaces de Banach (suite).
Théorème d'Ascoli.
Applications linéaires.
LUNDI 12 OCTOBRE
Espaces de Banach (suite et fin).
Opérateurs inversibles.
Formes linéaires.
Applications linéaires compactes.
Espaces L^p.
Rappels d'intégration.
LUNDI 19 OCTOBRE
Espaces L^p (suite).
Rappels d'intégration (suite et fin).
Espaces L^p (Jensen et Hölder notamment)
LUNDI 26 OCTOBRE
Partiel (le sujet)
LUNDI 2 NOVEMBRE
Espaces L^p (suite).
Espaces L^p (Minkowski; L^p Banach; approximation)
LUNDI 9 NOVEMBRE
Espaces L^p (suite).
Séparabilité
L'espace L^\infty.
Convolution.
LUNDI 16 NOVEMBRE
Espaces L^p (suite et fin).
Inégalité de Young
Approximation de l'identité.
Espaces de Hilbert
Définitions et exemples.
Convolution.
LUNDI 23 NOVEMBRE
Espaces de Hilbert (suite).
Lien avec les séries.
Théorème de projection.
Critère de totalité.
LUNDI 30 NOVEMBRE
Espaces de Hilbert (suite et fin).
Bases hilbertiennes.
Décomposition dans une base hilbertienne, Bessel-Parseval.
Exemples.
Séries de Fourier.
Fonctions mesurables périodiques.
Coefficients de Fourier.
LUNDI 14 DÉCEMBRE
Séries de Fourier (suite et fin).
Densité des polynômes trigonométriques.
Théorème de décomposition
Propriétés des coefficients de Fourier, lien avec la régularité
Lemme de Riemann-Lebesgue
Transformée de Fourier des fonctions sommables
Définitions et propriétés
Décroissance et régularité
Lien avec la convolution