Géométrie algébrique réelle
Contact: Olivier Benoist.
Horaires.
Le cours a lieu le lundi de 14h30 à 16h30 et le mardi de 14h45 à 16h45, sur Zoom (numéro de réunion 396 751 8661).
- Lundi 8 Mars : variétés algébriques réelles, points complexes, points réels, formes réelles. [Notes]
- Mardi 9 Mars : courbes de genre 0 et courbes elliptiques réelles. [Notes]
- Lundi 15 Mars : topologie des courbes algébriques réelles (théorème de Klein). [Notes]
- Mardi 16 Mars : topologie des courbes planes réelles (théorème de Rokhlin), 16ème problème de Hilbert. [Notes]
- Lundi 22 Mars : variétés analytiques et algébriques conjuguées, descente galoisienne, GAGA réel. [Notes]
- Mardi 23 Mars : fibrés en droites réels, hypersurfaces réelles, voisinages tubulaires. [Notes]
- Lundi 29 Mars : fibrés en droites algébriques, énoncé du théorème d'approximation pour les hypersurfaces. [Notes]
- Mardi 30 Mars : théorème de Stone-Weierstrass, preuve du théorème d'approximation pour les hypersurfaces. [Notes]
- Lundi 5 Avril : lundi de Pâques, pas de cours.
- Mardi 6 Avril : début de la preuve du théorème de Nash–Tognoli : application de Gauss, approximation de Nash. [Notes]
- Lundi 12 Avril : fin de la preuve du théorème de Nash–Tognoli : cobordisme, théorème de Thom–Milnor (admis). [Notes]
- Mardi 13 Avril : calcul de la cohomologie algébrique du lieu réel. [Notes]
Une variété algébrique réelle est le lieu des zéros d'une famille
d'équations polynomiales à coefficients réels. Si cette variété est non
singulière, l'ensemble des solutions complexes (resp. réelles) de ces
équations est une variété algébrique complexe lisse (resp. une variété
différentielle). Le thème principal du cours sera l'interaction entre la
géométrie de la première et la topologie de la seconde. On abordera
notamment le théorème de Nash–Tognoli : toute variété différentielle
compacte est l'ensemble des points réels d'une variété algébrique
réelle. On étudiera également de ce point de vue les sous-variétés des
variétés algébriques réelles.
Bibliographie.
- Deux références générales de géométrie algébrique réelle sont
[Bochnak-Coste-Roy, Real Algebraic Geometry] et [Mangolte, Variétés algébriques réelles].
- Une très jolie référence pour la topologie des courbes algébriques réelles et des courbes planes réelles est l'article
[Gabard, Topologie des courbes algébriques réelles : une question de Felix Klein]. La construction analytique de courbes algébriques réelles de types topologiques prescrits est esquissée dans [Natanzon, Moduli of real algebraic surfaces..., Examples 1.1 and 1.2]. Pour le théorème de Rokhlin, on peut consulter l'article original [Rokhlin, Complex orientations of real algebraic curves].
- Un ouvrage de base en topologie différentielle est [Hirsch, Differential topology].
- Des preuves du théorème d'approximation pour les hypersurfaces et du théorème de Nash–Tognoli sont respectivement présentées dans [Bochnak-Coste-Roy, Real Algebraic Geometry, Theorem 12.4.11 et Theorem 14.1.10].
Examens 2020 et 2021.