Le point de départ de cet exposé est d’expliquer comment classifier les surcorps non-commutatifs d’un corps K (par exemple, R a un surcorps non-commutatif donné par le corps des quaternions H, qui est de dimension 4 sur R).

L’idée clé derrière cette classification est la notion de « descente galoisienne » : informellement, elle consiste à dire que les objets définis sur un corps K viennent d’objets définis sur la clôture algébrique de K qui sont munis d’une action d’un certain groupe qu’on appelle le groupe de Galois absolu de K.

La classification de tels objets fait naturellement intervenir des groupes de cohomologie associés à ce groupe de Galois absolu, appelés groupes de cohomologie galoisienne. Ces groupes sont intimement liés aux propriétés diophantiennes du corps K : si certaines équations homogènes sur K avec beaucoup de variables ont des solutions, alors ces groupes de cohomologie ont tendance à s’annuler à partir d’un certain degré.

Pour rendre compte de ce phénomène, Lang a introduit la notion de corps C_i et a conjecturé que les corps C_i avaient une cohomologie triviale en degré > i. Cette conjecture est ouverte pour i>2 et on sait que sa réciproque est fausse. Si le temps le permet, je parlerai des conjectures de Kato et Kuzumaki qui raffinent la propriété C_i pour tenter d’avoir une condition diophantienne qui caractérise l’annulation de la cohomologie du corps en degré >i.