GT Matroïdes et cycles algébriques

Contact: Olivier Benoist. Si vous envisagez d'assister à ce groupe de travail, je vous encourage à m'écrire pour vous signaler. Merci !

Horaires. Le groupe de travail a lieu le mercredi de 9h à 10h30 en salle W, sur les toits du DMA.

Objectif. Le but de ce groupe de travail est d'étudier l'article [EGFS] de Philip Engel, Olivier de Gaay Fortman et Stefan Schreieder. Il combine des arguments géométriques (dégénérescence, monodromie) et combinatoires (matroïdes) pour obtenir des contraintes sur les cycles algébriques. Ses deux résultats principaux sont :

• il existe des variétés abéliennes qui ne satisfont pas la conjecture de Hodge entière ;
• il existe des solides cubiques lisses stablement irrationnels.

Bibliographie.

• L'article principal est [EGFS]=[Engel–de Gaay Fortman–Schreieder, Matroids and the integral Hodge conjecture for abelian varieties].
• L'article compagnon [EGFS2]=[Engel–de Gaay Fortman–Schreieder, Combinatorics and Hodge theory of degenerations of abelian varieties: a survey of the Mumford construction] présente des compactifications de familles de variétés abéliennes qui sont utilisées dans la preuve.
• Nous utiliserons [Oxley, Matroid theory, 2nd edition] comme référence concernant la théorie combinatoire des matroïdes.
• Les résultats de [EGFS] peuvent être appliqués aux solides cubiques grâce à [Gwena, Degenerations of cubic threefolds and matroids]. L'irrationalité stable de solides cubiques découle alors de [Voisin, On the universal CH₀ group of cubic hypersurfaces].

Séances. Les dates et thématiques des séances sont encore indicatives, et peuvent être amenées à changer.

• Mercredi 1er octobre (Olivier Benoist). Séance introductive. Survol de l'article et découpage en exposés.
• Mercredi 8 octobre (Samuel Lerbet). Matroïdes I. Définition, dual, matroïdes représentables, (co)graphiques, réguliers. Exemples.
• Mercredi 15 octobre. Matroïdes II. Suppression, contraction, mineurs. Théorèmes des mineurs exclus.
• Mercredis 22 et 29 octobre. VACANCES.
• Mercredi 5 novembre. Familles matroïdales. Définition, énoncé du théorème principal [EGFS, Théorème 1.6]. Applications à la conjecture de Hodge entière, cas des Jacobiennes intermédiaires.
• Mercredi 12 novembre (Olivier de Gaay Fortman). Scindages quadratiques. Définitions, division de la preuve du théorème principal en une partie géométrique [EGFS, Théorème 1.8] et une partie combinatoire [EGFS, Théorème 1.9]. Preuve simplifiée du Théorème 1.8.
• Mercredi 19 novembre. Application à l'irrationalité stable de solides cubiques, d'après Voisin.
• Mercredi 26 novembre (Mirko Mauri). Construction de Mumford [EGFS2]. Familles D-nodales, énoncé de [EGFS2, Theorem 7.1], principe de la preuve suivant [EGFS2, Constructions 3.3 et 3.8].
• Mercredi 3 décembre. Résolutions admissibles [EGFS, §3]. Définition, énoncé de [EGFS, Theorem 3.15], principe de la preuve, exemples (notamment [EGFS, Figures 1 et 2]).
• Mercredi 10 décembre. Preuve du Théorème 1.8 (scindage quadratique associé à un cycle algébrique) [EGFS, §4].
• Mercredi 17 décembre. Graphes d'Albanese [EGFS, §5]. Définition et propriété universelle des graphes d'Albanese, exemples, énoncé et preuve de [EGFS, Theorem 5.10].
• Mercredi 7 janvier. Preuve du Théorème 1.9 (un critère de cographicité) [EGFS, §6, §7]. Structure de l'argument [EGFS, p.73], preuve de l'étape cruciale de descente [EGFS, Theorem 6.1], éventuellement discussion de la clôture par mineurs [EGFS, Proposition 7.2].
• Mercredi 14 janvier.