Courbes Elliptiques 

Olivier de Gaay Fortman


M1: Groupe de Travail 

Automne/Hiver 2020

École Normale Supérieure de Paris


Courbes Elliptiques (Groupe de Travail: Automne/Hiver 2020) 


Contact: Olivier de Gaay Fortman. 


Horaires: Le cours a lieu le vendredi de 08h30 à 10h en salle Henri Cartan. 

Calendrier:

Introduction


Première partie


Deuxième partie

Troisième partie


Optional


Fiche d’évaluation :


Évaluation


Résumé:

Une courbe elliptique complexe est en gros une courbe lisse dans C^2 qui est aussi un groupe. En tant que telle, elle est donnée par l'ensemble des solutions complexes d'une équation polynomiale à deux variables à coefficients complexes, par exemple y^2 = x^3-x. La loi de groupe sur les points d'une telle courbe est construite géométriquement, ce qui rend la théorie des courbes elliptiques très riche. En effet, on peut étudier la géométrie algébrique de la courbe, la structure comme variété complexe (c'est un tore) et l'arithmétique associée: plus généralement on peut définir une courbe elliptique par un polynôme avec des coefficients dans n'importe quel corps (en particulier les nombres rationnels ou un corps fini). Les courbes elliptiques apparaissent largement en géométrie algébrique, en géométrie différentielle, en cryptographie, et en théorie des nombres. Par exemple, Andrew Wiles a utilisé la théorie des courbes elliptiques pour prouver le Dernier Théorème de Fermat. Dans ce groupe de travail, nous couvrirons les sujets suivants: la base de la géométrie algébrique, la définition d’une courbe elliptique, sa géométrie et sa loi de groupe, la structure de variété complexe sur les points complexes, la reduction modulo p, et le Théorème de Mordell-Weil. Si le temps le permet, nous pourrons également aborder la Conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer et le lien entre les courbes elliptiques et les formes modulaires, afin de comprendre un part de la preuve du Dernier Théorème de Fermat. 


Bibliographie: