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We prove a general local rigidity theorem for pull-backs of homogeneous forms on reductive symmetric spaces under representations of discrete groups. One application of the theorem is that the volume of a closed manifold locally modelled on a reductive homogeneous space $G/H$ is constant under deformation of the $G/H$-structure. The proof elaborates on an argument given by Labourie for closed anti-de Sitter $3$-manifolds. The core of the work is a reinterpretation of old results of Cartan, Chevalley and Borel, showing that the algebra of $G$-invariant forms on $G/H$ is generated by ``Chern--Weil forms'' and ``Chern--Simons forms''.

This work is concerned with Hamilton-Jacobi equations of evolution type posed in domains and supplemented with boundary conditions. Hamiltonians are coercive but are neither convex nor quasiconvex. We analyse boundary conditions when understood in the sense of viscosity solutions. This analysis is based on the study of boundary conditions of evolution type. More precisely, we give a new formula for the relaxed boundary conditions derived by J. Guerand (J. Differ. Equations, 2017). This new point of view unveils a connection between the relaxation operator and the classical Godunov flux from the theory of conservation laws. We apply our methods to two classical boundary value problems. It is shown that the relaxed Neumann boundary condition is expressed in terms of Godunov's flux while the relaxed Dirichlet boundary condition reduces to an obstacle problem at the boundary associated with the lower non-increasing envelope of the Hamiltonian.

L'équation de Boltzmann, introduite par J.C. Maxwell et L. Boltzmann à la fin du XIXème siècle décrit l'évolution d'un gaz au niveau moléculaire à l'aide d'un point de vue statistique. Plus précisément, au lieu de considérer la position et la vitesse exactes de chacune des particule constituant le gaz, on s'intéresse à leurs répartitions statistiques pour une particule typique (on parle de point de vue mésoscopique ou cinétique). En 1900, D. Hilbert présenta à l'occasion du Congrès international des mathématiciens une liste de 23 problèmes, le sixième s'intitulant "Problème d'axiomatisation de la physique". Dans le cas de la mécanique des fluides, il consiste en la dérivation des équations hydrodynamiques (point de vue macroscopique) à partir des équations cinétiques (point de vue mésoscopique), qui doivent elles-même être dérivées des équations de Newton appliquées à l'ensemble des particules constituant le gaz (point de vue microscopique). Il s'avère qu'une solution de Boltzmann proche d'un équilibre spatialement homogène se comporte comme la somme de celui-ci et d'une perturbation dont la dynamique est dictée par les équations de Navier-Stokes. Ce fait a été démontré rigoureusement entre les années 1990 et 2000 dans une série d'articles par C. Bardos, F. Golse, D. Levermore et L. Saint-Raymond. Cependant les outils utilisés nécessitaient que la donnée initiale pour l'équation de Boltzmann décroisse comme une gaussienne par rapport à la variable de vitesse, ce qui est très loin des hypothèses physiquement pertinentes d'avoir une décroissance polynomiale d'ordre 2 (masse et énergie finie). Les travaux de C. Mouhot, M.P. Gualdani et S. Mischler entre 2005 et 2017 ont développé une "théorie d'élargissement (d'espaces fonctionnels)" permettant de construire des solutions pour l'équation de Boltzmann pour des données initiales avec une décroissance polynomiale. Les deux premiers travaux de cette thèse traitent de la dérivations des équations de Navier-Stokes depuis l'équation de Boltzmann pour de telles données initiales. La dernière partie de cette thèse, en collaboration avec K. Carrapatoso, ne concerne pas la dérivation des équations de Navier-Stokes, mais l'existence de solutions pour l'équation de Boltzmann, toujours pour des données initiales ayant une décroissance polynomiale, et sans négliger la "singularité angulaire" présente dans l'opérateur de collisions. En effet, une des principales difficultés mathématiques de l'équation de Boltzmann provient des interactions entre paires de particules "éloignées". Considérées individuellement, elles n'influent que peu sur les vitesses des particules, mais sont extrêmement nombreuses, ce qui se traduit par la présence de la "singularité angulaire" dans l'opérateur modélisant leur effet. Cette difficulté est responsable de la très lente évolution de la théorie mathématique de l'équation de Boltzmann. C'est en 1963 que H. Grad proposa une façon de négliger cette singularité, menant à une progression rapide de notre compréhension de cette équation. Cette singularité angulaire n'est cependant pas anodine, elle procure entre autre un effet régularisant à l'équation, et a été étudiée dans de nombreux travaux à partir des années 1990.

L'équation de Boltzmann, introduite par J.C. Maxwell et L. Boltzmann à la fin du XIXème siècle décrit l'évolution d'un gaz au niveau moléculaire à l'aide d'un point de vue statistique. Plus précisément, au lieu de considérer la position et la vitesse exactes de chacune des particule constituant le gaz, on s'intéresse à leurs répartitions statistiques pour une particule typique (on parle de point de vue mésoscopique ou cinétique). En 1900, D. Hilbert présenta à l'occasion du Congrès international des mathématiciens une liste de 23 problèmes, le sixième s'intitulant "Problème d'axiomatisation de la physique". Dans le cas de la mécanique des fluides, il consiste en la dérivation des équations hydrodynamiques (point de vue macroscopique) à partir des équations cinétiques (point de vue mésoscopique), qui doivent elles-même être dérivées des équations de Newton appliquées à l'ensemble des particules constituant le gaz (point de vue microscopique). Il s'avère qu'une solution de Boltzmann proche d'un équilibre spatialement homogène se comporte comme la somme de celui-ci et d'une perturbation dont la dynamique est dictée par les équations de Navier-Stokes. Ce fait a été démontré rigoureusement entre les années 1990 et 2000 dans une série d'articles par C. Bardos, F. Golse, D. Levermore et L. Saint-Raymond. Cependant les outils utilisés nécessitaient que la donnée initiale pour l'équation de Boltzmann décroisse comme une gaussienne par rapport à la variable de vitesse, ce qui est très loin des hypothèses physiquement pertinentes d'avoir une décroissance polynomiale d'ordre 2 (masse et énergie finie). Les travaux de C. Mouhot, M.P. Gualdani et S. Mischler entre 2005 et 2017 ont développé une "théorie d'élargissement (d'espaces fonctionnels)" permettant de construire des solutions pour l'équation de Boltzmann pour des données initiales avec une décroissance polynomiale. Les deux premiers travaux de cette thèse traitent de la dérivations des équations de Navier-Stokes depuis l'équation de Boltzmann pour de telles données initiales. La dernière partie de cette thèse, en collaboration avec K. Carrapatoso, ne concerne pas la dérivation des équations de Navier-Stokes, mais l'existence de solutions pour l'équation de Boltzmann, toujours pour des données initiales ayant une décroissance polynomiale, et sans négliger la "singularité angulaire" présente dans l'opérateur de collisions. En effet, une des principales difficultés mathématiques de l'équation de Boltzmann provient des interactions entre paires de particules "éloignées". Considérées individuellement, elles n'influent que peu sur les vitesses des particules, mais sont extrêmement nombreuses, ce qui se traduit par la présence de la "singularité angulaire" dans l'opérateur modélisant leur effet. Cette difficulté est responsable de la très lente évolution de la théorie mathématique de l'équation de Boltzmann. C'est en 1963 que H. Grad proposa une façon de négliger cette singularité, menant à une progression rapide de notre compréhension de cette équation. Cette singularité angulaire n'est cependant pas anodine, elle procure entre autre un effet régularisant à l'équation, et a été étudiée dans de nombreux travaux à partir des années 1990.

L'équation de Boltzmann, introduite par J.C. Maxwell et L. Boltzmann à la fin du XIXème siècle décrit l'évolution d'un gaz au niveau moléculaire à l'aide d'un point de vue statistique. Plus précisément, au lieu de considérer la position et la vitesse exactes de chacune des particule constituant le gaz, on s'intéresse à leurs répartitions statistiques pour une particule typique (on parle de point de vue mésoscopique ou cinétique). En 1900, D. Hilbert présenta à l'occasion du Congrès international des mathématiciens une liste de 23 problèmes, le sixième s'intitulant "Problème d'axiomatisation de la physique". Dans le cas de la mécanique des fluides, il consiste en la dérivation des équations hydrodynamiques (point de vue macroscopique) à partir des équations cinétiques (point de vue mésoscopique), qui doivent elles-même être dérivées des équations de Newton appliquées à l'ensemble des particules constituant le gaz (point de vue microscopique). Il s'avère qu'une solution de Boltzmann proche d'un équilibre spatialement homogène se comporte comme la somme de celui-ci et d'une perturbation dont la dynamique est dictée par les équations de Navier-Stokes. Ce fait a été démontré rigoureusement entre les années 1990 et 2000 dans une série d'articles par C. Bardos, F. Golse, D. Levermore et L. Saint-Raymond. Cependant les outils utilisés nécessitaient que la donnée initiale pour l'équation de Boltzmann décroisse comme une gaussienne par rapport à la variable de vitesse, ce qui est très loin des hypothèses physiquement pertinentes d'avoir une décroissance polynomiale d'ordre 2 (masse et énergie finie). Les travaux de C. Mouhot, M.P. Gualdani et S. Mischler entre 2005 et 2017 ont développé une "théorie d'élargissement (d'espaces fonctionnels)" permettant de construire des solutions pour l'équation de Boltzmann pour des données initiales avec une décroissance polynomiale. Les deux premiers travaux de cette thèse traitent de la dérivations des équations de Navier-Stokes depuis l'équation de Boltzmann pour de telles données initiales. La dernière partie de cette thèse, en collaboration avec K. Carrapatoso, ne concerne pas la dérivation des équations de Navier-Stokes, mais l'existence de solutions pour l'équation de Boltzmann, toujours pour des données initiales ayant une décroissance polynomiale, et sans négliger la "singularité angulaire" présente dans l'opérateur de collisions. En effet, une des principales difficultés mathématiques de l'équation de Boltzmann provient des interactions entre paires de particules "éloignées". Considérées individuellement, elles n'influent que peu sur les vitesses des particules, mais sont extrêmement nombreuses, ce qui se traduit par la présence de la "singularité angulaire" dans l'opérateur modélisant leur effet. Cette difficulté est responsable de la très lente évolution de la théorie mathématique de l'équation de Boltzmann. C'est en 1963 que H. Grad proposa une façon de négliger cette singularité, menant à une progression rapide de notre compréhension de cette équation. Cette singularité angulaire n'est cependant pas anodine, elle procure entre autre un effet régularisant à l'équation, et a été étudiée dans de nombreux travaux à partir des années 1990.

L'équation de Boltzmann, introduite par J.C. Maxwell et L. Boltzmann à la fin du XIXème siècle décrit l'évolution d'un gaz au niveau moléculaire à l'aide d'un point de vue statistique. Plus précisément, au lieu de considérer la position et la vitesse exactes de chacune des particule constituant le gaz, on s'intéresse à leurs répartitions statistiques pour une particule typique (on parle de point de vue mésoscopique ou cinétique). En 1900, D. Hilbert présenta à l'occasion du Congrès international des mathématiciens une liste de 23 problèmes, le sixième s'intitulant "Problème d'axiomatisation de la physique". Dans le cas de la mécanique des fluides, il consiste en la dérivation des équations hydrodynamiques (point de vue macroscopique) à partir des équations cinétiques (point de vue mésoscopique), qui doivent elles-même être dérivées des équations de Newton appliquées à l'ensemble des particules constituant le gaz (point de vue microscopique). Il s'avère qu'une solution de Boltzmann proche d'un équilibre spatialement homogène se comporte comme la somme de celui-ci et d'une perturbation dont la dynamique est dictée par les équations de Navier-Stokes. Ce fait a été démontré rigoureusement entre les années 1990 et 2000 dans une série d'articles par C. Bardos, F. Golse, D. Levermore et L. Saint-Raymond. Cependant les outils utilisés nécessitaient que la donnée initiale pour l'équation de Boltzmann décroisse comme une gaussienne par rapport à la variable de vitesse, ce qui est très loin des hypothèses physiquement pertinentes d'avoir une décroissance polynomiale d'ordre 2 (masse et énergie finie). Les travaux de C. Mouhot, M.P. Gualdani et S. Mischler entre 2005 et 2017 ont développé une "théorie d'élargissement (d'espaces fonctionnels)" permettant de construire des solutions pour l'équation de Boltzmann pour des données initiales avec une décroissance polynomiale. Les deux premiers travaux de cette thèse traitent de la dérivations des équations de Navier-Stokes depuis l'équation de Boltzmann pour de telles données initiales. La dernière partie de cette thèse, en collaboration avec K. Carrapatoso, ne concerne pas la dérivation des équations de Navier-Stokes, mais l'existence de solutions pour l'équation de Boltzmann, toujours pour des données initiales ayant une décroissance polynomiale, et sans négliger la "singularité angulaire" présente dans l'opérateur de collisions. En effet, une des principales difficultés mathématiques de l'équation de Boltzmann provient des interactions entre paires de particules "éloignées". Considérées individuellement, elles n'influent que peu sur les vitesses des particules, mais sont extrêmement nombreuses, ce qui se traduit par la présence de la "singularité angulaire" dans l'opérateur modélisant leur effet. Cette difficulté est responsable de la très lente évolution de la théorie mathématique de l'équation de Boltzmann. C'est en 1963 que H. Grad proposa une façon de négliger cette singularité, menant à une progression rapide de notre compréhension de cette équation. Cette singularité angulaire n'est cependant pas anodine, elle procure entre autre un effet régularisant à l'équation, et a été étudiée dans de nombreux travaux à partir des années 1990.

L'équation de Boltzmann, introduite par J.C. Maxwell et L. Boltzmann à la fin du XIXème siècle décrit l'évolution d'un gaz au niveau moléculaire à l'aide d'un point de vue statistique. Plus précisément, au lieu de considérer la position et la vitesse exactes de chacune des particule constituant le gaz, on s'intéresse à leurs répartitions statistiques pour une particule typique (on parle de point de vue mésoscopique ou cinétique). En 1900, D. Hilbert présenta à l'occasion du Congrès international des mathématiciens une liste de 23 problèmes, le sixième s'intitulant "Problème d'axiomatisation de la physique". Dans le cas de la mécanique des fluides, il consiste en la dérivation des équations hydrodynamiques (point de vue macroscopique) à partir des équations cinétiques (point de vue mésoscopique), qui doivent elles-même être dérivées des équations de Newton appliquées à l'ensemble des particules constituant le gaz (point de vue microscopique). Il s'avère qu'une solution de Boltzmann proche d'un équilibre spatialement homogène se comporte comme la somme de celui-ci et d'une perturbation dont la dynamique est dictée par les équations de Navier-Stokes. Ce fait a été démontré rigoureusement entre les années 1990 et 2000 dans une série d'articles par C. Bardos, F. Golse, D. Levermore et L. Saint-Raymond. Cependant les outils utilisés nécessitaient que la donnée initiale pour l'équation de Boltzmann décroisse comme une gaussienne par rapport à la variable de vitesse, ce qui est très loin des hypothèses physiquement pertinentes d'avoir une décroissance polynomiale d'ordre 2 (masse et énergie finie). Les travaux de C. Mouhot, M.P. Gualdani et S. Mischler entre 2005 et 2017 ont développé une "théorie d'élargissement (d'espaces fonctionnels)" permettant de construire des solutions pour l'équation de Boltzmann pour des données initiales avec une décroissance polynomiale. Les deux premiers travaux de cette thèse traitent de la dérivations des équations de Navier-Stokes depuis l'équation de Boltzmann pour de telles données initiales. La dernière partie de cette thèse, en collaboration avec K. Carrapatoso, ne concerne pas la dérivation des équations de Navier-Stokes, mais l'existence de solutions pour l'équation de Boltzmann, toujours pour des données initiales ayant une décroissance polynomiale, et sans négliger la "singularité angulaire" présente dans l'opérateur de collisions. En effet, une des principales difficultés mathématiques de l'équation de Boltzmann provient des interactions entre paires de particules "éloignées". Considérées individuellement, elles n'influent que peu sur les vitesses des particules, mais sont extrêmement nombreuses, ce qui se traduit par la présence de la "singularité angulaire" dans l'opérateur modélisant leur effet. Cette difficulté est responsable de la très lente évolution de la théorie mathématique de l'équation de Boltzmann. C'est en 1963 que H. Grad proposa une façon de négliger cette singularité, menant à une progression rapide de notre compréhension de cette équation. Cette singularité angulaire n'est cependant pas anodine, elle procure entre autre un effet régularisant à l'équation, et a été étudiée dans de nombreux travaux à partir des années 1990.

Le point de départ de mon exposé sera l'existence d'un double mode de pensée en mathématiques, l'un permettant de manipuler des objets selon des règles et un jeu qui sont coconstruits, le second étant un mode progressif où la structure laisse la place à des liaisons beaucoup plus diffuses et emmêlées. La contamination permanente de ces deux modes de pensée permet de repenser la structure à nouveaux frais et de mettre au jour une architechtonique qui rapproche la langue mathématique d'une langue poétique.

We provide a simple construction of the Anderson operator in dimensions two and three. This is done through its quadratic form. We rely on an exponential transform instead of the regularity structures or paracontrolled calculus which are usually used for the construction of the operator. The knowledge of the form is robust enough to deduce important properties such as positivity and irreducibility of the corresponding semigroup. The latter property gives existence of a spectral gap.

Residual neural networks are state-of-the-art deep learning models. Their continuous-depth analog, neural ordinary differential equations (ODEs), are also widely used. Despite their success, the link between the discrete and continuous models still lacks a solid mathematical foundation. In this article, we take a step in this direction by establishing an implicit regularization of deep residual networks towards neural ODEs, for nonlinear networks trained with gradient flow. We prove that if the network is initialized as a discretization of a neural ODE, then such a discretization holds throughout training. Our results are valid for a finite training time, and also as the training time tends to infinity provided that the network satisfies a Polyak-Lojasiewicz condition. Importantly, this condition holds for a family of residual networks where the residuals are two-layer perceptrons with an overparameterization in width that is only linear, and implies the convergence of gradient flow to a global minimum. Numerical experiments illustrate our results.

This thesis is dedicated to the study of geometric maximal operators. It is well known that the Hardy-Littlewood maximal operator (defined on cubes) is bounded on L^p for any p>1, the situation is more complex for a maximal operator defined on a family of rectangles with prescribed angles, eccentricities or volumes. We develop and use geometric techniques in order to obtain sharp boundedness properties for different kinds of maximal operators. In particular, we use variants of the so-called Perron's trees, Bateman-Katz's technology and crystallisation technique à la Stokolos.

The profiling of multiple molecular layers from the same set of cells has recently become possible. There is thus a growing need for multi-view learning methods able to jointly analyze these data. We here present Multi-Omics Wasserstein inteGrative anaLysIs (Mowgli), a novel method for the integration of paired multi-omics data with any type and number of omics. Of note, Mowgli combines integrative Nonnegative Matrix Factorization (NMF) and Optimal Transport (OT), enhancing at the same time the clustering performance and interpretability of integrative NMF. We apply Mowgli to multiple paired single-cell multi-omics data profiled with 10X Multiome, CITE-seq and TEA-seq. Our in depth benchmark demonstrates that Mowgli’s performance is competitive with the state-of-the-art in cell clustering and superior to the state-of-the-art once considering biological interpretability. Mowgli is implemented as a Python package seamlessly integrated within the scverse ecosystem and it is available at http://github.com/cantinilab/mowgli .

Our object of study is the asymptotic growth of heaviest paths in a charged (weighted with signed weights) complete directed acyclic graph. Edge charges are i.i.d. random variables with common distribution $F$ supported on $[−\infty, 1$] with essential supremum equal to 1 (a charge of $−\infty$ is understood as the absence of an edge). The asymptotic growth rate is a constant that we denote by $C(F)$. Even in the simplest case where $F = p\delta_1 + (1 − p)\delta_{-\infty}$, corresponding to the longest path in the Barak-Erdős random graph, there is no closed-form expression for this function, but good bounds do exist. In this paper we construct a Markovian particle system that we call "Max Growth System" (MGS), and show how it is related to the charged random graph. The MGS is a generalization of the Infinite Bin Model that has been the object of study of a number of papers. We then identify a random functional of the process that admits a stationary version and whose expectation equals the unknown constant $C(F)$. Furthermore, we construct an effective perfect simulation algorithm for this functional which produces samples from the random functional.

In this paper we consider stationary states of the SSH model for infinite polyacetylene chains that are homoclinic or heteroclinic connections between two-periodic dimerized states. We prove that such connections converge exponentially fast to the corresponding asymptotic periodic states.

We study random walks on the lampshuffler group $\mathrm{FSym}(H)\rtimes H$, where $H$ is a finitely generated group and $\mathrm{FSym}(H)$ is the group of finitary permutations of $H$. We show that for any step distribution $\mu$ with a finite first moment that induces a transient random walk on $H$, the permutation coordinate of the random walk almost surely stabilizes pointwise. Our main result states that for $H=\mathbb{Z}$, the above convergence completely describes the Poisson boundary of the random walk $(\mathrm{FSym}(\mathbb{Z})\rtimes \mathbb{Z},\mu)$.

We estimate the lowest eigenvalue in the gap of the essential spectrum of a Dirac operator with mass in terms of a Lebesgue norm of the potential. Such a bound is the counterpart for Dirac operators of the Keller estimates for the Schrödinger operator, which are equivalent to Gagliardo-Nirenberg-Sobolev interpolation inequalities. Domain, self-adjointness, optimality and critical values of the norms are addressed, while the optimal potential is given by a Dirac equation with a Kerr nonlinearity. A new critical bound appears, which is the smallest value of the norm of the potential for which eigenvalues may reach the bottom of the gap in the essential spectrum. The Keller estimate is then extended to a Lieb-Thirring inequality for the eigenvalues in the gap. Most of our result are established in the Birman-Schwinger reformulation.

The Whittaker cardinal function was discovered by E. T. Whittaker [1], who wanted to know whether there exists in the class of all functions which take on the same values at the set of points A = ¡/czz}¡j°-_»,h > 0, "a function of royal blood whose distinguished properties set it apart from its bourgeois brethren". This function then played a fundamental role in the development of the theory of central difference processes, a theory which was also originated by E. T. Whittaker [1]. Somewhat later J. M. Whittaker and his co-workers [2], [3]

This paper is devoted to the Moser-Trudinger inequality on smooth riemannian surfaces. We establish that the constants involved can be chosen to depend on only 3 parameters, which are the systole, isoperimetric constant and curvature of the surface. We have two analogous statements, considering respectively infinite-volume surfaces and closed surfaces. As an application, we show that there are sequences of coverings of a hyperbolic closed surface which admit a uniform Moser-Trudinger inequality.

This paper is devoted to the Moser-Trudinger inequality on smooth riemannian surfaces. We establish that the constants involved can be chosen to depend on only 3 parameters, which are the systole, isoperimetric constant and curvature of the surface. We have two analogous statements, considering respectively infinite-volume surfaces and closed surfaces. As an application, we show that there are sequences of coverings of a hyperbolic closed surface which admit a uniform Moser-Trudinger inequality.

This paper is devoted to the Moser-Trudinger inequality on smooth riemannian surfaces. We establish that the constants involved can be chosen to depend on only 3 parameters, which are the systole, isoperimetric constant and curvature of the surface. We have two analogous statements, considering respectively infinite-volume surfaces and closed surfaces. As an application, we show that there are sequences of coverings of a hyperbolic closed surface which admit a uniform Moser-Trudinger inequality.

This paper is devoted to the Moser-Trudinger inequality on smooth riemannian surfaces. We establish that the constants involved can be chosen to depend on only 3 parameters, which are the systole, isoperimetric constant and curvature of the surface. We have two analogous statements, considering respectively infinite-volume surfaces and closed surfaces. As an application, we show that there are sequences of coverings of a hyperbolic closed surface which admit a uniform Moser-Trudinger inequality.

This paper is devoted to the Moser-Trudinger inequality on smooth riemannian surfaces. We establish that the constants involved can be chosen to depend on only 3 parameters, which are the systole, isoperimetric constant and curvature of the surface. We have two analogous statements, considering respectively infinite-volume surfaces and closed surfaces. As an application, we show that there are sequences of coverings of a hyperbolic closed surface which admit a uniform Moser-Trudinger inequality.

Understanding the geometric properties of gradient descent dynamics is a key ingredient in deciphering the recent success of very large machine learning models. A striking observation is that trained over-parameterized models retain some properties of the optimization initialization. This "implicit bias" is believed to be responsible for some favorable properties of the trained models and could explain their good generalization properties. The purpose of this article is threefold. First, we rigorously expose the definition and basic properties of "conservation laws", which are maximal sets of independent quantities conserved during gradient flows of a given model (e.g. of a ReLU network with a given architecture) with any training data and any loss. Then we explain how to find the exact number of these quantities by performing finite-dimensional algebraic manipulations on the Lie algebra generated by the Jacobian of the model. Finally, we provide algorithms (implemented in SageMath) to: a) compute a family of polynomial laws; b) compute the number of (not necessarily polynomial) conservation laws. We provide showcase examples that we fully work out theoretically. Besides, applying the two algorithms confirms for a number of ReLU network architectures that all known laws are recovered by the algorithm, and that there are no other laws. Such computational tools pave the way to understanding desirable properties of optimization initialization in large machine learning models.

This paper investigates the propreties of the persistence diagrams stemming from almost surely continuous random processes on [0, t]. We focus our study on two variables which together characterize the barcode : the number of points of the persistence diagram inside a rectangle ] −∞, x] × [x + ε, ∞[, N x,x+ε and the number of bars of length ≥ ε, N ε. For processes with the strong Markov property, we show both of these variables admit a moment generating function and in particular moments of every order. Switching our attention to semimartingales, we show the asymptotic behaviour of N ε and N x,x+ε as ε → 0 and of N ε as ε → ∞. Finally, we study the repercussions of the classical stability theorem of barcodes and illustrate our results with some examples, most notably Brownian motion and empirical functions converging to the Brownian bridge.

This thesis contributes to the understanding of some statistical mechanics models and their large-scale limits, mainly using the asymptotic behavior of Green's function appearing in these models. In the first part, we are interested in random walks. We establish the convergence for the loop-erasure of two-dimensional random walks with killing to the so-called massive SLE₂ curves. This generalizes the celebrated result of Lawler, Schramm and Werner for standard loop-erased random walks. Then we investigated the branching random walks, obtaining the asymptotics of its capacity above and at the critical dimension. Another direction of our research is the closely related planar Ising and bipartite dimer models. By perturbing the temperature for the Ising model away from the criticality, we associate to it a family of massive dimer weights and obtain the convergence of correlations of the Ising energy density field and the gradient field of the height functions in the dimer model on hedgehog domains. We also proved a super-exponential decay of the crossing probability for simple conformal loop ensembles. This was a missing ingredient in the proof of convergence of the double-dimer loop ensembles to CLE₄ in terms of probabilities of macroscopic topological events, hence our result implies such convergence.

In both continuous and discrete settings, Laplace operators appear quite commonly in the modeling of natural phenomena, in several context: diffusion, heat propagation, porous media, fluid flows through pipes, electricity.. .. In these contexts, the discrete Laplace operator enjoys all the properties of its continuous counterpart, in particular: self-adjointness, variational formulation, stochastic interpretation, mean value property, maximum principle,. .. In a first part, we give a detailed description of the correspondence between these mathematical properties and modeling considerations, in contexts where the continuous and the discrete settings perfectly match. In a second part, we describe a pathological situation, in the context of granular crowd motion models. Accounting for the non-overlapping constraint between hard discs leads to a particular operator acting on a field of Lagrange multipliers, defined on the dual graph of the contact network. This operator is defective in a certain sense: although it is the microscopic counterpart of the macroscopic Laplace operator, this discrete operator indeed lacks some properties, in particular the maximum principle. We investigate here how this very defectivity may explain some paradoxical phenomena that are observed in crowd motions and granular materials, phenomena that are not reproduced by macroscopic models. Résumé. Aux niveaux continu et discret, l'opérateur de Laplace intervient de façon très courante dans la modélisation de phénomènes naturels, dans de nombreux contextes: diffusion, propagation de la chaleur, milieux poreux, écoulement de fluides dans des conduits, électricité.. .. Dans ces contextes, le laplacien discret possède toutes les propriétés de son pendant continu: caractère auto-adjoint, structure variationnelle, interprétation stochastique, propriété de la valeur moyenne, principe du maximum,. . .. Dans une première partie, nous proposons une description détaillée des liens entre ces propriétés et les aspects de modélisations, dans des contextes où les notion continues et discrètes se correspondent parfaitement. Dans une seconde partie, nous décrivons une situation pathologique, dans le contexte de la modélisation de foules d'un point de vue granulaire. La prise en compte de la contrainte de non recouvrement entre grains rigides conduit à un opérateur particulier qui agit sur les champs de multiplicateurs de Lagrange, définis sur le graphe dual du réseau de contacts. Cet opérateur est déficient dans un certain sens : bien qu'il apparaisse comme le pendant discret du laplacien continu, il ne vérifie pas certaines des propriétés usuelles du laplacien, en particulier le principe du maximum. Nous explorons comment cette déficience permet d'expliquer certains effets paradoxaux observés en mouvements de foules, que les modèles continus ne reproduisent pas.

The dynamics of a pair of counter-rotating wingtip vortices formed in the wake of a slotted wing are investigated numerically at Reynolds numbers 3000 to 10 000, considering a NACA12 airfoil with various angles of attack ranging from 5 to 10 degrees. Two parts of the wake are investigated. Firstly, we focus on the von Kármán wake of the wing and explore its properties in reference to inifinite wing results. The finiteness of the wing introduces notable differences. Secondly, we examine the dynamics of the wingtip vortices and the instabilities that are obtained. The influence of the von Kármán wake on this vortex is emphasized. Two behaviors are identified, depending on the angle of attack and Reynolds number. An orthogonal proper orthogonal decomposition (POD) is applied to identify the coherent structures that superimpose upon the mean flow. A Fourier analysis of the vortex centerline is conducted to highlight the dominant wavelengths.

We present a rigorous mathematical analysis of the modeling of inviscid water waves. The free-surface is described as a parameterized curve. We present a numerically stable algorithm which accounts for its evolution with time. The method is shown to converge using approximate solutions, such as Stokes waves and Green-Naghdi solitary waves. It is finally tested on a wave breaking problem, for which an odd-even coupling suffise to achieve numerical convergence up to the splash without the need for additional filtering.

Numerical simulations of the geodynamo (and other planetary dynamos) have made significant progress in recent years. As computing power has advanced, some new models claim to be ever more appropriate for understanding Earth's core dynamics. One measure of the success of such models is the ability to replicate the expected balance between forces operating within the core; Coriolis and Lorentz forces are predicted to be most important. The picture is complicated for an incompressible flow by the existence of the pressure gradient force which renders the gradient parts of all other forces dynamically unimportant. This can confuse the situation, especially when the scale dependence of forces is considered. In this work we investigate force balances through the alternative approach of eliminating gradient parts of each force to form ‘solenoidal force balances’. We perform a length-scale-dependent analysis for several spherical simulations and find that removal of gradient parts offers an alternative picture of the force balance compared with looking at traditional forces alone. Solenoidal force balances provide some agreement with the results of previous studies but also significant differences. They offer a cleaner overall picture of the dynamics and introduce differences at smaller scales. This has implications for geodynamo models purporting to have reached Earth-like regimes: in order to achieve a meaningful comparison of forces, only the solenoidal part of forces should be considered.

The coupling between the transport equation for the density and the Stokes equation is considered in a periodic channel. More precisely, the density is advected by pure transport by a velocity field given by the Stokes equation with source force coming from the gravity due to differences in the density. Dirichlet boundary conditions are taken for the velocity field on the bottom and top of the channel, and periodic conditions in the horizontal variable. We prove that the affine stratified density profile is stable under small perturbations in Sobolev spaces and prove convergence of the density to another limiting stratified density profile for large time with an explicit algebraic decay rate. Moreover, we are able to precisely identify the limiting profile as the decreasing vertical rearrangement of the initial density. Finally, we study boundary layers formation to precisely characterize the long-time behavior beyond the constant limiting profile and enlighten the optimal decay rate.

Considering an integer d > 0, we show the existence of convex-cocompact representations of surface groups into SO(4, 1) admitting an embedded minimal map with curvatures in (−1, 1) and whose associated hyperbolic 4-manifolds are disk bundles of degree d over the surface, provided the genus g of the surface is large enough. We also show that we can realize these representations as complex variation of Hodge structures. This gives examples of quasicircles in S³ bounding superminimal disks in H⁴ of arbitrarily small second fundamental form. Those are examples of generalized almost-Fuchsian representations which are not deformations of Fuchsian representations.

We characterize the boundedness properties on the spaces $L^p( \mathbb{H}^2)$ of the maximal operator $M_\mathcal{B}$ where $\mathcal{B}$ is an arbitrary family of hyperbolic triangles stable by isometries.

We clarify quasi-Frobenius configurations of finite Morley rank. 1. We remove one assumption in an identification theorem by Zamour while simplifying the proof. 2. We show that a strongly embedded quasi-Frobenius configuration of odd type, is actually Frobenius. 3. For dihedral configurations, one has dim G = 3 dim C. These results rely on an interesting phenomenon of closure of non-generic matter under taking centralisers.

Given a set of integers $A \subset \mathbb{Z}$, we consider the smallest family $\mathcal{B}_{A^{n-1}}$ invariant by translation which contains the rectangles $$ R_{\boldsymbol{a}} = I_{a_1} \times \dots \times I_{a_{n-1}} \times I_{-(a_1+\dots+a_{n-1})}$$ for any $\boldsymbol{a} = (a_1,\dots,a_{n-1}) \in A^{n-1}$ and where $I_k = [0,2^k]$ for $k$ integer. We prove that if the set $A$ contains arbitrary large arithmetic progression then the maximal operator $M_{\mathcal{B}_{A^{n-1}}}$ associated to the family $\mathcal{B}_{A^{n-1}}$ is sharply bounded from $L^1\left(1+ \log^+ L^1 \right)^{n-1}$ to $L^{1,\infty}$.

Background: Independent Component Analysis (ICA) is a widespread tool for exploration and denoising of electroencephalography (EEG) or magnetoencephalography (MEG) signals. In its most common formulation, ICA assumes that the signal matrix is a noiseless linear mixture of independent sources that are assumed non-Gaussian. A limitation is that it enforces to estimate as many sources as sensors or to rely on a detrimental PCA step. Methods: We present the Spectral Matching ICA (SMICA) model. Signals are modelled as a linear mixing of independent sources corrupted by additive noise, where sources and the noise are stationary Gaussian time series. Thanks to the Gaussian assumption, the negative log-likelihood has a simple expression as a sum of divergences between the empirical spectral covariance matrices of the signals and those predicted by the model. The model parameters can then be estimated by the expectation-maximization (EM) algorithm. Results: Experiments on phantom MEG datasets show that SMICA can recover dipole locations more precisely than usual ICA algorithms or Maxwell filtering when the dipole amplitude is low. Experiments on EEG datasets show that SMICA identifies a source subspace which contains sources that have less pairwise mutual information, and are better explained by the projection of a single dipole on the scalp. Comparison with existing methods: Noiseless ICA models lead to degenerate likelihood when there are fewer sources than sensors, while SMICA succeeds without resorting to prior dimension reduction. Conclusions: SMICA is a promising alternative to other noiseless ICA models based on non-Gaussian assumptions.

We study the dynamics of random walks hopping on homogeneous hyper-cubic lattices and multiplying at a fertile site. In one and two dimensions, the total number $\mathcal{N}(t)$ of walkers grows exponentially at a Malthusian rate depending on the dimensionality and the multiplication rate $\mu$ at the fertile site. When $d>d_c=2$, the number of walkers may remain finite forever for any $\mu$; it surely remains finite when $\mu\leq \mu_d$. We determine $\mu_d$ and show that $\langle\mathcal{N}(t)\rangle$ grows exponentially if $\mu>\mu_d$. The distribution of the total number of walkers remains broad when $d\leq 2$, and also when $d>2$ and $\mu>\mu_d$. We compute $\langle \mathcal{N}^m\rangle$ explicitly for small $m$, and show how to determine higher moments. In the critical regime, $\langle \mathcal{N}\rangle$ grows as $\sqrt{t}$ for $d=3$, $t/\ln t$ for $d=4$, and $t$ for $d>4$. Higher moments grow anomalously, $\langle \mathcal{N}^m\rangle\sim \langle \mathcal{N}\rangle^{2m-1}$, in the critical regime; the growth is normal, $\langle \mathcal{N}^m\rangle\sim \langle \mathcal{N}\rangle^{m}$, in the exponential phase. The distribution of the number of walkers in the critical regime is asymptotically stationary and universal, viz. it is independent of the spatial dimension. Interactions between walkers may drastically change the behavior. For random walks with exclusion, if $d>2$, there is again a critical multiplication rate, above which $\langle\mathcal{N}(t)\rangle$ grows linearly (not exponentially) in time; when $d\leq d_c=2$, the leading behavior is independent on $\mu$ and $\langle\mathcal{N}(t)\rangle$ exhibits a sub-linear growth.

We study a one-dimensional totally asymmetric simple exclusion process with one special site from which particles $fly$ to $any$ empty site (not just to the neighboring site). The system attains a non-trivial stationary state with density profile varying over the spatial extent of the system. The density profile undergoes a non-equilibrium phase transition when the average density passes through the critical value $1-[4(1-ln 2)]^{-1}=0.185277$..., viz. in addition to the discontinuity in the vicinity of the special site, a shock wave is formed in the bulk of the system when the density exceeds the critical density.

We classify the pairs of group morphisms $\Gamma \rightarrow {\rm Spin}(7)$ which are element conjugate but not globally conjugate. As an application, we study the case where $\Gamma$ is the Weil group of a $p$-adic local field, which is relevant to the recent approach to the local Langlands correspondence for ${\rm G}_2$ and ${\rm PGSp}_6$ by Gan and Savin. As a second application, we improve some result of Kret and Shin about ${\rm GSpin}_7$-valued Galois representations.

This article studies large and local large deviations for sums of i.i.d. real-valued random variables in the domain of attraction of an $\alpha$-stable law, $\alpha\in (0,2]$, with emphasis on the case $\alpha=2$. There are two different scenarios: either the deviation is realised via a collective behaviour with all summands contributing to the deviation (a Gaussian scenario), or a single summand is atypically large and contributes to the deviation (a one-big-jump scenario). Such results are known when $\alpha \in (0,2)$ (large deviations always follow a one big-jump scenario) or when the random variables admit a moment of order $2+\delta$ for some $\delta>0$. We extend these results, including in particular the case where the right tail is regularly varying with index $-2$ (treating cases with infinite variance in the domain of attraction of the normal law). We identify the threshold for the transition between the Gaussian and the one-big-jump regimes; it is slightly larger when considering local large deviations compared to integral large deviations. Additionally, we complement our results by describing the behaviour of the sum and of the largest summand conditionally on a (local) large deviation, for any $\alpha\in (0,2]$, both in the Gaussian and in the one-big-jump regimes. As an application, we show how our results can be used in the study of condensation phenomenon in the zero-range process at the critical density, extending the range of parameters previously considered in the literature.

In this article, we consider additive functionals $\zeta_t = \int_0^t f(X_s)\mathrm{d} s$ of a c\`adl\`ag Markov process $(X_t)_{t\geq 0}$ on $\mathbb{R}$. Under some general conditions on the process $(X_t)_{t\geq 0}$ and on the function $f$, we show that the persistence probabilities verify $\mathbb{P}(\zeta_s < z \text{ for all } s\leq t ) \sim \mathcal{V}(z) \varsigma(t) t^{-\theta}$ as $t\to\infty$, for some (explicit) $\mathcal{V}(\cdot)$, some slowly varying function $\varsigma(\cdot)$ and some $\theta\in (0,1)$. This extends results in the literature, which mostly focused on the case of a self-similar process $(X_t)_{t\geq 0}$ (such as Brownian motion or skew-Bessel process) with a homogeneous functional $f$ (namely a pure power, possibly asymmetric). In a nutshell, we are able to deal with processes which are only asymptotically self-similar and functionals which are only asymptotically homogeneous. Our results rely on an excursion decomposition of $(X_t)_{t\geq 0}$, together with a Wiener--Hopf decomposition of an auxiliary (bivariate) L\'evy process, with a probabilistic point of view. This provides an interpretation for the asymptotic behavior of the persistence probabilities, and in particular for the exponent $\theta$, which we write as $\theta = \rho \beta$, with $\beta$ the scaling exponent of the local time of $(X_{t})_{t\geq 0}$ at level $0$ and $\rho$ the (asymptotic) positivity parameter of the auxiliary L\'evy process.

Monge-Ampère gravitation is a modification of the classical Newtonian gravitation where the linear Poisson equation is replaced by the nonlinear Monge-Ampère equation. This paper is concerned with the rigorous derivation of Monge-Ampère gravitation for a finite number of particles from the stochastic model of a Brownian point cloud, in the spirit of the formal paper [6]. The main step in this derivation is the Γ−convergence of the good rate functions corresponding to a one-parameter family of large deviation principles. Surprisingly, the derived model includes dissipative phenomena. As an illustration, we show that it leads to sticky collisions in one space dimension.

Monge-Ampère gravitation is a modification of the classical Newtonian gravitation where the linear Poisson equation is replaced by the nonlinear Monge-Ampère equation. This paper is concerned with the rigorous derivation of Monge-Ampère gravitation for a finite number of particles from the stochastic model of a Brownian point cloud, in the spirit of the formal paper [6]. The main step in this derivation is the Γ−convergence of the good rate functions corresponding to a one-parameter family of large deviation principles. Surprisingly, the derived model includes dissipative phenomena. As an illustration, we show that it leads to sticky collisions in one space dimension.

We establish two results concerning the Quantum Limits (QLs) of some sub-Laplacians. First, under a commutativity assumption on the vector fields involved in the definition of the sub- Laplacian, we prove that it is possible to split any QL into several pieces which can be studied separately, and which come from well-characterized parts of the associated sequence of eigenfunctions. Secondly, building upon this result, we study in detail the QLs of a particular family of sub-Laplacians defined on products of compact quotients of Heisenberg groups. We express the QLs through a disintegration of measure result which follows from a natural spectral decomposition of the sub-Laplacian in which harmonic oscillators appear. Both results are based on the construction of an adequate elliptic operator commuting with the sub-Laplacian, and on the associated joint spectral calculus. They illustrate the fact that, because of the possible high degeneracies in the spectrum, the spectral theory of sub-Laplacians is very rich.

We establish two results concerning the Quantum Limits (QLs) of some sub-Laplacians. First, under a commutativity assumption on the vector fields involved in the definition of the sub- Laplacian, we prove that it is possible to split any QL into several pieces which can be studied separately, and which come from well-characterized parts of the associated sequence of eigenfunctions. Secondly, building upon this result, we study in detail the QLs of a particular family of sub-Laplacians defined on products of compact quotients of Heisenberg groups. We express the QLs through a disintegration of measure result which follows from a natural spectral decomposition of the sub-Laplacian in which harmonic oscillators appear. Both results are based on the construction of an adequate elliptic operator commuting with the sub-Laplacian, and on the associated joint spectral calculus. They illustrate the fact that, because of the possible high degeneracies in the spectrum, the spectral theory of sub-Laplacians is very rich.

We establish two results concerning the Quantum Limits (QLs) of some sub-Laplacians. First, under a commutativity assumption on the vector fields involved in the definition of the sub- Laplacian, we prove that it is possible to split any QL into several pieces which can be studied separately, and which come from well-characterized parts of the associated sequence of eigenfunctions. Secondly, building upon this result, we study in detail the QLs of a particular family of sub-Laplacians defined on products of compact quotients of Heisenberg groups. We express the QLs through a disintegration of measure result which follows from a natural spectral decomposition of the sub-Laplacian in which harmonic oscillators appear. Both results are based on the construction of an adequate elliptic operator commuting with the sub-Laplacian, and on the associated joint spectral calculus. They illustrate the fact that, because of the possible high degeneracies in the spectrum, the spectral theory of sub-Laplacians is very rich.

We establish two results concerning the Quantum Limits (QLs) of some sub-Laplacians. First, under a commutativity assumption on the vector fields involved in the definition of the sub- Laplacian, we prove that it is possible to split any QL into several pieces which can be studied separately, and which come from well-characterized parts of the associated sequence of eigenfunctions. Secondly, building upon this result, we study in detail the QLs of a particular family of sub-Laplacians defined on products of compact quotients of Heisenberg groups. We express the QLs through a disintegration of measure result which follows from a natural spectral decomposition of the sub-Laplacian in which harmonic oscillators appear. Both results are based on the construction of an adequate elliptic operator commuting with the sub-Laplacian, and on the associated joint spectral calculus. They illustrate the fact that, because of the possible high degeneracies in the spectrum, the spectral theory of sub-Laplacians is very rich.

This article presents an exchange of letters between Wacław Sierpiński and Paul Montel during the year 1945. This correspondence, translated here into English, provides insight into how and in what form the French learned about the dramatic fate of many Polish mathematician colleagues during the war. We also give a short biography of the two protagonists, as well as some facts about the mathematicians mentioned in the letters.

Quelques aspects de l’élaboration de l’analyse fonctionnelle jusqu’à Banach. Rôle des opérations dans une approche générale

La these se divise en deux parties. Dans la premiere, nous montrons comment les notions de multiplicite et d'ensemble frontiere sont intimement liees aux classes a#m#,#n. Plus precisement nous donnons une condition suffisante en termes de multiplicite pour qu'une contraction appartienne a une classe donnee. Nous conjecturons que ces criteres caracterisent en particulier les classes a#1#,#n. Ces resultats permettent deja de construire avec une tres grande efficacite de multiple exemples d'operateurs dans une classe donnee et de tester certaines conjectures classiques. La deuxieme partie met en place le cadre general permettant d'etudier l'algebre duale engendree par une paire commutative de contractions. En particulier nous caracterisons les paires continues (ie. Possedant un calcul fonctionnel h#(t#2) faible#* continu en termes de mesure spectrale et de bande de mesures. Ensuite, nous donnons des resultats de factorisation fonctionnelle dans l#1() ou est dans une large classe de mesures incluant les mesures spectrales du dessus. Enfin nous mettons en place un processus d'approximation qui est une variante de la technique de s. Brown, basee sur une hypothese de type e#r##,#. On demontre alors qu'une paire de contractions a calcul isometrique avec cette propriete possede un sous-espace invariant non trivial.

Contractile force in muscle tissue is produced by the interaction of myosin molecular motors that bind and pull on specific sites located on surrounding actin filaments. The classical framework set by the landmark works of A.F. Huxley and T.L. Hill to model this active system is build on the central assumption that thermal fluctuations of a given myosin motor are sufficiently small so that it cannot interact with more than one binding site at any time. In this paper we present the physiological and mathematical limitations of this approach to motivate a new formulation that circumvent them without resorting to the more complex multi-site model paradigm. The acto-myosin system is now described as a Markov process combining Langevin driftdiffusion and Poisson jumps dynamics. We show that the corresponding system of Stochastic Differential Equation is well-posed and derive its Partial Differential Equation analog in order to obtain the thermodynamic balance laws. We finally show that by applying standard elimination procedures, a modified version of the original Huxley-Hill framework can be obtained as a reduced version of our model. Theoretical results are supported by numerical simulations where the model outputs are compared to benchmark experimental data.