Isabelle Gallagher

Enseignement

Plan du cours d'Analyse Fonctionnelle 2019-2020

Les notes de cours s'inspirent des livres de H. Brézis (Analyse Fonctionnelle), T. Kato (Perturbation Theory for Linear Operators), W. Rudin (Functional analysis), et également de notes de cours disponibles en ligne de G. Carlier, J.-Y. Chemin; F. Golse, F. Paulin, Th. Ramond, J. Saint-Raymond, L. Saint-Raymond.



SEMAINE DU 3 FÉVRIER 2020

TD Feuille 1

COURS : CHAPITRE A : SUR LES ESPACES DE FRÉCHET, DE BANACH ET DE HILBERT

- A.1. Rappels de topologie

Théorème de Baire
Semi-normes
Espaces de Fréchet
Théorème de Banach-Steinhaus (Rappel)
Théorèmes de l'application ouverte et du graphe fermé (Rappels)

- A.2. Théorèmes de Hahn-Banach

Rappels sur le lemme de Zorn
Théorème de Hahn-Banach (forme analytique, Rappel)
Théorème de Hahn-Banach (forme géométrique)

TD Feuille 2

COURS : Suite du CHAPITRE A : SUR LES ESPACES DE FRÉCHET, DE BANACH ET DE HILBERT

Théorème de Hahn-Banach (forme géométrique, suite)
Théorème de Krein-Milman

COURS : Suite du CHAPITRE A : SUR LES ESPACES DE FRÉCHET, DE BANACH ET DE HILBERT

- A.3. Dualité et Topologies faibles
Premières définitions
Topologies faibles et espaces de Banach
Espaces réflexifs
Uniforme convexité
Espaces séparables
Espaces L^p

TD Feuille 3

COURS : Suite du CHAPITRE A : SUR LES ESPACES DE FRÉCHET, DE BANACH ET DE HILBERT

- A.4. Espaces de Hilbert
Définitions et premières propriétés
Théorèmes de Riesz, Stampacchia et Lax-Milgram
Bases hilbertiennes et séries de Fourier

CHAPITRE B : DISTRIBUTIONS
- B.1. Quelques rappels
- B.2. Limites inductives et topologie de D(Omega)

TD Feuille 4

COURS : Suite du CHAPITRE B : DISTRIBUTIONS
- B.2. Limites inductives et topologie de D(Omega)
- B.3. Distributions

TD Feuille 5

COURS : Suite du CHAPITRE B : DISTRIBUTIONS
- B.3. Distributions
- B.4. Dérivation des distributions

TD Feuille 6

COURS : Suite du CHAPITRE B : DISTRIBUTIONS
- B.5. Mesures de surface
- B.5. Convolution
- B.5. Espace de Schwartz et distributions tempérées

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TD Feuille 7

COURS : Suite du CHAPITRE B : DISTRIBUTIONS
- B.5. Espace de Schwartz et distributions tempérées
- B.5. Solutions fondamentales d'opérateurs différentiels

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TD Feuille 8

COURS : Suite du CHAPITRE C : TRANSFORMÉE DE FOURIER
- C.1. Transformée de Fourier des fonctions sommables
- C.2. Transformée de Fourier des fonctions de la classe de Schwartz
- C.3. Transformée de Fourier des distributions tempérées
- C.4. Transformée de Fourier des fonctions de carré sommable
- C.5. Transformée de Fourier des distributions à support compact


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TD Feuille 9

COURS : Suite du CHAPITRE C : TRANSFORMATION DE FOURIER

- C.5. Transformée de Fourier des distributions à support compact
- C.6. Transformation de Fourier et séries de Fourier
- C.7. Espaces de Sobolev


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TD Feuille 10

COURS : Fin du CHAPITRE C : TRANSFORMATION DE FOURIER

- C.7. Espaces de Sobolev (injections de Sobolev, trace et relèvement)

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TD Feuille 11

COURS : CHAPITRE D : ANALYSE SPECTRALE

- D.1.1. Opérateurs (Définitions)
- D.1.2. Opérateurs de rang fini, opérateurs compacts
- D.1.3. Alternative de Fredholm.

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TD Feuille 12

COURS : CHAPITRE D : ANALYSE SPECTRALE

- D.1.3. Alternative de Fredholm.
- D.2.1. Spectre des opérateurs compacts.
- D.2.2. Spectre des opérateurs compacts auto-adjoints.
- D.3. Applcation aux EDP.

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