Séances de TD (deuxième semestre 24-25) - Analyse complexe

• TD1 : Séries entières et fonctions analytiques et la correction
• TD2 : Fonctions holomorphes et applications conformes et la correction (avec une note sur le logarithme complexe)
• TD3 : Formule de Stokes et théorie de Cauchy et la correction (avec une petite note sur les formes différentielles et l'intégration)
• TD4 : Principe du maximum et lemme de Schwarz et la correction
• TD5 : Séries de Laurent, fonctions méromorphes et théorème des résidus et la correction
• TD6 : Retour sur les résidus et théorème de Rouché et la correction
• TD7 : Fonctions spéciales et la correction
• TD8 : Espaces de fonctions holomorphes et la correction
• TD9 : Représentations conformes et révisions et la correction
• TD10 : Théorèmes d'approximation et de factorisation et la correction
• TD11 : Fonctions harmoniques et sous-harmoniques et la correction
• TD12 : Théorie du potentiel et la correction (partielle pour l'instant)

• Un petit DM sur les applications de Schwarz-Christoffel, pas obligatoire et non-noté mais vous pouvez faire tout ou une partie et me le rendre, je corrigerai.
• Un DM sur un équivalent de l'hypothèse de Riemann, pas obligatoire, mais peut apporter un bonus. Vous avez jusqu'au lundi 5 mai pour me le rendre, vous pouvez me le remettre en main propre ou le laisser dans mon casier en espace Cartan.

Groupe de lecture (premier semestre 24-25) - Des équations différentielles à la géométrie, la correspondance de Riemann-Hilbert

• Séance 0 : Fonctions holomorphes, fonctions analytiques. Théorème des zéros isolés, principe du prolongement analytique. Fonctions méromorphes, germes. Fonctions exp et log.
• Séance 1 : Prolongement analytique le long des chemins, homotopie. Groupe fondamental d’un ouvert de \(\mathbf{C}\), action sur les germes (Chap 5).
• Séance 2 : Exemple de \(z^\alpha\) , étude de l’équation \(y'= \alpha y/z\), calcul explicite de la monodromie. Introduction du faisceau de solutions (Chap 6).
• Séance 3 : Sphère de Riemann, définition des systèmes scalaires et matriciels d’EDO, wronskien, solution fondamentale. théorème d’existence de Cauchy (Chap 7, 7.1 - 7.3).
• Séance 4 : Définition du faisceau de solutions, systèmes locaux. Reformulation du théorème d’existence de Cauchy et représentation de monodromie (Chap 7, 7.4 - 7.5).
• Séance 5 : Equivalence holomorphe et méromorphe de systèmes, lemme du vecteur cyclique. Propriétés de la représentation de monodromie et du faisceau de solutions (Chap 7, 7.6).
• Séance 6 : Définition des singularités régulières, caractérisation et résolution des systèmes réguliers singuliers (Chap 9, 9.1 - 9.3 + Théorème 9.18).
• Séance 7 : Surjectivité de l’exponentielle de matrices, correspondance de Riemann-Hilbert locale. Equations scalaires régulières singulières, critère de Fuchs (Chap 4, 4.4 + Chap 9, 9.4 - 9.5).
• Séance 8 : Systèmes et opérateurs fuchsiens. Premier cas à 3 singularités, équation hypergéométrique et sa monodromie (Chap 11, 11.1 - 11.4).
• Séance 9 : Correspondance de Riemann-Hilbert globale, énoncé et preuve (Chap 12).
• Séance 10 (Intermède catégorique 1) : Catégories et foncteurs, exemples. Catégorie des systèmes différentiels, foncteurs des solutions. Systèmes locaux et représentations (Chap 8).
• Séance 11 (Intermède catégorique 2) : Catégorie des systèmes à singularités régulières, reformulation catégorique de la correspondance locale.
• Séance 12 : Algèbres différentielles, automorphismes différentiels. Groupe de Galois différentiel (Chap 13).