Courbes Elliptiques
Olivier de Gaay Fortman
M1: Groupe de Travail
Automne/Hiver 2020
École Normale Supérieure de Paris
Courbes Elliptiques (Groupe de Travail: Automne/Hiver 2020)
Contact: Olivier de Gaay Fortman.
Horaires: Le cours a lieu le vendredi de 08h30 à 10h en salle Henri Cartan.
Calendrier:
Introduction
- Vendredi 11 Septembre : Exposé introductif: la théorie des courbes elliptiques (Olivier de Gaay Fortman)
Première partie
- Vendredi 18 Septembre : Les bases de la géométrie algébrique (Thomas Agugliaro)
- Variétés affines, projectives, sous-ensembles fermés et idéaux premiers, Hilbert Nullstellensatz.
- Littérature: [Moonen, Ch. 1 - 3], [Fulton, Ch. 1 - 4] - (supplémentaire: [Edixhoven, Ch. 1 & 2], [Hartshorne, Ch. 1]).
- Théorème nécessaire: Nombres d’intersection [Fulton, Théorème 3] ou [Milne, Proposition 1.8].
- Vendredi 25 Septembre : Courbes Projectives Planes (Guillaume Pignon--Ywanne)
- Littérature: [Milne, Ch. 1], [Fulton, Ch. 5] - (supplémentaire: [Edixhoven, Ch. 8], [Serre, Ch. II], [Hartshorne, Ch. 1]).
- Théorèmes nécessaires: Bézout [Fulton, 5.3], [Hartshorne, I.7.8] et Riemann-Roch [Edixhoven, Ch. 8], [Serre, II.4], [Fulton, 8.6].
- Vendredi 2 Octobre : Courbes Elliptiques (Nicolas Daire)
- Définitions équivalentes d’une courbe elliptique, loi de groupe, équations de Weierstrass, isogénies.
- Littérature: [Milne, Ch. I, II], [Silverman, Ch. 3].
- Vendredi 9 Octobre : Réduction modulo p (Marcus Nicolas)
- Réduction modulo p, courbes elliptiques semi-stables, courbes elliptiques sur Q_p.
- Littérature: [Milne, Ch. II, 3 - 6].
- Vendredi 16 Octobre : Surfaces de Riemann (Timothée Lemistre)
- Definition des surfaces de Riemann, examples, fonctions holomorphes entre surfaces de Riemann, réseaux dans C, tores complexes.
- Littérature: [Miranda, Ch. I, II], [Milne, Ch. III].
- Vendredi 23 Octobre : La classification des courbes elliptiques sur les nombres complexes (Nicolas Gues)
- Littérature: [Milne, Chapitre III] et [Silverman, Chapitre VI].
- Buts:
- [Silverman, Theorem 5.3]: équivalence de categories (Courbes Elliptiques Complexes) ≅ (1-dim. Tores Complexes)
- [Milne, Ch. III, Diagramme (20)]: (Courbes Elliptiques Complexes)/~ ≅ SL_2(Z) \ H ≅ C.
Deuxième partie
- Vendredi 6 Novembre : Courbes Elliptiques comme Schémas en Groupes (Thomas Agugliaro)
- Schémas affines, Proj d’un anneau gradué, schémas en groupes affines / algèbres de Hopf, courbes elliptiques sur un anneau.
- Littérature:
- [Waterhouse], [J.S. Milne, Affine Group Schemes], [Tate]
- Vendredi 13 Novembre : Cohomologie Galoissienne (Nicolas Daire)
- Cohomologie des groupes, cohomologie Galoissienne.
- Littérature:
- [Serre: Cohomologie Galoisienne], [Harari]
- Vendredi 20 Novembre : Les Groupes de Selmer & Tate-Shafarevich (Marcus Nicolas)
- Groupe de Selmer, groupe de Tate-Shafarevich, la finitude du groupe de Selmer.
- Littérature:
- Vendredi 27 Novembre : Formes Modulaires (Guillaume Pignon--Ywanne)
- Modular Forms, Cusp forms, New forms, S_2(\Gamma_0(N)), Dirichlet Series, L-series of a modular form, Modularity Theorem
- Littérature: [Bruin&Dahmen], [Serre], [Diamond and Shurman], [Milne: Modular Functions and Modular Forms]
- Vendredi 4 Décembre : Courbes Modulaires (Timothée Lemistre)
- Vendredi 11 Décembre : Le Théorème de Modularité (Nicolas Gues)
Troisième partie
- Vendredi 18 Décembre : La preuve du Dernier Théorème de Fermat (Olivier de Gaay Fortman)
Optional
- Courbes Elliptiques et Fonctions de Zeta
- La classification courbes elliptiques sur les nombres rationnels, l’hypothèse de Riemann, courbes elliptiques sur des corps finis,
- la rationalité de la fonction de zeta d’une courbe elliptique sur un corps fini.
- La Conjecture de Birch & Swinnerton-Dyer
- Théorème de Mordell-Weil, conjecture de Birch & Swinnerton-Dyer
Fiche d’évaluation :
Évaluation
Résumé:
Une courbe elliptique complexe est en gros une courbe lisse dans C^2 qui est aussi un groupe. En tant que telle, elle est donnée par l'ensemble des solutions complexes d'une équation polynomiale à deux variables à coefficients complexes, par exemple y^2 = x^3-x. La loi de groupe sur les points d'une telle courbe est construite géométriquement, ce qui rend la théorie des courbes elliptiques très riche. En effet, on peut étudier la géométrie algébrique de la courbe, la structure comme variété complexe (c'est un tore) et l'arithmétique associée: plus généralement on peut définir une courbe elliptique par un polynôme avec des coefficients dans n'importe quel corps (en particulier les nombres rationnels ou un corps fini). Les courbes elliptiques apparaissent largement en géométrie algébrique, en géométrie différentielle, en cryptographie, et en théorie des nombres. Par exemple, Andrew Wiles a utilisé la théorie des courbes elliptiques pour prouver le Dernier Théorème de Fermat. Dans ce groupe de travail, nous couvrirons les sujets suivants: la base de la géométrie algébrique, la définition d’une courbe elliptique, sa géométrie et sa loi de groupe, la structure de variété complexe sur les points complexes, la reduction modulo p, et le Théorème de Mordell-Weil. Si le temps le permet, nous pourrons également aborder la Conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer et le lien entre les courbes elliptiques et les formes modulaires, afin de comprendre un part de la preuve du Dernier Théorème de Fermat.
Bibliographie:
- Courbes Elliptiques:
- Courbes Algébriques et Surfaces de Riemann:
- Géométrie Algébrique
- Schémas en Groupes
- William C. Waterhouse Introduction to Affine Group Schemes
- J.S. Milne, Basic Theory of Affine Group Schemes
- John Tate, Finite Flat Group Schemes
- Cohomologie Galoisienne
- Formes Modulaires
- F. Diamond and J. Shurman - A First Course in Modular Forms
- Théorie des Nombres