« Raconte-moi… »
Séminaire de l'équipe Algèbre et Géométrie
Organisateurs: Olivier Benoist, Nicolas Tholozan.
Organisateurs: Olivier Benoist, Nicolas Tholozan.
Le séminaire « Raconte-moi… » est le séminaire de l'équipe Algèbre et Géométrie du DMA. Il a pour but d'encourager les discussions entre les membres de l'équipe, qui viennent d'horizons divers (Géométrie des groupes, Analyse géométrique, Topologie géométrique, Géométrie algébrique réelle et complexe, Arithmétique, Logique…). Chaque exposé introduit un objet, une notion ou une théorie, de façon accessible à tous les membres de l'équipe, et même au-delà.
Les distributions de Poisson—Dirichlet forment une famille de lois de probabilité sur l'ensemble des partitions de 1. Ces distributions
apparaissent dans de nombreuses situations différentes :
- dans la distribution de la classe de conjugaison d'une grande permutation aléatoire,
- la décomposition en produit de nombres premiers d'un grand nombre entier aléatoire (Billingsley),
- les surfaces triangulées aléatoires (Gamburd, Chmutov—Pittel),
- la distribution des longueurs des composantes d'une longue multi-géodésique aléatoire
sur une surface hyperbolique de grand genre (Delecroix—Liu).
Le but de cet exposé sera de décrire ces distributions et expliquer pourquoi elles apparaissent dans ces situations.
Quoique le nom de Charles Hermite, associé en particulier à la preuve de la transcendance de e, et peut-être plus encore l'adjectif « hermitien » soient bien connus des mathématiciens et mathématiciennes, l'homme lui-même et surtout sa manière de travailler, sa vision des mathématiques et le très large périmètre de son influence le sont beaucoup moins. J'essaierai d'y remédier (un peu) dans l'exposé, en expliquant aussi les problèmes particuliers que ce cas pose à l'histoire des mathématiques et quelques approches utilisées pour les résoudre.
Je présenterai des résultats d'existence et d'unicité de traces dans l'espace des fonctions de type positif des réseaux de rang supérieur. Je mentionnerai quelques applications à la théorie des représentations unitaires et à la structure de leurs C*-algèbres. Ces résultats fournissent des généralisations noncommutatives de théorèmes dûs à Margulis, Stuck—Zimmer et Nevo—Zimmer.
Je parlerai de mes travaux avec Laura Monk, dans lesquels on s'intéresse à la plus petite valeur propre du laplacien sur une surface hyperbolique compacte, choisie aléatoirement selon la mesure de Weil—Petersson.
Bien que la théorie de l'homotopie soit puissante, les calculs s'avèrent souvent complexes : à l'heure actuelle, on ne sait pas déterminer les groupes d'homotopie des sphères. La théorie de l'homotopie rationnelle offre un compromis : en oubliant la torsion, on gagne en calculabilité. C'est dans ce contexte que la formalité a été introduite. Un espace topologique est dit formel si l'on peut reconstruire son type d'homotopie rationnel seulement à partir de sa cohomologie rationelle. C'est le cas des variétés Kählériennes compactes comme l'ont montré Deligne, Griffiths, Morgan et Sullivan, dans un article central de 1975. L'étude de la formalité a notamment permis à Sullivan en 1977 de calculer les groupes d'homotopie rationnels des sphères. La notion de formalité a depuis été généralisée à n'importe quel anneau de coefficients et à d'autres structures algébriques. Après avoir introduit la formalité, ses exemples classiques et ses applications, je présenterai une approche moderne de la formalité faisant intervenir des structures supérieures.
Quelles sont les propriétés communes à tous les corps finis, exprimables en logique du premier ordre (dans le langage des anneaux) ? En 1968, James Ax, s'appuyant sur des résultats en théorie des nombres, répond à cette question et lance la recherche sur les corps pseudofinis, les modèles infinis de la théorie des corps finis. Dans cet exposé, après avoir rappelé quelques notions de base en logique, je présenterai l'axiomatisation d'Ax ainsi que certaines propriétés des corps pseudofinis, pour finalement mentionner des généralisations et des applications plus récentes.
On se donne une extension finie F du corps des nombres p-adiques et l'on considère le groupe linéaire G=GL(2,F). Je décrirai de façon élémentaire l'immeuble de Bruhat-Tits de G. C'est un complexe polysimplicial sur lequel on peut lire la grassmannienne de G, sa variété de drapeaux affine et les algèbres de Hecke correspondantes. Cet objet géométrique a permis, dans les années 2000/2010, de construire et de comprendre des représentations intéressantes de G en caractéristique p. Je citerai notamment des travaux de Breuil, Paskunas, Colmez (...) qui ont ouvert la voie à beaucoup de questionnements (et des réponses) sur la correspondance de Langlands locale modulo p pour G.
La géométrie asymptotique d'un groupe discret peut être étudiée à partir des espaces de fonctions harmoniques dans le groupe. C'est le cas du bord de Martin, qui correspond aux fonctions harmoniques positives, et du bord de Poisson, qui correspond aux fonctions harmoniques bornées. Dans cet exposé, nous introduirons ces concepts et expliquerons leurs liens avec les marches aléatoires dans les groupes. Nous discuterons en détail le cas des groupes hyperboliques, notamment des groupes libres, et présenterons des résultats qui décrivent le bord de Poisson au travers du bord de Gromov, avec des hypothèses sur la mesure choisie.
Les multicomplexes sont des outils d'algèbre homologique qui généralisent la notion de bicomplexes. Déjà présents sous diverses formes dans les travaux de Wall (pour des résolutions d'extensions de groupes) ou de Liulevicius en algèbre homologique, ils sont régulièrement présents dans la littérature comme outil efficace pour calculer des groupes d'homologie. Plus récemment on les rencontre dans le calcul d'invariants homologiques de variétés. L'objectif de mon exposé est d'introduire les multicomplexes, les suites spectrales associées ainsi qu'une théorie d'homotopie pour les multicomplexes.
Étant donnée une représentation d'un groupe de surface dans un groupe de Lie G, le problème du disque minimal équivariant consiste à trouver un disque minimal dans l'espace symétrique de G invariant par la représentation. Nous discuterons des propriétés associées à ce problème lorsque le groupe G est de rang 1, 2 ou plus, avec les exemples de PSL(2, C), SL(3, R) et PSL(2, R)^3 respectivement.
Un produit de valeurs spéciales de la fonction zêta de Riemann s'écrit naturellement comme une combinaison linéaire de certaines sommes de séries en plusieurs variables appelées valeurs zêta multiples. Ces nombres admettent également une représentation comme intégrale itérée sur la droite projective moins trois points, et en comparant les séries et les intégrales on trouve une pléthore de relations linéaires entre valeurs zêtas multiples. On conjecture qu'elles sont toutes ainsi obtenues. J'expliquerai un théorème de Brown de 2012 qui est le meilleur résultat connu dans la direction de cette conjecture. Malgré son énoncé complètement élémentaire, la preuve repose sur la théorie de Galois motivique ; ce sera le prétexte pour en donner un aperçu.
Les lois de Weyl symplectiques sont une famille de formules asymptotiques vérifiées par certains invariants symplectiques. Elles sont apparues dans les 5 dernières années et sont à l'origine de multiples percées en dynamique de petite dimension, sur la structure des groupes de transformations de surfaces, ou sur les problèmes de plongement symplectiques. Mon but sera de présenter (au moins une de) ces formules et leurs applications d'une manière accessible au plus grand nombre !
Un thème classique de la géométrie diophantienne de la seconde moitié du 20e siècle est que la géométrie influence l'arithmétique, l'exemple le plus frappant étant la conjecture de Mordell (théorème de Faltings) qu'une courbe de genre au moins deux sur un corps de nombres n'a qu'un nombre fini de points rationnels. Serge Lang a ensuite étendu cette conjecture du côté des variétés hyperboliques. À la fin des années 80, Batyrev et Manin ont proposé d'étudier l'autre côté du spectre, en particulier les variétés de Fano, et suggéré que les points rationnels suivraient une distribution assez régulière relativement à leur hauteur, une mesure de leur complexité arithmétique. Le cas particulier le plus simple concerne la droite projective et revient au théorème de Dirichlet qu'une «proportion» 6/π2 des couples d'entiers naturels sont premiers entre eux. Cette conjecture a motivé un raffinement par Peyre (qui explique ce 6/π2 !), de nombreux théorèmes prouvés par des méthodes variées et souvent difficiles, des variantes géométriques (sur les corps de fonctions), motiviques... On lui connaît également quelques contre-exemples, mais ils commencent maintenant à être compris.
L'objet de mon exposé sera les équations différentielles ordinaires algébriques dans le domaine complexe. Lorsqu'une telle équation est suffisamment générale, ses solutions peuvent être uniformisées par le disque unité. Je parlerai de résultats récents sur l'asymptotique de ces uniformisations lorsque le temps complexe tend vers le bord du disque.
In this talk, we'll give a light introduction to Grigorchuk's famous group of intermediate growth.
Une transformation birationnelle du plan affine est simplement une «application» donnée par des fonctions rationnelles avec une «application» inverse de la même forme. Il y en a beaucoup. En fait, il y a déjà beaucoup d'automorphismes polynomiaux du plan affine. Les transformations birationnelles du plan constituent un groupe, qui s'appelle groupe de Cremona, appelé ainsi après Luigi Cremona, qui a publié deux œuvres sur ce groupe dans les années 1860. Un des théorèmes fondamentaux sur le groupe de Cremona est le théorème de Noether—Castelnuovo, qui date de 1907 et qui présente un formidable ensemble de générateurs : le groupe de Cremona est engendré par le groupe d'automorphismes du plan projectif et une seule application en plus. Dans cet exposé je vais vous donner l'idée de sa preuve, qui utilise seulement les bases de la géométrie birationnelle des surfaces. Ensuite, je vais aussi discuter ce qui se passe si le corps de base n'est pas algébriquement clos ; dans ce cas le théorème de Noether—Castelnuovo est très loin d'être correct.
En analyse réelle, la conjecture de Zygmund essaye de décrire de manière fine la géométrie des rectangles de l'espace Euclidien. Cette conjecture a une histoire un peu compliquée et il me semble qu'on la considère "fausse" de nos jours. Dans cet exposé, j'essaierai de vous expliquer de quoi il s'agit et de vous présenter une version légèrement plus faible en dimension 3.
Version courte : "Sometimes [Euler calculus] appears to be useful [...]" — Oleg Viro.
Version longue : Le calcul d'Euler est la théorie de l'intégration des fonctions constructibles par rapport à la caractéristique d'Euler. Cette théorie de l'intégration permet de définir des transformées intégrales similaires à la transformée de Radon. Je présenterai un théorème dû à Schapira (1995) donnant des conditions suffisantes d'inversibilité pour ces transformées. Ce résultat est la clé du problème inverse suivant : un ensemble définissable est-il déterminé par l'homologie de ses intersections avec tous les demi-espaces affines ?
Au cours de l'exposé, je motiverai l'étude des fonctions constructibles de deux manières. J'énoncerai d'abord un théorème de Kashiwara (1985) liant ces fonctions aux faisceaux constructibles. Enfin, je discuterai d'invariants topologiques dûs à McCrory et Parusinski (1997) définis grâce au calcul d'Euler. L'annulation de ces invariants est une condition nécessaire à ce qu'un espace topologique soit homéomorphe à un ensemble algébrique.
Le problème inverse de Galois est un problème historique de la théorie des nombres, déjà étudié par Hilbert, et toujours ouvert. Étant donné un groupe fini G, on demande s'il existe une extension galoisienne du corps des nombres rationnels dont G est le groupe de Galois. Au cours du vingtième siècle, il est apparu que cette question admettait une interprétation en termes de G-revêtements : on cherche en fait des points rationnels sur les "espaces de modules de Hurwitz", qui classifient les revêtements. Des méthodes géométriques, topologiques et combinatoires donnent alors un point de vue nouveau sur le problème et permettent de réaliser des groupes. Le but de l'exposé est de donner un aperçu de cette intervention de la géométrie dans une question d'arithmétique, de façon introductive et panoramique.
Dans cet exposé, nous introduirons certaines questions fondamentales sur le spectre de matrices aléatoires parmi les modèles les plus célèbres GOE/GUE (Gaussian orthogonal ensemble, Gaussian unitary ensemble) et d'opérateurs aléatoires de Schrödinger. Nous parlerons en particulier d'une représentation géométrique de la limite microscopique des valeurs propres due à Valko et Virag (2006, 2016). Les opérateurs qui apparaissent à la limite sont des opérateurs (aléatoires) de "manège hyperbolique " qui ont une description simple dans la géométrie hyperbolique du demi plan de Poincaré. Cette approche donne de plus une interprétation géométrique des statistiques des valeurs propres. Cette présentation s'appuie sur des articles de Valko et Virag, et sur des travaux en collaboration avec Cyril Labbé.
La théorie de Deligne—Lusztig est une branche de la théorie des représentations qui concerne les représentations d'une large classe de groupes finis qu'on appelle groupes réductifs finis. Cette théorie a permis à Lusztig d'établir une classification compléte des représentations de ces groupes sur des corps de caractéristique nulle. Dans cet exposé, j'expliquerai les principales étapes de cette classification, puis dans un deuxième temps je mentionnerai certaines généralisations aux représentations modulaires de ces groupes.
Les courants positifs (fermés), “objets souples de l'analyse complexe” selon une formule fameuse de Pierre Lelong, sont des objets à mi-chemin entre l'analyse et la géométrie complexe, et qui se sont rendus indispensables dans de nombreux domaines, de la géométrie algébrique aux systèmes dynamiques. Dans cet exposé, j'essaierai d'expliquer que, contrairement à une idée reçue, ce ne sont pas des objets si difficiles à comprendre et manipuler, et évoquerai quelques applications.
Motivated by large-scale storage problems around data loss, a budding branch of coding theory has surfaced in the last decade or so, centered around locally recoverable codes. A code is a subset of a finite-dimensional vector space over a finite field, chosen carefully so that all its elements are locally isolated, as if they were "repelling" each other. Each vector in a code is called a code word. Locally recoverable codes have the property that individual entries in a code word are functions of other entries in the same word. If an entry is accidentally lost, it can be recomputed, and hence a code word can be repaired. Algebraic geometry has a role to play in the design of codes with locality properties. In this talk I will explain how to use algebraic surfaces to both reinterpret constructions of optimal codes already found in the literature, and to find new locally recoverable codes, many of which are optimal.
The study of closed geodesics on Riemann surfaces is a classical topic. In the arithmetic case (i.e. modular curves) the closed geodesics can be parametrized by quadratic forms and as such have an associated discriminant. We will given an introduction to a classical result of Duke which shows that as the discriminant goes to infinity, the geodesics equidistribute. Secondly we will consider the distribution of closed geodesics in the homology of the modular curves. If time permits we will explain some of the ideas that goes into the proofs and the connections to L-functions.
La conjecture de Hodge reste une conjecture largement ouverte et mystérieuse. Dans cet exposé je parlerai d'un énoncé encore plus fort : la « Conjecture de Hodge Entière ». Bien que fausse en général, il est important de se demander pour quel type de variétés complexes projectives elle est vraie. Je la prouverai pour les classes d'homologie de degré deux sur la jacobienne d'une courbe. Enfin, je parlerai de son analogue pour les variétés algébriques réelles: la « Conjecture de Hodge Entière Réelle ».
L'étude du lieu des fibres dégénérées (i.e. possédant des cycles algébriques exceptionnels) dans une famille de variétés algébriques f:Y➔ X est l'un des problèmes centraux en géométrie arithmétique. Supposons le corps de base k de car. 0 et la famille projective lisse. Dans ce cas, conjecturellement, la présence de cycles exceptionnels se détecte au niveau cohomologique. Pour la cohomologie singulière et k=C, on dispose de résultats frappants; par ex. on sait que le lieu de dégénérescence est une réunion dénombrable de sous-variétés algébriques (Cattani-Deligne-Kaplan) et, lorsque f:Y➔ X est le schéma abélien universel au-dessus d'une variété de Shimura, que le lieu de dégénérescence est entièrement contrôlé par celui des fibres les plus dégénérées - les points CM (Conjecture d'André-Oort). Pour la cohomologie l-adique et k de type fini, on en sait beaucoup moins. Je ferai un état des lieux partiel de la situation dans ce cas, des résultats escomptés et de leurs applications, notamment en lien avec certaines conjectures d'uniformité en géométrie arithmétique.
Les opérades sont des objets qui gouvernent des catégories d'algèbres au sens large — par exemple, les algèbres associatives, les algèbres commutatives, ou les algèbres de Lie — qui sont habituellement définies par "opérations génératrices et relations". Le but de cet exposé est d'introduire la théorie des opérades avec des exemples, et en particulier l'exemple fondateur des opérades des petits disques. J'expliquerai comment les opérades des petits disques permettent d'obtenir des invariants des variétés de deux façons duales : le calcul des plongements et l'homologie de factorisation.
Soit X=(X_t) une famille de variétés algébriques complexes paramétrée par le disque épointé, dont les équations ont une singularité méromorphe en t=0. Le but de cet exposé est d'expliquer comment associer à cette famille un espace dit hybride, permettant de voir les variétés complexes X_t dégénérer vers l'espace analytique non-archimédien obtenu en interprétant X comme une variété algébrique sur le corps des séries de Laurent. Je donnerai aussi des applications géométriques de cette construction.
Si la topologie quantique est née des travaux de Jones, Kauffman et Witten à la fin des années 1980, on peut lui trouver des racines plus anciennes. En partant des polynômes chromatiques des graphes (Birkhoff 1912), revisités par Tutte dans les années 1960, on va expliquer comment en tirer des représentations des groupes modulaires des surfaces toujours liées au nombre d'or. Parmi elles, le groupe de l'icosaèdre et l'uniformisation de surfaces trouvées par Hirzebruch.
Je discuterai certaines des nombreuses applications de la mesure gaussienne sur les réseaux euclidiens en mathématiques et en informatique. Dans un deuxième temps, j'expliquerai comment les mesures gaussiennes apparaissent dans l'étude de certains réseaux de rang infini, quelles sont les concepts mathématiques qui apparaissent dans cette situation, et je donnerai des applications arithmétiques.
Les espaces de distributions anisotropes sont des outils efficaces pour étudier les propriétés statistiques de dynamiques chaotiques assez régulières, en reliant ces propriétés au spectre d'un opérateur de type Perron-Frobenius agissant sur ces espaces. Les billards dispersifs (ou billards de Sinai) sont un exemple de dynamique chaotique naturel, mais très peu régulier : la dynamique est seulement lisse par morceaux, avec des dérivées non bornées et les "feuilletages dynamiques" sont seulement mesurables. J'expliquerai comment on a pu malgré tout définir et utiliser les espaces anisotropes avec succès dans ce contexte (notamment pour obtenir le mélange exponentiel de la mesure de Liouville du flot billard et construire la mesure maximisant l'entropie de l'application billard). (Travaux avec M. Demers et/ou C. Liverani. J'évoquerai, si le temps le permet, des travaux en cours de membres de mon groupe à Jussieu.)
Les formes modulaires sont des fonctions sur le demi-plan complexe, invariantes par une certaine action de SL_2(Z), et qui jouent un rôle très important en théorie des nombres. Grace aux travaux de Weil dans les années 60, on sait construire de nombreuses formes modulaires par les séries thêta. Je vous raconterai comment Kudla et Millson, dans les années 90, ont utilisé les travaux de Weil pour relier le monde des formes modulaires à la géométrie de certains espaces localement symétriques orthogonaux.
Après la preuve de Yau de la conjecture de Calabi dans les années 80, l'opérateur de Monge-Ampère a joué un rôle central dans des problèmes géométriques, comme la recherche des métriques spéciales sur une variété compacte kählerienne. En effet, il s'avère que la résolution d'une équation de type Monge-Ampère est équivalente à l'existence d'une métrique Kähler-Einstein. Dans le cas «lisse» (quand la variété est lisse) ont a un cadre complet : on connaît les obstructions et on a des théorèmes d'existence et unicité. Le cas «singulier» est plus compliqué et encore en développement. Je vais vous parler de tout ça et comment la théorie du pluripotentiel est mon outil favori pour chercher des métriques de Kähler-Einstein singulières.
A topological dynamical system (i.e. a group acting by homeomorphisms on a compact metric space) is said to be proximal if for any two points p and q we can simultaneously "squish them together". A group is strongly amenable if every proximal dynamical system has a fixed point. In this talk I will give an introduction to proximal actions, strong amenability and discuss connections with other group theoretic properties. No prior knowledge of topological dynamics or amenability will be assumed.
On doit à Gauss un principe local-global pour l'écriture d'un entier positif d comme somme de trois carrés, ainsi qu'un lien précis entre le nombre de solutions et le cardinal d'un groupe de classes de Q[]. Malgré la nature élémentaire de ces questions, on a dû attendre la deuxième moitié du 20ème siècle pour comprendre comment ces points entiers se répartissent, lorsque d varie, quand on les projette sur la sphère. La résolution de cette dernière question a marqué une période d'échange fructueuse entre la théorie ergodique et les formes automorphes. Après avoir expliqué cette histoire, et l'avoir interprétée à travers les groupes algébriques, on tournera notre attention vers des résultats plus fins, qui vont au-delà de la répartition uniforme, tels qu'un travail en cours avec Blomer et Khayutin sur une conjecture de Michel et Venkatesh.
Dans cet exposé, je vais expliquer une tendance récente en topologie symplectique, notamment une application de TDA (topological data analysis). Ce beau mélange de maths pures et maths appliquées a été initié par Polterovich et Shelukhin vers 2015 et elle a trouvé des applications puissantes (e.g. conjectures de Viterbo, Hofer-Zehnder etc). L'exposé consiste en une introduction aux topologie symplectique et TDA et un bref regard aux applications.
L'équation de Boltzmann a pour particularité d'être une étape intermédiaire dans la description d'un fluide, entre la mécanique classique d'un grand système de particules d'une part (les atomes constituant ce fluide vérifient les équations de Newton) et la mécanique des milieux continus d'autre part (typiquement les équations de Navier-Stokes). C'est ce qu'énonce Hilbert dans son sixième problème, dont la résolution est encore largement ouverte aujourd'hui. Dans cet exposé nous décrirons ces deux aspects, que l'on peut voir comme le passage d'une échelle de description microscopique à mésoscopique d'une part, et mésoscopique à macroscopique d'autre part, et les difficultés à rendre rigoureux ces passages d'une échelle à l'autre.
Le groupe de Cremona est le groupe des transformations birationnelles (isomorphismes entre deux ouverts) du plan projectif. Introduit par Luigi Cremona à la fin du XIXe siècle, ce groupe provient de la géométrie algébrique. Cependant, la théorie géométrique des groupes a permis de faire de réelles avancées dans l'étude de ce groupe, notamment à travers l'action du groupe de Cremona sur un espace hyperbolique de dimension infinie. Dans cet exposé, après avoir introduit le groupe de Cremona, nous construirons cet espace hyperbolique et nous verrons quels types de résultats peuvent être obtenus grâce à l'action du groupe de Cremona sur cet espace.
Soit G un groupe de Lie, Λ un sous-groupe discret de covolume fini dans G, et X=G/Λ l'espace quotient. Le théorème de Dani—Margulis considère un flot Ad-unipotent sur X et affirme que toute trajectoire passe l'essentiel de son temps dans une partie compacte de X. Nous verrons quelques éléments de preuve dans le cas où X est l'espace des réseaux de covolume 1 de \(\mathbb{R}^d\), et discuterons d'applications en approximation diophantienne.
En géométrie énumérative réelle, le nombre de solutions réelles dépend, d'habitude, de la position choisie des contraintes. Par exemple, le nombre de courbes rationnelles réelles de degré d qui passent par
On parlera d'invariants de Welschinger, de leur calcul tropical et de leurs propriétés, ainsi que d'invariants raffinés qui produisent, dans certaines situations, des familles à un paramètre contenant des invariants de Welschinger et des invariants de Gromov—Witten.
Le terme « formule explicite » désigne souvent de nos jours une certaine collection d'identités associée à chaque « fonction L » de la théorie des nombres, par exemple à la fonction ζ de Riemann, aux fonctions L de Dirichlet, des courbes elliptiques, des formes modulaires, etc... Découvertes par Riemann lors de son étude célèbre des liens entre les zéros de ζ et la répartition des nombres premiers, ces identités continuent d'avoir des applications nombreuses et variées.
Je tâcherai d'expliquer, suivant Stark, Odlyzko et Serre, comment elles permettent d'obtenir une minoration du discriminant d'un corps de nombres qui est meilleure que celle obtenue par la géométrie des nombres de Minkowski. Plus généralement, suivant un travail de Mestre, je montrerai comment elles permettent de minorer le « conducteur » d'une variété algébrique X définie sur Q, du moins lorsqu'on admet les conjectures standard sur la fonction ζ de Hasse—Weil de X. Par exemple, cela explique assez simplement pourquoi il n'existe pas de variété abélienne « sur Z », un résultat fameux de Fontaine.
L'une des idées centrales de la théorie des modèles, et ce depuis les travaux de Morley dans les années 1960, et plus encore ceux de Shelah par la suite, est que la présence de certaines configurations combinatoires est fortement liée à la présence ou l'absence de structure (algébrique, topologique ou théorèmes de structure plus abstraits). L'un des exemples les plus connus d'un tel phénomène est la stabilité : soit une théorie contient un demi-graphe infini, soit elle ressemble à une « géométrie algébrique sans corps ». Dans cet exposé, j'essayerai d'expliquer comment s'est articulée, historiquement, cette dualité entre combinatoire et structure et de l'illustrer par des exemples récents.
La topologie des cordes est un domaine de la topologie algébrique inventé/découvert en 1999 par Chas et Sullivan (« string topology »). Le terme désigne de façon générale la structure portée par les invariants homologiques des espaces de chemins ou de lacets (les « cordes »). La topologie des cordes interagit fortement avec les théories des champs et la topologie symplectique. Je présenterai pendant l'exposé des calculs explicites et des exemples de telles interactions.
L'enveloppe injective est une construction canonique qui plonge isométriquement un espace métrique dans un espace injectif. Parmi plusieurs définitions naturelles, les espaces métriques injectifs peuvent être définis comme les espaces métriques géodésiques dans lesquels chaque famille de boules qui s'intersectent deux à deux a une intersection totale non-vide. Les espaces injectifs, qui généralisent vastement les espaces de Banach L∞, satisfont plusieurs propriétés agréables, comprenant des propriétés fortes de point fixe et l'existence de bicombings géodésiques. Ces propriétés ont mené à des applications importantes dans la théorie des groupes avec l'introduction récente des groupes (grossièrement) Helly.
Je donnerai un aperçu des espaces injectifs, leur diverses caractérisations, leurs propriétés de base et quelques-unes de leurs applications dans la théorie des groupes avant de décrire en détail la construction de l'enveloppe injective.
En 1974 Deligne démontre l'ensemble des conjectures de Weil en utilisant la cohomologie étale l-adique. Mais en 1960, Dwork utilisa des méthodes purement p-adiques pour démontrer l'une de ces conjectures. Pour faire le lien entre ces démonstrations, l'idée est de construire une théorie cohomologique pour les variétés sur Fp, à valeurs dans les entiers p-adiques. C'est ce qu'on appelait, il y a 20 ans, une cohomologie p-adique.
Aujourd'hui, on peut dire que le terme de cohomologie p-adique prend un sens plus large ; il inclut en particulier la cohomologie étale p-adique des variétés sur les corps p-adiques. Dans mon exposé je donnerai un panorama de ces théories et leurs interactions pour conclure sur des développements plus récents.
Les représentations d'Anosov sont des représentations fidèles et discrètes de Γ dans G avec des propriétés dynamiques fortes, où Γ est un groupe de type fini, hyperbolique au sens de Gromov (par exemple un groupe de surface ou un groupe libre non abélien), et G est un groupe de Lie réel semi-simple (par exemple SL(n, R)). Elles ont été introduites par Labourie en 2006 et généralisées par Guichard et Wienhard en 2012. Très étudiées ces dernières années, elles jouent notamment un rôle central en théorie de Teichmüller-Thurston d'ordre supérieur. Nous introduirons ces représentations et présenterons quelques-unes de leurs propriétés et caractérisations.
Je commencerai par un peu de géométrie différentielle en parlant de surfaces minimales dans l'espace euclidien puis dans l'espace hyperbolique. Dans ce dernier j'introduirai la notion d'aire renormalisée et on s'intéressera plus particulièrement aux surfaces d'aire renormalisée finie. Dans la deuxième partie de l'exposé, je présenterai brièvement les travaux récents de Bishop qui relient ces objets aux courbes Weil-Petersson et à l'énergie de Loewner, des objets issus de la théorie de Teichmüller.
Soit E une extension finie du corps Qp des nombres p-adiques, et l un nombre premier fixé différent de p. La correspondance de Langlands locale affirme l'existence d'une bijection, uniquement caractérisée par différentes propriétés naturelles, entre l'ensemble des représentations l-adiques de dimension n du groupe de Galois absolu de E et un certain ensemble de représentations irréductibles du groupe GLn(E). L'énoncé de la correspondance de Langlands locale s'étend, conjecturalement, à tout groupe réductif G (au lieu de GLn), sous une forme plus compliquée.
En 2014, Laurent Fargues a énoncé une conjecture spectaculaire, donnant une reformulation géométrique de la correspondance de Langlands locale. Cette conjecture ouvre la voie à l'utilisation sur les corps p-adiques de l'arsenal des techniques développées en théorie géométrique des représentations. L'objectif de l'exposé sera de donner une idée du contenu de cette conjecture. Aucune familiarité avec le programme de Langlands ne sera nécessaire.
La conjecture de Cherlin—Zilber remonte aux années 1970. Elle énonce que les groupes simples abstraits munis d'une dimension « comme en géométrie algébrique » proviennent effectivement de la géométrie. C'est une affirmation remarquable : elle ne suppose ni structure rationnelle ni information topologique pour parler de géométrie, et elle lie théorie des modèles, théorie des groupes algébriques, et théorie des groupes finis.
Sa solution complète en dimension (en fait on dit « rang de Morley ») 3 n'est connue que depuis 2016 mais reste énigmatique. J'essaierai de motiver la conjecture et d'esquisser la preuve en rang 3, sorte d'algèbre géométrique néo-classique, avec très peu de structure à disposition. Aucune connaissance de, ni même sympathie pour, la théorie des modèles ne sera présupposée.
L'équation de flot de Ricci introduite en 1982 par Hamilton est maintenant devenue un outil central en analyse géométrique. Sans entrer dans des détails techniques qui relèvent principalement de l'analyse, nous présenterons les avancées principales dues à Hamilton puis Perelman qui ont permis de mieux comprendre la topologie et la géométrie des variétés de dimension 3.
Soit M une variété kählérienne compacte. La correspondance de Hodge non abélienne (aka correspondance de Hitchin/Simpson/Donaldson/Corlette) établit une bijection analytique réelle entre un espace de nature topologique – l'espace des représentations irréductibles de son groupe fondamental – et un espace de nature algébrique – l'espace de module des fibrés de Higgs stables de classes de Chern nulles. Nous présenterons ces objets dans le cas d'une surface de Riemann et expliquerons comment la correspondance s'est révélée extrêmement puissante pour décrire la topologie des variétés de caractères d'un groupe de surface.
Nash et Tognoli ont démontré que toute variété différentiable compacte pouvait être réalisée comme lieu des zéros d'une famille de polynômes à coefficients réels. Autrement dit, toute la complexité de la géométrie différentielle se retrouve en géométrie algébrique ! Je présenterai des idées de la preuve, des développements ultérieurs, et des questions ouvertes reliées.
Le programme de Langlands tend à rapprocher les représentations galoisiennes des représentations de groupes linéaires. Dans le cas p-adique, ce programme reste à ce jour très vague. Pour l'aborder, on cherche à « ranger » les représentations en famille. On espère ainsi pouvoir comparer des familles de représentations de chaque côté.
La conjecture de multiplicités modulaires prédit l'égalité entre deux entiers naturels. Le premier contrôle la taille de certaines familles de représentations galoisiennes p-adiques, le second est lié aux représentations du groupe linéaire p-adique. Dans cet exposé, je présenterai cette conjecture dans une version numérique et géométrique.
Comme la fonction zêta de Riemann permet de compter les nombres premiers, les fonctions zêta de Ruelle permettent d'estimer le nombre d'orbites périodiques des flots d'Anosov. Si la définition des fonctions zêta de Ruelle date des années 70, la compréhension que l'on en a s'est grandement améliorée dans les dix dernières années. En particulier, les liens que ces objets entretiennent avec des domaines des maths comme la théorie spectrale ou la topologie différentielle sont aujourd'hui plus clairs. Dans cet exposé, je présenterai les grandes idées de la théorie actuelle des fonctions zêta de Ruelle (de l'existence d'un prolongement méromorphe à quelques exemples d'applications).
Étant donné un corps K, peut-on classifier les formes quadratiques sur K ? En 1970, Milnor émit une conjecture permettant de répondre à cette question en la reliant à la K-theorie algébrique et à la cohomologie galoisienne. La conjecture a ensuite été vastement généralisée par Bloch et Kato. Elle a finalement été prouvée par Rost et Voevodsky. Dans cet exposé, j'introduirai les objets qui interviennent dans la conjecture puis j'essaierai de motiver et d'expliquer son énoncé.
Une classe de Ramsey est une classe de structures finies qui vérifient une propriété qui ressemble au théorème de Ramsey sur les coloriages d'entiers. Par ailleurs, la correspondance de Kechris—Pestov—Todorcevic relie, d'une part, les théorèmes de Ramsey structurels en combinatoire finie à la dynamique topologique. Enfin, la théorie des modèles permet de construire une action d'un groupe infini à partir d'une classe de structures finies. Bref, la théorie des modèles associe une limite infinie à une classe de structures finies et la correspondance de Kechris—Pestov—Todorcevic énonce qu'une telle classe est Ramsey si est seulement si le groupe des automorphismes de cette limite est extrêmement moyennable. Dans mon exposé, j'expliquerai ces outils logiques ainsi que leur intérêt.
Les variétés hyperkähleriennes apparaissent naturellement dans plusieurs domaines des mathématiques, tels que la géométrie différentielle, la physique mathématique, la théorie des représentations et la géométrie algébrique. Ces variétés sont apparues pour la première fois en géométrie algébrique au début des années '80, grâce au théorème de Beauville—Bogomolov selon lequel les composantes primitives des variétés compactes kähleriennes dont la première classe de Chern est nulle sont les tores complexes, les variétés de Calabi-Yau et les variétés hyperkähleriennes. A partir de là, le rôle des variétés hyperkähleriennes en géométrie algébrique a considérablement évolué. Dans cet exposé, après une introduction très générale aux surfaces de type K3 et aux variétés hyperkähleriennes, je vais expliquer les diverses façons de voir les variétés hyperkähleriennes comme la généralisation naturelle, en dimension plus grande que 2, des surfaces de type K3.
Démontrée en 1796 par Gauss, la loi de réciprocité quadratique continue de fasciner les mathématiciens. De nombreuses autres « lois de réciprocité » ont été démontrées depuis. J'en donnerai quelques exemples tirés des travaux de Eichler—Shimura ou de cas particulier des vastes conjectures de Langlands. Mais, à mon grand embarras, je dois avouer que pendant longtemps je ne comprenais pas pourquoi ces résultats étaient des lois de réciprocité :-/ J'essaierai donc d'expliquer ce que l'on entend maintenant par là et je décrirai quelques exemples plus récents.
The isomonodromic tau-function, introduced by Jimbo, Miwa, Ueno and Sato in 1980s, is a classical object in the theory of Fuchsian systems of differential equations. In 2010, Kenyon pointed out the importance of SL(2) monodromies in the double-dimer model context. In 2014 Dubédat showed that, for locally unipotent monodromies, one can view the tau-function as the expectation of the product of the traces of monodromies evaluated on a classical random loop ensemble — the nested CLE(4) — introduced by Schramm, Sheffield and Werner in 2000s. In this context, relevant probabilistic quantities appear as coefficients of the tau-function with respect to the Fock—Goncharov lamination basis, which also motivated a recent study (arXiv:1809.00690) of this basis from the perspective of entire functions on the representation variety.
We will discuss these ideas, coming from rather different subjects, with a particular accent on Dubédat's interpretation of the tau-function via the random loop ensemble CLE(4) mentioned above. This also gives rise to speculations on quantum deformations of the whole story.
La géométrie tropicale est l'image de la géométrie classique par la valuation sur un corps non-archimédien. Plus naïvement et de manière moins pédante, il est possible de voire celle-ci comme la géométrie sur le corps des réels mais où l'on remplace les opérations + et × par max et +. Cette manipulation enfantine a pour effet de changer drastiquement la forme des objets que l'on a tendance à étudier, tels les courbes, tout en conservant un certain nombre de leurs caractéristiques, ce qui laisse envisager des liens entre les géométries classique et tropicale. Dans cet exposé on donnera des bases de géométrie tropicale ainsi que l'un de ces liens à travers le théorème de correspondance de Mikhalkin.
Les métriques d'Einstein en dimension 4 ont à la fois la flexibilité de la dimension plus grande, et une certaine rigidité globale, plus caractéristique des petites dimensions. je raconterai des résultats classiques et donnerai une idée de constructions récentes.
Le théorème de Mandell donne une réponse presque complète à la question suivante : Que voit la cohomologie ? On sait depuis Poincaré que la cohomologie ne peut pas distinguer des espaces homotopiquement équivalents. L'exemple de la sphère de Poincaré montre également que la cohomologie ne donne qu'une information partielle sur le groupe fondamental. Le théorème de Mandell montre que ce sont essentiellement les deux seuls problèmes. Il affirme précisément que deux espaces topologiques simplement connexes sont homotopiquement équivalents si et seulement si les cochaînes singulières sur ces deux espaces, vues comme dg-algèbres E-infinies sont quasi-isomorphes. Une partie de l'exposé consistera à définir précisément la notion de dg-algèbre E-infinie.
En géométrie algébrique, la notion de variété rationnelle, qui équivaut à celle d'extension transcendante pure dans la théorie des corps, a toujours occupé une place centrale. Malgré la simplicité de sa définition, son étude s'est révélée particulièrement ardue. J'introduirai cette notion et essaierai d'expliquer un progrès tout récent: Kontsevich et Tschinkel ont montré que la rationalité se préserve par spécialisation.
L'o-minimalité a été introduite au milieu des années 1980 par Anand Pillay and Charles Steinhorn. Cette notion, portant sur des structures ayant un ordre dense total sans extrémités, s'est avérée extrêmement puissante. En effet, elle entraîne des résultats d'uniformité très forts, et est à l'origine de nombreuses applications. Je donnerai d'abord les définitions et propriétés de base, puis mentionnerai/décrirai quelques structures o-minimales, notamment la célèbre \(\mathbb{R}_{\textit{an},\textit{exp}}\), et terminerai en mentionnant quelques applications.
In 1993 Neretin introduced a family of groups of spheromorphisms, as combinatorial analogs of the group of diffeomorphisms of the circle. Later they become prototypical examples of non-discrete totally disconnected compactly generated simple groups. We will discuss how these groups are defined, the suitable group topology on them, and some interesting properties such as simplicity (a result of Kapoudjian) and absence of lattices (a result of Bader-Caprace-Gelander-Mozes).
Les matroïdes sont des structures discrètes qui axiomatisent de manière abstraite des notions d'algèbre linéaire, comme dépendance linéaire pour une famille de vecteurs, en se passant d'un espace vectoriel ambiant. Ils ont été découverts par Whitney dans sa classification des graphes induisant les mêmes systèmes de cycles (que nous comprenons aujourd'hui comme le problème de Torelli pour les graphes), et ont été largement étudiés par des combinatoriciens, en particulier pour des liens qu'ils engendrent avec des problèmes d'optimisation combinatoire. Dans cet exposé, j'introduirai ces objets et expliquerai comment aujourd'hui ils apparaissent naturellement en géométrie algébrique, e.g. en géométrie tropicale ou en théorie des singularités, dont Whitney lui-même était un des pionniers.
Je présenterai deux résultats fondamentaux de l'analyse semi-classique: la loi de Weyl et le théorème d'ergodicité quantique. Ces résultats sont habituellement énoncés pour le laplacien d'un variété riemannienne. Je me placerai dans un contexte différent où les espaces de phase sont des variétés projectives, et les opérateurs des opérateurs de Berezin-Toeplitz.
Le principe de la phase stationnaire donne le développement asymptotique de certaines intégrales oscillantes. Dans le cas où la phase est analytique à singularités isolées, un théorème de Malgrange relie le développement asymptotique à la monodromie de ces singularités, et plus précisément aux cycles évanescents de la phase. Des résultats analogues en caractéristique positive ont été obtenus par Laumon, avec des applications spectaculaires, notablement aux conjectures de Weil et au programme de Langlands.
Les syzygies sont les relations (et les relations entre les relations...) entre les éléments d'un module sur un anneau. Ces relations sont rendues explicites par une résolution libre du module en question. En géométrie algébrique, les syzygies encodent certaines propriétés des plongements d'une variété dans une variété ambiante (e.g. l'espace projectif); je vais présenter ces propriétés à l'aide d'exemples en dimension zéro et, si le temps le permet, je présenterai la conjecture de Green pour les syzygies sur une courbe.
La théorie KAM faible est une méthode pour construire des ensembles invariants de systèmes dynamiques hamiltoniens.
Étant donné une forme quadratique à coefficients entiers, un problème classique en théorie des nombres consiste à comprendre comment elle représente intégralement les entiers: nombre de solutions, leur répartition... Dans cet exposé, je donnerai un bref historique de ce problème, puis j'esquisserai deux approches issues respectivement de la théorie ergodique et des formes automorphes. Si le temps le permet, je parlerai de quelques développements récents.
Les groupes hyperboliques sont des groupes de type fini qui unifient des propriétés de courbure négative visibles dans les groupes libres non-abeliens, les groupes fondamentaux des surfaces de courbure négative et les variétés riemanniennes hyperboliques.
La construction de Rips donne des exemples de sous-groupes de groupes hyperboliques avec des propriétés algorithmiques ou algébriques variées. Plus précisément, pour chaque groupe Q de présentation finie, il y a un groupe hyperbolique G dont Q est un quotient par un noyau engendré par deux éléments. On peut alors construire des sous-groupes de groupes hyperboliques avec des propriétés algorithmiques ou algébriques qui sont souvent considérées « exotiques ».
Pour expliquer cette construction, je vais vous raconter quelques propriétés algorithmiques des groupes, de la théorie de la petite simplification et des groupes hyperboliques.
Dans la géométrie conforme, qui concerne les angles mais pas les longeurs, il y a des interactions surprenantes entre le local et le global. Je vais décrire quelques travaux de Aubin et Schoen dans les années 1976-1984, au sujet du comportement de la courbure scalaire dans une classe d'équivalence conforme de métriques riemanniennes.
Le semi-groupe enveloppant est un outil classique en dynamique topologique abstraite qui a été introduit par Ellis dans les années 60 et qui est devenu incontournable dans cette théorie. Je vais raconter comment ses propriétés reflètent les propriétés du système dynamique sous-jacent et comment il est utilisé en combinatoire et notamment en théorie de Ramsey.
Alors que les propriétés symplectiques requièrent des objets différentiables, certaines propriétés sont topologiques, c'est-à-dire passent à la limite pour des suites convergeant C0. On essaiera d'expliquer pourquoi, ce que cela entraîne, quelles questions restent ouvertes…
Pour faire de la géométrie analytique sur un corps non archimédien, décalquer naïvement les définitions de la géométrie analytique complexe conduit à une théorie complètement insatisfaisante (par exemple, elle ne vérifie pas le principe du prolongement analytique) ; il faut donc procéder autrement. Plusieurs approches existent (Tate, Raynaud, Berkovich, Huber...). Dans cet exposé, je présenterai celle de Berkovich, qui a l'avantage de fournir de jolis espaces topologiques (ils sont localement compacts, localement connexes par arcs, ont tendance à avoir le type d'homotopie d'un polyèdre...) ; j'essaierai aussi d'évoquer quelques unes de ses applications.