Cercles isométriques mais contractiles dans les cônes asymptotiques des groupes

La contractilité de tous les cercles dans les cônes asymptotiques d’un groupe G de type fini implique que G est de présentation finie avec fonction de Dehn au plus polynomiale.  Le distorsion métrique de tous ces cercles est une propriété plus forte qui implique que G est fortement raccourci (“strongly shortcut”).  La propriété fortement raccourci est satisfaite par diverses familles de groupes de courbure négative ou nulle, notamment les groupes hyperboliques, CAT(0), Helly, et systoliques, mais elle est aussi satisfaite par le groupe de Heisenberg discret.

    Je discuterai d’un récent travail en commun avec Cashen et Woodhouse où on a montré qu’une famille infinie de groupes flocon de
neige (“snowflake groups”) ont des cônes asymptotiques simplement connexes mais des graphes de Cayley qui ne sont pas fortement
raccourcis.  Ce sont les premiers exemples de groupes qui ont des cônes asymptotiques dans lesquels il existe des cercles isométriques
mais contractiles.