Enseignement
Plan du cours d'Analyse des Équations aux Dérivées Partielles 2022-2023
SEMAINE DU 12 SEPTEMBRE 2022
COURS :
CHAPITRE 1 : INTRODUCTION ET OUTILS
- 1. Introduction
But de l'étude d'EDP
Classification
- 2. Outils
Equations différentielles ordinaires
Distributions
Solution fondamentale d'un opérateur différentiel
CHAPITRE 2 : ÉQUATIONS D'ORDRE 1, ÉQUATIONS DE TRANSPORT
- 1. Méthode des caractéristiques
Problème de Cauchy
Cas linéaire, semi-linéaire, quasi-linéaire
Éléments de correction du TD 2
COURS :
CHAPITRE 2 : ÉQUATIONS D'ORDRE 1, ÉQUATIONS DE TRANSPORT (suite)
- 1. Méthode des caractéristiques
Cas complètement non linéaire
Généralisation aux dimensions supérieures
- 2. Équations de transport
a) le cas à coefficients constants, le cas régulier dans R^d puis dans un domaine à bord
Éléments de correction du TD 3
COURS :
CHAPITRE 2 : ÉQUATIONS D'ORDRE 1, ÉQUATIONS DE TRANSPORT (suite et fin)
- 2. Équations de transport
b) le cas à coefficients variables dans R^d puis dans un domaine à bord, forme non conservative et conservative.
CHAPITRE 3 : ÉQUATIONS ELLIPTIQUES ET PARABOLIQUES
- 1. Rappels sur les espaces de Sobolev
COURS :
CHAPITRE 3 : ÉQUATIONS ELLIPTIQUES ET PARABOLIQUES
- 1. Rappels sur les espaces de Sobolev : injections de Sobolev, théorème de Rellich
-2. Équations elliptiques : théorème de Lax-Milgram, problème de Dirichlet
CHAPITRE 3 : ÉQUATIONS ELLIPTIQUES ET PARABOLIQUES
- 1. Rappels sur les espaces de Sobolev
COURS :
CHAPITRE 3 : ÉQUATIONS ELLIPTIQUES ET PARABOLIQUES (suite)
-2. Équations elliptiques : régularité elliptique
INTÉGRALE DE BOCHNER
SEMAINE DU 17 OCTOBRE 2022
COURS :
CHAPITRE 3 : ÉQUATIONS ELLIPTIQUES ET PARABOLIQUES (suite)
-2. Équations paraboliques
CHAPITRE 4 : ÉQUATIONS D'ONDES ET DE SCHRÖDINGER
-1. Résolution d'une EDP d'évolution dans l'espace des distributions tempérées
SEMAINE DU 24 OCTOBRE 2022
COURS :
CHAPITRE 4 : ÉQUATIONS D'ONDES ET DE SCHRÖDINGER (suite)
-2. Résolution de l'équation des ondes : existence dans l'espace des distributions tempérées, conservation de l'énergie, vitesse finie de propagation et domaine de dépendance.
SEMAINE DU 7 NOVEMBRE 2022
Éléments de correction du partiel
SEMAINE DU 14 NOVEMBRE 2022
COURS :
CHAPITRE 4 : ÉQUATIONS D'ONDES ET DE SCHRÖDINGER (suite)
-3. Résolution de l'équation de Schrödinger : Résolution dans l'espace de Schwartz, dans l'espaces des distributions tempérées, dans L^2 (conservation de la masse), dans H^1 (conservation de l'énergie), dans L^1. Estimation de dispersion.
SEMAINE DU 28 NOVEMBRE 2022
COURS :
CHAPITRE 4 : ÉQUATIONS D'ONDES ET DE SCHRÖDINGER (suite)
-3. Résolution de l'équation de Schrödinger (suite) :
Estimations de Strichartz.
SEMAINE DU 5 DÉCEMBRE 2022
COURS :
CHAPITRE 4 : ÉQUATIONS D'ONDES ET DE SCHRÖDINGER (suite et fin)
-3. Résolution de l'équation de Schrödinger (suite et fin) :
Résolution de l'équation de Schrödinger cubique en dimension deux d'espace.
CHAPITRE 5 : ÉQUATIONS DE NAVIER-STOKES
Introduction aux équations
Le problème de Stokes
Enoncé du théorème de Leray et début de démonstration.
SEMAINE DU 12 DÉCEMBRE 2022
COURS :
CHAPITRE 5 : ÉQUATIONS DE NAVIER-STOKES (suite)
Démonstration du théorème de Leray
Unicité et stabilité dans le cas bidimensionnel
CHAPITRE 5 : ÉQUATIONS DE NAVIER-STOKES
Introduction aux équations
Le problème de Stokes
Enoncé du théorème de Leray et début de démonstration.
SEMAINE DU 9 JANVIER 2023
COURS :
CHAPITRE 5 : ÉQUATIONS DE NAVIER-STOKES (suite et fin)
Unicité fort-faible en dimension trois
Théorème de Fujita-Kato (voir TD), Kato, Cannone-Meyer-Planchon
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