Groupe de travail 'K-théorie topologique'

Contact. Olivier Benoist. Bureau T10.

Horaires. Le groupe de travail aura lieu le mardi de 17h30 à 19h en salle W (les 17 Décembre et 14 Janvier en salle U/V). Le calendrier est le suivant :

• 9 Septembre : Introduction et organisation.
• 17 Septembre : Fibrés vectoriels et K-théorie (Pierre Godfard).
• 24 Septembre : Fonctorialité et suites exactes longues (Arthur Troupel).
• 8 Octobre : Le théorème du produit I (Margot Bruneaux).
• 15 Octobre : Le théorème du produit II (Raphaël Picovschi).
• 22 Octobre : Périodicité de Bott complexe (Samuel Lerbet).
• 5 Novembre : Opérations d'Adams (Manh-Linh Minh).
• 19 Novembre : Algèbres à division réelles et sphères parallélisables (Manh-Linh Minh).
• 3 Décembre : Algèbres et modules de Clifford (Margot Bruneaux).
• 10 Décembre : KR-théorie et périodicité de Bott réelle (Arthur Troupel).
• 17 Décembre en salle U/V : Suite spectrale d'Atiyah-Hirzebruch et K-théorie des espaces projectifs (Raphaël Picovschi).
• 7 Janvier : Classes de Stiefel-Whitney (Samuel Lerbet).
• 14 Janvier en salle U/V : Champs de vecteurs sur les sphères (Pierre Godfard).

Bibliography.

• Les deux premiers exposés sont introductifs : on établit des généralités sur les fibrés vectoriels et on définit la K-théorie topologique. Dans les cinq exposés suivants, on développe les propriétés de la K-théorie complexe (périodicité de Bott, structure de théorie cohomologique exceptionnelle, opérations d'Adams), et on les applique au théorème de Bott, Milnor et Kervaire déterminant quelles sphères sont parallélisables. On suivra de près le livre en préparation [Hatcher, Vector bundles and K-theory].
• Les cinq derniers exposés sont consacrés aux propriétés de la K-théorie réelle, plus délicate, et à une application de celle-ci. On étudiera tout d'abord les algèbres de Clifford réelles (voir [Athiyah, Bott, Shapiro, Clifford modules, Part I] ou [Husemöller, Fibre bundles, Chapter 12]). Cela permettra de donner une preuve de la périodicité de Bott réelle en suivant [Atiyah, K-theory and reality]. On expliquera ensuite comment la K-théorie peut être calculée à l'aide de la suite spectrale d'Atiyah-Hirzebruch, et on considérera le cas des espaces projectifs réels [Shah, Vector fields on spheres, §3]. L'exposé sur les classes de Stiefel-Whitney est une digression pour laquelle on se référera à [Hatcher, Vector bundles and K-theory, §3.1] et à [Milnor, Stasheff, Characteristic classes, §4, §8]. Le dernier exposé a pour but d'esquisser une preuve du théorème d'Adams déterminant le nombre maximal de champs de vecteurs linéairement indépendants sur une sphère [Adams, Vector fields on spheres]. On suivra [Shah, Vector fields on spheres, §§5-6].