Enseignement

Plan du cours d'Analyse des Équations aux Dérivées Partielles 2022-2023




SEMAINE DU 12 SEPTEMBRE 2022

FEUILLE DE TD

COURS : CHAPITRE 1 : INTRODUCTION ET OUTILS

- 1. Introduction

But de l'étude d'EDP
Classification

- 2. Outils

Equations différentielles ordinaires
Distributions
Solution fondamentale d'un opérateur différentiel

CHAPITRE 2 : ÉQUATIONS D'ORDRE 1, ÉQUATIONS DE TRANSPORT

- 1. Méthode des caractéristiques

Problème de Cauchy
Cas linéaire, semi-linéaire, quasi-linéaire

SEMAINE DU 19 SEPTEMBRE 2022

FEUILLE DE TD

Éléments de correction du TD 2

COURS : CHAPITRE 2 : ÉQUATIONS D'ORDRE 1, ÉQUATIONS DE TRANSPORT (suite)

- 1. Méthode des caractéristiques

Cas complètement non linéaire
Généralisation aux dimensions supérieures

- 2. Équations de transport
a) le cas à coefficients constants, le cas régulier dans R^d puis dans un domaine à bord

SEMAINE DU 26 SEPTEMBRE 2022

FEUILLE DE TD

Éléments de correction du TD 3

COURS : CHAPITRE 2 : ÉQUATIONS D'ORDRE 1, ÉQUATIONS DE TRANSPORT (suite et fin)

- 2. Équations de transport
b) le cas à coefficients variables dans R^d puis dans un domaine à bord, forme non conservative et conservative.

CHAPITRE 3 : ÉQUATIONS ELLIPTIQUES ET PARABOLIQUES

- 1. Rappels sur les espaces de Sobolev

SEMAINE DU 3 OCTOBRE 2022

FEUILLE DE TD

COURS : CHAPITRE 3 : ÉQUATIONS ELLIPTIQUES ET PARABOLIQUES

- 1. Rappels sur les espaces de Sobolev : injections de Sobolev, théorème de Rellich
-2. Équations elliptiques : théorème de Lax-Milgram, problème de Dirichlet

CHAPITRE 3 : ÉQUATIONS ELLIPTIQUES ET PARABOLIQUES

- 1. Rappels sur les espaces de Sobolev

SEMAINE DU 10 OCTOBRE 2022

FEUILLE DE TD (suite du TD4)

COURS : CHAPITRE 3 : ÉQUATIONS ELLIPTIQUES ET PARABOLIQUES (suite)

-2. Équations elliptiques : régularité elliptique

INTÉGRALE DE BOCHNER



SEMAINE DU 17 OCTOBRE 2022

COURS : CHAPITRE 3 : ÉQUATIONS ELLIPTIQUES ET PARABOLIQUES (suite)

-2. Équations paraboliques

CHAPITRE 4 : ÉQUATIONS D'ONDES ET DE SCHRÖDINGER

-1. Résolution d'une EDP d'évolution dans l'espace des distributions tempérées



SEMAINE DU 24 OCTOBRE 2022

COURS : CHAPITRE 4 : ÉQUATIONS D'ONDES ET DE SCHRÖDINGER (suite)

-2. Résolution de l'équation des ondes : existence dans l'espace des distributions tempérées, conservation de l'énergie, vitesse finie de propagation et domaine de dépendance.



SEMAINE DU 7 NOVEMBRE 2022

PARTIEL

Éléments de correction du partiel



SEMAINE DU 14 NOVEMBRE 2022

FEUILLE DE TD

COURS : CHAPITRE 4 : ÉQUATIONS D'ONDES ET DE SCHRÖDINGER (suite)

-3. Résolution de l'équation de Schrödinger : Résolution dans l'espace de Schwartz, dans l'espaces des distributions tempérées, dans L^2 (conservation de la masse), dans H^1 (conservation de l'énergie), dans L^1. Estimation de dispersion.



SEMAINE DU 28 NOVEMBRE 2022

FEUILLE DE TD

COURS : CHAPITRE 4 : ÉQUATIONS D'ONDES ET DE SCHRÖDINGER (suite)

-3. Résolution de l'équation de Schrödinger (suite) : Estimations de Strichartz.



SEMAINE DU 5 DÉCEMBRE 2022

FEUILLE DE TD

COURS : CHAPITRE 4 : ÉQUATIONS D'ONDES ET DE SCHRÖDINGER (suite et fin)

-3. Résolution de l'équation de Schrödinger (suite et fin) : Résolution de l'équation de Schrödinger cubique en dimension deux d'espace.

CHAPITRE 5 : ÉQUATIONS DE NAVIER-STOKES

Introduction aux équations

Le problème de Stokes

Enoncé du théorème de Leray et début de démonstration.



SEMAINE DU 12 DÉCEMBRE 2022

FEUILLE DE TD

COURS : CHAPITRE 5 : ÉQUATIONS DE NAVIER-STOKES (suite)

Démonstration du théorème de Leray Unicité et stabilité dans le cas bidimensionnel

CHAPITRE 5 : ÉQUATIONS DE NAVIER-STOKES

Introduction aux équations

Le problème de Stokes

Enoncé du théorème de Leray et début de démonstration.



SEMAINE DU 9 JANVIER 2023

COURS : CHAPITRE 5 : ÉQUATIONS DE NAVIER-STOKES (suite et fin)

Unicité fort-faible en dimension trois Théorème de Fujita-Kato (voir TD), Kato, Cannone-Meyer-Planchon Extensions