On s’intéresse au comportement en temps long des solutions des systèmes hamiltoniens et notamment aux phénomènes de turbulence. Les seuls modèles dans lesquels il est possible de décrire de telsphénomènes à ce jour sont ceux pour lesquels des calculs explicites sont possibles. Ici, on décrira un modèle simple d’équation pour lequel on a construit une transformation de Fourier non linéaire donnant une expression explicite des solutions. Cette résolution explicite nous permet de mettre en évidence de la turbulence: une petite perturbation des données initiales peut faire apparaître en temps long des oscillations spectaculaires de la solution sur de petites échelles spatiales.Dans la première partie de l’exposé, on développera l’analyse de l’équation et on expliquera la construction de la transformée de Fourier non linéaire. Dans la seconde partie, on expliquera comment l’expression des solutions permet de décrire des phénomènes de turbulence et de les quantifier de différentes manières.Il s’agit d’un travail en commun avec Patrick Gérard.
- Séminaire Analyse non linéaire et EDP